Bài giảng Phương pháp bề mặt CAD - CAM - Đặng Thái Việt (Phần 1)

PHƯƠNG PHÁP
BỀ MẶT CAD-CAM
TS. Đặng Thái Việt
ĐHBK Hà nội
1
CHƯƠNG 1
2
CƠ SỞ HÌNH HỌC VI PHÂN
PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ
3 ĐẠI SỐ VÉC TƠ
CỘNG VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 3 D
Xét điểm P(x1,y1,z1)
 Được xem là chuyển dời
của gốc tọa độ
Sau chuyển dời được véc tơ
P1=(x1,y1,z1)
4 l, j, k: là véc tơ đơn vị theo các trục
i = (1
,
0
,
0); j = (0
,
1
,
0); k = (0
,
0
,
1)
 Chuyển dời vị trí bằng tổng chuyển dời trực giao
a = x1 i + y1 j + z1 k
 Độ dài đại số của véc tơ
a = (x12 + y12 + z12) 1/2
5 Véc tơ đơn vị: a
a
 Chuyển P1 sang P2:
 2 2 2, ,b x y z
 Cộng véc tơ:
     1 2 1 2 1 2
c a b
x x i y y j z z k
 
    
6NHÂN VÔ HƯỚNG VÉC TƠ
1 2 1 2 1 2.
 . cos
c a b x x y y z z
a b 
   

 Ý nghĩa hình học của dạng tích vô hướng:
Bằng tích độ dài hình chiếu của véc tơ thứ 1 lên
phương của véc tơ thứ 2 với độ dài véc tơ thứ hai.
7NHÂN CÓ HƯỚNG VÉC TƠ
1 1 1
2 2 2
i j k
a b x y z
x y z
 
hoặc  sina b a b u 
-Ý nghĩa hình học: Độ lớn của nó được biểu diễn
bằng diện tích hình bình hành được tạo ra từ 2
véc tơ
8BIỂU DIỄN ĐƯỜNG CONG
 Biểu diễn bằng hình học: Đường cong được
xem như là quỹ tích của một điểm chuyển động
theo quy luật. Vết để lại của điểm hình thành
đường cong hình học
VÍ DỤ
 Biểu diễn bằng hình học đường tròn: Bằng
cách vẽ một đường tròn đơn vị trên giấy bằng
compa.
9-Biểu diễn bằng toán học: Đường cong được xem
như quan hệ hàm số.
(a) Hàm ẩn: Đường cong ẩn
(b) Hàm tường minh: Đường cong tường minh
(c) Hàm tham số: Đường cong tham số
10
VÍ DỤ Biểu diễn đường tròn đơn vị bằng toán học
 Gắn điểm tâm vào điểm gốc. Điểm P
Trên đường tròn
 Phương trình dạng tường minh
 1/221y x 
 Dạng ẩn  , 0g x y 
 Dạng tham số
 
 
cos
sin
x x
y y
 
 
   
11
BIỂU DIỄN ĐƯỜNG CONG 3D
 Phương trình tham số dạng tọa độ.
     , ,x x t y y t z z t  
 Phương trình tham số dạng véc tơ.
        , ,r t x t y t z t
 Chú ý: đường cong 3D không thể biểu diễn
bằng 1 phương trình vì nó là giao của 2 mặt.
12
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG CONG
 Độ chảy bằng đại lượng vi phân véc tơ s t
   s t r t 
 Véc tơ tiếp tuyến đơn vị T bằng vi phân độ dài
tham số tự nhiên
r
s
dT
d

 Độ dài đại số véc tơ   
r t
T
r t
 
13
 Độ cong của đường cong k bằng giá trị vi phân
tiếp tuyến theo tham số biến s .
T
s
dk
d

hoặc
3
rr
k
r
 

Độ dài véc tơ pháp tuyến N bằng vi phân véc tơ
tiếp tuyến trên độ dài đại số véc tơ.
14
 Nếu T là véc tơ đơn vị thì
. 1T T 
 Véc tơ pháp tuyến trực giao với
véc tơ tiếp tuyến
.B T N
 Véc tơ trực giao với T và N bằng
véc tơ trực giao kép B
 Bán kính cong  bằng bán kính
đường tròn mật tiếp 1
k
 
15
 Độ dài xoắn  của đường cong 3D bằng tích
của vi phân véc tơ kép B với véc tơ pháp tuyến
s
dB N
d
  
VÍ DỤ
 Cho đường cong tham số
cos
sin
0
x
y
z


  
 Tìm véc tơ pháp tuyến T
 Bán kính cong k
16
 Đường cong viết dưới dạng véc tơ
   cos ,sin ,0r   
 Tích có hướng:
 Lấy vi phân bậc 1  sin ,cos ,0rT
r
  
 Véc tơ T:  sin ,cos ,0rT
r
   
 Vi phân bậc 2:  cos ,sin ,0r  
 0,0,1rr 
17
 Độ cong 3 3
0,0,1
1
0,0,1
rr
k
r
  

 Bán kính cong 1 1
k
  
 Đường cong là đường tròn đơn vị
18
BIỂU DIỄN MẶT HÌNH HỌC
 Biểu diễn toán học
 Phương trình ẩn
 Thiết lập
 Tâm cầu = Gốc
 Lấy P trên mặt cầu
 Bán kính r = 1
 Phương trình ẩn x2 + y2 + z2 = 1
19
 Phương trình của mặt 3D
 , , 0g x y z 
 Phương trình nửa không gian ngoài mặt 3D
 , , 0g x y z 
 Phương trình nửa không gian trong mặt 3D
 , , 0g x y z 
20
BIỂU DIỄN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ
 Định nghĩa mặt 3D: Ảnh của phép ánh xạ từ
tập các điểm trong mặt phẳng vào không gian
        , , , , , ,r u v x u v y u v z u v
 Ví dụ mặt cầu r = 1: với tham số u = vĩ tuyến;
v = kinh tuyến
   , cos .cos ,cos .sin ,sinr u v v u v u v
0 2 ; / 2u v      
21
 Biểu diễn bằng phương trình không tham số
 Tập ảnh của phép ánh xạ mặt 3D nằm trong
mặt phẳng xy của hệ tọa độ Đề các, phương
trình tham số của mặt 3D thành hàm không
tham số với
,u x v y 
 Hàm biểu diễn
    , , , ,r u v u v z u v
hoặc  ,z z x y
22
 Ví dụ: phương trình không tham số của nửa
trên mặt cầu đơn vị
 1/22 21z x y  
 Nếu mặt 3D bị giới hạn thì gọi là mảng mặt
 Nếu các mảng mặt ghép với nhau bằng phép
ghép trơn thành mặt gọi là mặt ghép
 Ảnh của đường cong u(t) là hàm
của u,v
23
 Ánh xạ của đường cong r(t) nằm trong mặt
phẳng r(u,v)
      
               
,
, , , , ,
r t r u t v t
r x u t v t y u t v t z u t v t


 Nếu   0,u t t v v 
 Hoặc   0,v t t u u 
 Đường cong u(t) là đường cong đơn tham số
24
 Véc tơ tiếp tuyến của mặt phẳng r(u,v)
 Tiếp tuyến thứ 1 ru(u,v)
 Tiếp tuyến thứ 2 rv(u,v)
 Véc tơ tiếp tuyến mặt:   2
,
,u v
r
r u v
u v
  
 là véc tơ tiếp tuyến .
là véc tơ tiếp tuyến đường cong đơn tham
số
r  r t    , , ,u vr u v r u v
     , , , , ,u vr u v r u v r u v Mặt phẳng tiếp tuyến
25
 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng r(u,v)
 Véc tơ pháp tuyến n là véc tơ vuông góc mặt
phẳng tiếp tuyến ở điểm khảo sát
u v
u v
r r
n
r r

 Véc tơ pháp mặt ẩn , ,g g gN
x y z
        
 Véc tơ pháp đơn vị Nn
N

26
 Dùng để tính khoảng cách mặt khảo sát tới gốc
     , , . ,ar u v r u v d n u v 
 Ví dụ: Xác định khoảng cách từ mặt 3 0x  
 Xác định véc tơ pháp tuyến
 Khoảng cách từ mặt đến gốc
Véc tơ pháp tuyến 1cn f f
    
27
Véc tơ pháp tuyến đơn vị
1Nn
N
 
Khoảng cách đến gốc
3 3
1
d
m f  
Véc tơ tiếp tuyến viết dưới dạng ma trận gọi là
ma trận cơ bản thứ 1
u vr r u r v Au     
28
     , ; , Tdu t du dvA u v u u v
dt dt dt
        
Độ dài véc tơ
   2 T T T Tr rr r r u A Au u Gu          
u u u vT
v u v v
r r r r
G A A
r r r r
     
29
Véc tơ tiếp tuyến đơn vị  1/2T
r AuT
r u Gu
    
Công thức xác định tiếp tuyến mặt bằng ma trận
Tính diện tích mặt
Tính toán diện tích mặt cắt
Độ cong của mặt
Ma trận cơ bản thứ 1
30
   2 2. . 2 . . Tuu uv uvr n u r n uvr n v r n u Du         
u
u
v
    
 
Ma trận cơ bản thứ 2
. .
. .
uu uv
vu vv
r n r n
D
r n r n
    
31
Độ cong chuẩn Kn
 2.
T T
n T
u Du u DuK kN n
u Gus
      
Độ cong chính Kn1
    
D
G
T
T
u u
kn u
u u
    
Ví dụ: Tìm độ cong chuẩn của đường cong
       T Tu t u t v t t t   
32
Trên mặt parabol
  2, cos , sin ,
2
u
r u v u v u v
    
0 2 ;0 2u v    
Giải
Đạo hàm 0 cos sin
0 ; sin ; cos
1 0 1
uu vv uv
u v v
r r u v r v
                             
33
Pháp tuyến bề mặt
2
cos
1
sin ;
1 1
u v
n u v u v t
u
         
Ma trận cơ bản thứ 1
2
22
1 01
; 1
01
TD u Du t
tt
      
 
34
Độ cong chuẩn theo công thức
 2
D D
.
G
T T
n T
u u u uK kN n
u us
      
Cuối cùng
2
2
D 1
G 1 2
T
n T
u u tK
u u t
  
 
 
35
PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ
Biến đổi 2D
Tịnh tiến
Điểm P(x,y) biểu diễn xP
y
    
Chuyển P1(x1 ,y1) sang P2(x2 ,y2)
     2 12 1
2 1
x x dx
P P D
y y dy
                  
36
Phép biến đổi tỷ lệ
Chuyển P(x1 ,y1) sang P(x2 ,y2)
Viết lại dạng ma trận
    2 12 1
2 1
x
y
sx x
P P S
sy y
               
Phép quay
Quay P(x1 ,y1) ngược chiều với góc 
Tọa độ cũ cos , sinx r y r  
37
Tọa độ mới
2 1 1
2 1 1
cos sin
sin cos
x x y
y x y
 
 
 
 
Ma trận quay
    2 12 1
2 1
cos sin
sin cos
x x
P Q P
y y
 
 
              
38
Biến đổi 3D
Phép tịnh tiến
Chuyển P(x1 ,y1) sang P(x2 ,y2) với dx, dy, dz
Điểm P2
     12 1 1
1
x dx
P y dy P D
z dz
                  
39
Biến đổi tỷ lệ
Với hệ số tỷ lệ ; ;x y zs s s
Điểm P2
Quay 3D
    2 12 2 1 1
2 1
x
y
z
x x s
P y y s P S
z z s
                           
Chuyển P(x1 ,y1) sang P(x2 ,y2) quay quanh trục z
2 1
2 1
2 1
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
x x
y y
z z
 
 
                         
40
Chuyển P(x1 ,y1) sang P(x2 ,y2) quay quanh trục x
2 1
2 1
2 1
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
x x
y y
z z
 
 
                          
Chuyển P(x1 ,y1) sang P(x2 ,y2) quay quanh trục y
2 1
2 1
2 1
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
x x
y y
z z
 
 
                         
41
Biến đổi 4D
Điểm P1 ,P2 trong 4D biểu diễn dạng ma trận
 
1
1
1
1
;
1
x
y
P
z
       
Phép tịnh tiến P1 sang P2
 
2
2
2
2
1
x
y
P
z
          2 1P P T
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1x y z
T
d d d
        
42
Quay quanh y  
cos 0 sin 0
0 1 0 0
,
sin 0 cos 0
0 0 0 1
R y
 

 
       
Quay quanh z  
cos sin 0 0
sin cos 0 0
,
0 0 cos 0
0 0 0 1
R z
 
 


       
43
Phép tỷ lệ     2 1 ;P P S
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 1
x
y
z
s
s
S
s
       
Phép quay
Quay quanh trục x
 
1 0 0 0
0 cos sin 0
,
0 sin cos 0
0 0 0 1
R x
 

 
       
44
Chuyển tọa độ
Chuyển điểm P1 trong hệ tọa độ O1 bằng phép
tịnh tiến dx,dy,dz và quay góc  sang hệ tọa độ O2
 
    
1
1 1
1
11 12 13 2
21 22 23 2 2
31 32 33 2
x
P y
z
c c c x dx
c c c y dy R P D
c c c z dz
      
                            
45
Phép quay
 
 
 
1 2
1 2
1
1 2
1 2
1 2
1
1 2
1
1
1
1
cos sin 0
sin cos 0
0 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
1 0 0 0 1 1
1
x
y
z
z
x
y
x
z
y
x d x
y d y
Rot P
z d z
x d x
y d y
Rot P
z d z
x
y
Rot P
z
 
 
 
 
                               
                               
 
2
2
2
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
0 0 0 1 1
x
y
z
d x
d y
d z
 
 
                        