Ứng dụng phương pháp ước lượng vững theo phương sai hậu nghiệm phát hiện sai số thô trong lưới khống chế trắc địa

network, the obtained result proved 
that the method good efficiency, it not only finds the measuring value that 
contains the raw error, but also determines the value of the raw error 
nearly accurately, moreover, it is able to detect many raw error in the set 
of data. 
Copyright © 2021 Hanoi University of Mining and Geology. All rights reserved. 
Keywords: 
Posterior variance. 
Raw error, 
Robust estimation, 
Structural monitoring. 
_____________________ 
*Corresponding author 
E - mail: phamQuoc Khanh@humg.edu.vn 
DOI: 10.46326/JMES.2021.62(2).06 
58 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất Tập 62, Kỳ 2 (2021) 57 - 64 
Ứng dụng phương pháp ước lượng vững theo phương sai hậu 
nghiệm phát hiện sai số thô trong lưới khống chế trắc địa 
Phạm Quốc Khánh *, Nguyễn Thị Kim Thanh 
Khoa Trắc địa - Bản đồ và Quản lý đất đai, Trường đại học Mỏ - Địa chất Hà Nội, Việt Nam 
THÔNG TIN BÀI BÁO 
TÓM TẮT 
Quá trình: 
Nhận bài 19/01/2021 
Chấp nhận 17/3/2021 
Đăng online 30/4/2021 
 Sai số thô nếu tồn tại trong tập số liệu đo ngoại nghiệp thì sẽ ảnh hưởng lớn 
đến kết quả sau bình sai và lượng chuyển dịch của các điểm quan trắc, từ đó 
dẫn đến nhận định và kết luận không đúng về chuyển dịch của công trình. 
Phương pháp ước lượng theo phương sai hậu nghiệm phát hiện sai số thô 
dựa trên nguyên lý thay thế chọn trọng số ước lượng vững, đây là một 
phương pháp khác ước lượng thống kê số bình phương nhỏ nhất nhằm vào 
trị đo có chứa sai số thô khi trị đo này được đưa vào mô hình ngẫu nhiên của 
bài toán bình sai. Thông qua xử lý số liệu lưới thi công thủy điện Sơn La, kết 
quả tính toán chứng tỏ phương pháp này có hiệu quả tốt, ngoài khả năng 
xác định được trị đo có chứa sai số thô, còn có thể xác định gần chính xác giá 
trị của sai số thô có trong trị đo, hơn nữa xác định được không chỉ một mà 
nhiều sai số thô trong tập trị đo. 
© 2021 Trường Đại học Mỏ - Địa chất. Tất cả các quyền được bảo đảm. 
Từ khóa: 
Lưới thi công, 
Phương sai hậu nghiệm, 
Sai số thô, 
Ước lượng vững. 
1. Mở đầu 
Trị đo có chứa sai số thô là trị đo có số hiệu 
chỉnh lớn hơn 3 lần sai số trung phương của máy 
đo, dãy trị đo một mạng lưới trắc địa gọi là tin cậy 
khi không có quá 10% trị đo có chứa sai số thô (Li 
Deren, Yuan Xiuli, 2012). Để tìm sai số thô trong 
tập trị đo ngoại nghiệp của một mạng lưới trắc địa, 
người làm trắc địa thường sử dụng phương trình 
điều kiện trong lưới để phát hiện sự bất thường 
trong nội bộ phương trình đó. Đối với mạng lưới 
lớn, nhiều trị đo và phương trình điều kiện thì 
phương pháp này không hiệu quả vì mất nhiều 
thời gian và chỉ có thể tìm ra trị đo có chứa sai số 
thô khi các phương trình điều kiện có sự ràng buộc 
chặt chẽ với nhau. Phương pháp ước lượng vững 
(Robust estimation) do G.R.P. Box đề xuất từ 
những năm 1953 của thế kỷ trước và có ứng dụng 
rất rộng trong nhiều lĩnh vực như lý thuyết tối ưu 
(Baselga S., 2007), bình sai lưới GPS, (Yang 
Yuanxi và nnk., 2005). Ước lượng vững chia làm 
ba loại cơ bản là ước lượng tự nhiên lớn nhất (M), 
ước lượng tuyến tính sắp xếp thứ tự (L) và ước 
lượng hạng (R). Trong đó, ước lượng M do Huber 
đề xuất năm 1964 và được Krarup và Kubit vận 
dụng được ứng dụng chủ yếu trong trắc địa vì có 
tác dụng chống nhiễu và loại trừ sai số thô (Wang 
Xinzhou và nnk., 2006). Cho đến nay, cùng với sự 
phát triển của thiết bị đo đạc và công nghệ, 
phương pháp ước lượng này vẫn được ứng dụng 
rộng rãi trên thế giới do tính hiệu quả của nó mang
_____________________ 
*Tác giả liên hệ 
E - mail: phamQuoc Khanh@humg.edu.vn 
DOI: 10.46326/JMES.2021.62(2).06 
 Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Thị Kim Thanh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 62(2), 57 - 64 59 
lại (Li Deren, Yuan Xiuli, 2012; Yetkin, 2018; 
Wang, Zhu, 2016; Yetkin, Berber, 2014; Guo J. và 
nnk., 2010). Tuy nhiên, nước ta có rất ít nghiên 
cứu liên quan đến vấn đề này, gần đây có nghiên 
cứu (Quoc Khanh Pham 2016; Anh Tuan Luu, 
2016) nhưng vận dụng các hàm trọng số đã được 
nghiên cứu từ lâu. 
 Ước lượng vững đưa sai số thô vào ngay 
trong mô hình ngẫu nhiên của quy trình bình sai, 
dùng phương pháp lựa chọn hàm trọng số và cách 
tính lặp để từng bước thay thế trọng số trong quá 
trình bình sai, làm cho sai số thô có giá trị rất nhỏ, 
từ đó loại bỏ sai số thô. Có rất nhiều phương pháp 
ước lượng vững nhưng phương pháp thay thế 
chọn trọng số được ứng dụng phổ biến do có thuật 
toán dễ hiểu, đơn giản trong tính toán và lập trình. 
Hiện có một số hàm trọng số của các nhà khoa học 
trên thế giới đề xuất để tính toán trong phương 
pháp chọn trọng số như hàm Huber, hàm 
Denmark, hàm IGG, (Wang Xinzhou và nnk., 
2006). Trong bài báo này chỉ nghiên cứu và ứng 
dụng phương pháp ước lượng vững bằng phương 
sai hậu nghiệm trong phát hiện sai số thô quan 
trắc chuyển dịch công trình. 
2. Phương pháp thay thế chọn trọng số ước 
lượng vững 
2.1. Phương pháp ước lượng vững M thay thế 
chọn trọng số 
Giả thiết trị đo độc lập là 𝐿𝑛,1, vector tham số 
chưa biết là �̂�𝑡,1, phương trình sai số và ma trận 
trọng số là (Wang Xinzhou và nnk., 2006). 
𝑉 = 𝐴�̂� − 𝐿 = [
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑛
] �̂� − [
𝑙1
𝑙2
⋮
𝑙𝑛
] 
𝑃 =
[
𝑝1
𝑝𝑛
⋱
𝑝𝑛]
(1) 
Trong đó: ai - vector hệ số của phương trình 
số hiệu chỉnh thứ i kích thước 1xt (t là số tham số 
chưa biết). 
Từ phương trình sai số, hàm số 𝜌(𝑙𝑖, �̂�) của 
ước lượng M được biểu thị là: 
𝜌(𝑙𝑖, �̂�) = 𝜌(𝑣𝑖) (2) 
Trong trường hợp các trị đo không cùng độ 
chính xác, ước lượng M có dạng: 
∑𝑝𝑖𝜌(𝑣𝑖)
𝑛
𝑖=1
=∑𝑝𝑖𝜌(𝑎𝑖�̂� − 𝑙𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 𝑚𝑖𝑛 (3) 
Lấy đạo hàm biểu thức trên và ký hiệu 
𝜑(𝑣𝑖) =
𝜕𝜌
𝜕𝑣𝑖
, được: 
∑𝑝𝑖𝜌(𝑣𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑎𝑖 = 0 (4) 
Đặt: 
�̅�𝑖 = 𝑝𝑖𝑤𝑖, 𝑤𝑖 =
𝜑(𝑣𝑖)
𝑣𝑖
 (5) 
Được: 
∑𝑎𝑖
𝑇
𝑛
𝑖=1
�̅�𝑖𝑣𝑖 = 0 
hoặc: 
𝐴𝑇�̅�𝑉 = 0 (6) 
Phương trình chuẩn của ước lượng M là: 
𝐴𝑇�̅�𝐴�̂� − 𝐴𝑇�̅�𝐿 = 0 (7) 
Trong đó: �̅� - ma trận trọng số tương đương; 
�̅�𝑖 - phần tử trọng số tương đương. Do �̅� là hàm 
của V, thông qua việc gán cho nó giá trị ban đầu, 
dùng phương pháp thay thế để ước lượng tham số 
�̂�, ước lượng vững M cuối cùng của tham số là: 
�̂� = (𝐴𝑇�̅�𝐴)−1𝐴𝑇�̅�𝐿 (8) 
2.2. Quy trình tính toán thay thế chọn trọng số 
Quy trình tính toán thực hiện theo các bước: 
a/ Lập phương trình sai số, lấy giá trị ban đầu 
của hệ số trọng số đều bằng 1, tức đặt 𝑤1 = 𝑤2 =
⋯ = 𝑤𝑛,𝑊 = 𝐸, E là ma trận đơn vị, thì �̅�
(0) = 𝑃, 
 là ma trận trọng số của trị đo. 
b/ Giải hệ phương trình chuẩn (7), được trị 
ước lượng lần thứ nhất của tham số �̂� và số hiệu 
chỉnh V, tức 
{
�̂�(1) = (𝐴𝑇�̅�𝐴)−1𝐴𝑇�̅�𝐿
𝑉(1) = 𝐴�̂�(1) − 𝐿
 (9) 
c/ Từ 𝑉(1), xác định hệ số trọng số của các trị 
đo mới theo 
𝜑(𝑣𝑖)
𝑣𝑖
= 𝑤𝑖, tạo nên ma trận trọng số 
P
60 Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Thị Kim Thanh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 62(2), 57 - 64 
tương đương mới �̅�(1) theo �̅�𝑖 = 𝑝𝑖𝑤𝑖 , lại giải hệ 
phương trình (10), được trị ước lượng lần hai của 
tham số �̂� và sai số V là: 
{�̂�
(2) = (𝐴𝑇�̅�(1)𝐴)
−1
𝐴𝑇�̅�(1)𝐿
𝑉(2) = 𝐴�̂�(2) − 𝐿
 (10) 
Trong đó: hệ số trọng số 
𝜑(𝑣𝑖)
𝑣𝑖
= 𝑤𝑖 được xác 
định tùy thuộc vào hàm 𝜑(𝑣𝑖) như hàm Huber, 
Denmark, Trong bài báo này, hệ số trọng số 𝜔𝑖 
được lấy theo phương sai hậu nghiệm do Li Deren 
đề xuất được trình bày ở mục 3 bên dưới. 
d/ Từ 𝑉(2) cấu tạo trọng số tương đương mới 
�̅�(2), lại giải hệ phương trình chuẩn, tính thay thế 
tương tự, cho đến khi giá trị sai lệch nghiệm của 
hai lần giải phù hợp với hạn sai theo yêu cầu thì 
dừng. 
e/ Kết quả cuối cùng thu được: 
{�̂�
(𝑘) = (𝐴𝑇�̅�(𝑘−1)𝐴)
−1
𝐴𝑇�̅�(𝑘−1)𝐿
𝑉(𝑘) = 𝐴�̂�(𝑘) − 𝐿
 (11) 
Khi chọn hàm số 𝜌 khác nhau sẽ tạo ra nhiều 
dạng khác nhau của hàm trọng số, độ lớn của vi và 
wi tỷ lệ nghịch với nhau; vi càng lớn, wi và �̅�𝑖càng 
nhỏ. Qua thay thế nhiều lần, làm cho trọng số của 
trị đo có chứa sai số thô bằng 0 hoặc tiến tới 0, làm 
cho trong bình sai nó không còn tác dụng. Mặt 
khác, sai số của trị đo tương ứng phản ánh giá trị 
sai số thô của trị đo đó nhưng hàm trọng số luôn 
là đại lượng thay đổi theo số hiệu chỉnh trong quá 
trình bình sai. Phương pháp thông qua thay đổi 
trọng số trị đo trong quá trình bình sai để thực 
hiện tính vững của tham số chính là phương pháp 
thay thế trọng số. 
2.3. Đánh giá độ chính xác thay thế chọn trọng số 
trong ước lượng vững 
Phương pháp thay thế chọn trọng số sử dụng 
hàm số cải chính V tạo thành hàm trọng số, dùng 
phương pháp thay thế để ước lượng tham số, cho 
nên khi đánh giá độ chính xác cần xem xét hai vấn 
đề: một là hàm trọng số không phải là hằng số, nó 
cũng là hàm của trị đo, do đó cần xem xét đến việc 
tính toán thay thế; thứ hai là việc dẫn ra được công 
thức đánh giá chính xác có tính chặt chẽ là rất 
phức tạp, không thuận tiện trong thực tế. 
Công thức ước tính tham số của thay thế chọn 
trọng số và nguyên tắc bình sai không giống với 
ước lượng bình phương nhỏ nhất kinh điển, chỉ là 
dùng trọng số tương đương �̅� thay thế trọng số trị 
đo nếu trọng số tương đương lựa chọn cuối cùng 
giả định là hằng số. Nếu không xem xét tính toán 
thay thế thì nó giống với ước lượng bình phương 
nhỏ nhất. Vì thế, cần có một hệ thống các công thức 
gần đúng để đánh giá độ chính xác sau tính toán. 
Công thức gần đúng ước lượng phương sai 
trọng số đơn vị là: 
�̂�0
2 =
𝑉𝑇�̅�𝑉
𝑛 − 𝑡
 (12) 
Công thức gần đúng ma trận hiệp trọng số đảo 
của tham số �̂� là: 
𝑄�̂��̂� = (𝐴
𝑇�̅�𝐴)−1𝐴𝑇�̅�𝑄�̅�𝐴(𝐴𝑇�̅�𝐴)−1 (13) 
Công thức gần đúng ma trận hiệp phương sai 
của tham số �̂�: 
𝐷𝑋�̂� = �̂�0
2𝑄�̂��̂� (14) 
Ma trận hiệp trọng số đảo của tham số �̂� trong 
ước lượng bình phương nhỏ nhất là: 
𝑄�̂��̂� = (𝐴
𝑇�̅�𝐴)−1 (15) 
So sánh (13) với (15) thấy rằng, ma trận hiệp 
trọng số đảo của ước lượng vững thay thế chọn 
trọng số và ước lượng bình phương nhỏ nhất 
không chỉ đơn giản là dùng �̅� thay thế P. 
Đối với bình sai lưới tự do có số khuyết, công 
thức gần đúng tính phương sai trọng số đơn vị là: 
�̂�0
2 =
𝑉𝑇�̅�𝑉
𝑛 − 𝑡
=
𝑉𝑇�̅�𝑉
𝑛 − 𝑅(𝐴)
 (16) 
Gọi 𝑄𝐶 là ma trận nghịch đảo của ma trận hệ 
số của �̂� thì ma trận hiệp trọng số đảo của �̂� là: 
𝑄�̂��̂� = 𝑄𝐶𝐴
𝑇�̅�𝑄𝐴𝑄𝐶 (17) 
3. Phương pháp ước lượng vững theo 
phương sai hậu nghiệm 
Phương pháp này do Li Deren thuộc Đại học 
Vũ Hán (Trung Quốc) đề xuất (Li Deren Yuan Xiuli, 
2012), coi sai số thô là một mẫu con của mẫu 
chuẩn với phương sai rất lớn và kỳ vọng bằng 0, 
thông qua ước lượng phương sai hậu nghiệm của 
phương pháp bình phương nhỏ nhất, tìm được 
phương sai hậu nghiệm của trị đo. Sử dụng kiểm 
nghiệm phương sai để tìm ra trị đo có chênh lệch 
phương sai bất thường, sau đó theo định nghĩa 
trọng số kinh điển tỷ lệ nghịch với phương sai trị 
đo, cung cấp cho nó một trọng số nhỏ tương ứng
 Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Thị Kim Thanh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 62(2), 57 - 64 61 
 để tiến hành bước tính toán tiếp theo, từng bước 
định vị sai số thô. 
Giả thiết có nhiều nhóm trị đo, trong mỗi 
nhóm có cùng độ chính xác quan trắc, hàm trọng 
số của trị đo thứ j, nhóm thứ i là: 
𝑤𝑖𝑗 =
{
 𝑝𝑖 =
�̂�0
2
�̂�𝑖
2 , 𝑇𝑖𝑗 < 𝐹𝛼,1,𝑟𝑖
�̂�0
2𝑟𝑖𝑗
𝑣𝑖𝑗
2 , 𝑇𝑖𝑗 ≥ 𝐹𝛼,1,𝑟𝑖 
 (18) 
Trong đó: 
𝑇𝑖𝑗 =
�̂�𝑖𝑗
2
�̂�𝑖
2 (19) 
là lượng thống kê kiểm nghiệm của phân bố 
F; 𝑟𝑖𝑗 - mức đo thừa của trị đo thứ j nhóm i. 
Các phương pháp thay thế chọn trọng số ở 
trên mặc dù hình thức hàm số trọng số không 
giống nhau, nhưng khi chọn dùng phương pháp 
bình phương nhỏ nhất, đều yêu cầu khi |𝜈| ≤ 𝐶 thì 
hàm trọng số là 1; khi |𝜈| > 𝐶, dùng một hàm 
trọng số biểu đạt ν làm cho nó nhỏ hơn 1, mức độ 
của trọng số phụ thuộc vào hình thức cụ thể của 
hàm trọng số đã cho, khi |𝜈|đạt đến hoặc vượt quá 
giá trị giới hạn làm cho hàm trọng số bằng không, 
nghĩa là trị đo bị loại bỏ trong tính toán. 
4. Tính toán thực nghiệm 
4.1. Giới thiệu lưới thực nghiệm 
Lưới mặt bằng thi công Thủy điện Sơn La, tại 
huyện Mường La được thiết kế dưới dạng tam giác 
đo góc- cạnh. Lưới thi công công trình như trong 
Hình 1 gồm 8 điểm mới lập ký hiệu là TC03, TC04, 
TC05, TC06, TC07, TC08, TC09, TC10 và được đo 
nối với 3 điểm đường chuyền hạng IV là PV04, 
PV08, PV11 thành lập trong giai đoạn khảo sát 
công trình. Lưới thi công được đo theo phương 
pháp tam giác góc cạnh với tổng số trị đo là 46, 
trong đó có 27 trị đo góc, 19 trị đo cạnh bằng máy 
toàn đạc điện tử có sai số trung phương đo góc là 
1,5”, sai số trung phương đo cạnh là 3±2ppm. 
4.2. Phương pháp thực hiện 
Để khảo sát xem phương pháp ước lượng 
vững có thể phát hiện được sai số thô trong lưới 
thi công thủy điện Sơn La như lý thuyết đã nghiên 
cứu hay không, dựa vào số liệu đo thực tế, nhận 
thấy dãy trị đo này không có sai số thô trong trị đo. 
Chia thành hai trường hợp để thực nghiệm, thứ 
nhất là giả thiết trong lưới chỉ có một trị đo có 
chứa sai số thô, thứ hai là trong lưới có 3 trị đo có 
chứa sai số thô. Tổng trị đo trong lưới là 46 nên 
thực nghiệm giả thiết có không quá 4 trị đo có sai 
số thô để đảm bảo độ tin cậy. 
4.2.1. Trường hợp trong lưới chỉ có 1 trị đo có chứa 
sai số thô 
Dãy trị đo ban đầu của lưới thi công thủy điện 
Sơn La không có trị đo có chứa sai số thô, giả thiết 
có sai số thô tại trị đo cạnh thứ 2 (trị đo số 29) có 
sai số thô là 100 mm do nhập nhầm số liệu (số liệu 
đúng là 568,788 m bị nhập nhầm thành 568,888 
m). Đầu tiên bình sai lưới khi không có sai số thô, 
tiếp đó bình sai lưới có sai số thô; cuối cùng bình 
sai lưới kết hợp xác định sai số thô bằng ước lượng 
vững theo phương sai hậu nghiệm. Một phần kết 
quả được ghi trong Bảng 1. 
4.2.2. Trường hợp trong lưới có 3 trị đo có chứa sai 
số thô 
Giả thiết dãy trị đo trong lưới có 3 trị đo, gồm 
cả trị đo góc và trị đo cạnh, là trị đo góc số 2 (thêm 
20”), trị đo góc số 20 (giảm 20”) và trị đo cạnh số 
38 (tăng 60 mm). Cũng tiến hành bình sai theo các 
bước như trường hợp 1. Một phần kết quả được 
ghi trong Bảng 2. Các bước thực hiện được thực 
hiện như sơ đồ Hình 2: 
Hình 1. Sơ đồ lưới thi công thủy điện Sơn La. 
62 Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Thị Kim Thanh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 62(2), 57 - 64 
TT 
Trị đo 
Góc (o ‘ “) 
Cạnh (m) 
SHC SBS trị 
đo không có 
sai số thô 
SHC SBS 
khi có sai 
số thô 
SHC SBS sau 
thay thế 
trọng số 
Trọng số 
ban đầu của 
trị đo 
Trọng số thay thế Ghi chú 
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 
1 31 54 00.2 0,98 -0,01 0,00 1,00 36985,7393 
5 44 30 53.7 0,00 0,00 0,00 1,00 18669214464139,0000 
6 31 53 25.6 0,57 -2,87 -0,54 1,00 0,6447 
18 49 02 53.5 0,04 -0,06 0,02 1,00 838,1645 
19 32 23 55.2 0,07 0,00 0,00 1,00 14531543661769,0000 
20 27 34 30.9 0,00 -0,03 0,03 1,00 1092,5633 
21 15 31 56.5 -0,76 -0,79 -0,79 1,00 1,5951 
29 568,788 2,97 -46,15 -76,25 0,13 0,0000 Thêm 100 mm 
43 579,202 0,00 0,00 0,00 0,13 38531439,2048 
44 1387,020 -2.88 -1,67 -1,60 0,07 0,0404 
46 900,497 2.65 3,15 3,09 0,10 0,0310 
TT 
Trị đo 
Góc (o ‘ “) 
Cạnh (m) 
SHC SBS 
trị đo 
không có 
sai số thô 
SHC SBS 
khi có sai 
số thô 
SHC SBS sau 
thay thế trọng 
số 
Trọng số 
ban đầu của 
trị đo 
Trọng số thay thế Ghi chú 
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 
1 31 54 00.2 0,98 1,43 0,91 1,00 0,76206 
2 89 36 10.7 0,29 -11,40 -14,72 1,00 0,00596 Thêm 20" 
3 78 20 11.6 0,78 2,69 2,12 1,00 0,17575 
14 43 09 25.5 -0,72 1,08 0,15 1,00 6,05589 
15 67 05 27.8 -0,96 -1,02 -0,41 1,00 2,41750 
16 34 27 46.8 0,86 5,46 2,24 1,00 0,08183 
17 21 38 46.5 0,16 -0,85 0,01 1,00 154,50516 
18 49 02 53.5 0,04 0,17 -0,02 1,00 259,04049 
19 32 23 55.2 0,07 0,00 0,00 1,00 50127574335569,0000 
20 27 34 30.9 0,00 13,67 16,27 1,00 0,00450 Giảm 20" 
21 15 31 56.5 -0,76 -0,22 -0,25 1,00 18,20831 
22 21 25 34.8 -0,35 -1,86 -1,21 1,00 0,44460 
23 32 07 52.8 0,35 0,98 0,36 1,00 2,85138 
24 93 46 23.7 0,36 0,69 0,06 1,00 23,15116 
36 430,687 0,00 0,00 0,00 0,15 62256247040950,0000 
37 1180,421 -0,89 -1,02 -2,40 0,08 0,03191 
38 830,339 -6,63 -27,36 -47,26 0,10 0,00008 Thêm 60 mm 
39 660,814 0,00 0,00 0,00 0,12 38759314,08575 
45 598,068 3,69 10,81 11,31 0,13 0,01182 
46 900,497 2,65 -6,13 -2,25 0,10 0,01592 
Bảng 1. Trị đo, số hiệu chỉnh và trọng số tương ứng thực nghiệm 1. 
Bảng 2. Trị đo, số hiệu chỉnh và trọng số tương ứng thực nghiệm 2. 
 Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Thị Kim Thanh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 62(2), 57 - 64 63 
Phân tích số liệu ở các Bảng 1, 2 nhận thấy: 
- Số hiệu chỉnh của các trị đo không có sai số 
thô ít nhiều đều bị ảnh hưởng bởi trị đo có sai số 
thô. 
- Các trị đo có chứa sai số thô có trọng số tiến 
về “0”, đây cũng chính là nguyên lý cơ bản của ước 
lượng vững. 
- Số hiệu chỉnh sau bình sai kết hợp phát hiện 
sai số thô bằng ước lượng vững tương đối gần với 
sai số đưa vào khảo sát. Trị đo càng được đo chính 
xác thì khi có sai số thô càng xác định được lượng 
sai chính xác hơn. Ngoài ra, giá trị của sai số thô 
còn bị ảnh hưởng bởi mô hình bình sai. 
- Trong thực nghiệm này, điều kiện hội tụ là 
khi trọng số của trị đo nhỏ hơn 0,01. Tuy nhiên, 
nếu dữ số liệu ban đầu không chính xác (không 
tuân theo phân bố chuẩn Gauss) thì phương pháp 
tìm sai số thô này sẽ bị phân tán, tức không hội tụ. 
5. Kết luận 
- Phương pháp xác định sai số thô bằng ước 
lượng vững theo phương sai hậu nghiệm có lý 
thuyết rõ ràng nên dễ thực hiện. Đặc biệt có hiệu 
quả đối với mạng lưới lớn có nhiều trị đo thừa. 
- Phương pháp này xác định được vị trí và gần 
đúng giá trị của sai số thô mà không mất nhiều 
thời gian, chỉ qua một lần bình sai là có kết quả nên 
rất thuận lợi khi lập chương trình tính toán. 
- Giá trị sai số thô không được xác định chính 
xác là do sai số của phép đo, sự tương quan của các 
trị đo sai số mô hình bình sai gây ra. 
- Hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp này 
trong thực tế, phục vụ sản xuất. 
Đóng góp của các tác giả 
Phạm Quốc Kha nh - le n y tưởng, viét bản thảo 
bài ba o; Nguyễn Thị Kim Thanh - thu thập dữ liệu, 
đa nh gia và chỉnh sửa. 
Tài liệu tham khảo 
Baselga, S., (2007). Global optimization solution of 
robust estimation. Journal of Surveying 
Engineering-ASCE, 133(3). 
Guo, J., Ou, J., Wang, H., (2010). Robust estimation 
for correlated observations: Two local 
sensitivity-based downweighting strategies. J. 
Geod. 84, 243-250. 
Li Deren, Yuan Xiuli, (2012). Error Processing and 
Reliability Theory. Wuhan university Press, 
tiếng Trung Quốc. 
Luu Anh Tuan, Le Ngoc Giang, (2016). Application 
of robust estimation in geodetic network. 
International symposium on geo-spatial and 
mobile mapping technologies and summer 
school for mobile mapping technology, 213-
218. 
Quoc Khanh Pham, (2016). Research into method 
used for detecting geodetic non-random 
errors based on adjustment canculus. 
International symposium on geo-spatial and 
mobile mapping technologies and summer 
school for mobile mapping technology, 55-59. 
Wang Xinzhou, Tao Benzao,Qiu Weining, Yao 
Yibin, (2006). Advanced surveying 
adjustment. Surveying and Mapping Publishing 
House, tiếng Trung Quốc. 
Hình 2. Quy trình thay thế chọn trọng số theo 
phương sai hậu nghiệm. 
64 Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Thị Kim Thanh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 62(2), 57 - 64 
Wang, Y, Zhu, X. X., (2016). Robust Estimators for 
Multipass SAR Interferometry. IEEE Trans. 
Geosci. Remote. Sens. 54, 968-980. 
Yang Yuanxi, Xu Tianhe, Song Lijie, (2005). Robust 
estimation of variance components with 
application in global positioning system 
network adjustment. Journal of Surveying 
Engineering, 131(4). 
Yetkin, M., (2018). Application of robust 
estimation in geodesy using the harmony 
search algorithm. J. Spat. Sci., 63, 63-73. 
Yetkin, M., Berber, M., (2014). Implementation of 
robust estimation in GPS networks using the 
Artificial Bee Colony algorithm. Earth Sci. 
Inform. 7, 39-46.