Bài giảng Cơ học lý thuyết - Trương Tích Thiện

x
y
I
Hình II.12
0Cho: , , ,m R  
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa 
a) Phân ơch chuyển động của đĩa: 
 Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với 
tâm vận tốc tức thời khơng phải là điểm Ɵếp xúc I.
 Phân ơch chuyển động của tâm O đĩa:
b).  Do đĩa hình quạt cĩ một trục đối xứng nên khối tâm C của 
đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này.
 Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng 
song song đoạn thẳng cố định và cách đường thẳng cố định 
một đoạn bằng bán kính của đĩa. Do đĩ, vận tốc và gia tốc 
của tâm O nằm trên đường thẳng này.
 O
   0 0 0 0;  
  v
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Khảo sát một diện ơch vi phân k thuộc đĩa như hình vẽ:
 Dựng hệ trục tọa độ vuơng gĩc mới gắn liền với đĩa sao cho 
trục trùng trục đối xứng của đĩa. 
Out
u
0ct 
O
r
dr
kdA
K
ku u

d
Hình II.12.1
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Gọi: A



 là khối lượng riêng đĩa.
là diện ơch đĩa.
Ta cĩ: 2 :A R rad 
2
;
m m
A R


 
.cosku r 
 .kdA dr r d
 2k k
m
m dA dr rd
R
 

 
(vật phẳng (kg/m2); vật dày (kg/m3)
(uk: tọa độ u của điểm K).
(mk: khối lượng của diện ơch dAk ).
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Áp dụng cơng thức định nghĩa của khối tâm:
 
21
2
1
cos . .
k k
k
c
A
m u
m
u r dr d
m m R
 


     
 


 
2
2
0
3
2
0
3
2
1
cos .
1
sin
3
1
2sin
3
R
c
R
u r dr d
R
r
R
R
R




 








 
  
 

 
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
c).  Khảo sát chuyển động của đĩa:
2
sin
3c
R
u 

 
 Dùng định lý chuyển động khối tâm:
 Hệ ngoại lực tác động lên đĩa :,P N
 
 
2
1
1ec j
j
ma F P N

  
  
 2. 0 0c cm x x m s   
 Chiếu (1) lên trục x:
 0 ;c cx const x m s     (vận tốc lúc đầu bằng 0)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
d).  Động năng đĩa: (đĩa là hình trịn đặc đồng chất).
 0c cx const x m   
Vậy phương trình chuyển động của khối tâm C là: 0 ;cx 
đường thẳng   ; c y ; .c cv y a y 
 
2 21 1 .
2 2c c
T mv J  
Ta cĩ: ( là gĩc hợp bởi trục u và trục Oy).:   
 2 20 0 .c cJ J m OC J mu   
Theo định nghĩa:  
 
2 2
0 2
1
. . .k
k A
m
J m OK r dr d r
R




    
 
 
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 
3
0 2
0
4
2
0
4
2
4
2
4
R
R
m
J r dr d
R
m r
R
m R
R












 
 
  
 

 
2
0
1
2
J mR (giống cơng thức hình quạt)
2
2
2c c
R
J m u
 
   
 
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
   A A P A N 
 
Tâm vận tốc tức thời của đĩa: P
 Tổng cơng các tải: 


P C
0v

u
y
O
cv

Hình II.12.2
.sin
sinc
PC OC
u




Do đĩ:
. .sin .c cv PC u    
 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
sin .
2 4
1 1
sin
2 2
c
c
T m u mR
m u R
 
 
 
   
 
 

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
  0A N 

Với:  
 0
. cA P P h
mg HC HC
 
 

Hình II.12.3

P
C
 0
y
O
0C
0O H
0
ch
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
   
 
0 0 0
0
.cos .cos
. cos cosc
A P mg OC O C
mg u
 
 
 
 
e) Dùng định lý biến thiên động năng:
1 0
hê hêT T A  
   2 2 2 2 0 2
1 1
sin . cos cos ;
2 2c c
m u R mg u         

 Vận tốc gĩc của đĩa:
   0
2 2 2
2 . cos cos
1
sin
2
3c
c
g u
u R
 
 





Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Gia tốc gĩc của đĩa:
Đạo hàm 2 vế (2) theo thời gian t:
 
2 2 2 2 21 1 1sin cos . sin .
2
. sin .
2
22
2c c
c
u u R
g u
    

          
 
  

2
2 2 2
sin cos .
1
sin
2
c c
c
u u g
u R
 


     



Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 13. (Chưa sửa).
Cho một thanh thẳng mảnh, đồng chất, Ɵết diện điều, khối
lượng m và chiều dài 2 tựa khơng ma sát trên mặt phẳng
ngang cớ định. Ban đầu thanh đứng yên với gĩc nghiêng 0.
a. Hãy phân ơch chuyển động của thanh AB. Tìm
phương trình quỹ đạo của điểm A, của khối tâm C và 
điểm B.
b. Tính động năng của thanh và tổng cơng các tải tác
động lên thanh.
c. Xác định vận tốc gĩc của thanh và gia tốc gĩc của 
nĩ.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
AB
0
0C
Hình II.13
0: , 2 ,mCho
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 14.
Cho cơ hệ như hình vẽ (Hình II.14).
A
B
2r
1r
1O
2O
2P
1P
M
Hình II.14
Cho r1, r2, P1, P2, .
Dây cĩ các ơnh chất sau đây:
mềm, nhẹ, khơng giãn, khơng
trượt trên các vật và luơn căng.
Bỏ qua ma sát tại khớp bản lề O1
và xem nhánh dây AB luơn cĩ
phương thẳng đứng. Rịng rọc O1 
là đĩa trịn đặc, đồng chất và rịng
rọc O2 là vành trịn đồng chất.
a. Xác định bậc tự do của hệ.
Chọn các hệ tọa đợ suy rộng
cho hệ.
constM
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b. Phân ơch chuyển động cho các vật rắn trong hệ. Phân ơch 
chuyển động phức hợp của tâm O2. Viết biểu thức ơnh vận 
tốc tuyệt đối cho điểm này.
c. Tính động năng cho tồn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng 
đã chọn.
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Cho 
biết khả năng cĩ thể giải hệ phương trình này khơng? Tại sao?
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa
a.
Dofhệ = +2
Chọn 2 tọa đợ
suy rộng:
q1  1; 
q2 2
A
B
2r
1r
1O
2O
y
2P
1P
1
M
2
Hình II.14.1
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
b.
 Phân ơch chuyển động các vật.
 Rịng rọc O1:
Chuyển động quay quanh tâm O1 cố định.
 Rịng rọc O2:
Chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời khơng phải là 
điểm Ɵếp xúc A.
 Phân ơch chuyển động phức hợp của tâm O2.
 Chuyển động kéo theo:
Tịnh Ɵến thẳng đứng cùng với dây.
 Chuyển động tương đối:
Quay quanh tâm vận tốc tức thời A đối với dây.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Viết biểu thức ơnh: (Hình II.14.2)
2 2 2O O O
a e rv v v 
  
A
B
2r
1r
1O
2O
y
2P
1P
1
B
av

A
av

M
2
2O
rv

Hình II.14.2
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
22
2
2 2
2 2
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
. .
.
O
eO A
e a O A B
e a a
O O
r rO O A
r O
r
v y
v v
v v v r r
v AO hay v y
v v
v r r
 
 
  
  
    

   
    
Với : 

 


 

2 2 2 2
1 1 2 2
2
. . 

     

   


ve
O O O O
a a e r
ctor
v v v v r r
chỉ khi
c.
Động năng tồn hệ:
1 2O OT T T hệ
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
12
2 21
1 1 1
2 22
2 2 2
1
2 2
. .
O
O
P
J m r r
g
P
J m r r
g
  

  

Ta có : 
1
1
2 2 21
1 1 1
1
. . .
2 4
   O O
P
J r
g
Với : T
 
 
2 2
2
2 2
2 2
2 2 22 2
1 1 2 2 2 2
1 1
.
2 2
1 1
. . . .
2 2

  
 
    
O O
a OT m v J
P P
r r r
g g
2 2 2 2 22 2 2
1 1 1 2 1 2 2 2. . . . . . . .2
O P P PT r r r r
g g g
         
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 2 2 21 2 2
2 1 1 1 2 1 2 2 2
1
. . . . . . . .
2 2
P P P
T P r r r r
g g g
        
 
hệ    
d.
Nhận xét:
Hệ sẽ cĩ 2 lực suy rộng Q1, Q2 ứng với 2 tọa độ suy rộng đã chọn.
 Xác định lực suy rộng Q1:
 Chọn 1 di chuyển khả dĩ đặc biệt cho hệ.
1 20 ; 0  
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2
1 1 2 2
1 2
1 2
1 1
: . .
.
.
O
aTa cĩ v r r
r r
dt dt
r
 
 

 
 

 

 Tính tổng cơng khả dĩ:
   2A A A P   

M
21 2
. . OA P s      M
22 1
1.
OO
a
s
à: r
dt dt
 
 M v
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 1 1
.Os r  
 2 1 1. .A P r  Vậy : M
 Lực suy rộng Q1:
1 2 1
1
.
A
Q P r


   M
 Tính lực suy rộng Q2:
 Chọn một di chuyển khả dĩ dặc biệt cho hệ:
1 20 ; 0  
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2
1 1 2 2
1 2 2
1 2 2
: . .
. . .
O
aTa cĩ v r r
r r r
dt dt dt
 
  
 
  
 
22 OO
a
s
v
dt

Mà :
2 2 2
.Os r  
 Tổng cơng khả dĩ:
 
2
2
2 2 2 2. . .O
A A P
P s P r
 
 

 


Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Lực suy rộng Q2:
2 2 2
2
.
A
Q P r


 
1 2 1
2 2 2
.
.
P r
Q P r
 

Vậy : Q M
e.
Dùng phương trình Lagrange 2 (đối với hệ khi mất cân bằng):
, 1, 2i
i i
d T T
Q i
dt q q
  
     
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
21 2
2 1 1 1 2 2
1 1
1
. . . . .
2
A B
d T T P P
P r r r
q g g
d
dt dt
 

                       
.. ..
1 1
0
T T
q 
 
 
 
(Vì Thệ khơng phụ thuộc 1).
22 2
1 2 1 2 2
2 2
2
. . . . .
B C
T T Pd d P
r r r
qt d g gd t
 

    
            
.. ..
2 2
0
T T
q 
 
 
 
(Vì Thệ khơng phụ thuộc 2).
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
21
2 1
2
1 2
22
2
1
2
. .
2.
.
P
A P r const
g
P
B r r const
g
P
C r const
g
     
 

 


 

Đặt : 
 1 2 2 1
1 2 2 2
. . .
. . .
A B r D
B C P r E
 
 
   

  
P 
 
M+
1 1 2 2; X  Đặt : X  
1 2
1 2
. .
. .
A X B X D
B X C X E
 
 
 
Thay các kết quả vào phương trình Lagrange 2, ta cĩ:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
1 2
2
1
2 2
. .
.
. .
.
X const
X cons
CD BE
A C B
A E BD
A C B
t


     
   
 


(rịng rọc 1 quay nhanh dần đều)
(rịng rọc 2 quay nhanh dần đều)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 15.
Cho một cơ hệ như hình vẽ (Hình II.15).
Hình II.15
A
C
B
P

Q

Ir
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
A là đĩa trịn đặc, đồng chất cĩ bán kính r và trọng lượng Q. AB là
thanh thẳng, mảnh, đồng chất, Ɵết diện đều, dài , trọng lượng
P. Cho r, , P, Q, , đĩa A lăn khơng trượt trên mặt
phẳng ngang cớ định.
Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lề A.
a. Xác định bậc tự do cho hệ và các tọa đợ suy rộng cho hệ.
b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân ơch
chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh AB. Viết
biểu thức ơnh vector vận tốc tuyệt đối cho điểm C này.
c. Tính động năng cho tồn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa đợ suy rộng
đã chọn cho hệ.
constM
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho tồn hệ.
Bài sửa
a.
Dofhệ = 2 (để biết chuyển động của hệ cần phải biết chuyển động
của 2 vật hoặc nếu ta giữ cớ định cả 2 vật thì hệ mới đứng yên
được)
b.
 Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ:
(Hình II.15.1)
Chọn 2 tọa đợ suy rộng: q1  1; q2 2
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.15.1
A
C
B
P

Q

Ir
M
2
1
x
 AAav

C
ev

C
av

C
rv

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Thanh thẳng AB:
Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với TVTTT là 
điểm chưa xác định.
Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với tâm vận 
tốc tức thời (TVTTT) là điểm Ɵếp xúc I.
 Phân ơch chuyển động phức hợp của khối tâm C của thanh
AB.
 Chuyển động kéo theo : tịnh Ɵến cùng với tâm A.
 Quỹ đạo tâm A là đường thẳng .   AA a Av 

 
 Đĩa trịn A:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A.
 Viết biểu thức ơnh: 
c. Động năng tồn hệ:
C C C
a e rv v v 
  
        
 
2 2 2
2
2
2
1 2 2 1 2
2 cos
. . . .cos . .
2
C A C A C
a a r a rv v v v v
r r

    
   
    
 
   
A ABT T T hệ
C CA
rv v AC 
 
Do đĩ:
C A
e av v
 
Do đĩ:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 2 21 1 .
2 2
A A
A a A AT m v J  Với :
1
2 2
1
; . .
1
. .
2 2
A
A a
A A
A
Ta
Q
m v r
g
Q
J m r r
g

 
 
 

 có : 

2 2 2 2
1 1
2 2
1
. .
2 4
3
.
4
A Q QT r r
g g
Q
r
g
 

  

 

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 2 21 1 .
2 2
AB C
AB a C ABT m v J   
2
2 2
;
1
. .
12 12
AB AB
C AB
Ta
P
m
g
P
J m
g
  
 
 có : 
 
2 2 2 2
1 2 2 1 2. . . .cos . .2 6 2
AB P P PT r r
g g g
           
2 2 2 2
1 2 2 1 2
1 3
. . . .cos . .
2 2 6 2
P P
T P Q r r
g g g
         
 
hệVậy :     
d.
 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q1  1 .
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0
 Tổng cơng khả dĩ của các tải:
 
1
A A 


 
 M
M.
1
1
A
Q


   M
 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2 2 .
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 > 0.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
  2 2. sin2CA A P P h P           
 
2 2
2
.sin
2
A
Q P



    
1
2 2.sin2
Q
Q P 

 
Vậy :

M
2
0C
2
C
A
2
Ch
P

Hình II.15.2
 Tổng cơng khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e.
 Phương trình Lagrange 2:
1
1 1
d T T
Q
dt  
  
    
2
2 2
d T T
Q
dt  
  
    
2
1 2 2
1
1 2
. . .cos .
3 2
T P
P Q r r
g g
  

           
Với :  

2 2
1 2 2 2 2
1
1 2
. . . . sin . cos .
3 2
d T P
P Q r r
dt g g
    

                  
  

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
10
T




2
2 2 1
2
. . . cos .
3 2
T P P
r
g g
  

 
     
  

 2 2 2 1 2 2 1
2
. . sin . . cos .
3 2
d T P P
r
dt g g
     

   
         
    

2 1 2
2
. .sin . .
2
T P
r
g
  


 

 
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 2 21 2 2 2 21 3 . . .cos . . . sin .2 2 2
P P
P Q r r r
g g g
         
 
Vậy :     M
2
2 1 2 2. .cos . . .sin2 3 2
P P
r P
g g
     
  
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 16. Cho
a. Xác định bậc tự do cho hệ và chọn tọa đợ suy rộng cho hệ.
b. Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định vận
tốc gĩc của rịng rọc kép 3 và vận tốc tuyệt đối của vật A.
c. Tính động năng cho tồn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng cho hệ.
e. Viết hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Giải hệ
phương trình này.
1 2 31 2 3 1 2 2 1 3 3
, , , , , , , , , 2 2 2 .A O O Om m m m J J J R r R r r   M M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Các nhánh dây trong hệ cĩ
các ơnh chất: mềm, nhẹ,
khơng giãn, khơng trượt
trên các vật và luơn căng. Bỏ
qua ma sát ở các khớp bản
lề. (Hình II.16)
Hình II.16
1O
1r
3R
3r
2R
2O
3O
A
1M
B D
EC
2M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa
a. Dofhệ = +2. vì ta cần dùng 2 thơng sớ độc lập 1 và 2 mới xác
định được vị trí của tồn hệ.
Chọn 2 tọa đợ suy rộng q1 1 ; q2  2
b.
 Phân ơch chuyển động các vật:
 Rịng rọc 1: quay quanh tâm O1 cớ định.
 Rịng rọc 2: quay quanh tâm O2 cố định.
 Rịng rọc kép 3: chuyển động song phẳng.
 Vật A tịnh tiến thẳng đứng.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.16.1
1O
1r
3R
3r
2R
2O
3O
A
1M
21 D
av

E
av

C
av

B
av

B D
E
C
2M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Xác định 3:
 Ta cĩ: C B
a a
E D
a a
v v
v v
 


 
 
1 1 1
2 2 2
. .
. 2 .
B
a
D
a
v r r
v R r
 
 
  

 
Mà : 


 Xác định tâm vận tốc tức thời rịng rọc 3:
(Hình II.16.2)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Vận tốc gĩc của rịng rọc 3:
 1 23 1 2
. 2 . 1
2
3 3
C E C E
a a a av v v v r r
PC PE PC PE r
 
  
 
     

   
 Xác định vận tốc vật A:
Hình II.16.2
3O
E
av

C
av

EC
P
3O
av

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Vận tốc tâm O3:
3
3 3.
O
av PO 
 
1 1
3 1 2
1 2
. 3
.
1 22
3
C
av r r
 
   
 

Ta có : PC =
 
  
 1 21
3 3
1 2 1 2
23
2 2
PO PC O C r r r
 
   

     
 
 
   
 3 1 2
2
.
3
O
av r   Vậy :  
Do dây khơng giãn nên:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 
 
3
3
3 1 2
1 2
1
2
3
2
3
OA
a a
OA
a a
v v
v v r
  
 

 
  
 
 
 
c.
 Tính động năng hệ:
1 2 3 AT T T T T   hệ
1 1
1 2 2
1 1
1 1
.
2 2O O
T J J  Với : 
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 2
2 2 2
2 2
1 1
. .
2 2O O
T J J   
 
   
     
3
3
3
3 3 3
23 2
3 3
2 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
3 1 3 2 3 1 2
1 1
.
2 2
1 4 1 1
2 . . 4. 4 .
2 9 2 9
1 2 2
4 . . . 2. . . .
18 9 9
O
a O
O
O O O
T m v J
m r J
m r J m r J J m r

       
   
 
     
     
       
   
   2 2 2 21 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 4
. 2 .
2 2 9
2 2 4
. . . . . . .
9 9 9
A A
A a A
A A A
T m v m r
m r m r m r
   
   
   
  
   
   
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 
1 3
3
3
2
2 2
2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
3
3
1 4 4 4
.
2
1 4 1 4
. .
2 9
9
2
2
9 9
9
9
9
.
O O A
O O
O A
A
C
B
A
J m r J
J m m r
J m m r
m
JT r
r


 
    
 
 

 
 

 



 


hệ 



 

d.
 Tính lực suy rộng Q1:
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0
 Tính A :      1 3 AA A A P A P     
 
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 1 3 1
2
.
3 A
A gr m m       
 M
 
  3
1 1 1
3 3 3 3
.
. . . O
A
P P h m g s
 
  
 
   
Với : 

M M
 33 1 21 2
2 2
3 3
OO
a
s
v r r
dt dt dt
  
        
 
Ta có :  
 
  3
3 3 1
1
2
. . .
3
2
. . . . . .
3A A A A O A
A P m gr
A P P s m g s m gr
 
   
 
     
Do đó :


 
3 1 2 1
2 2
.
3 3O
s r r      
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 1 1 3
1
2
.
3 A
A
Q m m gr


      
 M
 Tính lực suy rộng Q2:
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 >0
 Tính A :
     2 3 AA A A P A P     
 
M
 
  3
2 2 2
3 3 3 3
.
. . . O
A
A P P h m g s
 
  
 
   
Với : 

M M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 33 1 21 2
2 2
3 3
OO
a
s
v r r
dt dt dt
  
        
 
Ta có :  
 
3 1 2 2
2 2
.
3 3O
s r r       
 
  3
3 3 2
2
2
. .
3
2
. . . . . .
3A A A A O A
A P m gr
A P P s m g s m gr
 
   
 
     
Do đó :


 2 2 3
2
2
.
3 A
A
Q m m gr


       
 M
 2 3 2
2
.
3 A
A gr m m        
 M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e. Viết hệ phương trình vi phân cho hệ bằng cách dùng phương
trình Lagrange 2:
1 2
1
2 . C
d T
dt
A 

 
   
 

1 2
2
2
T
C
d
dt
B 

 
   
 

1 2
0
T T
 
 
 
 
 
 
1 2 1 3
1 2 2 3
2
2 .
3
2
. 2 . .
3
A
A
m m gr
m mB
A C
grC
 
 
    

    

Vậy :
 
 
M
M
, 1,2i
i i
d T T
Q i
dt  
  
     
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool