Xác định hệ số hệ phương trình chuẩn trong bình sai điều kiện cạnh, diện tích khi hiệu chỉnh thửa đất

90 
T¹p chÝ KHKT Má - §Þa chÊt, sè 49, 01-2015, tr.90-94 
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN 
TRONG BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN CẠNH, DIỆN TÍCH 
KHI HIỆU CHỈNH THỬA ĐẤT 
ĐINH HẢI NAM, PHẠM THẾ HUYNH, TRẦN THÙY DƯƠNG 
Trường Đại học Mỏ - Địa chất 
 Tóm tắt: Trong bài toán cập nhật biến động đất đai, một trong những biện pháp xử lý hiệu 
quả là sử dụng phương pháp bình sai điều kiện cạnh, diện tích. Bài báo trình bày phương 
pháp xác định trực tiếp các hệ số hệ phương trình chuẩn khi hiệu chỉnh thửa đất, với điều kiện 
cạnh, diện tích của một số thửa đất không đổi. Phương pháp này thể hiện rõ cấu trúc ma trận 
hệ phương trình chuẩn, là một trong những biện pháp làm giảm đáng kể thời gian tính toán, 
giảm dung lượng lưu trữ và giảm sai số làm tròn. 
1. Mở đầu 
Đối với bài toán cập nhật biến động đất đai, 
vấn đề giữ nguyên giá trị cạnh, diện tích thửa đất 
trong một số trường hợp cụ thể như độ rộng mặt 
tiền thửa đất đã được đo chính xác bằng thước 
thép hay kích thước, diện tích đã được coi là 
chính xác... là hết sức cần thiết. Để giải quyết vấn 
đề này, tọa độ các đỉnh thửa liên quan cần được 
hiệu chỉnh sao cho không làm thay đổi giá trị 
cạnh, diện tích thửa đất. Từ đó, đặt ra bài toán 
bình sai với điều kiện cạnh, diện tích không thay 
đổi. Ở bài toán này, số loại phương trình điều 
kiện chỉ có hai loại là điều kiện cạnh và điều kiện 
diện tích, chúng dễ dàng được biểu diễn bằng 
hàm toán học của các ẩn số nên thuận tiện cho 
việc lập phương trình điều kiện các số hiệu 
chỉnh. Do đó, lựa chọn phương pháp bình sai 
điều kiện trong trường hợp này là hoàn toàn hợp 
lý. 
Tuy nhiên, do các thửa đất có mối quan hệ 
liền kề với nhau nên khi hiệu chỉnh tọa độ các 
đỉnh thửa dẫn đến kích thước, diện tích các thửa 
liền kề thay đổi. Để giữ nguyên các giá trị cạnh 
và diện tích của các thửa đất này cần sử dụng 
phương pháp bình sai cho tới khi tọa độ tất cả các 
đỉnh thửa chỉ bị hiệu chỉnh một giá trị rất nhỏ, có 
thể bỏ qua. 
Với phương pháp giải quyết này, số ẩn số và 
số phương trình điều kiện tăng nhanh chóng dẫn 
tới khối lượng lưu trữ và tính toán lớn. Như vậy, 
cần có giải pháp để lưu trữ, tính toán nhằm tăng 
tốc độ xử lý khi lập trình ứng dụng. Bài báo này 
trình bày phương pháp xác định trực tiếp các hệ 
số hệ phương trình chuẩn nhằm hiểu rõ cấu trúc 
ma trận hệ số hệ phương trình chuẩn từ đó giảm 
khối lượng lưu trữ, tăng tốc độ tính toán và giảm 
sai số làm tròn. 
2. Giải quyết vấn đề 
2.1. Mô hình toán học bình sai điều kiện 
Coi tọa độ là các trị đo theo [1],[4] hệ 
phương trình điều kiện số hiệu chỉnh tọa độ được 
viết dưới dạng: 
BV + W = 0 . (1) 
Để giải hệ phương trình (1) với điều kiện 
[pvv] = min, thì hệ phương trình chuẩn có dạng: 
Nrxr Krx1 + Wrx1 = 0 , (2) 
trong đó: N = BP-1BT (3) 
KT = (k1, k2, ..., kr) là vector các số liên hệ; 
Pnxn là ma trận trọng số 
Giải (2) ta được: K = - N-1W từ đó xác định 
được V = P-1BTK . (4) 
2.2. Lập phương trình điều kiện 
2.2.1. Phương trình điều kiện cạnh 
Cạnh Dij giữa 2 điểm i, j tính theo công thức: 
   2
ij
2
ijij yyxxD  
hay 
2
ijD = (xj - xi)
2 + (yj - yi)
2 
 (5) 
Vi phân (5) và chuyển về dạng tuyến tính thu 
được: 
0Wv
y
D
v
x
D
v
y
D
v
x
D
Dijjy
j
ij
jx
j
ij
iy
i
ij
ix
i
ij






































0Wv
D
y
v
D
x
v
D
y
v
D
x
Dijjy
ij
ij
jx
ij
ij
iy
ij
ij
ix
ij
ij









-cosαijvxi - sinαijvyi + cosαijvxj + sinαijvyj+WDij = 0 
(6) 
91 
trong đó: 
WDij = Dij - Do là độ lệch giữa độ dài cạnh Dij được tính từ tọa độ với giá trị cạnh được coi là 
chính xác Do 
αij: Góc phương vị cạnh ij; xij = xj - xi; 
yij = yj – yi 
2.2.2. Phương trình điều kiện diện tích 
Từ công thức tính diện tích thửa đất j [2] 




 
n
1i
1i1ii
n
1i
1i1iij )xx(y
2
1
)yy(x
2
1
P , (7)
với n là số đỉnh thửa 
Vi phân từng phần (7) theo xi và yi 
  1i,1i1i1i
i
j
y
2
1
yy
2
1
x
P
 


;   1i,1i1i1i
i
j
x
2
1
xx
2
1
y
P
 


 (8) 
Hệ phương trình điều kiện diện tích như sau: 








1
j
x
P
vx1+ 







1
j
y
P
vy1+ 







2
j
x
P
vx2+ 







2
j
y
P
vy2+...+ 







n
j
x
P
vxn+ 







n
j
y
P
vyn+Wj=0 (9) 
Nhân hai vế (9) với 2 và thay (8) vào ta có: 
yn2vx1-xn2vy1+y13vx2-x13vy2+...+yn-1,1vxn-xn-1,1vyn + 2.Wj = 0 . (10) 
2.3. Xác định ma trận hệ số phương trình chuẩn của các số liên hệ 
Với hệ số phương trình điều kiện số hiệu chỉnh cạnh, diện tích đã phân tích trong mục 2.2, thấy 
rằng có rất nhiều hệ số bằng 0. Với giả thiết các tọa độ đỉnh thửa có cùng độ chính xác (pxi= pyi=1), 
căn cứ vào đặc điểm các hệ số phương trình điều kiện số hiệu chỉnh sẽ xác định được các thành phần 
của ma trận N mà không cần thực hiện phép nhân hai ma trận B và BT. Ma trận N có đặc điểm là ma 
trận đối xứng nên Nij = Nji, để xác định các thành phần Nij của ma trận N lấy tổng các tích hệ số tương 
ứng với số hiệu chỉnh của phương trình điều kiện thứ i và phương trình điều kiện thứ j. 
2.3.1. Khi các điều kiện đưa vào bình sai chỉ là các cạnh 
Theo (6) ta lập phương trình điều kiện i, j, k cho cạnh mn, np, pq (hình 1) như sau: 
V vxm vym vxn vyn vxp vyp vxq vyq W 
B 
i -cosαmn -sinαmn cosαmn sinαmn 0 0 0 0 WDmn 
j 0 0 -cosαnp -sinαnp cosαnp sinαnp 0 0 WDnp 
k 0 0 0 0 -cosαpq -sinαpq cosαpq sinαpq WDpq 
- Các thành phần của ma trận N được xác định như sau: 
Nii = cos
2αmn + sin2αmn + cos2αmn + sin2αmn = 2 . (11) 
Nij = -cosαmn cosαnp - sinαmn sinαnp 
 = -cos(αmn-αnp) = cos1 (12) 
tương tự Njk = Nkj = cos2 
Nik = Nki = 0 do cạnh i và cạnh k không có điểm chung 
Hình 1. Điều kiện cạnh i, j, k 
m p 
q 
i j 
k 
n 
β1 
β2 
92 
Như vậy cách xác định các thành phần ma trận N như sau: 
- Các thành phần trên đường chéo chính của ma trận N đều bằng 2 
- Thành phần Nij của hai cạnh thứ i, thứ j không chung đỉnh thì bằng 0 
- Thành phần Nij của hai cạnh thứ i, thứ j có chung đỉnh thì bằng Cos, với  là góc kẹp giữa 
hai cạnh 
2.3.2. Khi các điều kiện đưa vào bình sai chỉ là diện tích các thửa đất 
Mỗi thửa đất đưa vào bình sai sẽ lập được một phương trình điều kiện như (10). Sau đây, xem 
xét các trường hợp cụ thể, từ đó tổng quát hóa phương pháp xác định các thành phần của ma trận N. 
a) Trường hợp một thửa đất - Hình 2 
vx1 vy1 vx2 vy2 ... ... vxn vyn 
yn2 -xn2 y13 -x13 ... ... yn-1,1 -xn-1,1 
)13(DD...DDN
n
1i
2
1i,1i
2
1,1n
2
13
2
2n11 

  
với 2 1,1  iiD là bình phương khoảng cách giữa hai điểm là đỉnh trước và 
đỉnh sau của đỉnh i. 



n
1i
11 1i,1i.1i,1iNhay
 b) Trường hợp hai thửa đất không chung đỉnh - Hình 3 
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7 vx8 vy8 
y42 -x42 y13 -x13 y24 -x24 y31 -x31 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 y86 -x86 y57 -x57 y68 -x68 y75 -x75 



n
1i
2
1i,1i
2
31
2
24
2
13
2
4211 DDDDDN 
2 2 2 2 2
22 86 57 68 75 1, 1
1
m
i i
i
N D D D D D  

     (14) 
0NN 2112  , với n là số đỉnh của thửa thứ nhất, m là số đỉnh của thửa thứ hai. 
c) Hai thửa đất có chung nhau đỉnh 
1 
3 
n-1 
n 
2 
Hình 2. Trường hợp 
một thửa 
2 
3 
4 
5 
6 
7 8 
Hình 3. Thửa không chung đỉnh 
1 
1 
4 
3 2 
5 
8 7 
6 
3 7 
6 
2 
1 5 
4 
2 
3 
4 
6 
5 
Hình 4. Hai thửa chung đỉnh 
1 
7 
Hình 5. Hai thửa chung cạnh 
Hình 6. Hai thửa chung 
nhiều cạnh 
93 
+ Hai thửa đất chung nhau một đỉnh - Hình 4: Điểm chung là điểm 4 
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7 
y42 -x42 y13 -x13 y24 -x24 y31 -x31 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 y75 -x75 y46 -x46 y57 -x57 y64 -x64 
2
31
2
24
2
13
2
4211 DDDDN  ; 
2
64
2
57
2
46
2
7522 DDDDN  
753175312112 xxyyNN  75.31 
+ Hai thửa đất chung nhau một cạnh - Hình 5: Cạnh chung là cạnh 45 
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7 
y52 -x52 y13 -x13 y24 -x24 y35 -x35 y41 -x41 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 y57 -x57 y64 -x64 y75 -x75 y46 -x46 
2
41
2
35
2
24
2
13
2
5211 DDDDDN  ; 
2
46
2
75
2
64
2
5722 DDDDN  
64416441573557352112 xxyyxxyyNN  57.35 + 41.64 
+ Hai thửa đất chung nhau nhiều cạnh - Hình 6: Tuyến cạnh chung 4561 
vx1 vy1 vx2 vy2 vx3 vy3 vx4 vy4 vx5 vy5 vx6 vy6 vx7 vy7 vx8 vy8 
y62 -x62 y13 -x13 y24 -x24 y35 -x35 y46 -x46 y51 -x51 0 0 0 0 
y86 -x86 0 0 0 0 y57 -x57 y64 -x64 y15 -x15 y48 -x48 y71 -x71 
2
51
2
46
2
35
2
24
2
13
2
6211 DDDDDDN  ; 
2
71
2
48
2
15
2
64
2
57
2
8622 DDDDDDN  
12 21 62 86 62 86 35 57 35 57 46 64 46 64 51 15 51 15N N y y x x y y x x y y x x y y x x                 
 86.62 +35.57 +64.46+51.15 
Tổng quát hóa: 
Dựa trên các phân tích trong các trường hợp cụ thể ở trên, có thể tổng quát hóa phương pháp xác 
định trực tiếp hệ số của ma trận N như sau: 
- Khi chỉ hiệu chỉnh một thửa thì ma trận N chỉ có một phần tử, tính theo (13). 
- Khi đưa hai thửa đất i, j không có chung đỉnh nào thì các thành phần ma trận N xác định theo 
(14). 
- Khi đưa nhiều thửa đất vào bình sai, cần xem xét mối tương quan giữa các thửa đất với nhau để 
xác định các thành phần của ma trận N. Khi hai thửa đất i và j có chung nhau k điểm thì tại mỗi đỉnh 
chung có số hiệu c (hình 7): 
.ij
k
N mn pq (15) 
m là số hiệu đỉnh trước của c tính theo thửa i 
n là số hiệu đỉnh sau của c tính theo thửa i 
p là số hiệu đỉnh trước của c tính theo thửa j 
q là số hiệu đỉnh sau của c tính theo thửa j 
Công thức (15) tổng quát chung cho cả công thức (13) và (14), các 
thành phần đường chéo chính Nii và Njj có thể sử dụng công thức (13) để 
tăng tốc độ tính toán. 
2.3.3. Khi các điều kiện đưa vào bình sai có cả cạnh và diện tích các thửa đất 
Trong trường hợp này, các thành phần ma trận N đối với trường hợp cạnh u với cạnh v và diện 
tích thửa đất i với diện tích thửa đất j xác định như trong mục 2.3.1 và 2.3.2. Cần xác định các thành 
phần của N đối với trường hợp cạnh u với thửa i. Lúc này xảy ra các trường hợp: 
a. Cạnh u không có điểm trùng với thửa i 
Thành phần của ma trận N ngoài đường chéo chính bằng 0 
p 
m 
Hình 7. Xác định hệ số 
tại một đỉnh thửa 
i j 
n 
q 
c 
94 
b. Cạnh u nối hai đỉnh có số hiệu p và q là hai điểm thuộc thửa i (n đỉnh) - hình 8 
 vx1 vy1 ... vxp vyp ... vxq vyq ... vxn vyn 
Thửa i yn2 -xn2 ... yp-1,p+1 -xp-1,p+1 ... yq-1,q+1 -xq-1,q+1 ... yn-1,1 -xn-1,1 
Cạnh u 0 0 0 -cosαpq -sinαpq 0 cosαpq sinαpq 0 0 0 
Thành phần của ma trận N ngoài đường chéo chính tương ứng được tính bằng: 
Niu = -yp-1,p+1cosαpq + xp-1,p+1sinαpq + yq-1,q+1 cosαpq-x q-1,q+1 sinαpq 
pq
pq1q,1qpq1q,1qpq1p,1ppq1p,1p
iu
D
yxxyyxxy
N



pqpq
iu
D
pq^1q,1q
D
pq^1p,1p
N



 (16) 
c. Cạnh u (pq) trong đó p thuộc thửa i (n đỉnh), q không thuộc thửa i - hình 9 
 vx1 vy1 ... vxp vyp ... vxn vyn vxq vyq 
Thửa i yn2 -xn2 ... yp-1,p+1 -xp-1,p+1 ... yn-1,1 -xn-1,1 0 0 
Cạnh u 0 0 0 -cosαpq -sinαpq 0 0 0 cosαpq sinαpq 
Thành phần của ma trận N ngoài đường chéo chính tương ứng được tính bằng: 
Niu = -yp-1,p+1cosαpq + xp-1,p+1sinαpq =
pqD
pq^1p,1p 
 . (17)
3. Kết luận 
Các công thức đã xây dựng mang tính tổng 
quát, dễ nhớ, chỉ cần xét đến mối quan hệ của 
đỉnh thửa đang xét với các đỉnh thửa liền kề. 
Trong một số trường hợp chỉ có một hoặc hai 
phương trình điều kiện thì có thể tính toán và 
hiệu chỉnh thửa đất ngay mà không cần phần 
mềm xử lý. 
Việc xác định trực tiếp các hệ số của hệ 
phương trình chuẩn cho phép lưu trữ hệ số hệ 
phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dưới dạng 
các véctơ, cho phép giảm đáng kể số lượng phép 
nhân giữa hai véc tơ của ma trận B, giúp tiết kiệm 
bộ nhớ máy tính, tăng tốc độ tính toán và giảm 
sai số làm tròn. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Hoàng Ngọc Hà, Trương Quang Hiếu, 1999. 
Cơ sở toán học xử lý số liệu trắc địa, Nhà xuất 
bản Giao thông vận tải, Hà Nội. 
[2]. Nguyễn Trọng San, Đinh Công Hòa, 2000. 
Đề tài cấp Bộ mã số B2000-36-50 “Nghiên cứu 
phương pháp chính xác hoá số liệu về vị trí, kích 
thước và diện tích thửa đất phục vụ thành lập bản 
đồ địa chính và quản lý thông tin đất đai”. 
[3]. Trần Văn Minh, 2000. Phương pháp số - 
Thuật toán và chương trình bằng Turbo Pascal, 
Nhà xuất bản Giao thông vận tải, Hà Nội. 
[4]. Большаков В. Д., Гайдаев П. А. 1977, 
Теория математической бработки 
геодезических имерений, Издательство Недра. 
(xem tiếp trang 99) 
p-1 q 
Hình 9. Cạnh u có 
đỉnh p thuộc thửa i 
p 
p+1 
i 
q+1 
p-1 
q-1 
q 
Hình 8. Cạnh u có hai 
đỉnh thuộc thửa i 
p 
p+1 
i 
u 
95 
SUMMARY 
Determination of normal equations for adjustment of land parcels 
with distance and area constraints 
Dinh Hai Nam, Pham The Huynh, Tran Thuy Duong, Hanoi University of Mining and Geology 
 For land parcel changes updating, it is necessary to have an adjustment of land parcel with 
edges (distance) and area constraints. This paper presents a method to determine the normal equations 
for the adjustment directly with the edges and area constraints. This method shows the structure of 
the normal equation matrix and it will help to reduce the cost of computing, memory occupation of 
the program and computing errors.