Tính siêu khả tích của bài toán MICZ-Kepler chín chiều

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
13 
TÍNH SIÊU KHẢ TÍCH 
CỦA BÀI TOÁN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU 
PHAN NGỌC HƯNG*, LÊ VĂN HOÀNG** 
TÓM TẮT 
Bài toán MICZ-Kepler chín chiều với thế đơn cực (8)SO được khẳng định có đối 
xứng (10)SO . Trên cơ sở sử dụng đối xứng này, một hệ gồm 9 toán tử độc lập giao hoán 
trong đó chứa Hamiltonian được chúng tôi xây dựng tường minh. Một bộ 8 toán tử bất 
biến độc lập khác cũng được chỉ ra. Sự tồn tại đồng thời của hai bộ toán tử này cho phép 
khẳng định tính siêu khả tích tối đa của bài toán này. 
Từ khóa: bài toán MICZ-Kepler, đối xứng ẩn, siêu khả tích, không gian chín chiều, 
đối xứng (10)SO . 
ABSTRACT 
Superintegrability of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem 
The nine-dimensional MICZ-Kepler system with the (8)SO monopole potential has 
been regarded to have (10)SO symmetry recently. Based on this symmetry, in the present 
paper, a set of nine functionally independent, commutative each to other, and invariant 
operators including the Hamiltonian of the system is built explicitly. Also, another set of 
eight invariant operators is built. From the combination of those set, which are seventeen 
operators we conclude that the considered MICZ-Kepler problem is maximally 
superintegrable. 
Keywords: MICZ-Kepler problem, hidden symmetry, superintegrability, nine-
dimensional space, (10)SO symmetry. 
1. Khái niệm siêu khả tích 
Trong nghiên cứu các hệ vật lí, việc xây dựng mô hình toán học và khảo sát các 
tính chất của mô hình là một hướng tiếp cận thông dụng. Cách tiếp cận này đã thu được 
rất nhiều thành công cả trong vật lí cổ điển lẫn vật lí lượng tử. Tuy nhiên, các mô hình 
toán học thường dẫn đến những phương trình hoặc hệ phương trình vi phân phức tạp, 
mà đa phần không có lời giải giải tích, chỉ có thể giải số. Chỉ có một số rất ít các bài 
toán có lời giải chính xác và tường minh, được gọi là các bài toán khả tích. Một nhóm 
thậm chí còn ít hơn rất nhiều các bài toán có đồng thời lời giải giải tích và lời giải đại 
số, được gọi là các bài toán siêu khả tích. Các bài toán siêu khả tích đóng vai trò rất 
quan trọng trong sự phát triển lí thuyết của vật lí học, và thường được xem như những 
* ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: hungpn@hcmup.edu.vn 
** PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
14 
bài toán cơ sở để tính toán cho các hệ phức tạp hơn nhờ các lí thuyết nhiễu loạn. Một ví 
dụ về bài toán siêu khả tích là bài toán Kepler, được xem là bài toán căn bản để phát 
triển tính toán quỹ đạo các thiên thể trong vật lí cổ điển, hay tính toán các mức năng 
lượng của nguyên tử trong vật lí lượng tử. Một ví dụ khác là bài toán dao động tử điều 
hòa, vẫn được xem là cơ sở tính toán cho các hệ boson. 
Tuy các hệ có tính siêu khả tích như bài toán Kepler-Coulomb hay dao động tử 
điều hòa đã được quan tâm nghiên cứu từ rất lâu, nhưng lí thuyết hiện đại về cấu trúc 
và phân loại các hệ này có thể xem như chỉ mới bắt đầu từ công trình của Smorodinsky, 
Winternitz và các cộng sự năm 1965 [2, 3]. Tính siêu khả tích của một hệ được xác 
định thông qua việc khảo sát đối xứng của bài toán, và thường liên quan đến “đối xứng 
ẩn” của hệ. Các hệ siêu khả tích được thừa nhận là có đối xứng tối đa, dẫn đến khả 
năng giải được bằng phương pháp đại số lẫn giải tích [1-4, 7]. 
Xét một hệ lượng tử có phương trình Schödinger dừng trong không gian N -chiều: 
,H E   
hệ được gọi là khả tích, nếu tồn tại n toán tử độc lập tuyến tính aX thỏa: 
[ , ] 0, , 1, , ,a bX X a b n   
trong đó, toán tử 1X H là Hamiltonian của hệ. 
Hệ được gọi là siêu khả tích nếu ngoài n toán tử aX đã kể trên, còn tồn tại k 
toán tử 1{ , , }kY Y bảo toàn, tức là 
[ , ] 0, 1, , ,jH Y j k   
đồng thời bộ 2 1n  toán tử gồm 2 1{ , , , , , , }n kH X X Y Y  độc lập với nhau. Ở đây, các 
toán tử jY không cần giao hoán với các toán tử aX cũng như không cần giao hoán với 
nhau. Số lượng toán tử jY thỏa: 
1 1.k n   
Trường hợp 1k  , hệ được gọi là “siêu khả tích tối thiểu”. Trường hợp 1k n  , 
hệ được gọi là “siêu khả tích tối đa”. [4] 
Trong trường hợp cổ điển, các khái niệm khả tích, siêu khả tích cũng có định 
nghĩa tương tự như trên, trong đó quan hệ giao hoán tử giữa các toán tử được thay bằng 
các ngoặc Poisson. 
Các hệ siêu khả tích nhận được sự quan tâm đặc biệt vì những tính chất sau đây 
[4], [5]: 
1. Trong cơ học cổ điển, các hệ siêu khả tích tối đa được chứng tỏ có quỹ đạo khép 
kín và chuyển động mang tính chu kì. 
2. Về mặt lí thuyết, các quỹ đạo của hệ siêu khả tích cổ điển có thể thu được mà 
không cần giải các phương trình vi phân. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
15 
3. Theo định lí Bertrand, trong các hệ có thế năng đối xứng cầu, chỉ có hai trường 
hợp có quỹ đạo khép kín: dao động tử điều hòa và hệ Kepler-Coulomb. 
4. Trong trường hợp đại số của đại lượng bảo toàn là bậc hai, các phương trình 
Hamilton-Jacobi hoặc Schödinger tương ứng của các hệ siêu khả tích này có thể tách 
biến. 
5. Với các hệ lượng tử, tính siêu khả tích dẫn đến sự tăng suy biến các mức năng 
lượng, gọi là “suy biến ngẫu nhiên” (accidental degenaracy). Sự gia tăng các bậc suy 
biến có thể giải thích do tính siêu khả tích có liên quan đến một “đối xứng ẩn” của hệ. 
6. Đối với các hệ siêu khả tích cực đại lượng tử đã biết, năng lượng của hệ có thể 
giải bằng phương pháp thuần đại số và giải tích. 
2. Đối xứng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều 
Bài toán MICZ-Kepler là sự mở rộng của bài toán Kepler-Coulomb, trong đó hệ 
được xét gồm một hạt có điện tích và isospin chuyển động trong thế năng của một dyon 
(một hạt có điện tích và từ tích). Bài toán MICZ-Kepler chín chiều được mở rộng một 
cách tự nhiên từ bài toán ba chiều và năm chiều với thế đơn cực tương ứng thỏa tính 
chất đại số (8)SO được giới thiệu trong công trình của nhóm tác giả Van-Hoang Le 
năm 2009 [5, 6], và được nhóm tác giả này gọi là đơn cực (8)SO . Trong mục này, 
chúng tôi tóm tắt các kết quả đáng chú ý của công trình [6] về nhóm đối xứng của bài 
toán để làm cơ sở khảo sát tính siêu khả tích. 
Phương trình Schödinger dừng của bài toán trong hệ đơn vị nguyên tử 
( 1m c e    ) có dạng: 
2
2
2
1 ,
2 8
Q ZH E
r r

 
       
 
 (1) 
trong đó, 2     , ( 1, ,9   ) với các thành phần xung lượng  có dạng tường 
minh: 
Các số hạng ( )k kjA r Q đặc trưng cho tương tác của hạt có isospin với đơn cực 
(8)SO với thế vector có dạng tường minh: 
Toán tử 2 kj kjQ Q Q ( , 1, ,8)j k   với kjQ là các vi tử của nhóm (8)so , nghĩa là thỏa 
mãn hệ thức giao hoán: 
, ,jk mn jm kn kn jm jn km km jnQ Q i Q i Q i Q i Q          
9
( ) .
( )
k
k
xA r
r r x


9
9
( ) , , 1, ,8,
.
j k kj
j
i A r Q j k
x
i
x



    


 

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
16 
trong đó, jk là kí hiệu delta Kronecker. 
Cũng giống như trường hợp các bài toán MICZ-Kepler ba chiều và năm chiều, sự 
bổ sung thế đơn cực không làm phá vỡ tính chất đối xứng hình học (9)SO của bài toán 
Kepler-Coulomb chín chiều. Cụ thể, nhóm đối xứng hình học của bài toán MICZ-
Kepler chín chiều được biểu diễn bởi ( 1) / 2 36N N   thành phần moment xung lượng 
độc lập dưới dạng tensor: 
2 , , , 1, ,9, .x x ir                      (2) 
Các hệ thức giao hoán của các thành phần này chứng tỏ bài toán có đối xứng 
(9)SO 
, 0,H    
, .i i i i                        (3) 
Đối xứng ẩn của bài toán được thể hiện qua vector Runge-Lenz suy rộng 9-chiều 
với các thành phần có dạng tường minh: 
 1 , 1, ,9.2
xM Z
r

             (4) 
Các thành phần này thỏa mãn các hệ thức giao hoán: 
, 0,M H   
 , ,
, 2 .
M i M i M
M M iH
     
  
     
     
Nhóm đối xứng (10)so của bài toán MICZ-Kepler chín chiều được xác định từ 45 
thành phần ˆ ˆ{ , }M  . Trong các hệ thức trên, H đóng vai trò như “hằng số” đối với 
nhóm đối xứng này. Các thành phần của nhóm đối xứng này sẽ được chúng tôi sử dụng 
để khảo sát tính siêu khả tích của bài toán trong phần tiếp theo. 
3. Tính siêu khả tích tối đa của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều 
Trong trường hợp bài toán MICZ-Kepler chín chiều, 9N  nên để hệ khả tích, 
cần 9 toán tử độc lập tuyến tính giao hoán với nhau (trong đó có Hamiltonian H ). 
Thêm vào đó, để hệ là siêu khả tích, ta cần thêm k toán tử bảo toàn khác tạo với bộ 9 
toán tử trước đó tạo thành một bộ độc lập ( 0 1k n   ). 
3.1. Tính khả tích 
Nhóm đối xứng không gian (9)so (và đầy đủ hơn là nhóm đối xứng (10)so ) của 
bài toán được xây dựng dựa trên các toán tử bất biến sẽ là một cơ sở tốt để chúng tôi 
xây dựng nên bộ toán tử thỏa mãn tính chất khả tích của bài toán, do nhóm này được 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
17 
cấu tạo từ toán tử bất biến. Cụ thể, nhóm đối xứng không gian (9)so của bài toán 
MICZ-Kepler chín chiều được biểu diễn tường minh qua ma trận 9 9 : 
12 13 14 15 16 17 18 19
21 23 24 25 26 27 28 29
31 32 34 35 36 37 38 39
41 42 43 45 46 47 48 49
51 52 53 54 56 57 58 59
61 62 63 64 65 67 68 69
71 72 73 74 75 76 78 79
81 82 83 84 85 86 87
0
0
0
0
0
0
0
0
       
       
       
       
         
       
       
       89
91 92 93 94 95 96 97 98 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         
trong đó, các thành phần của ma trận này thỏa mãn tính chất phản đối xứng ij ji   . 
Trên cơ sở của nhóm đối xứng này, chúng tôi chọn một bộ 8 nhóm con bất biến 
gồm { (2), (3), , (9)}so so so theo quy tắc: nhóm ( )mso gồm các thành phần trong ma 
trận khối m m góc trên bên trái của ma trận  , với biểu diễn tường minh như sau: 
12 13 1
21 23 2
31 32 3
1 2 3
0
0
0
0
m
m
m
m m m
   
    
     
 
 
    



    

Với cách chọn nhóm con như vậy, từ tính chất của ma trận  , có thể dễ dàng 
nhận thấy ( )X m là ma trận hoàn toàn phản đối xứng với các thành phần tạo thành 
nhóm kín thỏa mãn tính chất giao hoán (3) của đại số ( )SO m . 
Ứng với mỗi nhóm con ( )mso , toán tử ( )mS được chúng tôi định nghĩa là toán tử 
Casimir bậc 2 của nhóm đối xứng ( )mso : 
( ) 2
1
1 ( ) ( ) , 2, ,9,
2
m
ij ji ij
i j m
S X m X m m
  
      (5) 
trong đó, các chỉ số i , j lặp lại được hiểu là lấy tổng từ 1 đến m . Vì là các toán tử 
Casimir của nhóm đối xứng, nên các toán tử này hoàn toàn thỏa mãn tính chất bất biến: 
( )[ , ] 0.mS H  (6) 
Ngoài ra, do cách chọn các nhóm con thỏa mãn (2) (3) (9) so so so , nên các 
toán tử Casimir tương ứng của các nhóm này cũng hoàn toàn độc lập với nhau. Đặc 
biệt, toán tử Hamiltonian H do có vai trò như “hằng số” đối với các nhóm so kể trên, 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
18 
có thể xem như vi tử của nhóm (1)so là nhóm con bất biến của tất cả các nhóm này, 
nên H cũng độc lập với các toán tử ( )mS . 
Giao hoán tử của các toán tử bình phương moment xung lượng được tính trực tiếp 
từ hệ thức giao hoán của nhóm (9)so : 
2 2[ , ] { , , } { , , }
{ , , } { , , },
ij mn im ij mn jn jn ij mn im
in ij mn jm jm ij mn in
i i
i i
 
 
         
       
 (7) 
trong đó, kí hiệu { , }A B AB BA  là phản giao hoán tử và { , , } { ,{ , }}A B C A B C . Tính 
toán trực tiếp từ các đinh nghĩa của các toán tử bất biến ( )mS và sử dụng hệ thức (7), 
chúng tôi thu được kết quả: 
( ) ( )[ , ] 0, , 2, ,9,m nS S m n   (8) 
tức là các toán tử ( )mS hoàn toàn tạo thành một bộ giao hoán với nhau. 
Như vậy, nhóm 9 toán tử (2) (3) (9){ , , , , }H S S S tạo thành một bộ toán tử bất biến 
độc lập, giao hoán với nhau, cho phép chúng tôi kết luận bài toán MICZ-Kepler chín 
chiều có tính khả tích. 
3.2. Tính siêu khả tích tối đa 
Một cách khác để xây dựng bộ 8 nhóm con { (2)so , (3)so ,..., (9)}so là theo quy 
tắc: nhóm con ( )mso gồm các thành phần trong ma trận khối m m góc dưới bên phải 
của ma trận  , với biểu diễn tường minh như sau: 
10 ,7 10 ,8 10 ,9
7,10 78 79
8,10 87 89
9,10 97 98
0
0
0
0
m m m
m
m
m
  



   
 
 
    
    
    

    



Một cách tương tự như phần trước, chúng tôi cũng định nghĩa 8 toán tử bất biến 
là toán tử Casimir bậc 2 của 8 nhóm con này: 
2
( )
9 9
1 ( ) ( ) , 2, ,9.
2m ij ji ijm i j
S Y m Y m m
   
      (9) 
Từ định nghĩa của các ma trận ( )X m và ( )Y m , có thể dễ nhận ra hai ma trận 
(9)X và (9)Y trùng nhau (và trùng với ma trận  ), do đó, (9) 2(9)S S   . Đối với hệ 
7 toán tử còn lại (2) (8){ , , }S S , bằng các tính toán trực tiếp dựa trên định nghĩa của các 
toán tử này, chúng tôi nhận thấy các phương trình 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
19 
9 8
( )
( ) ( )
2 2
, 2, ,8,jm j j j
j j
j m
S aH b S c S m
 

      (10) 
đều không có nghiệm ( , , )j ja b c , tức là không thể biểu diễn một toán tử nào trong số 
bảy toán tử (2) (8){ , , }S S dưới dạng tổ hợp của các toán tử còn lại và bộ 
( ){ , }mH S . Từ 
đây, chúng tôi kết luận rằng bộ 16 toán tử (2) (9) (2) (8){ , , , , , , }H S S S S  độc lập với nhau. 
Ngoại trừ Hamiltonian H , các toán tử còn lại đều được tạo ra từ nhóm đối xứng (9)so 
đặc trưng cho đối xứng không gian của bài toán. 
Toán tử cuối cùng được chúng tôi chọn để hoàn thiện bộ 17 toán tử bất biến độc 
lập là thành phần 1A M của vector Runge-Lenz, đặc trưng cho đối xứng ẩn của bài 
toán. Toán tử này cũng là toán tử bậc 2 giống như 16 toán tử trong bộ 
(2) (9)
(2) (8){ , , , , , , }H S S S S  . Toán tử A này được cấu tạo từ thành phần trong nhóm 
thương (10) / (9)so so nên chắc chắn sẽ độc lập với bộ 16 toán tử đã nêu. 
Như vậy, ngoài bộ 9 toán tử bậc 2 (2) (9){ , , , }H S S độc lập và giao hoán đã chỉ ra 
ở phần (3.1), chúng tôi đã xác định được thêm 9 1 8k    toán tử bậc 2 độc lập khác 
gồm (2) (8){ , , , }S S A . Chúng tôi kết luận rằng bài toán MICZ-Kepler chín chiều có tính 
siêu đối xứng tối đa bậc 2. 
Chúng tôi cũng lưu ý rằng, cách chọn bộ 17 toán tử như trên không phải là duy 
nhất. Chẳng hạn, ta có thể chọn bộ 9 toán tử độc lập và giao hoán 
1 2 9 (2) (9){ , , , } { , , , }X X X H S S   , cộng thêm 8 toán tử bất biến độc lập khác 
(2) (8)
1 2 8{ , , , } { , , , }Y Y Y A S S   , trong đó, A là một tổ hợp bất kì của 9 thành phần của 
vector Runge-Lenz. 
4. Kết luận 
Dựa trên tính chất đối xứng (10)SO của bài toán MICZ-Kepler, chúng tôi đã chỉ 
ra một cách xây dựng tường minh bộ 9 toán tử bất biến độc lập và giao hoán, qua đó 
khẳng định bài toán này khả tích. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã xây dựng tường minh 
một bộ 8 toán tử bất biến độc lập khác cho phép kết luận bài toán có tính chất siêu khả 
tích cực đại bậc 2. Đây là kết quả khẳng định thêm cho những nhận định trước đây của 
chúng tôi về khả năng có lời giải đại số và khả năng tách biến của bài toán theo nhiều 
hệ tọa độ khác nhau. 
Ghi chú: Công trình này là một phần trong Đề tài Khoa học và Công nghệ cấp Bộ 
của Bộ Giáo dục và Đào tạo, mã số B2015.19.13. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
20 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Ballesteros, A. et al. (2011), “Superintegrable Oscillator and Kepler Systems on 
Space of Nonconstant Curvature via the Stäckel Transform”, SIGMA 7, 048-15. 
2. Fris, I., Mandrosov, V., Smorodinsky, J. A., Uhlír, M., & Winternitz, P. (1965), “On 
higher symmetries in quantum mechanics”, Phys. Lett. 16, 354–356. 
3. Fris, I., Smorodinsky, J. A., Uhlír, M., & Winternitz, P. (1966), “Symmetry groups in 
classical and quantum mechanics”, Yad. Fiz. 4, 625-635. 
4. Kalnins, E. G., Kress, J. M., & Miller Jr., W. (2006), “Second order superintegrable 
systems in conformally flat spaces. V. Two- and Three-dimensional quantum 
systems”, J. Math. Phys. 47, 093501. 
5. Le, V. H., Nguyen, T. S., & Phan, N. H. (2009), “A hidden non-Abelian monopole 
in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J. Phys. A 42(17), 175204. 
6. Phan, N. H. & Le, V. H. (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and a hidden 
symmetry of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem”, J. Math. Phys. 53, 
082103. 
7. Rodriguez, M. A. & Winternitz, P. (2002), “Quantum Superintegrability and Exact 
Solvability in N Dimensions”, J. Math. Phys. 43 (3), 1309-1322. 
 (Ngày Tòa soạn nhận được bài: 22-4-2016; ngày phản biện đánh giá: 11-6-2016; 
ngày chấp nhận đăng: 13-9-2016)