Tính toán cột chịu nén lệch tâm xiên bằng phương pháp gần đúng, kết hợp với biểu đồ tương tác theo TCVN 5574:2012

QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 
62 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 
TÍNH TOÁN CỘT CHỊU NÉN LỆCH TÂM XIÊN BẰNG 
PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG, KẾT HỢP VỚI 
BIỂU ĐỒ TƯƠNG TÁC THEO TCVN 5574:2012 
ThS. NGUYỄN THỊ NGỌC LOAN 
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội 
Tóm tắt: Bài báo giới thiệu phương pháp xác 
định khả năng chịu lực của cột chịu nén lệch tâm 
xiên sử dụng phương trình tải trọng nghịch đảo và 
phương trình đường viền tải trọng, được giới thiệu 
bởi Boris Bresler, kết hợp với các họ biểu đồ tương 
tác được xây dựng theo TCVN 5574:2012. 
1. Giới thiệu 
Cột chịu nén lệch tâm xiên là cột chịu đồng thời 
một lực nén dọc trục N, và mô men uốn theo hai 
phương Mx, My lấy đối với các trục chính của tiết 
diện. Hình 1 biểu thị tiết diện cột chịu nén lệch tâm 
xiên. 
Hình 1. Tiết diện cột chịu nén lệch tâm xiên 
Có nhiều phương pháp gần đúng được sử dụng 
để thiết kế cột. Trong số đó, có phương pháp cộng 
tác dụng, được giới thiệu bởi Moran, cốt thép được 
tính riêng với  , xN M và  , yN M , sau đó cộng kết 
quả lại, chi tiết trong [1]. Phương pháp quy đổi lệch 
tâm xiên về lệch tâm phẳng được giới thiệu trong 
[2]. Phương pháp tải trọng nghịch đảo và phương 
pháp đường viền tải trọng, được giới thiệu bởi 
Bresler, dựa trên ý tưởng về mặt phá hoại [3]. Dựa 
vào nghiên cứu của Bresler về mặt phá hoại, đã có 
nhiều tác giả phát triển các công thức gần đúng để 
xác định khả năng chịu lực của cột, trong đó có 
Parme và cộng sự [4], Mavichak và Furlong [5], Hsu 
[6]. Các đồ thị để áp dụng các phương trình của 
Bresler hay của Parme được trình bày trong [7]. 
Một phương pháp gần đúng khác được giới 
thiệu bởi Row và Paulay [8], là sử dụng trực tiếp 
biểu đồ tương tác cho tiết diện chữ nhật chịu nén 
lệch tâm xiên. Mỗi biểu đồ chứa bốn góc phần tư, 
mỗi góc phần tư ứng với một góc đặt tải. Khi góc 
đặt tải thực tế, arctan( )x
y
M h
M b
  , không trùng với 
góc đặt tải trong biểu đồ thì phải nội suy. 
Trong bài báo này, các tác giả sử dụng công 
thức tải trọng nghịch đảo và công thức đường viền 
tải trọng của Bresler, kết hợp với họ biểu đồ tương 
tác được xây dựng cho tiết diện chịu nén lệch tâm 
phẳng, phù hợp với TCVN 5574:2012 [9], để xác 
định hay kiểm tra khả năng chịu lực của cột chịu 
nén lệch tâm xiên. Bresler [3] đã làm các thí nghiệm 
để kiểm chứng công thức, và thấy rằng lực dọc giới 
hạn được tính theo công thức khá sát với các kết 
quả thí nghiệm, sai số tối đa là 9,4%, và sai số trung 
bình là 3,3%. 
2. Phương pháp 
2.1 Mặt phá hoại và các phương pháp biểu diễn 
xấp xỉ 
Lực nén giới hạn Nu tác dụng lên cột với các độ 
lệch tâm exvà ey phụ thuộc chủ yếu vào kích thước 
tiết diện cột, đặc trưng cơ học của vật liệu, số lượng 
và cách bố trí cốt thép trong tiết diện, ngoài ra nó 
cũng phụ thuộc vào chiều dày lớp bê tông bảo vệ, 
loại và cách bố trí cốt đai. Việc thành lập công thức 
giải tích để xác định lực dọc giới hạn của cột, phụ 
thuộc vào các tham số nêu trên là khá phức tạp, do 
sự phức tạp của việc xác định vị trí trục trung hòa. 
Biểu diễn toán học của lực dọc giới hạn được giả 
thiết là một hàm tạo nên một mặt phá hoại 
 1 , ,u x yS N e e , hình 2. Mặt  1 , ,u x yS N e e có thể 
được biểu diễn xấp xỉ như mặt 2
1
, ,x y
u
S e e
N
 
 
 
, hình 
3, hay mặt  3 , ,u x yS N M M , hình 4. 
QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 63 
Hình 2. Mặt phá hoại 
 1 , ,u x yS N e e 
Hình 3. Mặt phá hoại 
2
1
, ,x y
u
S e e
N
 
 
 
Hình 4. Mặt phá hoại 
 3 , ,u x yS N M M 
Phương pháp tải trọng nghịch đảo: Phương 
pháp này được xây dựng dựa vào mặt S2, và được 
biểu diễn xấp xỉ như phương trình (1). Chi tiết của 
việc biểu diễn xấp xỉ xem trong [3] 
uoyoxou NNNN
1111
 (1) 
trong đó, uN - giá trị gần đúng của lực nén giới 
hạn của cột chịu nén lệch tâm xiên, với các độ lệch 
tâm là , x ye e . 0xN - lực nén giới hạn của cột chịu 
nén lệch tâm phẳng, với độ lệch tâm là xe . 0yN - lực 
nén giới hạn của cột chịu nén lệch tâm phẳng, với 
độ lệch tâm là ye . 0uN - lực nén giới hạn của cột 
chịu nén đúng tâm. 
Phương pháp đường viền tải trọng: Phương 
pháp này được xây dựng dựa vào mặt S3, và được 
biểu diễn như phương trình (2). Chi tiết của việc 
biểu diễn xấp xỉ xem trong [3]. 
21
1yx
xo yo
MM
M M
   
        
 (2) 
trong đó: , x yM M lần lượt là mô men thiết kế lấy 
đối với trục x và trục y, 0 0, x yM M lần lượt là mô 
men giới hạn khi lực dọc chỉ đặt lệch tâm theo 
phương y, và theo phương x. Các số mũ 1 2,   
phụ thuộc vào kích thước mặt cắt ngang, diện tích 
và cách bố trí cốt thép, cường độ của vật liệu, và 
được xác định bằng thực nghiệm. Bresler gợi ý lấy 
1 2    , khi đó, đường tương tác được thể 
hiện trong hình 5. Trong thiết kế thực hành, có thể 
lấy 1,5  cho tiết diện chữ nhật, 1,5 2,0   cho 
tiết diện vuông. 
Hình 5. Đường tương tác để xác định hệ số 
2.2 Họ biểu đồ tương tác theo TCVN 5574:2012 
Hình 6 biểu thị cột chịu nén lệch tâm phẳng, cốt 
thép đặt theo chu vi. 
Từ hình 6, viết phương trình cân bằng lực lên 
phương trục cột, và phương trình cân bằng mô men 
với trục cột, lần lượt được 
u b si siN R bx A  (3) 
0 2 2u u b si si si
h x
M N e R bx A z      
 
 (4) 
trong đó, uN - lực nén giới hạn, uM - mô men 
giới hạn trong mặt phẳng chứa cạnh h,  - hệ số 
kể đến ảnh hưởng của uốn dọc, bR - cường độ 
chịu nén tính toán của bê tông. Các kí hiệu còn lại 
xem trên hình 6. 
Ứng suất trong lớp cốt thép thứ i, si được tính 
theo công thức thực nghiệm (5), như dưới đây. Ta 
thấy rằng, ứng suất si phụ thuộc vào hai tham số 
cơ bản, là cường độ chịu nén tính toán của bê tông
bR , và chiều cao vùng nén quy đổi x , (tương ứng là 
vị trí trục trung hòa). 
QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 
64 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 
, 1
1
1,1
sc u
si
i
 

 
 
  
 
 (5) 
0
i
i
x
h
  (6) 
trong đó: , 500sc u  (MPa), 0,85 0,008 bR   , 
0ih là khoảng cách từ trọng tâm lớp thép thứ i đến 
mép chịu nén AB, xem trên hình 6. 
Hình 6. Cột chịu nén lệch tâm phẳng, cốt thép 
đặt theo chu vi 
Trong phương trình (5), nếu 0si  thì lớp cốt 
thép thứ i chịu nén, nếu 0si  thì lớp cốt thép thứ 
i chịu kéo. Trong mọi trường hợp, ứng suất trong 
cốt thép phải thỏa mãn điều kiện sc si sR R  , với
,sc sR R lần lượt là cường độ chịu nén tính toán và 
cường độ chịu kéo tính toán của cốt thép. Chi tiết 
của các phương trình (3) đến (6) xem trong [9]. 
Phương trình (3) đến (6) là bốn phương trình cơ 
bản được sử dụng để xây dựng các họ biểu đồ 
tương tác. Thông thường, các họ biểu đồ được xây 
dựng không phụ thuộc vào kích thước tiết diện, mà 
phụ thuộc vào cường độ tính toán của vật liệu, 
, ,b s scR R R , hàm lượng cốt thép dọc t , khoảng 
cách từ trọng tâm cốt thép đến mép tiết diệna h . Ví 
dụ, áp các phương trình (3) đến (6) cho tiết diện có 
12 thanh cốt dọc (trên mỗi cạnh có 4 thanh), hình 7, 
ta được các phương trình để xây dựng họ biểu đồ 
tương tác như sau: 
   1 2
1 1
1
3 6
u
b t sc s t s s
N a
R R
bh h
            
 
 (7) 
   1 22
1 1 1 1 1
1 1
2 2 3 2 18 2
u
b sc s t s s t
M a a a a
R R
bh h h h h

     
                         
         
 (8) 
0
1 1
01 01
0,85 0,0081 500
3 ; 1
0,85 0,008 11 31
11,1
b
s
b
h Rx a h
R a hh h a h
a h

  

 
       
      
 (9) 
QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 65 
 
   
 
0
2 2
02 02
1 0,85 0,0083 500
; 1
0,85 0,008 12 1 2 31
1,1 2 1 2
b
s
b
a hh Rx
R a hh h a h
a h
 
 

 
       
       
 (10) 
Hình 7. Tiết diện có 12 thanh cốt dọc 
Trong hình 7, ứng suất trong cốt thép 'sA luôn 
đạt scR , ứng suất trong cốt thép sA có thể là ứng 
suất kéo hay ứng suất nén, và có thể đạt giới hạn 
chảy hay không, phụ thuộc vào giá trị  cho trước. 
Nếu R  thì s sR  , nếu R  thì s được 
tính theo công thức (11) cho bê tông không lớn hơn 
B30, hoặc công thức (5), cho bê tông lớn hơn B30, 
và phải thỏa mãn điều kiện sc s sR R   
02 2 1
1s sR
x h
R

 
   
 (11) 
Từ các phương trình (7) và (8), chọn trước 
, , , b s scR R R a h và cho  chạy trong khoảng [0, 
1], cho t stA bh  chạy trong khoảng [0,5%, 6%] ta 
sẽ vẽ được họ biểu đồ tương tác không phụ thuộc 
vào kích thước tiết diện ngang, với trục đứng là u
N
bh
, và trục ngang là 
2
uM
bh
. 
3. Ví dụ 
Tính toán cốt dọc cho cột của khung siêu tĩnh 
chịu nén lệch tâm xiên. Biết kích thước tiết diện là
300 500mm . Độ lệch tâm ngẫu nhiên theo 
phương x là 15axe mm , theo phương y là 
10aye mm . Lực nén tính toán N = 1500kN, mômen 
uốn tính toán theo hai phương lần lượt là 
200 xM kNm , 100 yM kNm . Bê tông B25 có 
14,5 bR MPa , hệ số điều kiện làm việc của bê 
tông, 1b  , cốt thép nhóm CIII có 
365 s scR R MPa  . Hệ số kể đến ảnh hưởng của 
uốn dọc 1,0x y   . Chiều dày lớp bê tông bảo 
vệ 0 20 c mm . 
Lời giải: Chọn trước cốt thép chịu lực 12 18 có 
23052 , 2,03%stst t
A
A mm
bh
   , bố trí như hình 8, 
mỗi cạnh có bốn thanh thép, sau đó kiểm tra tiết 
diện đã chọn theo phương pháp tải trọng nghịch 
đảo và phương pháp đường viền tải trọng. Họ biểu 
đồ tương tác cho tiết diện 12 thanh, ứng với 
0,06
a
h
 và 0,1
a
h
 được xây dựng theo TCVN 
5574, và được thể hiện trên hình 9 và hình 10. Từ 
các họ biểu đồ này, ta tra được 0 0,x yN N để thay 
vào phương trình (1), hoặc 0 0,x yM M để thay vào 
phương trình (2). 
Hình 8. Tiết diện cột cho ví dụ
QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 
66 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 
Hình 9. Họ biểu đồ tương tác, a/h=0,06 
Hình 10. Họ biểu đồ tương tác, a/h=0,1 
3.1 Kiểm tra cột theo phương pháp tải trọng nghịch đảo 
Lực dọc giới hạn của cột chịu nén đúng tâm, 0uN 
0 14,5 300 500 365 3052 3288u b sc stN R bh R A kN        
Lực dọc giới hạn của cột chịu nén lệch tâm theo phương x, 0xN 
1
200 1000
133
1500
x
x
M
e mm
N

   
0 1max( , ) 133x x axe e e mm  
6
2 2
200 10
2,67
300 500
xM
bh

 

Từ biểu đồ hình 9, tra được 0 15x
N
bh
 
0 15 300 500 2250xN kN     
Lực dọc giới hạn của cột chịu nén lệch tâm theo phương y, 0yN 
1
100 1000
66,7
1500
y
y
M
e mm
N

   
0 1max( , ) 66,7y y aye e e mm  
6
2 2
100 10
2,22
500 300
yM
hb

 

Từ biểu đồ hình 10
30
0,1
300
a
h
   
 
, tra được 0 16y
N
bh
 
0 16 500 300 2400yN kN     
Kiểm tra theo phương trình tải trọng nghịch đảo, phương trình (1) 
1 1 1 1 1 1 1 1
2250 2400 3288 1795u xo yo uoN N N N
       
0 1795 1500yN kN N    . Cột an toàn 
3.2 Kiểm tra cột theo phương pháp đường viền tải trọng 
31500 10
10
300 500
N
bh

 

Tính mômen giới hạn theo phương x, 0xM 
Tra biểu đồ hình 9, với 10
N
bh
 , 0,0203t  và 0,06
a
h
 ta được 0
2
4x
M
bh
 
QUY CHUẨN – TIÊU CHUẨN 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 67 
2
0 4 300 500 300xM kNm     
Tính mômen giới hạn theo phương y, 0yM 
Tra biểu đồ hình 10, với 10
N
bh
 , 0,0203t  và 0,1
a
h
 ta được 0
2
3,6y
M
hb
 
2
0 3,6 500 300 162yM kNm     
Kiểm tra theo phương trình đường viền tải trọng, phương trình (2). 
Từ hình 5, có 
200 100
0,67; 0,62
300 162
yx
xo yo
MM
M M
    , vậy 1,6  
1,6 1,6
200 100
0,98 1,0
300 162
yx
xo yo
MM
M M
                         
. Cột an toàn. 
4. Kết luận 
Bài báo đã trình bày cách áp dụng phương 
pháp tải trọng nghịch đảo và phương pháp đường 
viền tải trọng cho việc tính toán lực nén giới hạn 
cũng như kiểm tra khả năng chịu lực của cột chịu 
nén lệch tâm xiên theo TCVN 5574:2012. Việc áp 
dụng này khá đơn giản. 
Trong bài toán thiết kế cột chịu nén lệch tâm 
xiên, thường tiết diện và cốt thép được chọn và thử 
dần đến khi nó thoả mãn khả năng chịu lực. 
Cách xây dựng họ biểu đồ tương tác phù hợp 
với TCVN 5574:2012 cũng đã được trình bày. Các 
họ biểu đồ được xây dựng khá đơn giản, không phụ 
thuộc vào kích thước tiết diện ngang, mà phụ thuộc 
vào tỉ số cốt thép t , cường độ tính toán của vật 
liệu, , ,b s scR R R , và khoảng cách từ trọng tâm cốt 
thép đến mép tiết diện,a h . 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] R. Park and T. Paulay (1975). Reinforced concrete 
structures. New York. 
[2] BS 8110-1:2005. Structural use of concrete, Part 1: 
Code of practice for design and construction. 
[3] B. Bresler (1960). Design Criteria for Reinforced 
Columns under Axial Load and Biaxial Bending. 
Journal of the American concrete institute. 
[4] Parme A. L., Nieves J. M., Gouwens A. (sept. 1966). 
Capacity of Reinforced Rectangular Columns 
Subject to Biaxial Bending. ACI Journal, 
Proceedings V.63, No. 9, pp. 911-923. 
[5] V. Mavichak and R.W.Furlong (1976). Strength and 
stiffness of RC columns under biaxial bending. 
Texas State 5 
Department of Highways and Public Transportation; 
Transportation Planning Division. 
[6] T. Hsu (1988). Analysis and Design of Square and 
Rectangular Columns by Equation of Failure 
Surface. ACI Structural Journal. 
[7] ACI 340R-97. ACI Design Handbook, Design of 
Structural Reinforced Concrete Elements in 
Accordance with the Strength Design Method of ACI 
318-97. 
[8] Row D. G., Paulay T.(September 1973). Biaxial 
flexural and axial load interaction in short rectangular 
reinforced concrete columns. Bulletin of the N.Z. 
Society for Earthquake Engineering, Vol. 6, No. 3. 
[9] TCVN 5574:2012 (2012), Tiêu chuẩn thiết kế kết cấu 
bê tông cốt thép, Nhà Xuất bản Xây dựng, Hà Nội. 
Ngày nhận bài:13/6/2016. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối:19/9/2016.