Giáo trình Bất đẳng thức lượng giác

nsin
4
9 222
−=++− 
hay CBACBA coscoscos22sinsinsin 222 +=++ 
Thay α2sin bằng α2cos1− vào đẳng thức cuối cùng, ta được kết quả quen thuộc : 
 ( )51coscoscos2coscoscos 222 =+++ CBACBA 
Chưa nĩi đến việc phát hiện ra ( )5 , chỉ riêng việc chứng minh đã làm “nhức ĩc” khơng 
biết bao nhiêu bạn trẻ mới làm quen với lượng giác. Qua một vài ví dụ trên đây, hẳn các 
bạn đã thấy vai trị của hình học trong việc phát hiện và chứng minh các hệ thức “thuần 
túy lượng giác”. Mặt khác, nĩ cũng nêu lên cho chúng ta một câu hỏi : Phải chăng các hệ 
thức lượng giác trong một tam giác khi nào cũng cĩ một “nguồn gốc hình học” làm bạn 
đường ? Mời các bạn giải vài bài tập sau đây để củng cố niềm tin của mình. 
1. Chứng minh rằng, trong một tam giác ta cĩ 





−=
2
sin
2
sin
2
sin8122 CBARd trong đĩ 
d là khoảng cách giữa đường trịn tâm ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đĩ. 
Từ đĩ hãy suy ra bất đẳng thức quen thuộc tương ứng. 
• 2. Cho ABC∆ . Dựng trong mặt phẳng ABC các điểm 1O và 2O sao cho các tam 
giác ABO1 và ACO2 là những tam giác cân đỉnh 21 ,OO với gĩc ở đáy bằng 
030 và 
sao cho 1O và C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, 2O và B ở cùng một nửa mặt 
phẳng bờ AC. 
a) Chứng minh : 
( )ScbaOO 34
6
1 2222
21 −++= 
b) Suy ra bất đẳng thức tương ứng : 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị 
liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 93 
 CBACBA sinsinsin32sinsinsin 222 ≥++ 
3. Chứng minh rằng nếu ABC∆ cĩ 3 gĩc nhọn, thì : 
 2
coscoscos
sinsinsin
<
++
++
CBA
CBA
4. Cho tứ diện OABC cĩ gĩc tam diện đỉnh O ba mặt vuơng, OCOBOA += . 
Chứng minh rằng : 
 ( ) BACOACOAB ∠=∠+∠ cossin 
(Hãy dùng phương pháp ghép hình) 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị 
liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 94 
Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức lượng 
giác trong tam giác 
Nguyễn Lái 
GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên 
 Giả sử ( )CBAf ,, là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các gĩc trong ABC∆ 
 Giả sử các gĩc CBA ,, thỏa mãn hai điều kiện : 
 1) ( ) ( ) 




 +≥+
2
2 BAfBfAf hoặc ( ) ( ) ( )1
2
2 




 +≥ BAfBfAf 
 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BA = 
 2) ( )












+
≥





+
2
32
3
pi
pi
C
ffCf hoặc ( ) ( )2
2
3
3
2












+
≥





pi
pi
C
ffCf 
 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
3
pi
=C Khi cộng hoặc nhân ( )( )21 ta sẽ cĩ bất 
đẳng thức : 
( ) ( ) ( ) 




≥++
3
3 pifCfBfAf hoặc ( ) ( ) ( ) 




≥
3
3 pifCfBfAf 
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CBA == . Tương tự ta cũng cĩ bất đẳng thức với chiều 
ngược lại. ðể minh họa cho phương pháp trên ta xét các bài tốn sau đây : 
Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta luơn cĩ : 
4 32
23
sin1
1
sin1
1
sin1
1
+
≥
+
+
+
+
+ CBA
Lời giải. Ta cĩ : 
( )
2
sin1
2
sinsin22
4
sinsin2
4
sin1
1
sin1
1
BABABABA +
+
≥
++
≥
++
≥
+
+
+
 ( )3
2
sin1
2
sin1
1
sin1
1
BABA +
+
≥
+
+
+
⇒ 
Tương tự ta cĩ : ( )4
2
3sin1
2
3
sin1
1
sin1
1
pipi
+
+
≥
+
+
+ CC
Cộng theo vế ( )3 và ( )4 ta cĩ : 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị 
liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 95 
3
sin1
4
2
3sin1
1
2
sin1
12
3
sin1
1
sin1
1
sin1
1
sin1
1
pipipi
+
≥


















+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
+
+ CBACBA
4 32
23
sin1
1
sin1
1
sin1
1
+
≥
+
+
+
+
+
⇒
CBA
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. 
Thí dụ 2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ : 
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11 





+≥





+





+





+
CBA
Lời giải. Ta cĩ : 
( ) ( ) ( )
2
222
2
2
sin
11
cos1
21
coscos
21
sinsin
11
sinsin
1
sinsin
21
sinsin
1
sin
1
sin
11
sin
11
sin
11












+
+=







+−
+≥







+−−
+=





+=






++≥+++=





+





+
BABABABABA
BABABABABA
 ( )5
2
sin
11
sin
11
sin
11
2












+
+≥





+





+⇒
BABA
 Tương tự : ( )6
2
3sin
11
3
sin
11
sin
11
2
















+
+≥












+





+
pipi CC
 Nhân theo vế của ( )5 và ( )6 ta cĩ : 
4
2
2
3
sin
11
2
3sin
11
2
sin
11
3
sin
11
sin
11
sin
11
sin
11












+≥
















+
+












+
+≥












+





+





+





+
pipipi CBACBA
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị 
liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 96 
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11 





+≥





+





+





+⇒
CBA
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ đều. 
Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta cĩ : 
64
3
2
sin
2
sin
2
sin 666 ≥++ CBA 
Lời giải. Trường hợp tam giác ABC tù hoặc vuơng. 
 Giả sử { }
2
,,max
pi≥= CBAA , lúc đĩ 0
2
cos >
− BA
 và 0
2
3cos >












+
piC
. 
 Ta cĩ : 
( )7
4
sin2
2
sin
2
sin
4
sin
2
cos1
8
1
2
cos
2
cos1
8
1
2
coscos1
8
1
2
2
sin
2
sin
2
2
sin
2
sin
6666
3
3
3
2266
BABABABA
BABABA
BABA
+≥+⇒+=




 +
−≥





 −+
−=




 +
−=












+
≥
+
 Tương tự ta cĩ : ( )8
4
3sin2
2
3sin
2
sin 666
pipi
+
≥+
CC
 Cộng theo vế của ( )7 và ( )8 ta được : 
( )9
64
3
6
sin3
2
sin
2
sin
2
sin
8
3sin4
4
3sin
4
sin2
2
3sin
2
sin
2
sin
2
sin
6666
6666666
=≥++⇒
+++
≥












+
+
+≥+++
pi
pipipi
CBA
CBACBACBA
 Trường hợp tam giác ABC nhọn, các bất đẳng thức ( ) ( ) ( )9,8,7 luơn đúng. 
Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ : 
 ( )( )( )
3
4
6
4
222sincossincossincos 






+≤+++ CCBBAA 
Lời giải. Ta cĩ : 
( )( )( ) 





−





−





−=+++
4
cos
4
cos
4
cos22sincossincossincos pipipi CBACCBBAA 
 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với : 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị 
liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 97 
 ( )*
4
6
4
2
4
cos
4
cos
4
cos
3








+≤





−





−





−
pipipi CBA 
 - Nếu { }
4
3
,,max
pi≥CBA thì vế trái của ( )* khơng dương nên bất đẳng thức đã cho 
luơn đúng. 
 - Nếu { }
4
3
,,max
pi
<CBA thì : 0
4
cos,0
4
cos,0
4
cos >





−>





−>





−
pipipi CBA 
 nên ( )





−+





−+=





−





− BABABA cos
2
cos
2
1
4
cos
4
cos
pipipi
( )10
42
cos
4
cos
4
cos
42
cos
2
cos1
2
1
2
2






−
+≤





−





−⇒






−
+≤











−++≤
pipipi
pipi
BABA
BABA
 Tương tự : 
 ( )11
42
3cos
43
cos
4
cos 2












−
+
≤





−





−
pi
pi
pipipi
C
C 
 Do đĩ nhân theo vế của ( )10 và ( )11 ta sẽ cĩ : 






−≤












−
+






−
+≤





−





−





−





−
43
cos
42
3cos
42
cos
43
cos
4
cos
4
cos
4
cos 422
pipipi
pi
pipipipipipi
CBACBA
3
3
4
6
4
2
43
cos
4
cos
4
cos
4
cos 







+=





−≤





−





−





−⇒
pipipipipi CBA 
 Do đĩ : 
 ( )( )( )
3
4
6
4
222sincossincossincos 






+≤+++ CCBBAA 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
 Mời các bạn tiếp tục giải các bài tốn sau đây theo phương pháp trên. 
 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta cĩ : 
( )NnCBA
CBA
n
nnn
∈≥++
≤++
2.3
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
1)2
3
1
2
tan
2
tan
2
tan)1 333
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên đề bài viết hay,thú vị 
liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 98 
( )31
4
2
4
cos
4
cos
4
cos)3 +≤++ piCCBBAA 
( ) CBACBA coscoscos31
22
1
4
cos
4
cos
4
cos)4 3+≥





−





−





−
pipipi
 với ABC∆ nhọn. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 5 Bất đẳng thức như thế nào là hay ? 
 Làm sao cĩ thể sáng tạo bất đẳng thức ? 
The Inequalities Trigonometry 99 
Chương 5 : 
Bất đẳng thức như thế nào là hay ? 
Làm sao cĩ thể sáng tạo bất đẳng thức ? 
 Bạn đọc đã làm quen với bất đẳng thức từ THCS. Bước đầu các bạn cĩ thể chỉ học các 
bất đẳng thức kinh điển : AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev,  hay bắt đầu đọc SOS, 
ABC,Vậy đã bao giờ bạn đọc tự hỏi Bất đẳng thức như thế nào là hay? Làm sao cĩ 
thể sáng tạo bất đẳng thức ? ðĩ thực sự là những vấn đề thú vị đáng để quan tâm và 
bình luận. Sau đây là một số ý kiến của giáo viên tốn, học sinh chuyên tốn về vấn đề 
này : 
Thầy ðặng Bảo Hịa (GV chuyên tốn Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) : 
 Bất kỳ bất đẳng thức nào cũng đều cĩ cái hay và cái đẹp riêng của nĩ. ðặc biệt những 
bất đẳng thức vận dụng nhiều khía cạnh của cái bất biến trong bất đẳng thức là bất đẳng 
thức hay!!! 
Thầy Trần Diệu Minh (GV chuyên tốn Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) : 
 Từ bất đẳng thức ban đầu mà suy ra được nhiều bất đẳng thức khác là bất đẳng thức 
hay!!! 
Cơ Tạ Thanh Thủy Tiên(GV chuyên tốn Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ) 
 Bất đẳng thức là một trong những đề tài được nhiều người quan tâm nhất. Quan hệ của 
chúng rất rộng, đi sâu vào là rất khĩ.Việc chứng minh bất đẳng thức lỏng là tương đối dễ, 
cịn việc làm chặt chúng mới là một cơng việc khĩ khăn và đầy ký thú!!! 
Thầy Trần Phương (Gð Trung tâm hỗ trợ nghiên cứu và phát triển các sản phẩm trí 
tuệ, là tác giả nhiều cuốn sách hay về tốn học sơ cấp) : 
 Chứng minh bất đẳng thức là cơng việc địi hỏi trí thơng minh sáng tạo và sự khéo léo. 
Phạm Kim Hùng (SV khĩa 9 Cử nhân tài năng – Trường ðHKHTN – ðHQGHN, là tác 
giả cuốn sách “Secrets in Inequalities”(Sáng tạo bất đẳng thức) nổi tiếng) : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất đẳng thức lượng giác 
 Chương 5 Bất đẳng thức như thế nào là hay ? 
 Làm sao cĩ thể sáng tạo bất đẳng thức ? 
The Inequalities Trigonometry 100 
ðiều khĩ khăn nhất khi chúng ta tiếp cận với bất đẳng thức là sự khẳng định nĩ cĩ đúng 
hay khơng. Thực tế thì khi giải một bài tốn mang tính “giả thuyết” là một việc khá mạo 
hiểm và mất nhiều thời gian, thậm chí sau những cố gắng như vậy thì kết quả thu được 
chỉ là một phản ví dụ chứng minh bất đẳng thức sai. Nhưng trong tốn học thì những điều 
như thế này hồn tồn rất bình thường và các bạn khơng cần phải e ngại khi tự phủ định 
một bài tốn mình đặt ra như vậy cả, vì đĩ sẽ là bước đầu tiên để bạn sáng tạo ra được 
một bài tốn hay và cĩ ý nghĩa. 
Lê Hồng Anh (HS chuyên tốn khĩa 2004 – 2007 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, 
Cần Thơ ) : 
Bất đẳng thức là một mảng tốn rất khĩ, nhưng lại là sân chơi để cho những học sinh giỏi 
tốn thể hiện năng lực của mình. 
Nguyễn Huỳnh Vĩnh Nghi (HS chuyên tốn khĩa 2004 – 2007 Trường THPT chuyên Lý 
Tự Trọng, Cần Thơ ) : 
Bất đẳng thức hay là bất đẳng thức cĩ những phát biểu đẹp và cách chứng minh thật đặc 
sắc, cĩ thể khơi gợi trong những học sinh giỏi tốn phát triển và tổng quát bài tốn. 
Lê Ngọc Anh (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, 
Cần Thơ ) : 
Sáng tạo bất đẳng thức là tập hợp các nghiên cứu rời rạc, các bất đẳng thức đơn lẻ rồi 
“biến hố” ra một bất đẳng thức mới. Khi đĩ ta sẽ càng ngày càng làm chặt nĩ hơn. Cuối 
cùng ta sẽ cĩ một bất đẳng thức nhìn vào là hết biết đường làm. ☺ 
Trần ðăng Khuê (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự 
Trọng, Cần Thơ ) : 
Lấy ý tưởng từ một bất đẳng thức khác (khĩ!) và phát biểu dưới một cách khác sau khi đã 
áp dụng một số bổ đề.Tất nhiên khi đĩ trình độ phải cao hơn, cách làm phải khĩ hơn, thế 
mới là sáng tạo !!! 
Lê Phước Duy (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, 
Cần Thơ ) : 
Bất đẳng thức cĩ tính tổng quát, khĩ, đẹp là bất đẳng thức hay!!! 
Huỳnh Hữu Vinh (HS chuyên tốn khĩa 2005 – 2008 Trường THPT chuyên Lý Tự 
Trọng, Cần Thơ ) : 
Những bất đẳng thức ở dạng tổng quát mà trường hợp đặc biệt của nĩ là những bất đẳng 
thức cơ bản, quen thuộc là bất đẳng thức hay!!! 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác 
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập 
The Inequalities Trigonometry 101 
Chương 6 : 
Hướng dẫn giải bài tập 
1.4.1. 
 Chứng minh ( )
9
cotcotcot
cotcotcot
3
333 CBACBA ++≥++ 
 và 3cotcotcot ≥++ CBA 
1.4.2. 
 Xét hàm ( )
4
sin xxf = với ( )pi;0∈x 
 Chứng minh ( ) 0'' <xf và 
2
32
12
sin −=pi 
 Cuối cùng sử dụng Jensen. 
1.4.3. 
 Ta đã cĩ : 
2
33
sinsinsin ≤++ CBA 
 và theo AM – GM thì : ( ) 9
sin
1
sin
1
sin
1
sinsinsin ≥





++++
CBA
CBA 
1.4.4 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
( )
8
1
2
sin
2
sin
2
sin
4
7
2
sin
2
sin
2
sin2coscoscos3
≤⇔
≥+++−
CBA
CBACBA
1.4.5. 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác 
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập 
The Inequalities Trigonometry 102 
 Chứng minh 
CBA
CBACBA
sinsinsin2
sinsinsin
cotcotcot
222 ++
=+++ 
 và 
4
9
sinsinsin 222 ≤++ CBA 
1.4.6. 
 ðể ý 0
2
cos
2
cos
2
cos >
CBA
 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
( )( )( ) CBAACCBBA
CBAACCBBACBA
sinsinsin8sinsinsinsinsinsin
sinsinsin8
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos8
≥+++⇔
≥−−−
 Tiếp theo dùng AM – GM để chứng minh tiếp. 
1.4.7. 
 ðặt 1
2
tan;
2
tan;
2
tan =++⇒=== zxyzxyCzByAx 
 Theo BCS thì : ( ) ( )22222223 zxyzxyxzzyyx ++≥++ 
 ( )1
3
1222222 ≥++⇒ xzzyyx 
 Theo AM – GM thì : 
 ( )2133
33
1
3
3 222 ≤⇔≤⇒≥++ xyzxyzzyxzxyzxy 
 Từ ( )1 suy ra : 
3
41 222222 ≥+++ xzzyyx và theo ( )2 cĩ xyz34
3
4 ≥ 
 Dẫn đến : 
( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
CBACBA
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
xyzzyxzyx
xyzxzzyyx
xyzxzzyyx
sinsinsin3coscoscos1
1
2
1
2
1
23
1
1
1
1
1
11
38111111
3822
341
2222
2
2
2
2
2
222222
222222
222222
≥+⇔
+
⋅
+
⋅
+
≥
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
+⇔
≥−−−++++⇔
≥+++⇔
≥+++
1.4.8. 
 Theo AM – GM chứng minh được : 
 





+
−
+
−
+
−
≥





−
+
−
+
− pcpbpapcpbpap
311131114 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác 
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập 
The Inequalities Trigonometry 103 
 và ⇒≥





+
−
+
−
+
− Spcpbpap
3 3431113 đpcm. 
1.4.9. & 1.4.10. 
 Ta cĩ : ( ) ( ) ( )22222 232 cbaama ++=+ 
32
1
32
222
222
cba
am
cba
am
a
a
++
≥⇒
++≤⇒
( )
( )




++
≥
++
≥
⇒
232
132
222
2
222
2
cba
m
a
m
cba
a
m
a
aa
a
 Tương tự ( )1 : 
222
2
222
2
32
32
cba
c
m
c
cba
b
m
b
c
b
++
≥
++
≥
 32≥++⇒
cba m
c
m
b
m
a
 Tương tự ( )2 : 
222
2
222
2
32
32
cba
m
c
m
cba
m
b
m
cc
bb
++
≥
++
≥
2
33≥++⇒
c
m
b
m
a
m cba
1.4.11. 
 Chứng minh : ( )( )( )2
222 22
cb
bcacbaplm aa
+
−+−
= 
 và ( ) ( ) ( )
4
22
224
222 cbacbbcacb +−+≥−+ 
 ( )applm aa −≥⇒ 
 Tương tự cho bblm và cclm rồi cộng các bất đẳng thức lại ⇒đpcm. 
1.4.12. 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác 
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập 
The Inequalities Trigonometry 104 
 Ta cĩ : 
2
1
1
2
2
2 cb
a
ma
cb
m
a
a +
>⇒
+
< 
 ⇒≥
+
+
+
+
+






++
>++⇒
abcbaaccb
cba
mcmbma cba
3
222
111
111 222
222 đpcm. 
1.4.13. 
 Theo AM – GM thì : ( )( ) ⇒≤−−
4
2cbpap đpcm. 
1.4.14. 
 Chứng minh : 
rhhh aaa
1111
=++ rồi dùng AM – GM. 
1.4.15. 
 Xét hàm ( ) ( )pi;0sin ∈∀= xxxf cĩ ( ) 0'' <xf 
 Áp dụng Jensen thì : 
4
sin3sin
4
3
sin BABA +≥+ 
 Áp dụng AM – GM thì : 4 3sinsin
4
sin3sin BABA ≥+ 
 Từ đĩ suy ra đpcm. 
2.6.1. 
 Chú ý ( ) 03 2 ≥−+ OCOBOA với O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC∆ . 
2.6.2. 
 Chú ý ( ) 032 2 ≥++ OCOBOA 
2.6.3. 
 Chú ý ( )( ) 0215 2 ≥−++ OCOBOA 
2.6.4. 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác 
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập 
The Inequalities Trigonometry 105 
 Giả sử 
3
2pi≥A 
 Chứng minh : 





−+≥++
44
tan2
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
AACBA pi
 Xét ( ) 





−+=
44
tan2
2
tan
AAAf pi 
 Dễ thấy : ( ) ( )xfxf ⇒> 0'' đồng biến trên 




pi
pi
;
3
2
 mà ( ) 34
3
232
12
tan2 −=




≥⇒−= pipi fAf 
2.6.5. 
 Dễ thấy : 
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )2222222
2
2
111
16
4
4
1
acbcbabacbacacbcba
bacacbcba
S
p
r
−−
+
−−
+
−−
=
−+−+−+
−++−++−+
==
 ⇒đpcm. 
2.6.6. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0222 ≥−−+−−+−− bcaccabcbbcabaa 
2.6.7. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
 ( )( )( ) 0>−+−+−+ bacacbcba 
2.6.8. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
 3cotcotcot ≥++ CBA 
2.6.9 
 Chứng minh ( ) xxf tan= tăng trên 





2
;0 pi 




≥≥
≥≥
⇒
2
tan
2
tan
2
tan
CBA
cba
 Tiếp theo sử dụng Chebyshev ⇒đpcm. 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác 
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập 
The Inequalities Trigonometry 106 
2.6.10. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
33
1
2
tan
2
tan
2
tan ≤CBA 
2.6.11. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
 ( )( ) abccbacba 9222 ≥++++ 
2.6.12. 
 Ta cĩ : ( )( ) ( )AARACBARma 22222 coscos21coscoscos21 ++≤+−+= 
 ( )ARma cos1+≤⇒ 
 ( ) rRCBARRmmm cba +=+++≤++⇒ 4coscoscos3 
2.6.13. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
8
1
2
sin
2
sin
2
sin ≤CBA 
2.6.14. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
 ( ) 02cos22cos2cos2 222 ≥++++ zyAyzBzCyxx 
 với cpzbpyapx −=−=−= ,, 
 Xét ⇒∆' đpcm. 
2.6.15. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
( )*
2
tan
2
tan
2
tantantantan
2
cot
2
cot
2
cottantantan
BAACCBCBA
CBACBA
+
+
+
+
+≥++⇔
≥
 Xét ( ) 





∈∀=
2
;0tan pixxxf 
 Theo Jensen thì : ⇒+≤+
2
tantan
2
tan
BABA
đpcm. 
Truịng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất đẳng thức lượng giác 
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập 
The Inequalities Trigonometry 107 
 Chứng minh các bất đẳng thức sau rồi xét khi dấu bằng xảy ra : 
3.3.1. 
4
3
coscoscoscoscoscos ≤++ ACCBBA 
3.3.2. CBACBA sinsinsin2sin2sin2sin ++≤++ 
3.3.3. CBA
CBA
tantantan
2
1
2
3
2sin
1
2sin
1
2sin
1
+≥++ 
3.3.4. 
2
tan
2
tan
2
tancotcotcot
2222222
CBA
cba
CBA
cba ≤





++
++
3.3.5. 
2
1coscoscos ≤
++
++
cba
CcBbAa
3.3.6. 
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
abcmmm cba ≥ 
3.3.7. 
2
cos
2
cos
2
cos
CBA
abclll cba ≤ 
3.3.8. SCabBcaAbc 12
2
cot
2
cot
2
cot ≥++ 
3.3.9. 
9
3265
sin
11
sin
11
sin
11 +≥





+





+





+
CBA
3.3.10. ( ) 36
1
sinsinsin
sinsinsin
2 ≤++ CBA
CBA