Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Lý Hùng Anh

Chương 2: Tĩnh học lưu chất 
Fluid Statics 
1. Giới thiệu 
2. Áp suất thủy tĩnh 
3. Phương trình vi phân cơ bản tĩnh học lưu chất 
4. Tĩnh học tuyệt đối 
4.1 Phương trình thủy tĩnh 
4.2 Phương trình khí tĩnh 
4.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 
a. Áp kế 
b. Ứng dụng định luật Pascal 
c. Biểu đồ phân bố áp suất 
4.4 Áp lực thủy tĩnh 
a. Áp lực thủy tĩnh trên bề mặt phẳng 
b. Áp lực thủy tĩnh trên bề mặt cong 
c. Lực đẩy Archimède 
4.5 Tính ổn định của vật nằm trong chất lỏng 
5. Tĩnh học tương đối 
5.1 Chất lỏng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc khơng đổi 
5.2 Chất lỏng trong bình quay đều quanh trục thẳng đứng 
1. Giới thiệu 
Tĩnh học lưu chất nghiên cứu các vấn đề lưu chất ở trạng thái 
cân bằng, khơng cĩ chuyển động tương đối giữa các phần tử lưu 
chất  khơng cĩ ứng suất tiếp ma sát do tính nhớt của lưu chất 
 Do khơng hiện hữu ứng suất tiếp (ứng suất ma sát), lực tương 
tác giữa lưu chất và thành rắn hoặc bên trong lưu chất sẽ thẳng 
gĩc với mặt phân cách 
 Nguyên lý tĩnh học lưu chất vẫn đúng trong trường hợp lưu chất 
chuyển động đối với hệ trục này nhưng tĩnh đối với hệ trục khác 
tĩnh học tương đối, ví dụ như nước đựng trong xe chuyển động 
 Nguyên tắc: xem xét một phần tử lưu chất chịu tác dụng của các 
lực từ mơi truờng xung quanh và từ thành rắn. Theo định luật I 
Newton, tổng các lực tác dụng theo mọi hướng đều bằng khơng và 
tổng moment của các lực đối với một điểm cũng bằng khơng 
2. Áp lực thủy tĩnh 
2.1 Định nghĩa: ở trạng thái tĩnh lưu chất tác 
dụng lực thẳng gĩc lên biên rắn hoặc lên 
trên một mặt phẳng tưởng tượng vẽ qua 
lưu chất. Áp suất thủy tĩnh là lực pháp 
tuyến tác dụng lên một đơn vị diên tích 
∆P: lực pháp tuyến - lực áp suất 
∆A: vi phân diện tích 
2.2 Tính chất : 3 tính chất cơ bản 
 Áp suất thủy tĩnh thẳng gĩc với diện tích 
chịu lực và hướng vào bên trong diện tích 
đĩ 
 Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất 
kỳ khơng phụ thuộc hướng đặt của diện 
tích chịu lực tại điểm này 
2. Áp lực thủy tĩnh 
2. Áp lực thủy tĩnh 
Xét một vi phân hình lăng trụ tam giác đặt trong lưu chất, cĩ chiều cao 
là 1 đơn vị. Cân bằng lực trên phương ngang và phương đứng 
Bỏ qua trọng lương của hình trụ và từ tính chất hình học 
 trị số áp suất tại 
một điểm khơng phụ 
thuộc hướng của mặt 
phẳng chịu lực 
2.2 Tính chất 
Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên lưu chất trong một bình kín 
được truyền đi nguyên vẹn theo mọi hướng: định luật Pascal 
Nguyên lý của máy thủy lực: chỉ cần tác dụng một lực nhỏ, 
nhờ mơi trường lưu chất tạo ra lực lớn 
2. Áp lực thủy tĩnh 
2. Áp lực thủy tĩnh 
Đơn vị áp suất trong hệ thống đơn vị tiêu chuẩn SI là Pascal. 
1 Pascal=1N/m2 
2.3 Áp suất tuyệt đối – Áp suất dư – Áp suất chân khơng 
 Cĩ hai cách để chọn quy chiếu cho áp suất: áp suất khí quyển và áp suất 
chân khơng. 
 Áp suất ta xét là áp suất tuyệt đối lấy chuẩn là chân khơng. Áp suất tuyệt 
đối bằng khơng ở điều kiện chân khơng tuyệt đối 
 Áp suất dư = Áp suất tuyệt đối – áp suất khí quyển 
2. Áp lực thủy tĩnh 
 Áp suất dư là khái niệm rất thơng dụng trong kỹ thuật vì 
hầu hết các dụng cụ đo áp suất cơng nghiệp được chia độ 
theo áp suất dư i.e đo chênh lệch áp suấp so với áp suất khí 
quyển vạch 0 tương ứng với áp suất khí trời (differential 
pressure) 
2.3 Áp suất tuyệt đối và áp suất dư 
• Áp suất tuyệt đối luơn cĩ trị số 
dương 
• Áp suất dư cĩ giá trị âm hoặc 
dương 
• Pgauge <0 Pabsolute<Pa: 
2.4 Đơn vị áp suất 
Áp suất cĩ đơn vị là Pascal – 1Pa= 1N/m2 trong hệ thống đơn vị 
chuẩn SI 
 Đơn vị là bars hay mét cột nước (mH2O) hay atm (atmosphere) 
3. Phương trình vi phân cơ bản tĩnh học lưu chất 
3. Phương trình cơ bản tĩnh học lưu chất 
Lực tác động trên một vi phân phần tử 
lưu chất hình trụ bao gồm lực áp suất và 
lực trọng trường. Cân bằng lực trên 
phương thẳng đứng 
p gz const 
Lưu chất khơng nén được 
ρ≈ const 
p
z c o n s t

 
Phương trình tĩnh học cơ 
bản của lưu chất khơng 
nén được 
3. Phương trình cơ bản tĩnh học lưu chất 
Xác định hằng số c 
Z=zo p=p0 const=p0+ρgzo. Thay vào pt cơ bản 
p gz const 
Mặt chuẩn  Áp suất thủy tĩnh tỉ lệ thuận với độ sâu 
Mặt đẳng áp là một mặt trên đĩ áp suất bằng nhau  từ pt 
thủy tĩnh ta suy ra mặt đẳng áp là mặt nằm ngang z=cont 
 Nếu cĩ nhiều lưu chất khác nhau, khối lượng riêng khác nhau 
và khơng trơn lẫn vào nhau thì mặt phân chia là các mặt đẳng áp 
nằm ngang 
4. Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 
4.1 Áp kế đo áp suất tuyệt đối bằng chiều cao cột chất lỏng - 
Manometer 
Áp kế tuyệt đối 
P nhỏ 
P lớn 
4. Ứng dụng phương trình thủy tĩnh 
 Áp kế đo chênh lệch áp suất - Differential Manometer 
 Đo chênh lệch áp suất giữa hai vị trí trong dịng chuyển động 
Trường hợp b: ∆p lớn, áp 
kế sử dụng chất lỏng cĩ khối 
lượng riêng ρ’>>ρ 
Trường hợp a: ∆p nhỏ, áp 
kế dùng chất khí cĩ khối 
lượng riêng ρ’<<ρ 
Phụ lục: cảm biến đo áp suất 
 Elastic-type pressure gauge: cảm biến áp suất hoạt 
động trên nguyên tắc biến dạng đàn hồi 
 Phụ lục: cảm biến đo áp suất 
 Electric-type pressure gauge: cảm biến áp suất hoạt động 
trên nguyên tắc mạch điện của miếng đo biến dạng bằng vật 
liệu bán dẫn 
4.2 Biểu đồ phân bố áp suất 
p
a
h
p
A=
 h A
A
A
p
a
h
p
A
=  h
A
A
A
B
p
B
=  h Bh B
p a
h 1
p dõ (h + r )
p
dõ h 1

r

4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề 
mặt phẳng 
Bỏ qua áp suất khí trời, tính tốn 
cho áp suất dư. 
Xét một vi phân diện tích dA trên 
mặt phẳng chịu lực ở độ sâu h, áp 
lực thủy tĩnh tác động trên dA, cĩ 
tọa độ (x,y) là 
dP=ρghdA =ρgysinθdA 
Áp lực tác động trên tồn bộ diện 
tích A là 
là moment tĩnh của diện tích A đối 
với trục Ox 
Gọi yG là tung độ trọng tâm của diện tích A, theo định nghĩa 
Do đĩ, ta cĩ mối liên hệ 
 Áp lực thủy tĩnh tác động trên bề mặt phẳng diện tích A cĩ giá trị bằng tích 
của áp lực tại trọng tâm mặt phẳng và diện tích A của mặt phẳng đĩ 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt phẳng 
Thay đổi biểu đồ phân bố áp suất bằng 1 lực duy nhất, vị trí đặt lực 
áp suất được gọi là tâm áp lực CP (Center of pressure) tổng 
áp lực P phải đi ngang qua biểu đồ phân bố áp suất xác 
định vị trí tâm áp lực 
Cân bằng moment quanh trục Ox do áp lực phân bố và áp lực tập trung. 
=Ix Là moment quán tính của diện tích A quanh trục Ox. Theo phép biến 
đổi song song 
Tọa độ xD : không cần xác định nếu diện tích A có một trục đối xứng vì D sẽ nẳm trên trục đối 
xứng đó. 
xx
AA
D
IsingdAysingdA.y.pP.y   
2
 
A.sin.y.g
AyIsing
y
C
'x'x
D


2


 Phương : vuơng gĩc với mặt phẳng 
Chiều: hướng vào trong mặt phẳng 
Độ lớn: 
Tâm áp lực CP(xC,yC) 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt phẳng 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt phẳng 
Phụ lục: Moment quán tính của một số hình cơ bản 
Ví dụ 1: 
Ví dụ 1: 
Giải: 
Ví dụ 2: 
Xác định giá trị áp suất đọc trên áp kế 
nếu biết:h1 =76cm, h2 = 86cm, h3 =64cm, h4 =71cm 
h2
h1
h3
h4
pa
E
D
C
B
A
Khí
Nước
Hg(13,6)
Nước
Giải: 
pB –pC =HghBC 
pD –pE =HghDE 
pD –pC =nhDC 
Suy ra giá trị áp suất dư đọc được là: 
pA =pE =nhA-B + HghB-C -nhC-D + HghD-E 
 =0 - n(h1+h2)+ Hgh1 - nh3+ Hgh4 
 = n(-h1-h2+13,6h1-h3+13,6h4) 
 =17,732n =17,732 x 9810 Pa=173,95 kPa 
h2
h1
h3
h4
pa
E
D
C
B
A
Khí
Nước
Hg(13,6)
Nước
Ví dụ 2: 
Xác định giá trị áp suất đọc trên áp kế 
nếu biết:h1 =76cm, h2 = 86cm, h3 =64cm, h4 =71cm 
 Ví dụ 3: 
 Nước chảy trong ống từ A-B. Để đo độ chênh cột áp tĩnh người ta dùng ống đo áp 
đo chênh như hình vẽ. Xác định độ chênh cột áp tĩnh và độ chênh áp suất giữa 2 
điểm A và B. Biết chất lỏng (1) là nước nước = 1000kg/m3 (2) là thủy ngân Hg = 13,6, 
h =0,7m, b-a = 0,3m 
A
B
a
b
M
h
N
(1)
(2)
 Ví dụ 3: 
 Nước chảy trong ống từ A-B. Để đo độ chênh cột áp tĩnh người ta dùng ống đo áp 
đo chênh như hình vẽ. Xác định độ chênh cột áp tĩnh và độ chênh áp suất giữa 2 
điểm A và B. Biết chất lỏng (1) là nước nước = 1000kg/m3 (2) là thủy ngân Hg = 13,6, 
h =0,7m, b-a = 0,3m 
Giải: Phương trình thủy tĩnh áp dụng cho các cặp điểm A-M, M-N, N-B: 
Hay 
Độ chênh cột áp tĩnh giữa 2 điểm A và B là 
A M
A M
n n
B N
B N
n n
M N
M N
Hg Hg
p p
z z
p p
z z
p p
z z
 
 
 
  
  
  
M N H gp p h 
A B
AB A B
n n
p p
H z z
 
   
       
   
A
B
a
b
M
h
N
(1)
(2)
Độ chênh áp suất giữa 2 điểm A và B là: 
 
3
[ ] 
(8,82 0,3 ) x 9810 / 89, 467
AB AB A B np H z Z
m m N m kPa
   
  
( )
M N
M N
n n
M N
M N
n
Hg
n
p p
z z
p p
Z Z
h
h
 




   
      
   
 
    
 
  
1 0, 7 (13, 6 1) 8,82
Hg
AB
n
H h x m


 
      
 
A B
AB A B
n n
p p
H z z
 
   
       
   
Ví dụ 4: 
Cho 1 cửa van hình chữ nhật có bề rộng b = 5m. Chịu áp lực nước thượng lưu như hình 
vẽ với H = 2m. Hỏi áp lực thủy tĩnh F tác dụng lên van? 
 Giải 
 Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên van: 
 F = pCA = hCA 
 hC = H/2 = 2/2 = 1 (m) 
 => F = 9810N/m3 x 1mx 5mx2m 
 = 98100 (N ) 
O 
C H 
Ví dụ 5: 
Ví dụ 5: 
Giải: 
Ví dụ 6: 
Ví dụ 6: 
Giải: 
Ví dụ 7: 
Ví dụ 7: 
Giải: 
Cửa van hình trịn đường kính 4m, lắp trên 
một thành nghiêng của bể đựng nước (khối 
lượng riêng của nước là 980 kg/m3), van cĩ 
thể chuyển động quay quanh trục dọc theo 
đường kính (trục qua tâm, vuơng gĩc với 
mặt phẳng tờ giấy). Tâm của van trịn cách 
mặt thống 10 m. Xác định: 
1.Điểm đặt, phương chiều và độ lớn của lực 
thủy tĩnh tác động lên van 
2.Moment cần thiết đề mở van 
Ví dụ 8: 
Ví dụ 8: 
F = pCA 
yD –yC = 0,0866m 
MC = 0 
 M = Fx(yD –yC ) 
 = (1230x103N)(0,0866m) = 1,07x105 N.m 
2 2
3 3(4 )
(9,81 10 / ) x (10 ) x 1230 x 10
4 4
C
D m
h x N m m N
 

 
   
 
4
0 0 2
10 ( / 4) x (2 )
11, 6
sin 60 (10 / sin 60 ) x (4 )
xC
D C
C
I m m
y y m
y A m m


    
Ví dụ 8: 
Giải: 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt cong 
Lực thủy tĩnh tác dụng lên thành phẳng còn có thể xác định nhờ phương pháp biểu đồ. 
Trong nhiều trường hợp phương pháp biểu đồ cho kết quả một cách nhanh và đơn giản hơn 
dùng phương pháp giải tích nêu trên. 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt cong 
Xét một mặt cong A có đường sinh song song với mặt thoáng nằm trong chất lỏng có trọng lượng riêng  
c 
a 
b 
d 
b’ 
c’ 
A 
Ax 
x 
z 
o 
a 
b 
dP 
dA 
 
dAx 
dAz 
a’ 
d’ 
e’ 
f’ 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt cong 
F 
Pz 
Px 
 
22
zx
PPP 
Tổng áp lực lên mặt cong 
Phương và chiều của P chỉ có thể xác định tuỳ theo điều kiện của bài toán, thí dụ 
trong trường hợp mặt cong abcd là một mặt trụ tròn thì phương của P sẽ đi ngang qua 
tâm O và hợp với phương nằm ngang một góc  mà 
z
x
P
tg
P
 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt cong 
H 
R 
(?) Xem xét trường hợp một phần tư qủa cầu trong chất lỏng, xác định Px và Pz 
A 
B 
D 
C  
 
2R 
2R 
Đối với trường hợp mặt cong phức tạp thì để tính lực 
Py ta phân chia mặt cong thành từng đọan đơn giản, tính lực 
trên từng đoạn xong tổng hợp lại . 
Thí dụ đối với mặt cong AB, khi tính toán Py ta phân 
thành 
 Pz = Pz(AC) + Pz(CD) + Pz(DB) 
Sau khi vẽ vật áp lực, trong trường hợp nầy ta sẽ 
thấy tổng lực Pz = 0 
4.3 Áp lực thủy tĩnh – áp lực tác dụng lên bề mặt cong 
Ứng dụng tính lực thủy tĩnh lên những cơng 
trình lớn 
Ví dụ 9: 
Xác định áp lực do dầu tác dụng lên một van cung dạng ¼ hình trụ có bán kính 0,5m, 
dài 2m nằm dưới độ sâu h =1m. 
Giải: 
Fx =pCxAx 
Ax=RL, 
Fy = 0 
Fx =9,81KN 
FZ =10,93KN 
h=1m 
Dầu (0,8) 
FZ F 
 
FX 
pa 
2
Cx d
R
p h
 
  
 
2
d d
4
z
R
F W Rh

 
 
   
 
0
tg 1,11
48
z
x
F
F


 
 
2 2 2
14, 69
x y z
F F F F kN   
Ví dụ 10: 
Giải: 
Lực đẩy Archimedes 
Điểm đặt B của lực đẩy Archimedes gọi là 
tâm đẩy, là trọng tâm của khối chất lỏng bị 
chiếm chỗ 
Định luật Archimedes cũng đúng khi vật nổi 
lên trên mặt tự do của chất lỏng 
Một vật nằm trong chất khí cũng chịu một 
lực đẩy Archimedes tương tự cĩ trị số 
bằng trọng lượng của khối lưu chất mà vật 
chiếm chỗ 
Lực đẩy Archimedes 
Ví dụ 11: 
4.5 Tính ổn định của vật nằm trong 
lưu chất 
• Vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng : 
• Gọi B là tâm đẩy của áp lực thủy tĩnh và G là khối 
tâm của vật, ta có : 
 G 
B 
 G 
B 
 G 
B  
 G 
B  
B trên G : Cân bằng ổn định B dưới G : Cân bằng không ổn định 
Moment phục hồi Moment tăng gĩc bất 
ổn định 
Vật ngập một phần trong chất lỏng 
Tâm định khuynh M 
Tâm định khuynh M nằm trên G: cân bằng ổn định 
 Tâm định khuynh M nằm dưới GB: cân bằng khơng ổn định 
4.5 Tính ổn định của vật nằm trong lưu chất 
4.5 Tính ổn định của vật nằm trong lưu chất 
4.5 Tính ổn định của 
vật nằm trong lưu chất 
4.5 Tính ổn định của vật nằm trong lưu chất 
Tĩnh học tương đối 
• Chất lỏng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc khơng đổi 
• Xét chất lỏng chuyển động thẳng với gia tốc a, áp dụng phương trình vi phân cơ bản tĩnh 
học lưu chất cho một đơn vị khối lượng lưu chất : 
x
p
aF
x




1
y
p
F
y




1
0
z
p
gF
z




1
a
z x C
g
  
Suy ra : 
Kết hợp điều kiện: 
ta có: 
Phương trình mặt đẳng áp: 
Trong đó a có chứa dấu tương ứng với chuyển 
động nhanh dần đều hay chậm dần đều, góc 
nghiêng của mặt thoáng: 
Tĩnh học tương đối 
• Chất lỏng trong bình quay đều quanh trục thẳng đứng 
• Bài toán: bình chứa chất lỏng quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc 
không đổi. Xác định qui luật phân bố áp suất trong bình. 
• Mô hình bài toán được đưa trên hình . Các lực khối tác dụng gồm lực quán tính 
ly tâm và trọng lực: 
2 2
; ;
x y z
F x F y F gz    
Phương trình mặt đẳng áp 
Xác định hằng số C 
Tĩnh học tương đối 
Phân bố áp suất 
Phương trình mặt đẳng áp 
Phương trình mặt thống 
Chiều cao mặt thống 
Chất lỏng trong bình quay 
đều quanh trục thẳng đứng 
Tĩnh học tương đối 
Ví dụ 9: 
 Cho một bình hở có kích thước R = 3m, H = 4m, chứa nước đến chiều cao h = 
3,1m, chuyển động quay tròn xung quanh truc của bình với vận tốc  như hình 
vẽ. Hỏi: 
1) max để nước không tràn ra ngoài ? 
2) Tính áp lực nước lên ½ thành bình? 
g2F g r 
x 
z 
2
r
 
R 
h 
H 
A 
B 
H1 
0,9 
0,9 
Ví dụ 9: Cho một bình hở có kích thước 
R = 3m, H = 4m, chứa nước đến chiều 
cao h = 3,1m, chuyển động quay tròn 
xung quanh truc của bình với vận tốc  
như hình vẽ. Hỏi: 
1) max để nước không tràn ra ngoài ? 
2) Tính áp lực nước lên ½ thành bình 
Giải: 
Từ phương trình mặt thoáng: 
Tại A: 
Tại B: H1 = C 
Áp lực nước lên ½ thành bình : 
pysau =  1/2H x H x 2R = 9810 N/m3 x (0,5 x 4m) x (4m x 2 x 3m)= 470880 N 
2 2
max
2
R
H C
g

 
2 2
2
r
z C
g

 
g2F g r 
x 
z 
2
r
 
R 
h 
H 
A 
B 
H1 
0,9 
0,9 
2 2
max
1
2 0,9 1.8 m
2
R
H H
g

    
max
1,98 /rad s 
Ví dụ 10: 
Cho một xe có kích thước H = 3m, L = 5m, b = 2m, chứa nước đến chiều cao h 
= 2,5m, chuyển động nhanh dần đều theo 
phương ngang với gia tốc a như hình vẽ. Hỏi: 
1) amax để nước không tràn ra ngoài ? 
2) Tính áp lực nước lên thành sau xe 
x 
z 


g

a

 a

L 
H 
h 
0,5 
0,5 
Ví dụ 10: Cho một xe có kích thước H = 3m 
, L = 5m, b = 2m, chứa nước đến chiều cao 
h = 2,5m, chuyển động nhanh dần đều theo 
phương ngang với gia tốc a như hình vẽ. Hỏi: 
1) amax để nước không tràn ra ngoài ? 
2) Tính áp lực nước lên thành sau xe 
Giải: 
Từ phương trình mặt thoáng: 
Áp lực lên thành sau của xe: 
Psau =  1/2H x H x b = 9810 N/m3 x (0,5 x 3m) x (3m x 2m) = 88290 N 
a
z x C
g
  
max
1
5
a
tg
g
    
x 
z 


g

a

 a

L 
H 
h 
0,5 
0,5 
2
max
1
1,962 m/s
5
a g  
Ví dụ 11: 
Ba ống nhỏ cùng đường kính cao H = 1m nối với nhau như hình vẽ, chứa 
nước đến độ cao h = 0,5m. Biết a =0,4m. Xác định chiều cao nước trong 3 
ống nếu 3 ống quay đều quanh trục z với vận tốc  = 2rad/s 
h1 
z 
 
h3 
h 
h2 
a 3a 
r 
Ví dụ 11: 
Ba ống nhỏ cùng đường kính cao H = 1m nối với nhau như hình vẽ, chứa nước đến 
độ cao h = 0,5m. Biết a =0,4m. Xác định chiều cao nước trong 3 ống nếu 3 ống 
quay đều quanh trục z với vận tốc  = 2rad/s 
Thể tích chất lỏng không đổi: 
h1 +h2 +h3=3h 
h1 = 0,424m; h2 =0,391m; h3 = 0,685m 
2 2
1
2 2
2
2 2
3
2
 C 0
2
(3 )
2
a
h C
g
r
z h C
g
a
h C
g




 


   

  

2
2 2
10 a
h 3h -
2g


h1 
z 
 
h3 
h h2 
a 3a 
r