Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân - Đặng Văn Vinh (Tiếp theo)

ln 2 ln 1
2 2
X Y     
 
2 3
3( ) ln(1 ) ( ),
2 3 2
t t X Y
g t t t o t t

      
2 3
31 1ln 2 ( )
2 2 2 3 2
X Y X Y X Y
f o 
              
   
Khai triển, bỏ bậc cao hơn 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự. 
1 1
ln 2
2 2
x y
f
 
   
V. Cơng thức Taylor, Maclaurint 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ. 
Tìm khai triển Maclaurint đến cấp ba của . ( , ) sinxf x y e y
Sử dụng khai triển hàm một biến 
2 3
31 ( )
1! 2! 3!
x x x xe o x    
Khai triển, bỏ bậc cao hơn 3, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự. 
3
4sin ( )
3!
y
y y o y  
2 3 3
3 4( , ) sin 1 ( ) ( )
1! 2! 3! 3!
x x x x yf x y e y o x y o y
   
           
   
3 3 2 2 3 3 3 3
3( , ) ( )
6 6 2 36 6 36
y xy x y x y x y x y
f x y y xy o         
2 3
3( , ) ( )
2 6
x y y
f x y y xy o     
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa 
Hàm đạt cực đại chặt tại , nếu ( , )f f x y 0 0 0( , )M x y 0 0( , ) ( , )f x y f x y
với mọi (x,y) gần 0 0( , )x y
tức là 
0 0 0 0( , ) : ( , ) , : ( ) ( )fB M r M B M r D M M f M f M     
Định nghĩa 
Hàm f đạt cực đại khơng chặt tại , nếu 
với mọi (x,y) gần 0 0( , )x y
tức là 0 0 0
1 0 1 0 1 0
( , ) : ( , ) , ( ) ( ) 
v , ( , ) : ( ) ( )
fB M r M B M r D f M f M
M M M B M r f M f M
    
   à 
0 0 0( , )M x y 0 0( , ) ( , )f x y f x y
tương tự cho cực tiểu chặt và cực tiểu khơng chặt. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Hàm f(x,y) = x2 + y2 đạt cực tiểu tại (0,0). 
Xét 
2 2( , ) (0,0) 0f x y f x y   
2 2( , ) 0 ( , ) (0,0)f x y x y x y    
Vậy điểm (0,0) là điểm cực tiểu chặt. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Khảo sát cực trị của tại (1,1). 2 2( , ) 1 ( 1) ( 1)f x y x y    
2 2( , ) (1,1) 1 ( 1) ( 1) 1f x y f x y       2 2( 1) ( 1) 0x y     
( , ) (1,1)f x y f 
Vậy hàm đạt cực đại chặt tại (1,1). 
( , ) 1 ( , ) (1,1)f x y x y  
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Khảo sát cực trị f(x,y) = x2y2 tại (0,0). 
Ta cĩ 2 2( , ) (0,0) 0f x y f x y  
suy ra f đạt cực tiểu tại (0,0) 
Trong mọi lân cận của (0,0) đều
tìm được một điểm khác với (0,0
mà giá trị của f tại đĩ bằng giá trị
của f(0,0) = 0. 
Vậy (0,0) là điểm cực tiểu khơng chặt. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Khảo sát cực trị của f(x,y) = x y2 tại điểm (0,0). 
Hàm khơng đạt cực trị tại (0,0). 
Nếu ta tiến về (0,0) theo đường
thẳng y = x ( x > 0) thì f > 0. 
Nếu ta tiến về (0,0) theo đường
thẳng y = x ( x < 0) thì f < 0. 
Trong mọi lân cận của (0,
đều tìm được điểm mà f >
và điểm mà f < 0. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định lý điều kiện cần của cực trị 
Hàm f đạt cực trị tại thì tại đĩ: 
1) Khơng tồn tại đạo hàm riêng cấp 1, hoặc 
0 0 0( , )M x y
' '
0 0 0 02) ( , ) 0, ( , ) 0.x yf x y f x y   
Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0. 
Chứng minh. 
Điểm tới hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc khơng tồn tại. 
Điểm cực trị: hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định lý điều kiện đủ của cực trị 
Cho là điểm dừng của hàm f = f(x,y) và f cĩ các đạo hàm riêng
lien tục đến cấp 2 trong lân cận của điểm M0. 
0 0 0( , )M x y
Chứng minh. 
1) Nếu , thì là điểm cực tiểu. 2 0( ) 0d f M  0M
2) Nếu , thì là điểm cực đại. 2 0( ) 0d f M  0M
Chú ý: Nếu , thì khơng kết luận được. Ta phải tìm vi phân 
cấp cao hơn của f. 
2
0( ) 0d f M 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f(x,y) 
1) Tìm điểm dừng 
'
'
( , ) 0
( , ) 0
x
y
f x y
f x y
 


2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai 
'' '' '', , .xx xy yyf f f
1 2( , ), ( , ),P x y P x y 
3) Khảo sát từng điểm dừng. 
1 1 1( , ) :P x y
'' '' '' 2
1 1 1( ), ( ), ( ),xx xy yyA f P B f P C f P AC B     
1
0
0
P
A
 
 

là điểm cực tiểu 1
0
0
P
A
 
 

là điểm cực đại 
10 P   khơng là điểm cực trị 0: 
khơng kết luận được 
phải khảo sát bằng định nghĩa 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Chú ý: 
1) Sơ đồ ở slide trước khơng cho phép khảo sát cực trị tại điểm mà các đạo 
hàm riêng khơng tồn tại. Những điểm này được khảo sát bằng định nghĩa 
2) Đối với hàm nhiều hơn hai biến ta khảo sát tương tự, bằng cách dùng 
định lý điều kiện cần (tìm ở đâu) và định lý điều kiện đủ (tìm như thế nào) 
Theo định lý điều kiện đủ, để khảo sát tại điểm dừng ta xét dấu vi phân cấp 
2. Đây là một dạng tồn phương. 
3) Sơ đồ ở slide chỉ sử dụng cho hàm hai biến. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1) Tìm điểm dừng: 
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. 
Ví dụ. 
Khảo sát cực trị tự do của hàm 
2 2( , ) 2f x y x xy y x y    
'
'
2 2 0
2 1 0
x
y
f x y
f x y
    

   
1(1,0),P
'' '' ''2, 1, 2xx xy yyf f f  
3) Khảo sát từng điểm dừng. '' ''1 1 1(1,0) : ( ) 2; ( ) 1xx xyP A f P B f P   
'' 2
1( ) 2; 3 0yyC f P AC B      
Kết luận cho điểm dừng P1: là điểm cực tiểu, 1
0
0
P
A
 


1( ) 1ctf f P  
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1) Tìm điểm dừng: 
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. 
Ví dụ. 
Khảo sát cực trị tự do của hàm 
4 4 2 2( , ) 2f x y x y x xy y    
' 3
' 3
4 2 2 0
4 2 2 0
x
y
f x x y
f y x y
    

   
1 2
3
(1,1), ( 1, 1),
(0,0)
P P
P
  
'' 2 '' '' 212 2, 2, 12 2xx xy yyf x f f y     
3) Khảo sát từng điểm dừng. ''1 1(1,1) : ( ) 10; 2xxP A f P B   
'' 2 2
1( ) 10; 10 4 0yyC f P AC B       
Kết luận cho điểm dừng P1: là điểm cực tiểu, 1
0
0
P
A
 


1( ) 2.ctf f P  
Tương tự P2 là điểm cực tiểu. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Khảo sát bằng định nghĩa: 
Vậy hàm khơng đạt cực trị tại (0,0). 
Tại điểm dừng khơng thể kết luận được. 23(0,0) : 0P AC B   
4 4 2 2( , ) (0,0) 2f f x y f x y x xy y       
Chọn dãy: 
1
( , ) ,0 (0,0)nn nx y
n
   
 
Xét dấu của trong lân cận của (0,0): f
Khi đĩ: 
2
4 2 4
1 1 1
( , ) 0n n
n
f x y
n n n

    
Chọn dãy: 
1 1
( , ) , (0,0)nn nx y
n n
   
 
Khi đĩ: 4 4 4
1 1 2
( , ) 0n nf x y
n n n
    
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
) Tìm điểm dừng: 
Ví dụ. 
Khảo sát cực trị tự do của hàm 2 2( , ) 1f x y x y  
'
2 2
'
2 2
0
0
x
y
x
f
x y
y
f
x y

 


  
 
Khơng cĩ điểm dừng. 
Suy ra (0,0) là điểm cực tiểu chặt. 
Dùng định nghĩa ta thấy đạo hàm riêng theo x, theo y tại (0,0) khơng tồn tại. 
0,0) là điểm tới hạn, khơng là điểm dừng. 
2 2(0,0) ( , ) (0,0) 0f f x y f x y      (0,0) 0 ( , ) (0,0).f x y   
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự do 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Khảo sát cực trị của f(x,y) = |x|+ y2 tại điểm (0,0). 
Điểm (0,0) khơng là điểm dừng. 
(0,0) là điểm tới hạn. 
Khơng tồn tại 
' (0,0)xf
2( , ) (0,0) | | 0f x y f x y   
(0,0) là điểm cực tiểu chặt. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Đồ thị của ( , ) 2 2f x y x y  
là mặt phẳng. Khơng cĩ cực trị tự do. 
Xét điều kiện: 2 2 1x y 
Khảo sát cực trị trên đường ellipse là
giao của mặt phẳng và mặt trụ. 
Tồn tại cực trị cĩ điều kiện. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa cực trị cĩ điều kiện 
Hàm đạt cực đại chặt tại với điều kiện ( , )f f x y 0 0 0( , )M x y ( , ) 0x y 
nếu 0 0 0 0( , ) : ( , ) , : ( ) ( )fB M r M B M r D M M f M f M     
Tương tự, ta cĩ định nghĩa cực đại khơng chặt cĩ điều kiện, cực tiểu chặt 
và khơng chặt cĩ điều kiện. 
và thỏa điều kiện ràng buộc ( ) 0.M 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Điểm được gọi là điểm kỳ dị của đường cong 0 0 0( , )M x y ( , ) 0x y 
nếu 
' '
0 0( ) 0; ( ) 0x yM M  
Định lý (điều kiện cần của cực trị cĩ điều kiện) 
Điểm thỏa các điều kiện: 0 0 0( , )M x y
1) M0 khơng là điểm kỳ dị của đường cong ( , ) 0x y 
2) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận của M0( , ), ( , )f x y x y
3) Hàm f(x,y) với điều kiện đạt cực trị tại M0. ( , ) 0x y 
Khi đĩ tồn tại một số thỏa:  ' '0 0
' '
0 0
0
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
x x
y y
f M M
f M M
M



  

 


VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Số được gọi là nhân tử Lagrange. 
Hàm được gọi là hàm Lagrange. ( , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y   
Định lý (điều kiện đủ của cực trị cĩ điều kiện) 
Giả sử khả vi liên tục đến cấp 2 trong lân cận của . 0M( , ), ( , )f x y x y
Trong lân cận của các thỏa các điều kiện trong định lý điều kiện cần. 0M
2
0( ) 0d L M  0M là điểm cực tiểu cĩ điều kiện. 
2
0( ) 0d L M  0M là điểm cực đại cĩ điều kiện. 
0M khơng là điểm cực trị 
2
0( )d L M khơng xác định dấu 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
'
'
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
x
y
L x y
L x y
x y
 




2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai 
'' '' '', , .xx xy yyL L L
1 1 1 1
2 2 2 2
( , ),
( , ),
P x y
P x y




 

 
3) Khảo sát từng điểm dừng. 
1 1 1 1( , ), :P x y 
Sơ đồ khảo sát cực trị của f = f(x,y) với điều kiện ( , ) 0x y 
1) Lập hàm Lagrange ( , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y   
Tìm điểm dừng của L(x,y): 
2 '' 2 '' '' 2
1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy  
Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận. 
Tương tự khảo sát các điểm dừng cịn lại. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Từ đây ta cĩ dx theo dy (hoặc dy theo dx) 
( , ) 0x y 
Chú ý: 
1) Để khảo sát đơi khi ta cần sử dụng điều kiện 2 1( )d L P
2) Trong bài tốn cực trị cĩ điều kiện, dx và dy khơng đồng thời bằng 0. 
( , ) 0d x y 
' '
1 1( ) ( ) 0x yP dx P dy   
1( ) 0d P 
Thay vào biểu thức của , ta cĩ một hàm theo dx2 (hoặc dy2) 2
1( )d L P
3) Trường hợp cĩ nhiều hơn một điều kiện: 1 2( , ) 0, ( , ) 0x y x y  
1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y x y    
và tiếp tục tương tự trường hợp một điều kiện. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. 
Ví dụ. 
Tìm cực trị của hàm với điều kiện ( , ) 6 5 4f x y x y  
'
'
2 2
5 2 0
4 2 0
( , ) 9 0
x
y
L x
L y
x y x y



    

   

   
1 1
2 2
(5, 4), 1/ 2,
( 5,4), 1/ 2
P
P


  
  
'' '' ''2 , 0, 2xx xy yyL L L    
3) Khảo sát từng điểm dừng. 
1 1(5, 4), 1/ 2 :P  
2 2 9x y 
1) Hàm Lagrange: 2 2( , ) 6 5 4 ( 9)L x y x y x y     
2 '' 2 '' '' 2
1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy  
2 2dx dy 
từ điều kiện: 1( ) 0d P  10 8 0dx dy  
5
4
dy dx  
2
2 2 2
1
5 9
( ) 0
4 16
d L P dx dx dx
  
    
 
P1 là điểm cực đại chặt cĩ điều kiện
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. 
Ví dụ. 
Tìm cực trị của hàm với điều kiện 
2 2( , ) 2 12f x y x xy y  
'
'
2 2
4 12 2 0
12 2 8 0
( , ) 4 25 0
x
y
L x y x
L x y y
x y x y



    

   

   
1 1 2
1 3 4
2 : (3, 2), ( 3,2),
17
: ,
4
P P
P P


   
 
'' '' ''4 2 , 12, 2 8xx xy yyL L L     
3) Khảo sát từng điểm dừng. 1 1(3, 2), 2 :P  
2 24 25x y 
1) Hàm Lagrange: 
2 2 2 2( , ) 2 12 ( 4 25)L x y x xy y x y     
2 '' 2 '' '' 2
1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy  
2 28 24 18dx dxdy dy  
từ điều kiện: 1( ) 0d P  6 16 0dx dy  
8
3
dx dy 
2
1( ) 0d L P  P1 là điểm cực tiểu chặt cĩ điều kiện 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
-------------------------------------------------------------- 
Tương tự ta cĩ định nghĩa giá trị nhỏ nhất. 
chặn D, nếu và 
Định nghĩa 
Số a được gọi là giá trị lớn nhất của hàm trên một tập đĩng và bị f
0 0: ( )M D f M a  : ( )M D f M a  
Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f = f(x) trên [a,b]: 
1) Tìm điểm dừng thuộc (a,b): ' 1 2( ) 0 , ,...f x x x 
loại các điểm khơng thuộc (a,b). Tính giá trị của f tại những điểm cịn lại. 
2) Tính giá trị của f(a), f(b). 
3) So sánh giá trị của f ở bước 1) và bước 2). Kết luận. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
-------------------------------------------------------------- 
và giá trị nhỏ nhất trên D. 
Định lý Weierstrass 
Hàm nhiều biến f liên tục trên tập đĩng và bị chặn D thì đạt giá trị lớn nhất 
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f trên D: 
1) Tìm trong D (giữa các điểm trong của D) 
loại các điểm khơng là điểm trong của D. Tính giá trị của f tại những điểm
cịn lại. 
2) Tìm trên biên D. 
3) So sánh giá trị của f ở bước 1) và bước 2). Kết luận. 
1 2, ,...P PTìm điểm dừng của f : 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
-------------------------------------------------------------- 
Chú ý: 
Tìm điểm dừng của L: 
1) Tìm trên biên D: giả sử biên D cho bởi phương trình ( , ) 0x y 
Tìm trên biên D tức là tìm cực trị của f(x,y) với điều kiện ( , ) 0x y 
Lập hàm Lagrange: ( , ) ( , ) . ( , )L x y f x y x y 
'
'
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
x
y
L x y
L x y
x y
 




1 1 1
2 2 2
( , )
( , )
Q x y
Q x y


 

 
Tính giá trị của f tại các điểm Q1, Q2,... 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
-------------------------------------------------------------- 
Chú ý: 
Thay vào hàm f(x,y) ta cĩ hàm một biến x, tìm gtln, gtnn của hàm này. 
2) Trường hợp đặc biệt, biên của D là những đoạn thẳng 
Tìm trên từng đoạn thẳng. Giả sử tìm trên đoạn AB cĩ phương trình 
 ( 0)ax by c b  
a c
y x
b b
   
trên miền D: 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
Ví dụ. 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 2( , ) ( 6) ( 8)f x y x y   
2 2 25x y 
1) Tìm trong D: 
'
'
2( 6) 0
2( 8) 0
x
y
f x
f y
   

  
1(6, 8)P D  
2) Tìm trên biên của D: 
2 2( , ) 25 0x y x y    
Lập hàm Lagrange: 2 2 2 2( , ) ( 6) ( 8) ( 25)L x y x y x y      
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
Tìm điểm dừng của L: 
'
'
2 2
2( 6) 2 0
2( 8) 2 0
25
x
y
L x x
L y y
x y


    

   

 
1 2(3, 4); ( 3,4)Q Q  
3) So sánh giá trị của f ở bước 1) và bước 2). Kết luận 
1( ) (3, 4) 25f Q f   2( ) ( 3, 224) 5f Q f  
Giá trị lớn nhất là 225 đạt tại (-3,4). 
Giá trị nhỏ nhất là 25 đạt tại (3,-4). 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
trên miền D: 
Ví dụ. 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 2( , )f x y x xy y  
| | | | 1x y 
) Tìm trong D: 
'
'
2 0
2 0
x
y
f x y
f x y
   

   
1(0,0)P D 
(0,1)A
(1,0)B
(0, 1)C 
( 1,0)D  
1 0( )f P 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
2) Tìm trên biên của D. Cĩ 4 cạnh. Tìm trên từng cạnh một. 
2 2 2(1 ) (1 ) 3 2 1f x x x x x x       
Trên AB: phương trình AB là 1 , [0,1]y x x  
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến trên [0,1]. 
' 16 2 0 [0,1]
3
f x x     
Trên AB cĩ 3 điểm nghi ngờ: A(0,-1), B(1,0) và 1
1 2
,
3 3
Q
 
 
 
Tính giá trị của f tại 3 điểm này: 1( ) ; ( ) ;
1
1 )
3
(1f A f B f Q  
Tương tự tìm trên 3 cạnh cịn lại. 
3) so sánh, kết luận: GTLN: 1; GTNN: 0. 
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
trên miền D: 
Ví dụ. 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
2 2( , )f x y x y 
2 2 2x y x 
1) Tìm trong D: 
'
'
2 0
2 0
x
y
f x
f y
  

  
1(0,0)P loại vì khơng là điểm trong của
VI. Cực trị hàm nhiều biến: cực trị cĩ điều kiện 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
2) Tìm trên biên D: 
2 2( , ) 2 0x y x y x    
2 22y x x  
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm một biến 
2 2 2(2 ) 2 2f x x x x x     trên [0,2] 
' 14 2 0
2
f x x    
1
;
1
0(0) ; (2) 4
22
f f f
 



  

3) So sánh, kết luận: Giá trị lớn nhất là 4; giá trị nhỏ nhất là 
1
2

Chú ý: cĩ thể lập hàm Lagrange. 
Bài tập 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
Bài tập 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
Bài tập 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
Bài tập 
------------------------------------------------------------------------------------------