Ứng dụng thuật toán tiến hóa vi phân đột biến hỗn hợp (HCDE) xác định tần số dao động riêng của kết cấu khung phẳng có tham số đầu vào dạng số khoảng

ian gần 
đây. Vấn đề khó khăn khi mô tả các tham số đầu 
vào dưới dạng các biến số khoảng là sẽ làm tăng 
tính phức tạp của bài toán dao động. Trong bài báo 
này, tác giả giới thiệu một phương pháp vận dụng 
thuật toán tiến hóa vi phân đột biến hỗn hợp (Hybrid 
Crossover Differential Evolution – HCDE) để xác 
định tần số dao động riêng. Một ví dụ số minh họa 
với kết cấu khung thép 1 nhịp 4 tầng chứa các tham 
số đầu vào tổng quát dạng số khoảng như tiết diện, 
mô men quán tính, mô đun đàn hồi của vật liệu, 
nhịp và chiều cao của kết cấu để làm rõ vấn đề. 
Từ khóa: Dao động, đột biến hỗn hợp, tiến hóa 
vi phân, tần số riêng. 
1. Đặt vấn đề 
Khi phân tích dao động của kết cấu công trình 
thì việc xác định tần số dao động riêng là một bước 
rất quan trọng. Với sự phát triển nhanh của khoa 
học máy tính, các phương pháp gần đúng mà đặc 
biệt là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) giúp 
cho quá trình giải quyết bài toán dao động nhanh 
hơn, quy mô lớn hơn so với các phương pháp giải 
tích thuần túy với mức độ sai số cho phép chấp 
nhận được. 
Trong thời gian gần đây, vấn đề phân tích dao 
động kết cấu có các tham số đầu vào không chắc 
chắn đã được đề cập trong nước [1,2,3 ], tuy nhiên 
việc xét tổng quát đồng thời nhiều yếu tố đầu vào 
không chắc chắn thì vẫn còn hạn chế. Việc phản 
ánh các yếu tố đầu vào không chắc chắn rất có ý 
nghĩa thực tiễn, bởi lẽ sai số trong quá trình thi công 
chế tạo, đo đạc là không thể tránh khỏi, dù ít hay 
nhiều, và dĩ nhiên kết quả đầu ra cũng không phải là 
giá trị tường minh. Một vấn đề khó khăn là khi biểu 
diễn các đại lượng đầu vào không chắc chắn mà cụ 
thể là dưới dạng số khoảng thì khối lượng thực hiện 
bài toán tăng lên nhiều lần, do vậy vấn đề đặt ra là 
tìm các giải pháp để kết quả bài toán có thể hội tụ 
và hội tụ càng nhanh càng tốt là rất quan trọng. 
Thuật toán tối ưu tiến hóa vi phân (Differential 
Evolution – DE) là một giải pháp hiệu quả, có khả 
năng hội tụ đến kết quả tối ưu toàn cục tốt hơn và 
mạnh hơn các thuật toán di truyền (GA), thuật toán 
bầy đàn (PSO), thích hợp cho nhiều bài toán tối 
ưu khác nhau [7,9,10]. 
Trong bài báo này, tác giả sẽ tiến hành tính toán 
tần số dao động riêng của kết cấu khung phẳng có 
các tham số đầu vào dạng số khoảng như kích 
thước tiết diện A

, mô men quán tính tiết diện I

, 
modul đàn hồi vật liệu E

, kích thước kết cấu L

, H

, 
bằng phương pháp phần phần tử hữu hạn, đồng 
thời lồng ghép thuật toán tối ưu tiến hóa vi phân 
mới do Hoàng đề xuất trong [7], tối ưu tiến hóa vi 
phân đột biến hỗn hợp– Hybrid Crossover 
Differential Evolution (HCDE), thuật toán này cải 
tiến hơn so với các tối ưu tiến hóa vi phân truyền 
thống trước đó [6 ,8 ,9,10] bởi cho kết quả hội tụ 
nhanh và tránh cho quá trình tìm kiếm rơi vào một 
giải pháp cục bộ, chi tiết sẽ được trình bày trong 
mục 3. Bài báo ứng dụng HCDEđể tối ưu các hàm 
mục tiêu đầu ra, từ đó xác định được thông số đầu 
ra là tần số riêng của kết cấu dưới dạng số khoảng. 
Việc hội tụ nhanh kết quả và tránh cho quá trình tìm 
kiếm rơi vào giải pháp tối ưu cục bộ đã mở ra một 
triển vọng để giải quyết các bài toán dao động có số 
lượng biến tham số đầu vào lớn.Một ví dụ số minh 
họa với kết cấu khung thép phẳng 1 nhịp 4 tầng có 
các tham số đầu vào dạng khoảng sẽ được trình 
bày cụ thể trong mục 4. 
2. Phương trình vi phân dao động riêng theo 
phương pháp PTHH có chứa tham số khoảng 
Khi công trình dao động tự do, không có cản thì 
phương trình vi phân dao động theo thời gian có 
dạng: 
     . . 0M t K u tu       
   (1) 
trong đó: 
- ,M K      
 
lần lượt là ma trận khối lượng, ma 
trận độ cứng tổng thể của hệ kết cấu, có dạng ma 
trận vuông kích thước (n×n) tùy thuộc vào số bậc tự 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 11 
do của tất cả các nút. Đối với kết cấu khung phẳng, 
ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử 
thanh có liên kết cứng hai đầu trong hệ tọa độ địa 
phương như sau [2,4,5]: 
3 2 3 2
2 2
e'
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
0 012E I / L 6E I / L -12E I / L 6E I / L
0 04E I / L 2E I / L6E I / L -6E I / L
0 0 0 0
0 0-
EA / L -EA / L
-EA / L
12E I / L -6E I / L 12E I / L -6E I / L
0 02E I / L 4E6E I / L -6E I
E /
/
A
L
LK
   
           
          
           
       
     
 

   

I / L
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 (2) 
2 2
e'
2 2
2a 0 0 a 0 0
0 156b 0 54b22Lb -13Lb
0 022Lb 13Lb4L b -3L bM =
a 0 0 2a 0 0
0 54b 0 156b13Lb -22Lb
0 0-13Lb -22Lb-3L b 4L b
 
 
 
 
    
 
 
 
  
 
  
 
  
 (3) 
Với: 
m.L m.L
a= ; b=
6 420
 
- E, A, I, L, m
  
lần lượt là các đại lượng Modun đàn hồi, tiết diện ngang, momen quán tính của tiết diện, 
chiều dài phần tử và khối lượng phân bố theo chiều dài dưới dạng số khoảng. 
Các ma trận M  

và K  

trong hệ tọa độ tổng thể của kết cấu được ghép nối từ các ma trận của các 
phần tử thông qua tọa độ của các nút. Muốn vậy phải quy đổi các ma trận khối lượng phần tử e'M  

, ma 
trận độ cứng phần tử e'K  

trong hệ tọa độ địa phương về hệ tọa độ tổng thể tương ứng là Me  

và Ke  

theo công thức: 
       T Te e e e e e e e= T . . T ; = T . . TM M K K               
   
 (4) 
trong đó:  eT là ma trận chuyển đổi tọa độ của từng phần tử, và có cấu trúc như sau: 
 
1 2
2 1
e
1 2
2 1
n n 0 0 0 0
-n n 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
T =
0 0 0 n n 0
0 0 0 -n n 0
0 0 0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 (5) 
Với: 
    2 22 1 2 11 2 2 1 2 1L L
x -x y -y
n = ; n = ; L= x -x + y -y 
 1 2x ,x : Hoành độ của nút đầu và nút cuối của phần tử. 
 1 2y ,y : Tung độ của nút đầu và nút cuối của phần tử. 
 L : Chiều dài phần tử. 
u(t), u(t)
  : Chuyển vị và gia tốc chuyển vị (ngang, đứng, xoay) tại các nút. 
 Khi hệ dao động riêng, các nút chuyển động 
theo quy luật hàm điều hòa với các tần số dao động 
riêng iω khác nhau. Trong đó các tần số dao động 
riêng iω được xác định từ phương trình tần số [2]: 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
12 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
 * 2 *det K -ω . M =0      
 
 (6) 
Với * *K , M      
 
là ma trận độ cứng và ma trận 
khối lượng tổng thể của hệ kết cấu sau khi khử suy 
biến. 
Do * *K , M      
 
là các ma trận chứa các chỉ số 
là số khoảng, nên nghiệm của phương trình (6) là 
các tần số dao động riêng cũng ở dưới dạng số 
khoảng,  i i iω = min , max . 
3. Phương pháp tối ưu bằng thuật toán tiến 
hóa vi phân đột biến hỗn hợp 
3.1 Thuật toán tiến hóa vi phân (Differential 
Evolution- DE) 
Thuật toán tiến hóa vi phân (THVP), được phát 
triển bởi Storn và Price [9], là một thuật toán tiến 
hóa để giải các bài toán tối ưu hóa. Ý tưởng khái 
quát của thuật toán là từ một quần thể của các cá 
thể được khởi tạo một cách ngẫu nhiên, các cá thể 
mới sẽ được sản sinh và đấu tranh chọn lọc với các 
cá thể cũ.Trong quá trình chọn lọc này, các cá thể 
tốt sẽ được lưu truyền đến các thế hệ sau; ngược 
lại, các cá thể kém hơn sẽ bị diệt vong.Ở đây, các 
cá thể sẽ được đánh giá thông qua một hàm mục 
tiêu f(x) được định nghĩa bởi một vấn đề tối ưu hóa 
cụ thể.Quá trình này tương tự như quá trình chọn 
lọc tự nhiên được mô tả trong học thuyết tiến hóa 
của Darwin. 
THVP và thuật toán di truyền có nhiều đặc điểm 
tương đồng với nhau vì chúng cùng sử dụng các 
bước như lai ghép và đột biến để tạo ra các cá thể 
con. Yang [11] cho rằng THVP là một phiên bản 
phát triển của thuật toán di truyền với các bước lai 
ghép và đột biến có mô tả rõ ràng bằng các công 
thức toán. Bằng thực nghiệm, THVP được cho là có 
khả năng tìm kiếm giải pháp tối ưu rất tốt thông qua 
việc khai phá và khai thác không gian tìm 
kiếm.Thuật toán THVP được mô tả trong hình 1. 
1: Xác định các thông số của thuật toán: Số biến thiết kế (D), 
số lượng cá thể (P), số vòng lặp tối đa (G) 
2: Khởi tạo các cá thể của quần thể đầu tiên theo (7) 
3: Forg = 1 :G 
4: Đánh giá quần thể và nhận diện cá thể tốt nhất xbest 
5: For i = 1 :P 
6: Xác định cá thể mẹ xi 
7: Tạo 3 số nguyên dương ngẫu nhiên r1, r2, r3 
8: Xác định hệ số đột biến F = N(0.5, 0.22) 
và xác suất lai ghép Cr = 0.8 
9: Tạo véc-tơ đột biến ditheo (8) hoặc (9) 
10: Tạo tạo véc-tơ con citheo (10) 
11: IFf(ci) < f(xi) THENxi = ci 
12: IFf(ci) < f(xbest) THENxbest = ci 
13: EndFor 
14: EndFor 
15: Return xbest 
Hình 1.Thuật toán tiến hóa vi phân 
(1) Xác định các thông số của thuật toán: 
Các thông số của thuật toán bao gồm số biến 
thiết kế (D), số lượng cá thể (P), và số thế hệ tối đa 
(G). Thông thường, số lượng cá thể P = 4.D÷8.D, 
số thế hệ tối đa G thường được đặt sao cho đủ để 
thuật toán hội tụ. Thuật toán kết thúc khi điều kiện 
về số thế hệ tối đa được thỏa mãn. 
(2) Khởi tạo quần thể đầu tiên: 
Một cá thể được đại diện bằng một véc-tơ mà 
số thành phần của véc-tơ chính bằng số biến thiết 
kế D. Do đó, một quần thể sẽ được đại diện bằng 
một ma trận PxD. Các cá thể của quần thể đầu tiên 
được khởi tạo một cách ngẫu nhiên như sau: 
xij = LBj + rand(0,1).(UBj - LBj) (7) 
trong đó, LBj và UBj là các giá trị nhỏ nhất và lớn 
nhất của biến thiết kế j, j = 1,2,,D. rand(0,1) là một 
số thực được khởi tạo ngẫu nhiên trong khoảng [0, 
1]. 
(3) Quá trình đột biến: 
Mỗi véc-tơ x ở thế hệ hiện tại g được gọi là một 
‘véc-tơ mẹ’. Đối với mỗi ‘véc-tơ mẹ’, một ‘véc-tơ đột 
biến’ di,g có thể được tạo ra theo nhiều cách [7], hai 
cách tạo ‘véc-tơ đột biến’ hay được lựa chọn là kiểu 
đột biến DE/rand/1 và kiểu đột biến DE/best/1 theo 
[5,6]: 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 13 
 DE/rand/1: di,g = xr1,g + F.(xr2,g- xr3,g) (8) 
 DE/best/1: di,g = xbest,g + F.(xr1,g- xr2,g) (9) 
trong đó: r1, r2, và r3 là 3 số nguyên được tạo 
ngẫu nhiên nằm trong khoảng [1; N]; 3 số nguyên 
này được tạo sao cho chúng không trùng với thứ tự 
i của ‘véc-tơ mẹ’. F là biên độ đột biến được sinh ra 
theo phân phối chuẩn N(0.5, 0.22) [12]. xbest là cá 
thể tốt nhất trong quần thể. g là ký hiệu của thế hệ 
hiện tại. 
Quá trình đột biến theo(8) có xu hướng khai phá 
không gian tìm kiếm, giúp cho thuật toán khó bị rơi 
vào vùng tối ưu cục bộ, nhưng quá trình hội tụ sẽ 
chậm [6, 8]. Quá trình đột biến theo (9) có xu hướng 
khai thác giá trị xbest đã tìm được, phương thức này 
có ưu điểm là giúp cho thuật toán hội tụ nhanh, 
nhưng lại dễ rơi vào vùng tối ưu cục bộ khi bài toán 
tìm kiếm là phức tạp [12]. 
(4) Quá trình lai ghép: 
Mục đích của quá trình lai ghép là làm đa dạng 
hóa quần thể hiện tại bằng cách trao đổi các thành 
phần của ‘véc-tơ mẹ’ và ‘véc-tơ đột biến’. Quá trình 
lai ghép sản sinh ra ‘véc-tơ con’ ci,g mà thành phần 
thứ j của nó, ký hiệu là cj,i,g, được tạo ra theo cách 
sau [9]: 
, ,
, ,
, ,
, ( )
, ( )
j i g j
j i g
j i g j
d if rand Cr or j rnb i
c
x if rand Cr or j rnb i
  
 
 
 (10) 
trong đó, randj là một số thực được tạo ngẫu 
nhiên thuộc [0;1]. Cr là xác suất lai ghép thường 
được chọn = 0.8. rnb(i)là một số nguyên dương 
được chọn ngẫu nhiên trong đoạn [1, P]. 
(5) Quá trình chọn lọc: 
Các cá thể ‘véc-tơ con’ ci,gvà ‘véc-tơ mẹ’ xi,g 
được so sánh với nhau. Cá thể nào có giá trị hàm 
mục tiêu tương ứng kém hơn sẽ bị loại bỏ: 
, , ,
, 1
, , ,
( ) ( )
( ) ( )
i g i g i g
i g
i g i g i g
c if f c f x
x
x if f c f x







 (11) 
3.2 Thuật toán THVP đột biến hỗn hợp - HCDE 
Để nâng cao khả năng tối ưu hóa của thuật toán 
THVP ở mục 3.1, nghiên cứu của Hoàng [7] đã đề 
xuất một phương pháp tối ưu THVP mới – “Tối ưu 
tiến hóa vi phân đột biến hỗn hợp - HCDE”.HCDE 
có các bước cơ bản (khởi tạo quần thể, lai ghép, 
chọn lọc) giống các phương pháp THVP thông 
thường, tuy nhiên, trong bước đột biến các cá thể, 
Hoàng [7] đề xuất một phương trình đột biến 
mới,phương trình mới này là sự kết hợp của hai 
phương trình (8) và (9). Phương pháp mới giúp đẩy 
nhanh quá trình hội tụ của thuật toán, đồng thời 
tránh cho quá trình tìm kiếm bị rơi vào một giải pháp 
tối ưu cục bộ. Phương trình đột biến hỗn hợp được 
mô tả như sau: 
di,g = .xbest,g + (1- ).xr1,g + F.(xr2,g- xr2,g) (12) 
trong đó, )
100
exp(1
g
 là hệ số quyết định 
sự ảnh hưởng của véc-tơ xbestvào quá trình đột 
biến.Dễ thấy khi g thay đổi từ 1 Gmax (số thế hệ tối 
đa hay số vòng lặp tối đa của thuật toán) thì  thay 
đổi từ 0  1.Khi quá trình tiến hóa gần kết thúc, sự 
tham gia của véc-tơ xbest càng nhiều, điều này giúp 
đẩy nhanh quá trình hội tụ của thuật toán. 
Nghiệm của phương trình tần số (6) là các hàm 
tần số riêng iω (X )i if

theo các biến là thông số 
đầu vào, i i iX = [a , b ]

. Để xác định khoảng giá trị 
đầu ra của tần số riêng, tiến hành tối ưu hàm mục 
tiêu ( )f X

bằng thuật toán HCDE, 
i i i if (X ) [min , max ]

, với điều kiện ràng buộc 
i i ia X b 

 và do đó tìm được tần số riêng dạng 
khoảng,  i i iω = min , max . Quá trình tính toán 
được tác giả lập trình trên phần mềm Matlab. 
4. Ví dụ minh họa 
Xác định tần số dao động riêng của khung thép 
1 nhịp 4 tầng như hình 2 với các thông số đầu vào 
dạng số khoảng: 
- Thông số cột : 
Tiết diệnA1=[ 3.93; 4.09]×10
-2 (m2); 
Momen quán tínhI1=[1.087; 1.133]×10
-3 (m4) 
- Thông số dầm: 
Tiết diện A2 = [1.793; 1.867] ×10
-2(m2) 
Momen quán tính I2= [8.567; 8.916] ×10
-4(m4) 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
14 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
A1 , I1 , E
A1 , I1 , E
A1 , I1 , E
A1 , I1 , E
A2 , I2 , E
A2 , I2 , E
A2 , I2 , E
A2 , I2 , E
H
H
H
H
L
- Modul đàn hồi vật liệu: 
E = [205.8; 214.2]×106 (kN/m2) 
- Kích thước kết cấu: 
H = [ 2.94; 3.06 ] (m); 
L = [7.84; 8.16 ] (m). 
- Khối lượng phân bố theo chiều dài cột và dầm: m1 = [3.085; 
3.211] (kN/m); 
m2 = [1.408; 1.466] (kN/m). 
 Hình 2. Khung thép 1 nhịp 4 tầng 
Bước 1: Xây dựng lưới và tọa độ các phần tử 
Bảng 1. Phân chia các phần tử 
Phần tử 
Hoành độ 
(xi,xj) 
Tung độ 
(yi,yj) 
1 0, 0 0, H 
2 L, L 0, H 
3 0, 0 H, 2H 
4 L, L H, 2H 
5 0, 0 2H, 3H 
6 L, L 2H, 3H 
7 0, 0 3H, 4H 
8 L, L 3H, 4H 
9 0, L H, H 
10 0, L 2H, 2H 
11 0, L 3H, 3H 
12 0, L 4H, 4H Hình 3. Đánh số các phần tử 
Bước 2: Xây dựng ma trận độ cứng, ma trận khối 
lượng của mỗi phần tử trong tọa độ địa phương 
theo (2) và (3). 
Bước 3: Chuyển ma trận độ cứng, ma trận khối 
lượng của phần tử về tọa độ tổng quát. Tiến hành 
ghép nối thành ma trận độ cứng và ma trận khối 
lượng tổng thể K , M      
 
, các ma trận này có kích 
thước 30x30. 
Bước 4: Khử suy biến tại những nút có chuyển vị 
bằng 0, đưa ma trận K , M      
 
về thành ma trận 
K , M      
 
có kích thước 24x24. 
Bước 5: Giải phương trình tần số (6) để tìm các 
hàm tần số riêng iω (X )i if

. 
Bước 6: Tối ưu hóa tất cả các hàm tần số riêng 
bằng tối ưu tiến hóa vi phân hỗn hợp HCDE với số 
lượng cá thể (Population)P = 50, số thế hệ lai ghép 
tối đa G = 300, sau đó sắp xếp theo khoảng giá trị 
tăng dần của khoảng giá trị i , kết quả tính toán 
cho 3 tần số riêng đầu tiên được trình trong bảng 2. 
Quá trình tính toán được tác giả lập trình trên phần 
mềm Matlab. 
Bảng 2.Tần số riêng của kết cấu khung phẳng 
Tần 
số Giá trị (s
-1) 
E×106 
(kN/m2) 
 A1×10-2 
(m2) 
I1×10-3 
(m4) 
A2×10-2 
(m2) 
I1×10-3 
(m4) 
L (m) H (m) 
m1 
(kN/m) 
m2 
(kN/m) 
1 min 12.9283 205.80 3.93006 1.087 1.8369 8.567 3.059 8.159 3.211 1.466 
H
H
H
H
L
1
3
5
7
2
4
6
8
9
10
11
12
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 15 
max 14.8693 214.199 4.08997 1.133 1.8344 8.916 2.940 7.840 3.085 1.408 
2 
min 45.4086 205.80 3.9300 1.087 1.8278 8.567 3.059 8.159 3.211 1.466 
max 52.2381 214.199 3.9611 1.133 1.8072 8.916 2.940 7.840 3.085 1.408 
3 
min 93.2283 205.80 3.9515 1.087 1.8349 8.567 3.060 8.159 3.211 1.466 
max 107.3041 214.199 4.0899 1.133 1.8244 8.916 2.940 7.840 3.085 1.408 
Hình 4.Tối ưu hoá với HCDE để tìm giá trị min đối với tần số cơn bản 1 
Hình 5.Tối ưu hoá với HCDE để tìm giá trị max đối với tần số cơn bản 1 
Nhận xét: 
- Với tham số đầu vào dạng số khoảng, kết quả 
đầu ra là tần số riêng min maxi i i  cũng dưới 
dạng số khoảng, phù hợp với thực tế đặt ra. 
- Trường hợp cụ thể của bài toán khung thép 
phẳng 4 tầng, 9 tham số đầu vào dạng số khoảng, 
tối ưu bằng HCDE cho tốc độ hội tụ tốt với khoảng 
100 thế hệ lai ghép (vòng) sớm hơn so với giả thiết 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
16 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 
ban đầu G=300 vòng, hình 4 và 5, điều này có ý 
nghĩa lớn, có thể vận dụng HCDE cho những bài 
toán dao động phức tạp với số lượng tham số đầu 
vào lớn hơn. 
5. Kết luận 
Đánh giá dao động kết cấu với tham số đầu vào 
không chắn chắn dạng số khoảng đang là vấn đề 
được quan tâm nghiên cứu.Tuy nhiên, khi các tham 
số đầu vào được mô tả như là các biến số thì tất 
yếu làm tăng tính phức tạp của bài toán do khối 
lượng tính toán tăng lên nhiều lần. Bài báođề xuất 
vận dụng một thuật toán tối ưu tiến hóa vi phân 
mới, tối ưu tiến hóa vi phân đột biến hỗn hợp HCDE 
vào bài toán dao động sử dụng phương pháp phần 
tử hữu hạn để tối ưuhàm mục tiêu đầu ra, từ đó tìm 
được khoảng giá trị của tần số dao động riêng. Các 
ưu điểm của tối ưu bằng HCDE so với các phương 
pháp tối ưu di truyền (GA) và tối ưu THVP truyền 
thống đã được Hoàng trình bày trong [7] sẽ là một 
hướng hỗ trợ hiệu quả cho những bài toán dao 
động có số lượng lớn biến đầu vào không chắc 
chắn dạng số khoảng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Lê Công Duy, Đặng Hồng Long (2014), ”Một cách giải 
hệ phương trình cơ bản của phương pháp PTHH khi 
có tham số đầu vào dạng khoảng”, Tạp chí Khoa học 
Công nghệ xây dựng, số 3/2014. 
[2] Lê Công Duy, Đặng Hồng Long (2015), “Phân tích 
dao động khung phẳng chịu tải trọng cưỡng bức theo 
phương pháp PTHH khoảng”, Tạp chí Xây dựng, số 
11/2015. 
[3] Trần Thanh Việt, Vũ Quốc Anh, Lê Xuân Huỳnh 
(2016), “Tần số dao độ.ng riêng mờ của kết cấu 
khung thép phẳng với độ cứng liên kết và khối lượng 
có dạng số mờ tam giác”, Tạp chí Khoa học Công 
nghệ xây dựng, số 2/2016. 
[4] Nguyễn Văn Phượng (2005), Động lực học công trình. 
Nhà Xuất bản Khoa học & kỹ thuật, Hà Nội, 2005. 
[5] Anil K.Chopra,(1969). Dynamic of Structure: Theory 
and Applications to Ethquake engineering, University 
of California at Berkeley- Prentice Hall 07458. 
[6] M. Cheng and N.-D.Hoang (2014). “Risk Score 
Inference for Bridge Maintenance Project Using 
Evolutionary Fuzzy Least Squares Support Vector 
Mechine”, J. Comput. Civ. Eng., ASCE, vol 28. 
[7] N.-D. Hoang, Q.-L.Nguyen, and Q.-N. Pham 
(2015), “Optimizing construction project labor 
utilization using differential evolution: A comparative 
study of mutation strategies”, Advances in Civil 
Engineering, Volume 2015, Egypt ,pp.1-8. 
[8] N.-D. Hoang (2014). "NIDE: A Novel Improved 
Differential Evolution for Construction Project 
Crashing Optimization". Journal of Construction 
Engineering, Egypt ,pp. 1-7. 
[9] K.V.Price, R.M.Storn and J.A. Lampinen (2005), 
“Differential Evolution: A practical Approach to global 
optimization”, Springer Science & Business Media, 
Germany. 
[10] Anh Hoang Pham, Thanh Xuan Nguyen and Hung 
Van Nguyen. “Fuzzy Structural Analysis Using 
Improved Differential Evolution optimization”, 
International Conference on Engineering Mechanic 
and Automation, Hanoi, October 15-16: 492-498. 
[11] X.-S Yang, (2014). “Natural – Inspired optimization 
Algorithms”, ed Oxford: Elsevier 2014. 
[12] V. Feoktistov (2006). “Differential Evolution - In 
Search of Solutions”, Springer Science + business 
Media, LLC, New York, USA. 
Ngày nhận bài: 28/09/2016. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 05/01/2017.