Bài giảng Số phức - Lê Xuân Đại

SỐ PHỨC
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 1 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 2 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Số i , được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho
i2 = −1.
Định nghĩa
Dạng đại số của số phức là
z = a+ bi ; (a, b) ∈ R2. a gọi là phần thực của số
phức z , ký hiệu là Re (z), b gọi là phần ảo của số
phức z , ký hiệu là Im (z).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 3 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Tập hợp số phức ta ký hiệu là C. Tập số thực là
tập con của tập số phức vì với mọi a ∈ R ta luôn
có a = a + 0i . Vậy R ⊂ C.
Ví dụ
Số phức −1 + i , 2 + 3i , ...
Định nghĩa
Tất cả các số phức có dạng 0 + bi , b 6= 0 được gọi
là số thuần ảo. Số phức i , 3i ,−i , ... là những số
thuần ảo.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 4 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên
mặt phẳng xOy .
Định nghĩa
Khoảng cách từ z đến O gọi là môđun của số
phức z và ký hiệu là |z | hoặc mod(z).
|z | =
√
a2 + b2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 5 / 33
Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản
Ví dụ
Môđun của số phức 1 + i
√
3 là
|z | =
√
12 +
√
3
2
= 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 6 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Định nghĩa số phức bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có
phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau.
z1 = a1 + b1i = z2 = a2 + b2i
⇐⇒ a1 = a2 và b1 = b2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 7 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Ví dụ
Tìm các số thực x , y thỏa
(1 + 2i)x + (3− 5i)y = 5− i
Giải.
(1 + 2i)x + (3− 5i)y = 1− 3i
⇔ (x + 3y) + (2x − 5y)i = 5− i
⇔
{
x + 3y = 5
2x − 5y = −1 ⇔
{
x = 2
y = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 8 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Định nghĩa phép cộng và phép trừ của 2 số phức
Cho z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i là 2 số phức. Khi
đó
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i ,
z1 − z2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)i .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 9 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Ví dụ
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z = (2 + 3i) + (−3 + 4i)− (6− 5i)
Giải.
z = (2− 3− 6) + (3 + 4− 5)i = −7 + 2i
⇒ Re (z) = −7, Im (z) = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 10 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Định nghĩa phép nhân của 2 số phức
Cho z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i là 2 số phức. Khi
đó
z1.z2 = (a1.a2 − b1.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 11 / 33
Dạng đại số của số phức Các phép toán
Ví dụ
Cho z1 = 1 + 2i , z2 = 2 + bi . Tìm tất cả b sao
cho z1.z2 là số thực.
Giải.
z1.z2 = (1.2−2.b)+(1.b+2.2)i = (2−2b)+(b+4)i .
Để z1.z2 là số thực thì b + 4 = 0⇒ b = −4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 12 / 33
Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp
Định nghĩa
Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên hợp
của số phức z = a + bi .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 13 / 33
Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp
Tính chất của số phức liên hợp
1 z + z = 2.Re (z), z − z = 2i .Im (z).
2 z .z = |z |2.
3 z = z khi và chỉ khi z là một số thực.
4 z1 ± z2 = z1 ± z2.
5 z1.z2 = z1.z2.
6
z1
z2
=
z1
z2
.
7 z = z .
8 zn = (z)n,∀n ∈ N
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 14 / 33
Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức
Định nghĩa phép chia 2 số phức
z1
z2
=
a1 + b1i
a2 + b2i
=
(a1 + b1i)(a2 − b2i)
(a2 + b2i)(a2 − b2i)
z1
z2
=
a1a2 + b1b2
a22 + b
2
2
+
a2b1 − a1b2
a22 + b
2
2
i .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 15 / 33
Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức
Ví dụ
Tính z = 2 + 3i
1 + 2i
Giải.
z =
2 + 3i
1 + 2i
=
2.1 + 3.2
12 + 22
+
1.3− 2.2
12 + 22
i =
8
5
− 1
5
i .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 16 / 33
Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản
Cho số phức z = a + bi , z 6= 0. Gọi r là khoảng
cách từ z tới gốc O và ϕ là góc giữa hướng dương
của trục thực và bán kính véctơ của điểm z .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 17 / 33
Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Biểu thức z = r(r cosϕ + i sinϕ) gọi là dạng
lượng giác của số phức z . Ở đây r = |z | chính là
môđun của số phức z , ϕ gọi là acgumen của số
phức z và ký hiệu là Arg z
Chú ý. Góc ϕ được giới hạn trong khoảng
0 6 ϕ < 2pi hoặc −pi < ϕ 6 pi.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 18 / 33
Dạng lượng giác của số phức Các phép toán
Cho
z1 = r1(cosϕ1+ i sinϕ1), z2 = r2(cosϕ2+ i sinϕ2)
Sự bằng nhau.
z1 = z2 ⇔
{
r1 = r2
ϕ1 = ϕ2 + k2pi, k ∈ Z
Phép nhân hai số phức.
z1.z2 = r1.r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).
Phép chia hai số phức.
z1
z2
=
r1
r2
(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)), z2 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 19 / 33
Dạng lượng giác của số phức Các phép toán
Ví dụ
Tìm mod(z) = r và argument Arg(z) = ϕ của số
phức z = (1 + i
√
3)(2− 2i).
Giải.
z = 2(cos
pi
3
+i sin
pi
3
).2
√
2(cos(−pi
4
)+i sin(−pi
4
)) =
= 4
√
2(cos(
pi
3
− pi
4
) + i sin(
pi
3
− pi
4
)) =
= 4
√
2(cos
pi
12
+ i sin
pi
12
).
Vậy mod(z) = r = 4
√
2 và ϕ = pi
12
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 20 / 33
Dạng lượng giác của số phức Các phép toán
Ví dụ
Tìm argument ϕ của số phức z = 1 + i
√
3
1 + i
.
Giải.
z =
2(cos pi3 + i sin
pi
3)√
2(cos pi4 + i sin
pi
4)
=
=
√
2(cos(
pi
3
− pi
4
) + i sin(
pi
3
− pi
4
)) =
=
√
2(cos
pi
12
+ i sin
pi
12
).
Vậy ϕ = pi
12
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 21 / 33
Dạng mũ của số phức Công thức Euler
Định lý
e iϕ = cosϕ + i sinϕ
Nếu z = e iϕ = cosϕ + i sinϕ thì |z | = 1 và
z−1 =
1
cosϕ + i sinϕ
=
cosϕ− i sinϕ
(cosϕ + i sinϕ)(cosϕ− i sinϕ) = cosϕ− i sinϕ.
Vậy z−1 = z .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 22 / 33
Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức
Dạng mũ của số phức là z = re iϕ
Ví dụ
Tìm dạng mũ của số phức z = −1 + i
√
3
1− i .
Giải.
z =
−1 + i√3
1− i =
2e i
2pi
3√
2e i
−pi
4
=
√
2e i
2pi
3 −i −pi4 =
=
√
2e i
11pi
12
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 23 / 33
Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức
Ví dụ
Biểu diễn các số phức có dạng z = e2+iy , y ∈ R
lên mặt phẳng phức.
Giải.
z = e2+iy = e2.e iy = e2(cos y + i sin y).
Vì y là 1 số thực bất kỳ nên tập hợp tất cả những
số phức có dạng z = e2+iy , y ∈ R là đường tròn
tâm O bán kính r = e2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 24 / 33
Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa của số phức i
Lũy thừa của số phức i
i1 = i , i2 = −1, i3 = i2.i = −i , i4 = (i2)2 = 1,
i5 = i4.i = i , i6 = i4.i2 = −1,
i7 = i4.i3 = −i , i8 = (i4)2 = 1
Định lý
Giả sử n là 1 số tự nhiên, khi đó in = i r , với r là
số dư khi chia n cho 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 25 / 33
Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa của số phức i
Ví dụ
Tính i2011.
Giải.
Ta có 2011 = 4.502 + 3. Vậy i2011 = i3 = −i .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 26 / 33
Nâng số phức lên lũy thừa Công thức Moivre
Công thức Moivre
Định lý
Cho r > 0 và n là 1 số tự nhiên. Khi đó
(r(cosϕ + i sinϕ))n = rn(cos nϕ + i sin nϕ)
Định lý
Cho n là 1 số tự nhiên. Khi đó
(cosϕ + i sinϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ,
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 27 / 33
Nâng số phức lên lũy thừa Công thức Moivre
Ví dụ
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số
z = (−√3 + i)n là 1 số thuần ảo.
Giải. z = (−√3 + i)n = (2(cos 5pi6 + i sin 5pi6 ))n =
= 2n(cos 5npi6 + i sin
5npi
6 ).
Như vậy, để z là số thuần ảo thì
cos
5npi
6
= 0⇔ 5npi
6
=
pi
2
+ kpi ⇔ n = 3 + 6k
5
.
Số k nhỏ nhất để 3 + 6k chia hết cho 5 là
k = 2⇒ n = 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 28 / 33
Khai căn số phức
Định nghĩa
Căn bậc n của số phức z là số phức w sao cho
wn = z , trong đó n là 1 số tự nhiên.
Định lý
Cho z = a + bi = r(cosϕ + i sinϕ). Khi đó
n
√
z = wk =
n
√
r(cos
ϕ + k2pi
n
+ i sin
ϕ + k2pi
n
)
với k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 29 / 33
Khai căn số phức
Định lý
Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân
biệt.
Ví dụ
Cho z = 1− i . Tìm 3√z .
.
z = 1− i =
√
2(cos
−pi
4
+ i sin
−pi
4
)
⇒ 3√z = 6
√
2(cos
−pi
4 + k2pi
3
+ i sin
−pi
4 + k2pi
3
),
(k = 0, 1, 2)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 30 / 33
Định lý cơ bản của đại số
Định lý
Phương trình bậc n, n ∈ N∗,
anx
n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
(an 6= 0, ai ∈ C, i = 1, n) có đúng n nghiệm kể cả
nghiệm thực, phức và bội của nó.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 31 / 33
Định lý cơ bản của đại số
Định lý
Cho phương trình bậc n, n ∈ N∗
anx
n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0,
(an 6= 0, ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n). Nếu x = α là
nghiệm của phương trình thì x = α cũng là
nghiệm của nó.
Hệ quả
Phương trình bậc n với hệ số thực nếu có nghiệm
phức thì sẽ có cặp nghiệm phức liên hợp.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 32 / 33
Định lý cơ bản của đại số
Ví dụ
Giải phương trình z4 + z3 + 3z2 + z + 2 = 0 trong
C biết z = i là 1 nghiệm của phương trình.
Giải.
Vì z = i là 1 nghiệm của phương trình nên z = −i
cũng là nghiệm của phương trình này. Do đó
z4+z3+3z2+z+2 = 0⇔ (z2+1)(z2+z+2) = 0
⇔
 z = ±i
z =
−1± i√3
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 33 / 33
Thực hành MatLab
Thực hành MatLab
1 Lấy phần thực của số phức z : real(z)
2 Lấy phần ảo của số phức z : imag(z)
3 Lấy modul của số phức z : abs(z)
4 Lấy góc ϕ của số phức z : angle(z)
5 Số phức liên hợp của số phức z : conj(z)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 34 / 33
Kết thúc
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 35 / 33