Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 6: Tích phân mặt - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh 
Bộ mơn Tốn Ứng dụng 
------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải tích hàm nhiều biến 
Chương 6: Tích phân mặt 
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) 
 dangvvinh@hcmut.edu.vn 
z 
x 
y 
O 
z=z(x,y) S 
Tương tự ta có thể chiếu 
xuống các mặt phẳng còn lại 
Chú ý : Nếu hình chiếu của S 
xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một 
đường cong (trường hợp này xảy 
ra khi S là một mặt trụ song song 
với trục Oz ) thì phải chiếu S 
xuống các mặt phẳng tọa độ khác 
, không được chiếu xuống Oxy 
Z=0 
Z=3 
2 















22
1
y
z
x
z
dxdy
y
z
x
z
22
1 














222 yxRz 
Dxy 
0z
x 
y 
z 















22
1
y
z
x
z
A 
B 
C 
O 
x+y+z=1 
Dxy 
S 
z=1-x-y 
Dxy 
A 
B 
O 
I1 I2 I3 
I2 I3 I4 
A 
B 
C 
O 
S1 
S4 
S3 
S2 
z=0 
z=1 
2 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Định nghĩa mặt hai phía 
Cho mặt cong S cĩ biên là đường cong kín C. 
Di chuyển pháp vécto của S từ một điểm A nào đĩ theo 
một đường cong tùy ý khơng cắt biên C. Nếu khi quay lại 
vị trí xuất phát, pháp vécto khơng đổi chiều thì mặt cong S 
được gọi là mặt hai phía 
Trong trường hợp ngược lại, pháp vectơ đổi chiều thì mặt 
cong S được gọi là mặt một phía 
Các ví dụ 
Mặt tờ giấy, mặt quả cầu, mặt bàn, mặt nĩn,... là những ví dụ về 
mặt hai phía 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Định nghĩa mặt định hướng 
S là mặt cong hai phía. 
Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía cịn lại 
là âm thì mặt S được gọi là mặt định hướng. 
Chú ý. Pháp véctơ của mặt định hướng luơn được chọn 
theo qui tắc sau: 
Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp 
véctơ đi từ chân lên đầu. 
Ví dụ 
Tìm pháp véctơ của mặt nĩn tại 
biết mặt nĩn được định hướng phía dưới nhìn theo hướng 
của trục 0z. 
Phương trình mặt nĩn: 
2 2z x y   1,1, 2A
2 2( , , ) 0F x y z z x y   
Pháp véctơ  ' ' '
2 2 2 2
, , , ,1x y z
x y
n F F F
x y x y
  
  
   

S định hướng phía dưới nên: 
2 2 2 2
, , 1
x y
n
x y x y
 
  
   

Pháp véctơ tại điểm A: 
1 1
, , 1
2 2
n
 
  
 

Ví dụ 
Tìm pháp véctơ của tại 
biết mặt cầu được định hướng phía ngồi. 
Phương trình : 
2 2 2 4x y z    1,0, 3A
2 2 2( , , ) 4 0F x y z x y z    
Pháp véctơ    ' ' ', , 2 , 2 , 2x y zn F F F x y z    

S định hướng phía ngồi nên:  2 ,2 ,2n x y z

Pháp véctơ tại điểm A:  2,0,2 3n 

Phía ngoài 
Phía trong 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Định nghĩa tích phân mặt loại hai 
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định 
hướng S. 
Pháp vécto đơn vị của mặt S là: 
Tích phân mặt loại một 
(cos ,cos ,cos )n   

 cos cos cos
S
I P Q R ds    
được gọi là tích phân mặt loại hai của P, Q, R trên mặt 
định hướng S, ký hiệu: 
S
I Pdydz Qdxdz Rdxdy  
I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Cách tính 
Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta 
cĩ thể sử dụng cách tính tích phân mặt loại một. 
Pháp véctơ đơn vị phức tạp, ta cĩ cách tính sau: 
S
I Pdydz Qdxdz Rdxdy  
S S S
Pdydz Qdxdz Rdxdy    
1 2 3I I I I  
Dấu cộng nếu pháp véctơ tạo với chiều dương 0z 
một gĩc nhọn, ngược lại dấu trừ. 
Chú ý : Nếu hình chiếu của S xuống 
một mặt phẳng tọa độ nào đó (ví dụ 
mặt phẳng Oxy) chỉ là một đường cong 
(trường hợp này xảy ra khi S là một 
mặt trụ song song với trục Oz ) thì tích 
phân tương ứng với các biến vi phân 
của mặt phẳng đó bằng không 
Ví dụ 
Tính 
trong đĩ S là phần mặt phẳng nằm trong hình 
trụ x2 + y2 = 2x, phía dưới theo hướng trục 0z. 
(2 ) (2 ) (2 )
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy     
3x y z  
Pháp véctơ đơn vị: 0
1 1 1
, ,
3 3 3
n
   
  
 

1 1 1
(2 ) (2 ) (2 )
3 3 3S
I dsx y y z z x
   
       
 
 
3
3 S
I x y dz s

  
   
2 2
2 2' '
2
3 ( 3 ) 1 x y
x y x
x y x y z z dxdy
 
       
9 hình trònS   9 
Ví dụ 
Tính 
trong đĩ S là phần mặt z = x2 + y2, bị cắt bởi mặt phẳng 
x + z = 2, phía dưới theo hướng trục 0z. 
( )
S
I x z dxdy 
Pháp véctơ tạo với 0z 
một gĩc luơn tù. 
Phương trình: z = x2 + y2 
Hình chiếu của S xuống 0xy: 
2 2 2x y x  
2 2( 1/ 2) 9 / 4x y  
( )
S
I x z dxdy 
2 2( 1/ 2) 9 / 4
( (2 ))
x y
x x dxdy
  
  
Dấu – vì gĩc tù 
2 2( 1/ 2) 9 / 4
2
x y
I dxdy
  
  
9
2 2
4
hình trònS      
tích phân mặt loại 2 
tích phân bội 3 
z 
x 
y 1 
z=4-y2 
tích phân đường loại 2 
tích phân mặt loại 2 
Ví dụ 
Tính 
trong đĩ C là giao của mặt phẳng và mặt 
paraboloid z = x2 + y2 ngược chiều kim đồng hồ theo 
hướng của trục 0z. 
2 2 2(3 ) (3 ) (3 )
C
I x y dx y z dy z x dz     
2 2x z 
Chọn S là phần mặt 2x + z = 2 
nằm trong paraboloid. 
Chọn phía trên của mặt S. 
0
2 1
,0,
5 5
n
 
  
 

Pháp véctơ đơn vị của S 
Chuyển về tích phân mặt loại hai 
2 2 2(3 ) (3 ) (3 )
C
I x y dx y z dy z x dz     
S
R Q P R Q P
dydz dxdz dxdy
y z z x x y
         
                   
2 2 2
S
zdydz xdxdz ydxdy  
Chuyển về tích phân mặt loại một 
2 1
2 2 0 2
5 5S
I z x y ds
 
       
 
  ' 2 ' 2
2
2 (2 2 ) 1 ( ) ( )
5
x y
D
I x y z z dxdy     
Ví dụ 
Tính 
trong đĩ S là giao của mặt phẳng và mặt paraboloid 
 x2 + y2 = 1 ngược kim đồng hồ theo hướng của trục 0z. 
( ) (2 )
C
I x y dx x z dy ydz    
2z y
Chọn S là phần mặt z = y2 
 nằm trong hình trụ. 
Chọn phía trên 
Pháp véctơ đơn vị 
0
2 2
2 1
0, ,
4 1 4 1
y
n
y y
 
 
   

Chuyển về tích phân mặt loại hai 
( ) (2 )
C
I x y dx x z dy ydz    
S
R Q P R Q P
dydz dxdz dxdy
y z z x x y
         
                   
2 0 1
S
dydz dxdz dxdy  
Vì hình chiếu S xuống 0yz cĩ diện tích bằng 0, nên 
2 0 1
S S
dydz I dxdy   
2 2 1
1
x y
I dxdy
 
  
S là biên của vật thể nên S kín. 
 ' ' 'x x x
S V
I xzdydz yzdxdz xdxdy P Q R dxdydz      
(1 2 )
V
I z dxdydz  Sử dụng tọa độ cầu 
 
/ 2 2 8
2
0 0 0
1 2 cos sinI d d d
 
           
Thêm mặt S1 là phần mặt 
phẳng trong paraboloid 
Chọn phía dưới của mặt S1 
theo hướng trục oz. 
Nội dung ơn thi học kỳ năm 2007-2008 
1. Đạo hàm riêng và ứng dụng: Cách tìm ĐHR cấp 1, cấp 2 
của hàm f = f(x,y), hàm hợp, hàm ẩn, đạo hàm theo hướng, 
véctơ Gradient. 
2. Ứng dụng của ĐHR: Taylor, cực trị tự do, cực trị cĩ điều 
kiện, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, mặt phẳng tiếp diện, 
pháp véctơ 
3. Tích phân kép: cách tính, tọa độ cực, tọa độ cực mở rộng. 
Ứng dụng hình học: diện tích, thể tích, diện tích mặt cong. 
4. Tích phân bội ba: cách tính, tọa độ trụ, tọa độ cầu. Ứng 
dụng hình học: thể tích. 
5. Tích phân đường loại một: cách tính, tích phân đường loại 
một trong khơng gian: chú ý cách tham số hĩa đường cong 
trong khơng gian. 
6. Tích phân đường loại hai: cách tính, cơng thức Green, tích 
phân khơng phụ thuộc đường đi. Chú ý: điều kiện của định lý 
Green, điều kiện tích phân khơng phụ thuộc đường đi. 
7. Tích phân mặt loại một: cách tính, ứng dụng tính diện tích 
mặt cong S. 
8. Tích phân mặt loại hai: cách tìm pháp véctơ mặt định hướng. 
Cách tính: 1/ chuyển về mặt loại một (nếu pháp véctơ đơn giản: 
mặt phẳng); 2/ dùng cơng thức Gauss – Ostrogradski): mặt kín 
Cơng thức Stokes: điều kiện sử dụng, dùng tính tích phân 
đường loại hai trong khơng gian khi mà pt tham số khĩ viết.