Tham số tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD-D cho con lắc ngược theo phương pháp cực tiểu hóa năng lượng

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
26 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
THAM SỐ TỐI ƯU CỦA BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG TMD-D CHO CON 
LẮC NGƯỢC THEO PHƯƠNG PHÁP CỰC TIỂU HÓA NĂNG LƯỢNG 
TS. NGUYỄN DUY CHINH 
Trường đại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên 
 Tóm tắt: Nghiên cứu giảm dao động cho công 
trình bằng bộ hấp thụ dao động thụ động TMD là 
lĩnh vực được rất nhiều các nhà khoa học trong 
nước và trên thế giới nghiên cứu. Trong bài báo này 
tác giả nghiên cứu tìm nghiệm giải tích tham số tối 
ưu của bộ hấp thụ dao động TMD-D cho hệ con lắc 
ngược. Sau đó tác giả áp dụng các kết quả tìm 
được để giảm dao động cho một nhịp cầu giao 
thông và mô phỏng dao động bằng phần mềm 
Maple 18, đây là phần mềm được các nhà khoa học 
trên thế giới chuyên dùng và cho kết quả tin cậy. 
1. Phương trình vi phân chuyển động của hệ khi 
lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D 
 Hình 1 biểu diễn sơ đồ của con lắc ngược có khối 
lượng M, cách nền ngang một khoảng L4, thanh đỡ 
con lắc ngược có khối lượng m trọng tâm đặt tại G 
cách nền ngang một khoảng L3, liên kết giữa nền 
ngang và con lắc ngược được thay bằng hai lò xo - lò 
xo xoắn có độ cứng KS, và lò xo có độ cứng K3. 
 Để giảm dao động cho cơ cấu ta có lắp vào hệ 
bộ hấp thụ dao động TMD-D [TMD - Tuned mass 
damper]. Bộ hấp thụ dao động TMD-D được lắp tại 
vị trí cách nền ngang một khoảng L5 gồm một vật có 
khối lượng M2, liên kết với con lắc ngược bởi một lò 
xo có độ cứng K2 và một bộ cản nhớt tuyến tính có 
hệ số cản c2. Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao 
động TMD-D khi đó cơ hệ có ba bậc tự do - 1: Là 
góc quay của con lắc ngược, U1 dịch chuyển của 
con lắc ngược theo phương thẳng đứng, U2 dịch 
chuyển của bộ TMD-D. 
 Theo [7] ta có phương trình vi phân chuyển 
động của cơ hệ như sau: 
 (1) 
trong đó: 
 (2) 
(3)
 ; ;
1
1
2
X U
U





 
 
 
  
 
 
 
; ; 
(4) 
•• •
( )P P P PM X C X K X F t  
 
2
2 2 3
4 2 5
P 2 2
2 2
mL
ML +M L + 0 0
3
M = 0 M+M m M
0 M M
+
  
  
  
 
 
 
 
 
3
S 4 2 5
3P
2
mgL
K -MgL - -M gL 0 0
2
0 K 0K =
0 0 K
  
  
  
 
 
 
  
0 0 0
= 0 0 0
0 0
P
2
C
C
 
 
 
 
 
 
  
1
1
2
X U
U





 
 
 
  
 
 
 
1
1
2
X U
U
 
 
 
 
 
 
P
Q4L (t)
F = P(t)
0
 
 
 
 
 
 
  
Hình 1. Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao 
động TMD-D của cơ cấu con lắc ngược 
K2 

M
C2 
M
1 
K
3 
Ks 
L5 
L 
L4 
u1 
u2 
x 
y 
L3 
G 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 27 
 (5) 
Trong biểu thức (5): 
 uD - Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động 
thẳng; 
 D - Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động 
quay; 
 D - Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D; 
 dD - Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-D; 
 D - Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương lắc ngang; 
 uD - Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng; 
 D - Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D 
 Thay các tham số từ (5) vào phương trình (2 - 4) ta có: 
 (6) 
 (7) 
Ta dùng phép đổi biến số: 
1 1 1 2 21 1 2 1 3 2 514 6, , , , ,x x u x u x x x x u x x u 
     
        
 (8) 
Từ phương trình (1, 6, 7, 9) đưa về phương trình: 

 x Vx F (9) 
V là ma trận sau: 
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
(1 ) (10)0 0 0 0 0
1
0 0 0 2
0 (1 ) 0 0 2(1 )
D D D D
D D
uD D uD dD D uD dD D D
uD D uD dD D uD dD D D
 

  
  
   
 
        
        

 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
     
V
5 32 2
4 1 3 4
4
, , , , ,
3
D D D Du u
L KM M
u L L L
m M m L M mM
          
   
 
4
2 2 2
4 43 4 4
6 3 6 6 3
6 2/3 2 3
D
ss M m g K gL M mK
ML mLML mL L M m

  
  
 
2
2 2
2 2 4
, , , ,
2
D D
D D D D
D D D D
d u
d dD u
d
k c g
M M L 
 
    
   
    
2
* *
0 0 01 0 0
; 0 0 00 1
0 0 20
D D
D D
D D D DD D
P Pu u
d uu u
M C


 
 
    
   
   
    
   
  
  2
2 2
* *
2 2
3 ( )
1 0 0
3
; ( )0 0
0 0
0
D D D D
D D
D D D
P Pu
u d
Q t
M m
K F P t
M m
 


   
 
  
                    
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
28 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
 Hệ dao động được thì phải có năng lượng, năng lượng càng lớn thì dao động càng mạnh, năng lượng 
bằng không thì hệ sẽ đứng yên. Năng lượng của hệ bất kỳ bao giờ cũng bằng tổng động năng và thế năng 
của hệ. Khi hệ dao động năng lượng này sẽ chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng. Vì vậy khi xác 
định các tham số tối ưu của bộ TMD-D, tác giả xác định để năng lượng của cơ hệ đạt cực tiểu khi đó hệ sẽ 
dao động nhỏ nhất và tắt nhanh nhất. Vì phương pháp cực tiểu hóa năng lượng để giảm dao động tần số 
riêng của kết cấu nên ta xét phương trình vi phân dao động tự do ứng với (9) như sau: 
 (11) 
Nghiệm của (11) có dạng 
 Trong tài liệu tham khảo [2,3,6] của bài báo đã đưa ra tiêu chuẩn tối ưu với mục tiêu tối thiểu hóa năng 
lượng toàn phần của hệ. Năng lượng toàn phần của hệ là tổng động năng và thế năng được tính bởi công 
thức. 
 (12) 
 Như vậy tiêu chuẩn thiết kế tối ưu được đặt ra là cực tiểu tích phân năng lượng (12). Để có được kết 
quả rõ ràng hơn ta thực hiện các phép biến đổi như sau:
 (13) 
trong đó: 
 (14) 
 Ma trận P là xác định dương. Theo tài liệu [4] P 
là nghiệm của phương trình Lyapunov sau: 
 (15) 
 Trong nhiều trường hợp, ta không cần phải cực 
tiểu hóa toàn bộ năng lượng của hệ mà chỉ cần 
giảm một phần nào đó. Khi đó hàm mục tiêu không 
phải là cực tiểu năng lượng toàn phần trong quá 
trình dao động của hệ. Thay vào đó một hàm mục 
tiêu có dạng khác được đưa ra với mục đích là chỉ 
cực tiểu một phần năng lượng của hệ tùy theo mục 
đích thiết kế. 
 (16) 
trong đó: Q được hiểu là hàm trọng số, Q đối xứng 
(thường là bán xác định dương). Tùy thuộc vào 
thành phần năng lượng cần tính mà Q được chọn 
sao cho phù hợp. Với mục tiêu là cực tiểu thế năng 
của hệ chính là dao động thẳng đứng nên ma trận 
trọng số Q sẽ được chọn như sau: 
22
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(17)
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Q
 
 
 
 
 
 
Q
Khi đó P sẽ là nghiệm của phương trình 
Lyapunov sau: (18) 
Điều này có thể dễ dàng chứng minh được như 
sau:
Vậy các tham số tối ưu α và được tìm làm cực tiểu hàm mục tiêu. 

x Vx
0
te Vx x
0
0
( , )E t dt

 x
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
1 1 1
( , ) ( , ) ( , )dt dt
2 2 2
TT T t t TE t dt t t e e
  
     V Vx x x Q x x x Q x x Px
0
0
Tt te e dt

  V VP Q
0
T   V P PV Q
0
T t te e dt

  V VP Q
0T   V P PV Q
0
0 0 0
0 0
0 0
0
1 1
( , ) dt ( ) dt
2 2
1 1
( )dt ( ) )dt
2 2
1 1 1
( )dt
2 2 2
0
T T T
T T T T T
T T T
E t dt
d
dt
  
 

  
     

    
  
 

x x Qx x V P PV x
x V Px x PVx Vx Px x PVx
x Px x Px x Px

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
30 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
 (19) 
 trong đó: x0 - điều kiện ban đầu, P - nghiệm của phương trình đại số Lyapunov (18). Để cực tiểu hàm 
mục tiêu J, điều kiện cực tiểu của hàm hai biến được áp dụng vào (19). 
 (20) 
Giải hệ phương trình (10, 17, 18, 19, 20) ta tìm tham số tối ưu cho TMD là: 
  
* D
D
D
u
optd
u1

 

 

 ;
 
* 1
2
D
D
D
u
opt
u1

 

 

 (21) 
3. Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao 
động, tính toán giảm dao động cho một nhịp của 
cầu giao thông 
 Cùng với sự phát triển của đất nước các công 
trình giao thông được xây dựng ngày càng lớn. Việc 
sử dụng cầu vượt đã góp phần không nhỏ vào việc 
chống ùn tắc giao thông ở Việt Nam hiện nay. Khi cầu 
được xây dựng ngày một lớn về quy mô và đặc biệt 
tăng độ dài của nhịp dầm thì vấn đề dao động sinh ra 
trong kết cấu sẽ phức tạp. Trong phần này các tác giả 
nghiên cứu, thể thiết kế các bộ hấp thụ dao động 
TMD-D để giảm dao động cho cầu giao thông. 
 Thực tế các nhịp cầu giao thông là các dầm chịu 
uốn, một đầu chịu liên kết trụ, còn một đầu chịu liên 
kết gối tựa con lăn, nên các điểm giữa cầu giao 
thông chỉ có dao động thẳng đứng mà không có dao 
động lắc ngang. Như vậy đối với các công trình loại 
này ta chỉ cần lắp bộ hấp thụ dao động TMD-D để 
giảm dao động theo phương thẳng đứng. 
* Hệ số lò xo KS ; 
* Xác định hệ số lò xo K3 thông qua đặc tính của kết 
cấu vật liệu cầu giao thông: 
 Đối với các cầu giao thông ta coi như một dầm 
chịu uốn. Khi đó độ lệch U1 tại điểm lắp bộ hấp thụ 
dao động như sau [7] (hình 3), ta có: 
 (22) 
trong đó: 
 L - Chiều dài nhịp cầu giao thông; 
 P(t) - Lực tác dụng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao 
động (tại điểm giữa nhịp cầu); 
 EJ - Độ cứng chống uốn của vật liệu cầu. 
 Nếu xác định độ lệch U1 thông qua hệ số lò xo 
K3 ta có: 
 (23) 
Từ (22) và (23) ta suy ra: 
 (24) 
 Như vậy từ (24) và (5) ta có thể áp dụng các kết 
quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động TMD – D cho 
0 0
1
2
TJ  x Px
* *
0, 0
J J
     
 
 
 
3
1
( )
48
P t L
U
EJ
 1
3
( )P t
U
K

3
3 3
3
( ) ( ) 48
48
P t L P t EJ
K
EJ K L
  
Hình 2. Sơ đồ tính toán độ lệch cầu giao thông có lắp bộ hấp thụ dao động TMD-D 
L 
Hình 3. Sơ đồ tính toán độ lệch U1, coi cầu như một dầm đàn hồi 
 U1 
L 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
2 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
cầu giao thông khi biết được kích thước, đặc trưng 
vật liệu cấu tạo nên cầu đó. 
Ta xét cầu giao thông có các thông số sau: 
- Chiều dài cầu L = 100 m; 
- Cầu có mặt cắt chữ nhật kích thước: chiều dài b 
= 7m, chiều cao h = 1,0m; 
- Cầu được làm là vật liệu bê tông cốt thép M 300 
có các thông số: 
 E =3,1.1010 N/m2,  = 2400kg/m3. (25) 
Mô men quán tính của cầu được xác định theo 
công thức: 
 (26) 
Thay các số liệu từ (25) vào (26) ta có: 
 (27) 
Khối lượng cầu được xác định theo công thức: 
 (28) 
Ta thiết kế bộ TMD-D như sau: Khối lượng của 
TMD-D là: 
 M2 = 3.36 10
4 kg (29) 
Thay (25, 27) vào (24) ta xác định được hệ số lò xo 
K3 như sau: 
 (30) 
Tần số dao động tự nhiên của cầu được tính từ 
công thức (5): 
 (31) 
Từ (5, 21, 28, 29, 30, 31) ta suy ra các thông số 
của bộ hấp thụ dao động TMD–D như sau: 
33 2
2 2
d
2,86.10 ( / )
( )(1 )u
K M
K N m
M m 
 
 
; 32 22 1,4.10 ( / )optD Ddc M Ns m   (32) 
Thay các thông số của bộ TMD-D và của hệ chính vào phương trình (1). Sử dụng phần mềm Maple 
18[4]. Mô phỏng dao động của cầu giao thông được biểu diễn như sau: 
Trường hợp 1: Dưới tác dụng của ngoại lực cầu giao thông có độ lệch ban đầu U1 = 0.05 (m). 
Trường hợp 2: Dưới tác dụng của ngoại lực cầu giao thông có độ lệch ban đầu U1` = 0.05 (m) và có vận tốc 
ban đầu (m/s). 
3
12
bh
J 
40,58( )J m
4168.10m bhL kg 

5
3 3
48
1,48.10 ( / )
EJ
K N m
L
 
3 0,30( / )Du
K
rad s
M m
  

1.01 

U
Hình 4. Đồ thị biên độ dao động của độ lệch U1 của cầu giao thông 
với điều kiện đầu U1 = 0.05 (m) 
D
ic
h 
ch
uy
en
 (m
)
Thoi gian (giay)
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
2 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
 Từ hình 4 và hình 5 ta thấy khi lắp đặt bộ TMD-
D thì biên độ dao động của nhịp cầu giao thông 
giảm rất nhiều theo thời gian so với trường hợp 
không lắp bộ hấp thụ dao động. 
4. Kết luận 
 Trên cơ sở phương pháp cực tiểu hóa năng 
lượng, tác giả đã tính toán xác định được các thông 
số tối ưu cho bộ hấp thụ dao động trong trường hợp 
tổng quát của mô hình con lắc ngược có lắp bộ 
TMD-D như sau: 
 
D
D
D
u
optd
u1





 ; 
 
1
2
D
D
D
u
opt
u1





 Các tham số tối ưu này có thể áp dụng cho các 
công trình cần giảm dao động theo phương thẳng 
đứng. Mục đích của việc thiết kế các bộ hấp thụ dao 
động là làm giảm dao động cho kết cấu, công trình 
một cách tối ưu đáp ứng yêu cầu của kỹ thuật. Các 
kết quả cho thấy rằng: Khi áp dụng kết quả nghiên 
cứu ở trên, tính toán bộ TMD-D lắp đặt vào kết cấu 
nhịp cầu giao thông thì biên độ dao động của nó 
giảm rất nhiều theo thời gian so với trường hợp 
không lắp đặt bộ hấp thụ dao động. Điều này đáp 
ứng được yêu cầu của các nhà kỹ thuật đặt ra. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Khong Doan Dien, Nguyen Duy Chinh (2010), 
‘‘Optimal parameters of vibration reduction system 
TMD-D and DVA for an inverted pendulum type 
structure’’, Vietnam Journal of Mechanis, VAST, Vol. 
32, pp. 59 - 69. 
[2] Truhar Ninoslav, Veselic Kresimir (2004), ‘‘On some 
properties of the Lyapunov equation for damper 
systems”, Mathematical Communications, pp. 189-
197. 
[3] Truhar Ninoslav (2004), ‘‘An efficient algorithm for 
damper optimization for linear vibrating systems using 
Lyapunov equation”, J.Comput. Appl. Math 
172(2004), 169 -182. 
[4] Peter Lancaster and Miron Tismenetsky (1995), The 
theory of matrices, Academic Press Inc., Orlando, FL. 
[5] Nguyễn Duy Chinh (2008), ‘‘Nghiên cứu và áp dụng 
các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động TMD-N 
đối với hệ con lắc ngược vào việc giảm dao động cho 
tháp nước’’, Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng, 
08(2), tr. 12- 20. 
[6] Nguyễn Duy Chinh, Khổng Doãn Điền, Đào Văn Hải 
(2016), ‘‘Nghiên cứu giảm dao động xoắn cho trục 
đàn hồi mặt cắt tròn bằng bộ hấp thụ dao động TMD’’ 
Tạp chí Kết cấu và công nghệ xây dựng, 16(02), tr. 
41 - 48. 
 [7] Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh (2009), ‘‘Tính 
toán xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao 
động TMD-D đối với hệ con lắc ngược và áp dụng kết 
quả nghiên cứu giảm dao động cho cầu giao thông’’, 
Tuyển tập công trình khoa học, Hội nghị Cơ học toàn 
quốc Kỷ niệm 30 năm Viện Cơ học và 30 năm Tạp 
chí Cơ học, tập 2: Cơ học máy; Động lực học và điều 
khiển, tr. 262 – 271. 
Ngày nhận bài: 11/8/2016. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 05/01/2017. 
Hình 5. Đồ thị biên độ dao động của độ lệch U1 của cầu giao thông với điều 
kiện đầu U1` = 0.05 (m), 1 0.1U

 (m/s) 
Thoi gian (giay)
D
ic
h 
ch
uy
en
 (m
)