Toán tử Casimir C2 cho nhóm đối xứng SO(10) của bài toán MICZ-Kepler chín chiều

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
57 
TOÁN TỬ CASIMIR C2 CHO NHÓM ĐỐI XỨNG SO(10) 
 CỦA BÀI TOÁN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU 
PHAN NGỌC HƯNG*, THỚI NGỌC TUẤN QUỐC**, LÊ VĂN HOÀNG*** 
TÓM TẮT 
Trên cơ sở nhóm đối xứng SO(10) của bài toán MICZ-Kepler chín chiều, toán tử bất 
biến Casimir ܥଶ được xây dựng dưới dạng hệ thức tường minh liên hệ trực tiếp với 
Hamiltonian của hệ. Hệ thức này cho phép phổ năng lượng của bài toán được xây dựng 
bằng phương pháp thuần đại số. Biểu thức năng lượng phù hợp với kết quả giải trực tiếp 
bằng phương pháp giải tích trước đây. 
Từ khóa: bài toán MICZ-Kepler, đối xứng ẩn, đại số SO(10), toán tử Casimir, không 
gian chín chiều. 
ABSTRACT 
Casimir operator C2 for symmetry group SO(10) 
of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem 
Basing on the symmetry group SO(10) of the nine-dimensional MICZ-Kepler 
problem the Casimir operator is established in the explicit form relating directly to the 
Hamiltonian of the system. The explicit form allows energy levels of the problem to be 
constructed by the purely algebraic method. The expression of the energy levels is suitable 
with the results obtained by analytical calculations published before. 
Keywords: MICZ-Kepler problem, hidden symmetry, SO(10) algebra, Casimir 
operators, nine-dimensional space. 
1. Bài toán MICZ-Kepler chín chiều 
Bài toán MICZ-Kepler là một sự mở rộng của bài toán Coulomb với sự bổ sung 
một thế đơn cực thích hợp. Bài toán lần đầu tiên được xây dựng và khảo sát từ những 
năm 1970 trong không gian ba chiều [2, 7]. Bài toán cũng đã được mở rộng lên ở các 
không gian có số chiều cao hơn như năm chiều [1] và chín chiều [3, 5, 6]. Đặc biệt, 
công trình [6] cho thấy việc mở rộng lên số chiều cao hơn không phải tùy ý, và bài toán 
MICZ-Kepler chín chiều chính là trường hợp cuối cùng có liên hệ trực tiếp với bài toán 
dao động tử điều hòa 16 chiều qua một phép biến đổi song tuyến tính. 
Trong bài toán MICZ-Kepler chín chiều, thế đơn cực được các tác giả đưa ra một 
cách tường minh là một đơn cực ܱܵ(8). Cụ thể hơn, phương trình Schrodinger dừng 
của bài toán trong hệ đơn vị nguyên tử ݉ = ܿ = ݁ = ħ = 1 có dạng: 
* ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: hungpn@hcmup.edu.vn 
** ThS, Trường THPT Năng khiếu, ĐHQG TPHCM 
*** PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(81) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
58 
2
2
2
ˆ1ˆ ˆ ,
2 8
Q ZH E
r r

  
       
  
 (1) 
trong đó, 
2
ˆ ˆ    , ( 1, ,9   ) với các thành phần xung lượng ˆ có dạng tường 
minh: 
9
9
ˆˆ ( ) , , 1, ,8,
ˆ .
j k kj
j
i A r Q j k
x
i
x



    


 

Các số hạng ˆ( )k kjA r Q đặc trưng cho tương tác của hạt có isospin với đơn cực 
(8)SO với thế vec-tơ có dạng tường minh: 
9
( ) .
( )
k
k
xA r
r r x


Toán tử 2ˆ ˆ ˆkj kjQ Q Q ( , 1, ,8j k   ) với ˆkjQ là các vi tử của nhóm (8)SO , nghĩa 
là thỏa mãn hệ thức giao hoán: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,jk mn jm kn kn jm jn km km jnQ Q i Q i Q i Q i Q          
trong đó, jk là kí hiệu delta Kronecker. Trong các công thức trên và từ đây về sau, sự 
lặp lại của các chỉ số có nghĩa là lấy tổng, các kí tự Latin ( )j được sử dụng cho chỉ số 
biến thiên từ 1 đến 8, và các kí tự Hi Lạp ( ) được sử dụng cho các chỉ số biến thiên 
từ 1 đến 9. 
2. Đối xứng SO(10) của bài toán MICZ-Kepler chín chiều 
Một trong những tính chất được quan tâm nhất của các bài toán MICZ-Kepler là tính 
đối xứng của chúng. Việc mở rộng từ bài toán Coulomb nên bài toán MICZ-Kepler được 
cho là không được làm mất đi tính đối xứng vốn có của bài toán Coulomb khi bổ sung thế 
đơn cực thích hợp. Bài toán Coulomb là một đối tượng phổ biến trong cơ học lượng tử và 
đã được chứng tỏ có đối xứng không gian ( 1)SO n trong không gian n chiều. Đối xứng 
này bao gồm một đối xứng của phép quay trong không gian n chiều và một đối xứng ẩn, 
thường được thể hiện qua một vec-tơ bất biến gọi là vec-tơ Runge-Lenz. 
Trong công trình [3], các tác giả đã xây dựng một cách tường minh biểu thức của 
vec-tơ Runge-Lenz mở rộng cho trường hợp bài toán MICZ-Kepler chín chiều, và đã 
chứng tỏ đối xứng (10)SO của bài toán Coulomb chín chiều không bị phá vỡ khi bổ sung 
thế đơn cực (8)SO . Trong phần này, chúng tôi tóm tắt kết quả mà công trình [3] đã đưa ra. 
Moment xung lượng của hệ được biểu diễn qua các thành phần dưới dạng tensor: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
59 
2ˆ ˆ ˆ , .x x ir                (2) 
Các thành phần hình chiếu của vec-tơ Runge-Lenz có dạng tường minh: 
 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ .2
xM Z
r

          (3) 
Từ các biểu thức tường minh này, các mối liên hệ giữa vec-tơ Runge-Lenz, tensor 
moment xung lượng và Hamiltonian được xây dựng: 
ˆ ˆ, 0,
ˆ ˆ, 0,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 .
H
M H
i i i i
M i M i M
M M iH


         
     
  
   
 
   
   
           
    
     
 (4) 
Nhóm đối xứng của bài toán được biểu diễn thông qua ma trận Dˆ là ma trận 
10 10 với các thành phần: 
ˆ , ,
ˆ , 10,ˆ
ˆ 10, ,
0 ,
MN
M N
M M ND
M M N
M N



 


  

   
  
 
 (5) 
trong đó ( 1/2)ˆ ˆ ˆ( 2 )M H M 
   . Ở đây, ta sử dụng các kí tự Latin in hoa cho các chỉ số 
biến thiên từ 0 đến 10. Các thành phần của ma trận Dˆ thỏa mãn các hệ thức giao hoán: 
ˆ , 0,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, .
MN
MN PQ MP NQ NQ MP MQ NP NP MQ
D H
D D i D i D i D i D   
   
      
 (6) 
Các hệ thức này cho thấy 45 thành phần độc lập của ma trận phản xứng Dˆ là các đại 
lượng bảo toàn và tạo nên nhóm đối xứng (10)SO của bài toán MICZ-Kepler chín chiều. 
3. Toán tử Casimir 2C của bài toán MICZ-Kepler chín chiều 
Với việc nhóm đối xứng của bài toán được xây dựng một cách tường minh trong 
công trình [6], bài toán được chúng tôi nhận định sẽ có lời giải thuần đại số. Một trong 
những phương pháp để thu được lời giải này là xây dựng mối liên hệ trực tiếp giữa 
Hamiltonian của bài toán và hệ các toán tử bất biến Casimir của nhóm đối xứng. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(81) năm 2016 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
60 
Toán tử Casimir bậc p (với 2,3,p  ) của một nhóm được định nghĩa [4]: 
1 2 2 3 1
,
pp i i i i i i
C X X X  
trong đó, ijX là các phần tử của nhóm. Trong trường hợp bài toán MICZ-Kepler chín 
chiều, do được xây dựng từ các thành phần của nhóm đối xứng SO(10) của bài toán, 
nên dễ dàng nhận thấy rằng các toán tử Casimir cũng giao hoán với Hamiltonian, hay 
nói cách khác chúng là các toán tử bất biến. Theo lý thuyết đã được chứng minh [4], 
trong vô số các toán tử Casimir đối với nhóm đối xứng (2 )SO n , chỉ có n toán tử 
Casimir bất biến độc lập, thường được chọn là 2 4 2, , , .nC C C 
Để tìm phổ năng lượng của bài toán, tức trị riêng của toán tử Hamiltonian, ta cần 
biểu diễn Hamiltonian theo các toán tử bất biến Casimir. Với nhận xét rằng toán tử 
Hamiltonian chỉ chứa đạo hàm bậc 2 của tọa độ, ta suy ra toán tử bất biến liên hệ trực 
tiếp với Hamiltonian là toán tử Casimir bậc 2, tức là 2C cũng chứa các thành phần đạo 
hàm bậc 2 của tọa độ. Sử dụng định nghĩa (5) ta dễ dàng có được: 
2 2
2 ( ),MN NMC D D M      
trong đó 2 ˆ ˆ     và 
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ/ ( 2 ) / ( 2 )M M H M M H      . 
Sử dụng định nghĩa của toán tử moment xung lượng (2) và toán tử thành phần 
vec-tơ Runge-Lenz (3), tính trực tiếp và sử dụng biến đổi vi phân ta thu được kết quả: 
2
2
2 16.ˆ2
ZC Q
H
    
Để tính được công thức trên, ta cần dùng chương trình Mathematica hỗ trợ cho 
tính toán. Chú ý rằng 2Q chính là toán tử Casimir bậc 2 cho nhóm đối xứng của đơn 
cực (8)SO , mối liên hệ giữa toán tử Hamiltonian và toán tử Casimir bậc 2 được biểu 
diễn tường minh: 
2
2
2
ˆ .
2( 16)
ZH
C Q
 
 
 (7) 
Từ đó, phổ năng lượng của bài toán MICZ-Kepler chín chiều có thể được biểu 
diễn: 
2
2 2
,
2( 16)
ZE
c c
 
 
 (8) 
trong đó, 2c và 2c là trị riêng của các toán tử Casimir bậc hai của các nhóm (10)SO và 
(8)SO . 
Trong công trình [4], công thức để tính trị riêng của toán tử Casimir cho nhóm 
SO(2n) được đưa ra. Sử dụng các công thức đó, ta thu được: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
61 
2
2 1 1 2 2 3 3 4 4 5
2
2 1 1 2 2 3 3 4
( 8) ( 6) ( 4) ( 2) ,
( 6) ( 4) ( 2) ,
c
c q q q q q q q
                
      
 (9) 
với j và jq là các số nguyên hoặc bán nguyên thỏa mãn 
1 2 3 4 5 0         và 1 2 3 4 0q q q q    . Phân tích phổ (8) với các số (9) ta 
thấy phù hợp với kết quả thu được trong công trình [6]. 
4. Kết luận 
Thông qua nhóm đối xứng (10)SO của bài toán MICZ-Kepler chín chiều, chúng 
tôi đã tính toán tường minh biểu thức của toán tử Casimir bậc 2 và xây dựng mối liên 
hệ trực tiếp với Hamiltonian của bài toán. Mối liên hệ này cho phép phổ năng lượng 
của bài toán được tính bằng phương pháp thuần đại số. Công thức thu được cho phép 
phân tích phổ năng lượng. 
Ghi chú: 
Đây là Đề tài Cơ sở mã số CS.2014.19.66 của Trường Đại học Sư phạm TPHCM. 
Mở rộng công trình này sẽ đăng ở tạp chí ISI. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Mardoyan L.G., Sissakian A.N., and Ter-Antonyan V.M. (1999), “Hidden 
symmertry of the Yang-Coulomb monopole”, Mod. Phys. Lett. A, 14(19), pp. 1303-
1307. 
2. McIntosh H.V. and Cisneros A. (1970), “Degeneracy in the Presence of a Magnetic 
Monopole”, J. Math. Phys., 11, pp.896-916. 
3. Ngoc-Hung Phan, Van-Hoang Le (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and 
ninedimensional MICZ-Kepler problem”, J. Math. Phys., 53, pp.082103-7. 
4. Perelomov A.M. and Popov V.S. (1965), “Casimir operators for the orthogonal and 
symplectic groups”, J. Exp. Theo. Phys. Lett., 2, tr. 20-22. 
5. Van-Hoang Le, Thanh-Son Nguyen (2011), “A non-Abelian SO(8) monopole as 
generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine-dimensional space”, J. Math. 
Phys., 52, pp. 032105-11. 
6. Van-Hoang Le, Thanh-Son Nguyen, Ngoc-Hung Phan (2009), “A Hidden 
NonAbelian Monopole in a 16-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator”, J. Phys. 
A, 42, pp. 175204-8. 
7. Zwanziger D. (1968), “Exactli Soluble Nonrelativistic Model of Particles with Both 
Electric and Magnetic Charges”, Phys. Rev., 176, pp.1480-1488. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 22-01-2016; ngày phản biện đánh giá: 13-3-2016; 
ngày chấp nhận đăng: 17-3-2016)