Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Giới hạn và liên tục - Đặng Văn Vinh

nằm trọn ngồi A, nghĩa là hồn tồn khơng chứa 
điểm nào của A. Khi đĩ M0 là một điểm trong của phần bù của A. 
Bất kỳ lân cận nào của M0 cũng cĩ cả những điểm của A và những điểm 
khơng thuộc A. Khi đĩ M0 là một điểm biên của A. 
II. Tơpơ trong R2 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Chú ý. 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A. 
2) Điểm biên của A cĩ thể thuộc hoặc khơng thuộc A. 
Một tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nĩ đều là điểm trong của nĩ. 
Một tập hợp được gọi là đĩng nếu mọi điểm khơng thuộc nĩ đều là điểm trong 
của phần bù của nĩ. 
Một tập hợp là đĩng nếu phần bù của nĩ là mở. 
Một tập hợp là mở nếu nĩ khơng chứa điểm biên nào của nĩ. 
II. Tơpơ trong R2 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Điểm M0 được gọi là điểm tụ của A, nếu mọi lân cận của M0 đều chứa vơ 
điểm của A. 
Điểm M0 là điểm tụ của tập A, nếu mọi lân cận của nĩ cĩ chứa ít nhất một 
điểm của A khác với M0. 
Chú ý. 1) Điểm tụ cĩ thể thuộc A, cĩ thể khơng thuộc A. 
2) Cĩ những tập hợp khơng là tập đĩng, cũng khơng là tập mở. 
Một tập hợp là đĩng nếu nĩ chứa tất cả các điểm biên của nĩ. 
II. Tơpơ trong R2 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ. 
Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợp A 
  2 2 2, 1A x y R x y  
4. Tập A là tập mở. 
1.Tất cả các điểm trong của A:   2 2 2, 1x y R x y 
2. Tất cả các điểm biên của A:   2 2 2, 1x y R x y 
3. Tất cả các điểm tụ của A:   2 2 2, 1x y R x y 
II. Tơpơ trong R2 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. Tìm tất cả các điểm tụ của A. 
Ví dụ. 
Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho A là tập hợp các điểm nằm trong
hình trịn đơn vị mà tọa độ các điểm là các số hữu tỉ. 
{ }2 2 2( , ) | 1A x y xQ y   
4. Tập A đĩng hay mở. 
1. Tìm tất cả các điểm trong của A. 
2. Tìm tất cả các điểm biên của A. 
Đáp số: 1) Khơng cĩ điểm trong 
2) Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau 
{ }2 22( , ) | 1RA x y x y   Tập điểm biên 
4) A khơng đĩng, khơng mở. 
II. Tơpơ trong R2 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. Tìm tất cả các điểm tụ của A. 
Ví dụ. 
Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợp A 
2n+3
,
n+1
211A R
n
  
    
  
4. Tập A đĩng hay mở. 
1. Tìm tất cả các điểm trong của A. 
2. Tìm tất cả các điểm biên của A. 
Đáp số: 1) Khơng cĩ điểm trong 
2) Cĩ một điểm biên là (1,2). 
4) A khơng đĩng, khơng mở. 
3) Cĩ một điểm tụ là (1,2). 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Từ chương trình tốn A2, để vẽ mặt bậc hai: 
Phương trình tổng quát của mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 0xyz là 
2 2 2 2 2 02Ax By Cz Dxy Ex Gxz Fyz Hy Kz L     
1) Đưa dạng tồn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao 
2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới. 
3) Vẽ hình. 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định Df, sao cho f(x,y) = k được gọi là
đường mức, trong đĩ k là hằng số cho trước. 


k = 0 
k = 1 
k = 2 
k = 3 
k = 4 
Xét đồ thị của hàm số: 
2 2z x y 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt paraboloid elliptic 
2 2
2 2
x y
z
a b
 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt paraboloid elliptic 
2 2
2 2
x y
z
a b
 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt paraboloid elliptic 2 2( 1) ( 3) 4z x y    
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt paraboloid elliptic 
2 2y x z 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt ellipsoid 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt Paraboloid hyperbolic 
2 2
2 2
x y
z
a b
 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt Paraboloid hyperbolic 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt Paraboloid hyperbolic 2 2y z x 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt Hyperboloid 1 tầng 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt Hyperboloid hai tầng 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ta thấy với mọi k, đường mức luơn là đường trịn bán kính bằng 1. 
k = 0 
k = 1 
k = 2 
k = -2 
k = -1 
Xét đồ thị của hàm số: 
2 2 1x y 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc z. 
2 2
2 2
1
x y
a b
 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt trụ: 2 2 4x z 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt trụ 2y x
x 
z 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt trụ 2z x
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt trụ 22z x 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt trụ 22z x 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt nĩn hai phía 
2 2 2
2 2 2
x x x
a b c
 
III. Các mặt bậc hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt nĩn hai phía 
IV. Giới hạn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa giới hạn kép 
Cho hàm hai biến , sao cho là điểm tụ của Df. ( , )f f x y
2
0 0 0( , )M x y R 0M
Ta nĩi giới hạn của f khi (x,y) dần đến điểm M0 bằng , nếu giá trị của f(x,y) tiến 
gần đến tùy thích bằng cách lấy những điểm (x,y) gần điểm M0, nhưng khơng 
trùng với M0. 
a
a
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y a


2 2
0 0 0 00, 0 : ( , ) ,( , ) ( , ), ( ) ( )fx y D x y x y x x y y            
Khi đĩ ( , ) .f x y a  
Ký hiệu khác của giới hạn kép: 0
0
lim ( , )
x x
y x
f x y a




IV. Giới hạn 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--- 
Tính chất của giới hạn 
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1. lim [ ( , ) ( , )] lim lim
x y a b x y a b x y a b
f x y g x y f g
  
  
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2. lim [ ( , ) ( , )] lim lim
x y a b x y a b x y a b
f x y g x y f g
  
  
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
lim ( , )
( , )
lim , lim 0
( , ) lim ( , )
3. nếu 

 

 
x y a b
x y a b x y a b
x y a b
f x y
f x y
g
g x y g x y
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
lim lim , lim .
4. nếu và
 thì 
  
 
  
x y a b x y a b x y a b
f x y g x y h x y
f h M g M
IV. Giới hạn 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn nếu tồn tại hoặc chứng minh khơng tồn tại. 
( , ) (0,0)
1
lim sin

 
  
 x y
I x y
x
1 1
0 | ( , ) | sin | | sin | |      f x y x y x y x y
x x
0 
( , ) (0,0)
1
lim sin 0.

    
 x y
x y
x
IV. Giới hạn 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn nếu tồn tại, hoặc chứng tỏ giới hạn khơng tồn tại. 
2
2 2( , ) (0,0)
3
lim


x y
x y
I
x y
2 2
2 2 2 2
3
0 | ( , ) | 3 | |, vì 1.   
 
x y x
f x y y
x y x y
0 
2
2 2( , ) (0,0)
3
lim 0.

 
x y
x y
x y
IV. Giới hạn 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. 
2 2
2 2( , ) (0,0)
2
lim



x y
x y
I
x y
Chọn dãy 
1
( , ) ,0 (0,0)   
 
n
n nx y n
Khi đĩ 
1
( , ) ,0 1.   
 
n nf x y f n
Chọn dãy thứ hai ' '
1
( , ) 0, (0,0)   
 
n
n nx y
n
Khi đĩ 
' ' 1( , ) 0, 2.   
 
n nf x y f n
Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đĩ tiến đến 
hai số khác nhau, suy ra khơng tồn tại giới hạn đã cho. 
IV. Giới hạn 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. 
2 2( , ) (0,0)
lim


x y
xy
I
x y
Chọn y kx
Khi đĩ  ( , ) , .
1
 

k
f x y f x kx
k
f(x,y) là một đại lượng phụ thuộc vào k, mà k thay đổi nên khơng tồn tại giới hạn. 
Chú ý. Chọn y = kx, tức là tiến đến (0,0) bằng những đường thẳng. 
Phương pháp này khơng thể dùng để tìm giới hạn của dãy. 
IV. Giới hạn 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. 
3
2 6( , ) (0,0)
lim


x y
xy
I
x y
Chọn dãy 
1
( , ) ,0 (0,0)   
 
n
n nx y n
Khi đĩ 
1
( , ) ,0 1.   
 
n nf x y f n
Chọn dãy thứ hai ' '
3
1 1
( , ) , (0,0)   
 
n
n nx y
nn
Khi đĩ 
' '
3
1 1 1
( , ) , .
2n n
f x y f
nn
   
 
Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đĩ tiến đến 
hai số khác nhau, suy ra khơng tồn tại giới hạn đã cho. 
IV. Giới hạn 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. 
2 2
2 2 2( , ) (0,0)
lim
( )x y
x y
I
x y x y

 
Chọn dãy 
1
( , ) ,0 (0,0)   
 
n
n nx y n
Khi đĩ 
1
( , ) ,0 0.n nf x y f n
   
 
Chọn dãy thứ hai ' '
2
1 1 1
( , ) , (0,0)nn nx y
n n n
    
 
Khi đĩ 
' '
2
1 1 1 1
( , ) , .
2n n
f x y f
n n n
    
 
Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đĩ tiến đến 
hai số khác nhau, suy ra khơng tồn tại giới hạn đã cho. 
IV. Giới hạn 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. 
3( , ) (0,0)
lim
1 1x y
xy
I
xy

 
Đặt t xy Khi đĩ 0t 
30
lim
1 1t
t
I
t

 
3 
IV. Giới hạn 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. 
2
2( , ) (0,0)
lim
9 3x y
x y
I
x y


  
Đặt 2t x y  Khi đĩ 0t 
0
lim
9 3t
t
I
t

 
6
IV. Giới hạn 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Ví dụ 
 Tìm giới hạn (nếu cĩ) hoặc chứng tỏ khơng tồn tại. 
4
2 2 2( , ) (0,0)
lim
( )x y
xy
I
x y


Sử dụng hệ tọa độ cực, đặt cos ; sinx r t y r t 
4 4
40
cos sin
lim
r
r t r t
I
r


4
0
lim( cos sin )
r
I r t t

  
Khi thì 0; 0x y  0r 
0I 
V. Liên tục 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Định nghĩa 
 Hàm số f(x,y) được gọi là liên tục tại , nếu 0 0( , )x y
0 0
0 0
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y


Hàm được gọi là liên tục nếu nĩ liên tục tại mọi điểm mà nĩ xác định
Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là liên tục. 
Thương của hai hàm liên tục là liên tục nếu hàm ở mẫu khác 0. 
Hợp của hai hàm liên tục là liên tục (tại những điểm thích hợp). 
V. Liên tục 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 
 Định nghĩa 
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản: 
1) Hàm hằng; 2) hàm mũ; 3) hàm lũy thừa; 4) hàm lượng giác; 
5) hàm lượng giác ngược; 6) hàm logarit. 
 Định nghĩa 
Hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng hữu hạn các phép 
tốn: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn được gọi là hàm sơ cấp. 
 Định lý 
Hàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà nĩ xác định. 
V. Liên tục 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--- 
 Ví dụ 
 Tìm các điểm gián đoạn của hàm sau 
( , )
xy
f x y
x y


Suy ra những điểm gián đoạn của hàm số là đường thẳng x + y = 0.
Đây là hàm sơ cấp cơ bản nên liên tục tại những điểm mà nĩ xác định
V. Liên tục 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--- 
Ví dụ 
 Khảo sát tính liên tục của hàm sau: 
3 3
2 2
sin( )
, ( , ) (0, 0)
( , )
0, ( , ) (0, 0)
x y
x y
f x y x y
x y
 

  


3 3
0
3 3
sin( ) sin
1t
x y t
tx y
  

3 3 3 3 3 3
2 2 3 3 2 2
sin( ) sin( )x y x y x y
x y x y x y
  
 
  
3 3
2 2
0 | | | |
x y
x y
x y

  
 ( , ) (0,0)
lim ( , ) 1.0 0 (0,0)
x y
f x y f

   
Vậy hàm đã cho liên tục tại mọi điểm trong mặt phẳng. 
Suy ra f liên tục tại (0,0). 
V. Liên tục 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--- 
 Ví dụ 
 Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số liên tục tại điểm (0,0) 
2 2
2 2
, ( , ) (0, 0)
( , )
, ( , ) (0, 0)
x y
x y
f x y x y
a x y
 

  


Ta cĩ khơng tồn tại. 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y

Vậy hàm khơng liên tục tại (0,0). Khơng tồn tại a. 
VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm 
2 21) ( , ) 4 f x y x y  
2
2) ( , ) x yf x y e 
2 2
1
3) ( , ) x yf x y e


24) ( , ) ln( 4 8) f x y y x  
5) ( , ) arcsin
y
f x y
x

2
1
6) ( , ) f x y
x y


VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. Vẽ các mặt bậc hai sau: 
1) 3 z 
2 22) 2 z x y 
2 23) 1 z x y  
24) z x
25) 1 z y 
2 2
6) 1
9 4
x y
 
27) 1 y x 
2 28) 1 z x y  
2 29) 1 z x y  
10) 1 x y z  
11) 2 z x
2 212) 2 2 x y x y  
2 213) 2 x y z  
2 2 214) 8 2x y z  
VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. Vẽ các khối sau: 
2 21) ; 4 x y z z  
2 22) ; 1. x y z x z   
2 23) 1; 1; 4. x y z z   
2 2 2 2 2 24) 1; ; 4 x y x y z x y z      
25) 1 ; 0; 0; 2. y x y z z    
2 2
2 2 26) 1; 4; 0.
9 4
x y
x y z z     
2 27) 4 ; 2; 0; 4. z y z y x x     
VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. Vẽ các khối sau (tiếp theo) 
2 28) ; 2; 2 x y x x z x z     
2 2 2 29) 2 ; ; 1; ;2 . y x y x x z x y z x y      
210) 1 ; 3 ; 5; 0 y x z x y z    
2 2 2 211) ; 1 1 z x y z x y     
2 2 212) ; ; 1; 0. z x y y x y z    
13) ; 2 ; 0; 6. y x y x z x z    
2 2 2 214) 1; 2; 4; 1. x x y z y z     
VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4. Tìm các giới hạn kép 
2
2 4( , ) (0,0)
1) lim
x y
x y
y x 
( , ) (0,0)
1
2) lim os
x y
y c
y x


3
3( , ) (0,0)
3) lim
x y
x y
x y


( , ) (0,0)
1 1
4) lim sin sin
x y
x y
y x

2 2
2 2( , ) (0,0)
5) lim
x y
x y xy
x xy y

 
2 2 2
2 2( , ) (0,0)
( )
6) lim
1 os( )x y
xy x y
c x y

 
VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo) 
 
2 21/
( , ) (0,0)
7) lim 1
x y
x y
xy



 
2 21/( )
2 2
( , ) (0,0)
8) lim os
x y
x y
c x y
 


( , ) ( , )
9) lim sin
x y
xy
xy

  
2 2 2 2
4 4 2 2 2 26( , ) ( , )
6
10) lim
2(1 )x y
x y x y
x y x y x y  
   
    
2 2
( , ) (0,0)
1
11) lim ( )sin
x y
x y
xy

( , ) (0,0)
12) lim
x y
x
x y 
VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4. Tìm các giới hạn kép (tiếp theo) 
2 2
2( , ) (2,1)
4
13) lim
2 2 4x y
x y
x x xy y

  
( , ) ( , )
14) lim (1 )x
x y k
y
x 

2 2( , ) ( , )
15) lim
x y
x y
x y  


( , ) (0,2)
sin( )
16) lim
x y
xy
x
2 2( , ) (0,0)
17) lim
x y
x y
x xy y

 
2 2 2
( , ) (0,0)
18) lim ln( )
x y
x x y


VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5. Tìm các điểm gián đoạn 
2 21) lnz x y 
2 2
1
2) 
1
z
x y

 
2
1
3) 
( )
z
x y


1
4) cosz
xy

3
2 2
5) 
x
z
x y


2
2 2
6) 
x
z
x y


VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5. Tìm các điểm gián đoạn (tiếp theo) 
2 2
2 2
2 2
, 0
7) 
0, 0
x
x y
x yz
x y
  
 

 
3 3
, 0
8) 
3, 0
x y
x y
z x y
x y
 
 
 
  
2
sin( )
, 0
9) 
, 0
xyz
z
zu
x z
 
 
 
VI. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
6. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số liên tục tại (0,0). 
3 2
2 2
2 2
2 2
, 0
1) 
, 0
x xy
x y
x yz
m x y
 
 
 

 
2
2 2
4 2
2 2
, 0
2) 
, 0
x y
x y
x yz
m x y

 
 

 
2 2
2 2
2 2
2
, 0
3) 
, 0
xy
x y
x yz
m x y
    
  