Bài giảng Phân tích và thiết kế giải thuật - Chương 5: Quy hoạch động và giải thuật tham lam

3Thí dụ1: Nhân xâu ma trậnCho một chuỗi gồm n matrận, và ta muốn tính tích các ma trận. A1 A2  An	(5.1)Tích của xâu ma trận này được gọi là mở-đóng-ngoặc-đầy-đủ (fully parenthesized ) nếu nó là một ma trận đơn hoặc là tích của hai xâu ma trận mở-đóng-ngoặc-đầy-đủ .Thí dụ: A1 A2 A3 A4 có thể được mở-đóng-ngoặc-đầy-đủ theo 5 cách:(A1(A2(A3A4)))(A1((A2A3)A4)((A1A2)(A3A4))(A1(A2A3))A4)(((A1A2)A3)A4)4Cách mà ta mở đóng ngoặc một xâu ma trận có ảnh hưởng rất lớn đến chi phí tính tích xâu ma trận. Thí dụ: 	A1 	10  100 A2	100  5 A3	5  50((A1A2)A3)) thực hiện10.100.5 + 10.5.50 = 5000 + 2500 = 7500 phép nhân vô hướng.(A1(A2A3)) thực hiện100.5.50 + 10.100.50 = 25000 + 50000 = 75000 phép nhân vô hướng.Hai chi phí trên rất khác biệt nhau.5Phát biểu bài toán nhân xâu ma trậnBài toán tính tích xâu ma trận:'‘Cho một chuỗi gồm n matrận, với mỗi i = 1, 2, , n, ma trận Ai có kích thước pi-1  pi, ta mở-đóng-ngoặc tích này sao cho tối thiểu hóa tổng số phép nhân vô hướng”.Đây là một bài toán tối ưu hóa thuộc loại khó.6Cấu trúc của một cách mở đóng ngoặc tối ưuBước 1: Đặc trưng hóa cấu trúc của một lời giải tối ưu. Dùng Ai..j để ký hiệu ma trận kết quả của việc tính Ai Ai+1Aj.Một sự mở đóng ngoặc tối ưu của tích xâu ma trận A1.A2 An Tách xâu ngay tại vị trí nằm giữa Ak và Ak+1 với một trị nguyên k, 1  k .Thủ tục dùng một bảng m[1..n, 1..n] để lưu các chi phí m[i, j] và bảng s[1..n, 1..n] để lưu giá trị nào của vị trí k mà thực hiện được chi phí tối ưu khi tính m[i, j].Thủ tục MATRIX-CHAIN-ORDER trả về hai mảng m và s.11Thủ tục tính hai bảng m và sprocedure MATRIX-CHAIN-ORDER(p, m, s);begin n:= length[p] - 1; for i: = 1 to n do m[i, i] := 0; for l:= 2 to n do /* l: length of the chain */ for i:= 1 to n – l + 1 do begin j:= i + l – 1; m[i, j]:= ;	/* initialization */ for k:= i to j-1 do begin q:= m[i, k] + m[k + 1, j] + pi-1pkpj; if q , bảng s và các chỉ số i và j, thủ tục đệ quy MATRIX-CHAIN-MULTIPLY sau đây tính tích xâu ma trận Ai..j,. Thủ tục trả về kết quả qua tham số AIJ.Vơi lệnh gọi ban đầu là MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A,s, 1, n, A1N)Thủ tục sẽ trả về kết quả ma trận tích sau cùng với mảng A1N.16Tính lời giải procedure MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A, s, i, j, AIJ);begin if j > i then begin MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A, s, i, s[i, j], X); MATRIX-CHAIN-MULTIPLY(A,s, s[i, j]+1, j, Y); MATRIX-MULTIPLY(X, Y, AIJ); end else assign Ai to AIJ;end;17Có hai thành phần then chốt mà một bài toán tối ưu hóa phải có để có thể áp dụng qui hoạch động: (1) tiểu cấu trúc tối ưu (optimal substructure) và (2) các bài toán con trùng lắp (overlapping subproblems).Tiểu cấu trúc tối ưuMột bài toán có tính chất tiểu cấu trúc tối ưu nếu lời giải tối ưu chứa trong nó những lời giải tối ưu của những bài toán con.  Các thành phần của quy hoạch động18Những bài toán con trùng lắp Khi một giải thuật đệ quy gặp lại cùng một bài toán con nhiều lần, ta bảo rằng bài toán tối ưu hóa có những bài toán con trùng lắp.  Giải thuật quy hoạch động lợi dụng những bài toán con trùng lắp bằng cách giải mỗi bài toán con một lần, cất lời giải vào trong một bảng mà bảng này sẽ được tham khảo đến khi cần.Các giải thuật đệ quy làm việc từ trên xuống trong khi các giải thuật quy hoạch động làm việc từ dưới lên, Cách sau hữu hiệu hơn .	19Thí dụ 2: Bài toán chuỗi con chung dài nhất Một chuỗi con (subsequence) của một chuỗi (sequence) là chuỗi ấy sau khi bỏ đi một vài phần tử. Thí dụ: Z = là một chuỗi con của X = với chuỗi chỉ số . Cho hai chuỗi X và Y, ta bảo Z là chuỗi con chung (common subsequence) của X và Y nếu Z là một chuỗi con của cả hai chuỗi X và Y. Trong bài toán chuỗi con chung dài nhất, ta được cho hai chuỗi X = và Y = và muốn tìm chuỗi con chung dài nhất (LCS) của X và Y.20Tiểu cấu trúc tối ưu của bài toán chuỗi con chung dài nhấtThí dụ: X = và Y = là LCS của X and Y. Cho chuỗi X = , ta định nghĩa tiền tố thứ i của X, với i = 0, 1, , m, là Xi = . Định lý 4.1 Cho X = và Y = là những chuỗi, và Z = là LCS của X và Y.1.  Nếu xm = yn thì zk = xm = yn và Zk-1 là LCS của Xm-1 và Yn-1.2.  Nếu xm  yn, thì zk  xm hàm ý Z là LCS của Xm-1 và Y.3.  Nếu xm  yn, thì zk  yn hàm ý Z là LCS của X và Yn-1. 21Để tìm một LCS của X và Y, ta có thể cần tìm LCS của X và Yn-1 và LCS của Xm-1 và Y. Nhưng mỗi trong hai bài toán con này có những bài toán “cháu” để tìm Xm-1 và Yn-1.  Gọi c[i, j] là chiều dài của LCS của hai chuỗi Xi và Yj. Nếu i = 0 hay j = 0, thì LCS có chiều dài 0. Tính chất tiểu cấu trúc tối ưu của bài toán LCS cho ra công thức đệ quy sau:  0 nếu i =0 hay j = 0c[i, j] = c[i-1, j-1]+1 nếu i, j > 0 và xi = yj max(c[i, j-1],c[i-1,j]) nếu i,j >0 và xi  yj (5.3) Lời giải đệ quy22Dựa vào phương trình (5.3), ta có thể viết một giải thuật đệ quy để tìm chiều dài của một LCS của hai chuỗi. Tuy nhiên, chúng ta dùng qui hoạch động để tính lời giải theo cách từ dưới lên. Thủ tục LCS-LENGTH có hai chuỗi X = và Y = là đầu vào. Thủ tục lưu các trị c[i, j] trong bảng c[0..m, 0..n]. Nó cũng duy trì bảng b[1..m, 1..n] để đơn giản hóa việc tạo lời giải tối ưu. Tính chiều dài của một LCS23procedure LCS-LENGTH(X, Y)begin m: = length[X]; n: = length[Y]; for i: = 1 to m do c[i, 0]: = 0; for j: = 1 to n do c[0, j]: = 0; for i: = 1 to m do for j: = 1 to n do if xi = yj then begin c[i, j]: = c[i-1, j-1] + 1; b[i, j]: = “” end else if c[i – 1, j] > = c[i, j-1] then begin c[i, j]: = c[i – 1, j]; b[i, j]: = “” end else begin c[i, j]: = c[i, j-1]; b[i, j]: = “” endend;Hình 4.2 sau đây trình bày ma trận c của thí dụ.24 yj B D C A B A000000000 0 0 1  1 1  01 1 1 1 2  2 01 1 2  2 2 2 01  1 2 2 3  3 01 2  2 2 3 3 01 2 2 3  3 4  01 2 2 3 4  4 xiABCBDABHình 5.225Bảng b có thể được dùng để tạo một LCS củaX = and Y =  Thủ tuc đệ quy sau đây in ra một LCS của X và Y. Lệnh gọi đầu tiên là PRINT-LCS(b, X, n, m).procedure PRINT-LCS(b, X, i, j) begin if i 0 and j 0 then if b[i, j] = ''  '' then begin PRINT-LCS(b, X, i- 1 , j - l ) ; print xi end else if b[i,j] = '''' then PRINT-LCS (b, X, i-1, j) else PRINT-LCS(b, X, i, j-1) end;Thời gian tính toán của thủ tục PRINT-LCS là O(m+n), vì ít nhất i hay j giảm một đơn vị trong mỗi chặng của đệ quy. Tạo chuỗi con chung dài nhất26Thí dụ 3. Bài toán cái túi (Knapsack) '‘Một kẻ trộm đột nhập vào một cửa hiệu tìm thấy có n mặt hàng có trọng lượng và giá trị khác nhau, nhưng y chỉ mang theo một cái túi có sức chứa về trọng lượng tối đa là M. Bài toán cái túi là tìm một tổ hợp các mặt hàng mà kẻ trộm nên bỏ vào cái túi để đạt một giá trị cao nhất với những món hàng mà y mang đi.”Bài toán này có thể giải bằng qui hoạch động bằng cách dùng hai bảng cost và best sau đây:cost[i] chứa giá trị tối đa mà có thể thực hiện được với một cái túi có sức chứa i   cost[i] = cost[i – size[j]] + val[j]best[i] chứa mặt hàng cuối cùng bỏ vào túi nhằm đạt được giá trị tối đa.27Một thí dụ của bài toán cái túi value 4 5 10	 11 13name A B C D E M = 17Hình 5.3 Một thí dụ của bài toán cái túi28 for i: = 0 to M do cost[i]: = 0;for j: = 1 to N do /* each of item type */begin for i:= 1 to M do /* i means capacity */ if i – size[j] > = 0 then if cost[i] 0 then for j: = 1 to V do if a [y, j] > 0 then if (a[x, j] = 0) or (a[x, y] + a[y, j] 0 then for j: = 1 to V do if a [y, j] > 0 then if (a[x, j] = 0) or (a[x, y] + a[y, j] = fj hay sj >= fi). Bài toán xếp lịch các hoạt động là chọn ra một chuỗi các hoạt động tương thích với nhau và có số hoạt động nhiều nhất. Bài toán xếp lịch cho các hoạt động (Activity-Selection Problem)46Giải thuật tham lam cho bài toán xếp lịch các hoạt độngTrong thủ tục áp dụng giải thuật tham lam để giải bài toán xếp lịch các hoạt động, ta giả sử rằng các hoạt động nhập vào được sắp theo thứ tự tăng của thời điểm kết thúc: f1  f2    fn.procedure GREED-ACTIVITY-SELECTOR(S, f) ; /* s is the array keeping the set of activities and f is the array keeping the finishing times */begin n := length[s]; A := {1}; j: = 1; for i: = 2 to n do if si >= fj then /* i is compatible with all activities in A */ begin A: = A  {i}; j: = i endend47Thủ tục Greedy-activity-selectorHoạt động được chọn bởi thủ tục GREEDY-ACTIVITY-SELECTER thường là hoạt động với thời điểm kết thúc sớm nhất mà có thể được xếp lịch một cách hợp lệ. Hoạt động được chọn theo cách “tham lam” theo nghĩa nó sẽ để lại cơ hội để xếp lịch cho được nhiều hoạt độngkhác.  Giải thuật tham lam không nhất thiết đem lại lời giải tối ưu. Tuy nhiên thủ tục GREEDY-ACTIVITY-SELECTOR thường tìm được một lời giải tối ưu cho một thể hiện của bài toán xếp lịch các hoạt động. 48 i si fi 1 1 4 2 3 5 3 0 6 4 5 7 5 3 8 6 5 9 7 6 10 8 8 11 9 8 12 10 2 13 11 12 14Hình 5.5 Một thí dụ của bài toán xếp lịch49Hai thành phần chính của giải thuật tham lamCó hai tính chất mà các bài toán phải có để có thể áp dụng giải thuật tham lam là: (1) tính chất lựa chọn tham lam và (2) tiểu cấu trúc tối ưu.Lựa chọn được thực hiện bởi giải thuật tham lam tùy thuộc vào những lựa chọn đã làm cho đến bây giờ, nhưng nó không tùy thuộc vào bất kỳ lựa chọn trong tương lai hay những lời giải của những bài toán con. Như vậy, một giải thuật tham lam tiến hành theo kiểu từ trên xuống, thực hiện mỗi lúc một lựa chọn tham lam. Tính chất tiểu cấu trúc tối ưu (Optimal Substructure)Một bài tóan có tính chất tiểu cấu trúc tối ưu nếu một lời giải tối ưu chứa trong nó những lời giải tối ưu cho những bài toán con. 50Sự khác biệt giữa qui hoạch động và giải thuật tham lam khi dùng để giải bài toán tối ưu là rất tế nhị. Bài toán cái túi dạng 0-1 được định nghiã như sau:'‘Một kẻ trộm đột nhập vào một cửa hiệu tìm thấy n loại món hàng có trọng lượng và giá trị khác nhau (món hàng thứ i có giá trị vi đô la và trọng lượng wi), nhưng chỉ có một cái túi với sức chứa về trọng lượng là M để mang các món hàng. Bài toán cái túi là tìm một tổ hợp các món hàng mà kẻ trộm nên chọn bỏ vào cái túi để đạt được một giá trị tối đa với những món hàng mà y lấy đi.”. Bài toán này được gọi là bài toán cái túi dạng 0-1 vì mỗi món hàng thì hoặc là lấy đi hoặc là bỏ lại, kẻ trộm không thể lấy đi chỉ một phần của món hàng.Giải thuật tham lam so sánh với quy hoạch động51Bài toán cái túi dạng phân số (Fractional knapsack problem)Trong bài toán cái túi dạng phân số, tình tiết cũng như vậy, nhưng kẻ trộm có thể lấy đi một phần của một món hàng.  Cả hai bài toán đều có tính chất tiểu cấu trúc tối ưu.   Đối với bài toán cái túi dạng 0-1, xét một tổ hợp nặng M ký mà đem lại giá trị cực đại. Nếu ta lấy món hàng thứ j ra khỏi túi, những món hàng còn lại cũng là tổ hợp đem lại giá trị lớn nhất ứng với trọng lượng tối đa M - wj mà kẻ trộm có thể lấy đi từ n-1 loại mặt hàng trừ mặt hàng thứ j.  Đối với bài toán cái túi dạng phân số, xét trường hợp khi ta lấy ra khỏi túi wj -w ký của mặt hàng thứ j, những món hàng còn lại cũng là tổ hợp đem lại giá trị lớn nhất ứng với trọng lượng M – (wj –w) mà kẻ trộm có thể lấy đi từ n-1 loại mặt hàng trừ mặt hàng thứ j.52Bài toán cái túi dạng phân số (tt.)Ta dùng giải thuật tham lam cho bài toán cái túi dạng phân số và qui hoạch động cho bài toán cái túi dạng 1-0.  Để giải bài toán cái túi dạng phân số, trước tiên ta tính hệ số giá trị tiền trên một đơn vị trọng lượng (vi/wi ) của từng mặt hàng. Kẻ trộm bắt đầu bằng cách lấy càng nhiều càng tốt mặt hàng có hệ số vi/wi lớn nhất. Khi loại mặt hàng này đã cạn mà kẻ trộm còn có thể mang thêm được nữa thì y sẽ lấy càng nhiều càng tốt mặt hàng có hệ số vi/wi lớn nhì và cứ như thể cho đến khi y không còn có thể mang thêm nữa.53Hình 5.654procedure GREEDY_KNAPSACK(V, W, M, X, n);/* V, W are the arrays contain the values and weights of n objects ordered so that Vi/Wi  Vi+1/Wi+1. M is the knapsack capacity and X is solution vector */Bỏ qua thời gian sắp thứ tự các món hàng, giải thuật này có độ phức tạp O(n). var rc: real; i: integer;begin for i:= 1 to n do X[i]:= 0; rc := M ; // rc = remaining knapsack capacity // for i := 1 to n do begin if W[i] > rc then exit; X[i] := 1; rc := rc – W[i] end; if i  n then X[i] := rc/W[i]end55Mã Huffman Chủ đề này liên quan đến vấn đề nén file (file compression). Các mã Huffman là kỹ thuật được dùng phổ biến và rất hữu hiệu cho việc nén dữ liệu, tiết kiệm từ 20% đến 90% là điển hình.Bước đầu tiên của việc xây dựng mã Huffman là đếm tần số xuất hiện (frequency) của mỗi ký tự trong tập tin được mã hóa.  Giả sử ta có một tập tin 100000 ký tự mà ta muốn lưu trữ ở dạng nén. 56 a b c d e fTần số 45 13 12 16 9 5Mã có chiều dài cố định 000 001 010 011 100 101Mã có chiều dài thay đổi 0 101 100 111 1101 1100Xét bài toán thiết kế một mã nhị phân cho ký tự (binary character code) theo đó mỗi ký tự được diễn tả bằng một tràng bit nhị phân. Nếu ta dùng một mã có chiều dài cố định (3 bit) để diễn tả 6 ký tự: a = 000, b = 001, . . . , f = 101Thì cần tất cả 300000 bit để mã hóa toàn tập tin.57Mã có chiều dài thay đổiMột mã có chiều dài thay đổi (variable-length code) có thể làm việc tốt hơn một mã có chiều dài cố định, nó cho những ký tự hay xuất hiện những mã ngắn và những ký tự ít hay xuất hiện những mã dài hơn. a = 0, b = 101, . . . f = 1100Mã này đòi hỏi:(45. 1 + 13 .3 + 12.3 + 16.3 + 9.4 + 5.4).1000 = 224000 bitsđể biểu diễn tập tin, tiết kiệm được  25 %. Và đấy cũng chính là mã tối ưu cho tập tin này.58Mã phi-tiền tố (Prefix-code)Ở đây ta chỉ xét những cách mã hóa mà không có mã của ký tự nào là tiền tố (prefix) của mã của một ký tự khác. Những cách mã hóa như vậy được gọi là mã phi tiền tố (prefix-free-code) hay mã tiền tố (prefix-code).Có thể chứng minh được rằng sự nén tin tối ưu được thực hiện bởi một cách mã hóa ký tự và đó là mã phi tiền tố. Mã phi tiền tố được ưa chuộng vì nó làm đơn giản sự mã hóa và giải mã. - Sự mã hóa là đơn giản; ta chỉ cần ghép kề các mã của các ký tự lại với nhau thì sẽ biểu diễn được mọi ký tự trong tập tin. - Sự giải mã cần một sự biểu diễn thuận tiện cho mã phi tiền tố sao cho phần đầu của mã được nhặt ra một cách dễ dàng. 59Mã phi tiền tố và cây nhị phânBiểu diễn cho một mã phi tiền tố là một cây nhị phân với mỗi nút lá tương ứng với các ký tự được cho. Chúng ta phân giải một mã nhị phân cho một ký tự như là một lối đi từ nút rễ đến nút lá của ký tự ấy, mà 0 ứng với “rẽ sang con bên trái” và 1 nghĩa là “rẽ sang con bên phải”. Mã tối ưu của một tập tin thường được biểu diễn bằng một cây nhị phân đầy đủ (full binary tree). Một cây nhị phân đầy đủ là một cây nhị phân mà mỗi nút không phải lá có đủ hai con. Nếu C là tập ký tự mà từ đó các ký tự lấy ra, thì cây nhị phân cho mã phi tiền tố tối ưu có đúng |C| nút lá, mỗi nút lá cho một ký tự, và đúng |C|-1 nút nội.6010058a:45b:13f:5e:9d:16c:121486142801001100101e:9f:51401300d:161b:13c:1225015501a:4510001(a)(b)Hình 5.7 So sánh hai cách mã hóa61Mã phi tiền tố và cây nhị phân (tt.)Cho một cây T tương ứng với một mã phi tiền tố, chúng ta có thể tính tổng số bit cần để mã hóa một tập tin. Với mỗi ký tự c trong tập ký tự C, dùng f(c) để ký hiệu tần số xuất hiện của c trong tập tin và dT(c) là chiều dài của mã cho ký tự c. Thì số bit đòi hỏi để mã hóa tập tin là B(T) =  f(c)dT(c) cCMà chúng ta coi là chi phí của cây nhị phân T.62Huffman đã đề xuất một giải thuật tham lam để cấu tạo một mã phi tiền tố tối ưu được gọi là mã Huffman (Huffman code). Giải thuật tạo một cây nhị phân T tương ứng với mã tối ưu theo kiểu từ dưới lên. Giải thuật bắt đầu với một tập gồm |C| nút lá và thực hiện một chuỗi gồm |C| tác vụ trộn để tạo ra cây cuối cùng.Một hàng đợi có độ ưu tiên Q, lấy trị khóa theo tần số f, được dùng để nhận diện hai đối tượng có tần số nhỏ nhất để trộn lại với nhau. Kết quả của việc trộn hai đối tượng là một đối tượng mới mà tần số là tổng tần số của hai đối tượng mà đã được trộn.Cấu tạo mã Huffman63Hình 5.8 Các bước của giải thuật tạo mã Huffmane:9f:51401300d:161b:13c:1225015501a:45(a)(e)f:5e:9a:45d:16b:13c:12e:9f:51401d:16b:13c:12(b)a:45b:13c:122501d:16(c)a:45e:9f:51401b:13c:122501(d)a:45e:9f:51401300d:161(f)e:9f:51401300d:161b:13c:1225015501a:451000164Giải thuật Huffmanprocedure HUFFMAN(C) ;begin n := |C| ; Q := C ; for i := 1 to n -1 do begin z: = ALLOCATE-NODE( ); left[z]: = EXTRACT-MIN(Q); right[z]: = EXTRACT-MIN(Q); f[z] := f[left[z]] + f[right[z]]; INSERT(Q, z); endendGiả sử Q được hiện thực bởi một heap. Cho một tập C gồm n ký tự, việc khởi tạo Q được thực thi với thời gian O(n). Vòng lặp for được thực thi chính xác gồm n-1 lần, và vì mỗi tác vụ làm việc trên heap đòi hỏi O(lgn), vòng lặp này đóng góp chi phí O(nlgn) vào thời gian tính toán. Như vậy, độ phức tạp của giải thuật HUFFMAN trên tập n ký tự sẽ là O(nlgn).65Thí dụ 4: Bài toán tô màu đồ thịCho một đồ thị vô hướng, tìm số màu tối thiểu để tô các đỉnh của đồ thị sao cho không có hai đỉnh nào có cạnh nối lại được tô cùng màu.Đây là một bài toán tối ưu hóa.Một chiến lược để giải quyết bài toán này là dùng giải thuật “tham lam”. Ý tưởng: Đầu tiên ta cố tô cho được nhiều đỉnh với màu đầu tiên, và rồi dùng một màu mới tô các đỉnh chưa tô sao cho tô được càng nhiều đỉnh càng tốt. Và quá trình này được lặp lại với những màu khác cho đến khi mọi đỉnh đều được tô màu.Chú ý: Giải thuật tham lam không đem lại lời giải tối ưu cho bài toán.66Để tô màu các đỉnh trong đồ thị với một màu mới, ta thực hiện các bước sau:Chọn một đỉnh chưa tô nào đó và tô nó với màu mới.Duyệt qua danh sách các đỉnh còn chưa tô. Với mỗi đỉnh chưa tô, xét xem nó có cạnh nối đến bất cứ đỉnh nào đã được tô với màu mới không. Nếu không có một cạnh như thế, ta tô đỉnh đó với màu mới.Thí dụ: Trong hình vẽ, ta tô đỉnh 1 với màu đỏ, rồi thì ta có thể tô các đỉnh 3 và 4 với cùng màu đỏ.1532467Thủ tục SAME_COLORThủ tục SAME_COLOR xác đinh một tập các đỉnh (biến newclr), mà tất cả những đỉnh đó có thể tô với cùng màu mới. Thủ tục này được gọi nhiều lần cho đến khi mọi đỉnh đều đã được tô màu. procedure SAME_COLOR(G, newclr); /* SAME_COLOR assigns to newclr a set of vertices of G that may be given the same color */ begin newclr := ; for each uncolored vertex of G do if v is not adjacent to any vertex in newclr then	 mark v colored and add v to newclr. end;68procedure G_COLORING(G); procedure SAME_COLOR(G, newclr); /* SAME_COLOR assigns to newclr a set of vertices of G that may be given the same color ; a: adjacency matrix for graph G */ begin newclr := ; for each uncolored vertex v of G do begin found := false; for each vertex w X newclr do if a[v,w] = 1 /*there is an edge between v and w in G */ then	 found := true; if not found then mark v colored and add v to newclr end end;69for each vertex in G do mark uncolored;while there is any vertex marked uncolored dobegin SAME_COLOR(G, newclr); print newclr end.Bậc của một đỉnh: số cạnh nối đến đỉnh đó.Định lý: Nếu (G) là số màu tối thiểu để tô đồ thị G và G là bậc lớn nhất trong đồ thị G thì (G) ≤ G +1Độ phức tạp của giải thuật tô màu đồ thịTác vụ căn bản: kiểm tra hai đỉnh có cạnh nối hay không.Độ phức tạp của thủ tục SAME_COLOR: O(n).Nếu m là số màu được dùng để tô đồ thị thì thủ tục SAME_COLOR được gọi tất cả m lần. Do đó, độ phức tạp của toàn giải thuật: m* O(n). Vì m thường là một số nhỏ, ta có thể nói Giải thuật có độ phức tạp tuyến tính.70Ứng dụng: Xếp lịch thi học kỳMỗi môn thi được biểu diễn bằng một đỉnh trong đồ thị.Xếp lịch thi là gán ca thi vào các môn thi. Các ca thi chính là các màu dùng để tô cho các đỉnh.Một cạnh nối giữa hai đỉnh nếu có tồn tại ít nhất một sinh viên lấy cả hai môn và phải thi cả hai môn, do đó không thể xếp hai môn thi biểu thị bằng hai đỉnh đó vào cùng một ca thi.Ứng dụng: Gán tần số trong lãnh vực vô tuyến, điện thoại di động (Frequency assignment problem)71Một Heuristic cho bài toán Tô Màu đồ thịMàu có bậc lớn nhất được tô trước. (Welsh and Powell)Bậc của một đỉnh: số cạnh nối đến đỉnh đó.Lý do: Những đỉnh có càng nhiều cạnh nối tới thì càng khó tô nếu ta đợi cho đến khi những đỉnh láng giềng của nó đã được tô.Giải thuậtArrange the vertices by decreasing order of degrees.Color a vertex with maximal degree with color 1.Choose an uncolored vertex with a maximum degree. If there is another vertex with the same maximum vertex, choose either of them.Color the chosen vertex with the least possible (lowest numbered) color.If all vertices are colored, stop. Otherwise, return to 3.72