Bài giảng Toán C2 - Chương 1: Ma trận - Định thức - Huỳnh Văn Kha

Chương 1
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
Toán C2 - MS: C01010
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 1 / 31
Nội dung
1 Định nghĩa, phân loại ma trận
2 Các phép toán trên ma trận
3 Chuyển vị ma trận, ma trận đối xứng
4 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột), đưa ma trận về
dạng bậc thang
5 Định thức của ma trận vuông
6 Ma trận nghịch đảo
7 Giải phương trình ma trận
8 Hạng của ma trận
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 1 / 31
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Một ma trận cấp m × n là một bảng hình chữ nhật gồm
m hàng và n cột:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
am1 am2 · · · amn

Ký hiệu: A = (aij).
Phần tử dòng i , cột j của ma trận A được viết là: [A]ij
Tập các ma trận cấp m × n được ký hiệu:Mm×n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 2 / 31
Ví dụ
A =
 1 3 −2 40 −3 10 8
4 5 1 0

Thì: [A]23 = 10, và A ∈M3×4
Ma trận bằng nhau
Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu nó cùng kích
thước và các phần tử tương ứng bằng nhau.
Ví dụ: Tìm a, b, c để A = B , biết:
A =
 1 a0 −3
4 5
 và B =
 1 3b −3
4 c

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 3 / 31
Phân loại ma trận
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều
bằng 0. Ký hiệu: 0m×n, hoặc: 0.
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột
đều bằng n.
Tập các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là:Mn
Các phần tử [A]11, [A]22, · · · , [A]nn gọi là nằm trên
đường chéo chính của ma trận vuông A.
Ví dụ: 02×3 =
(
0 0 0
0 0 0
)
, A =
 1 −2 30 6 5
2 3 −5

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 4 / 31
Ma trận đường chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà
mọi phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận đường chéo cấp n mà
mọi phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.
Ký hiệu: In.
Ví dụ: A =
 3 0 00 −2 0
0 0 0

I2 =
(
1 0
0 1
)
, I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 5 / 31
Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các
phần tử ở dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0.

b11 b12 ... b1n
0 b22 ... b2n
... ... ... ...
0 0 ... bnn
 ,

c11 0 ... 0
c21 c22 ... 0
... ... ... ...
cn1 cn2 ... cnn

Ma trận chỉ có một dòng gọi là ma trận dòng, ma
trận chỉ có một cột gọi là ma trận cột.
Các ma trận dòng (cột) cũng được gọi là các vector
dòng (cột)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 6 / 31
Cộng ma trận, nhân số với ma trận
Cho A,B ∈Mm×n và h ∈ R
Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cấp m× n có ký
hiệu là A+B, được xác định bởi: [A+B]ij = [A]ij + [B]ij
Tích của ma trận A với hằng số h là ma trận cấp m × n
có ký hiệu là hA, được xác định bởi [hA]ij = h[A]ij
Ngoài ra, ta định nghĩa: A− B = A+ (−1)B
Ví dụ: cho A =
(
1 2 3
4 5 6
)
, B =
(
1 2 1
−1 1 3
)
.
Tính: A+ B , 2B , A− B , 2A− 3B
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 7 / 31
Tính chất
Với mọi ma trận A,B ,C ∈Mm×n và h, k ∈ R, ta có:
(i) A+ B = B + A (tính giao hoán)
(ii) (A+ B) + C = A+ (B + C ) (tính kết hợp)
(iii) A+ 0 = A (0: ma trận không cấp m × n)
(iv) A+ (−A) = 0
(v) h(kA) = (hk)A
(vi) h(A+ B) = hA+ hB
(vii) (h + k)A = hA+ kA
(viii) 1.A = A
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 8 / 31
Nhân hai ma trận
Cho A ∈Mm×n, B ∈Mn×p. Ta có định nghĩa sau.
Tích ma trận của A với B là ma trận cấp m × p, ký hiệu
là AB , xác định bởi:
[AB]ik =
n∑
j=1
[A]ij [B]jk = [A]i1[B]1k + · · ·+ [A]in[B]nk
với mọi i = 1,m, k = 1, p
Ví dụ: Tính AB , AC , CA, biết:
A=
 −2 1 11 1 3
−1 0 0
, B=
 1 20 1
1 −1
, C =
 0 2 −31 2 0
3 0 −4

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 9 / 31
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 10 / 31
Tính chất
(i) (Tính kết hợp ) Với A ∈Mm×n, B ∈Mn×p và
C ∈Mp×q, ta có:
(AB)C = A(BC )
(ii) (Tính phân bố) Với A,B ∈Mm×n và C ∈Mn×p,
ta có:
(A+ B)C = AC + BC
Với C ∈Mm×n và A,B ∈Mn×p, ta có:
C (A+ B) = CA+ CB
(iii) Với mọi A ∈Mm×n, B ∈Mn×p và h ∈ R, ta có:
h(AB) = (hA)B = A(hB)
(iv) AIn = InA = A, với mọi A ∈Mn
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 11 / 31
Ma trận chuyển vị, đối xứng
Cho A ∈Mm×n, chuyển vị của A, ký hiệu A>, là ma
trận cấp n ×m xác định bởi [A>]
ij
= [A]ji
Ví dụ: Tìm chuyển vị của A =
(
1 2 3
4 5 6
)
∈M2×3.
Tính chất:(
A>
)>
= A
(A+ B)> = A> + B>
(AB)> = B>A>
Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu A> = A
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 12 / 31
Ví dụ:
1. Ma trận sau có đối xứng không?
A =
x 1 31 y 5
3 5 z

2. Cho ma trận
A =
(
2 1 −1
0 1 −4
)
Tính A>A và AA>.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 13 / 31
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1. Phép biến đổi 1: Hoán vị hai dòng i và j , ký hiệu:
di ↔ dj
2. Phép biến đổi 2: Nhân α 6= 0 vào dòng thứ i, ký
hiệu: di := αdi
3. Phép biến đổi 3: Dòng i được thay bằng tổng của
dòng i với α lần dòng j, ký hiệu: di := di + αdj
Ví dụ: Cho A =
 0 2 −3 31 2 0 −5
3 0 −4 2
.
Hãy biến đổi A lần lượt bằng các phép sau: d1 ↔ d2;
d3 := d3 − 3d1; d3 := d3 + 3d2; d3 := − 113d3.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 14 / 31
Ma trận bậc thang
Ma trận bậc thang (theo dòng) là ma trận mà với hai
dòng bất kỳ, phần từ khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm
bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên.
0 2 3 5 7 2
0 0 0 5 −4 6
0 0 0 0 − 7 3
0 0 0 0 0 − 1
0 0 0 0 0 0
 ,

3 0 5 4 2 0
0 − 2 1 6 0 3
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để
đưa 1 ma trận bất kỳ về dạng ma trận bậc thang.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 15 / 31
Đưa ma trận về dạng bậc thang
Cột xoay thứ i phải thỏa: phần tử thứ i (gọi là phần
tử xoay) khác 0, các phần tử dưới nó đều bằng 0.
Chọn cột khác 0 đầu tiên, dùng các phép biến đổi
trên dòng phù hợp để biến nó thành cột xoay thứ
nhất.
Xét cột kế bên phải cột xoay thứ nhất, nếu từ phần
tử thứ 2 của nó trở đi, có ít nhất 1 phần tử khác 0
thì ta sẽ biến nó thành cột xoay thứ 2. Ngược lại thì
ta xét cột kế tiếp bên phải, . . . . Cho đến khi tìm
được cột xoay thứ 2.
Sau khi có cột xoay thứ 2, làm tương tự trên để tìm
cột xoay thứ 3. Cứ như vậy cho đến hết.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 16 / 31
Ví dụ: Dùng phép biến đổi trên dòng để đưa ma trận
sau về dạng bậc thang
a) A =
 1 2 5 −91 −1 3 2
3 −6 −1 25

b) B =

2 6 1 5 3
1 3 1 4 1
0 0 1 4 −1
−2 −6 −2 −9 −2
3 9 2 10 4

Chú ý: Nếu ta biến đổi thêm để các phần tử xoay bằng
1 và các phần tử bên trên mỗi phần tử xoay bằng 0, thì
ma trận thu được gọi là dạng bậc thang rút gọn.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 17 / 31
Định thức
Xét A = (aij) là ma trận vuông cấp n, ma trận vuông
cấp n− 1 có được bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ
j của A được ký hiệu là: Aij
Ví dụ: A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 ∈ M3 . Tìm A11,A23,A32
Định thức của A, ký hiệu là det(A) hoặc |A|, là con số
được xác định như sau:
Nếu n = 1 thì: det(A) = a11.
Nếu n ≥ 2 thì: det(A) =
n∑
j=1
(−1)1+ja1j detA1j
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 18 / 31
Với ma trận cấp 2:
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc
Với ma trận cấp 3:
Ví dụ: Tính
∣∣∣∣ 5 4−2 −3
∣∣∣∣,
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
3 4 0
−1 −2 5
∣∣∣∣∣∣
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 19 / 31
Định lý
Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n, ta có:
detA =
n∑
j=1
(−1)i0 + jai0j detAi0j
detA =
n∑
i=1
(−1)i+j0 aij0 detAi j0
Ví dụ: Tính định thức của A =

0 3 0 5
2 3 1 1
−1 −2 2 −1
0 4 0 5

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 20 / 31
Ký hiệu: Ai1,i2,...,ik ;j1,j2,...,jk là ma trận chỉ lấy các dòng
i1, i2, ..., ik và các cột j1, j2, ..., jk của A.
Ký hiệu: Ai1,i2,...,ik ;j1,j2,...,jk là ma trận có được bằng
cách bỏ đi dòng i1, i2, ..., ik và cột j1, j2, ..., jk của A.
Định lý (Laplace)
Cho A là ma trận vuông cấp n. Chọn các dòng
i1 < i2 < · · · < ik , ta có:
detA =
∑
j1<j2<...<jk
(−1)(i1+i2+...+ik)+(j1+j2+...+jk)×
× detAi1i2...ik ;j1j2...jk × detAi1i2...ik ;j1j2...jk
Tính định thức của A trong ví dụ trên.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 21 / 31
Một số tính chất của định thức
Cho A = (aij)n×n, ta có các tính chất:
Nếu dòng i của A có dạng aij = bj + cj thì:
det(A) = det(B) + det(C ). Với B, C có được bằng
cách thay dòng i của A bằng các giá trị bj và cj
tương ứng.
Nếu A
(i)↔(j)−−−−→ B, thì: det(B) = − det(A)
Nếu A
(i):=α(i)−−−−−→ B, thì: det(B) = α det(A)
Nếu A
(i):=(i)+α(j)−−−−−−−→ B, thì: det(B) = det(A)
Đặc biệt: det(αA) = αn det(A)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 22 / 31
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần
tử trên đường chéo chính.
det(A>) = det(A)
det(AB) = det(A). det(B)
Ví dụ: Tính định thức của ma trận
A =

1 7 −1 10
1 4 −7 6
2 11 −10 21
2 5 −18 6
 , B =

2 −4 −1 −1
2 −1 −4 −5
5 −4 −9 −11
−2 2 3 4

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 23 / 31
Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Cho A ∈Mn, ma trận B ∈Mn được gọi là ma trận
nghịch đảo của A nếu: AB = BA = In. Ký hiệu: A
−1
Ma trận nghịch đảo là duy nhất.
Tính chất:(
A−1
)−1
= A
(AB)−1 = B−1A−1(
A>
)−1
=
(
A−1
)>
A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6= 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 24 / 31
Tìm ma trận nghịch đảo
Phương pháp 1: dùng định thức
Giả sử: det(A) 6= 0
Đặt: B = (bij) ∈Mn, với bij = (−1)i+j det(Aij). Khi đó:
A−1 =
1
det(A)
B> =
1
det(A)

b11 b21 · · · bn1
b12 b22 · · · b2n
· · · · · · · · · · · ·
b1n b2n · · · bnn

Ví dụ: Tìm nghịch đảo của A =
 2 −6 4−1 2 −3
−3 6 −6

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 25 / 31
Phương pháp 2: dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành
In thì cũng chính chúng biến In thành A
−1
Lập ma trận (A|In)
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về
dạng (In |B ). Khi đó A−1 = B
Nếu không đưa được về dạng (In |B ) thì A không
khả nghịch
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 26 / 31
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của
A =
 1 −1 1−1 2 1
−2 3 1

B =
 1 3 −41 5 −1
3 13 −6

C =

1 1 0 0
1 1 1 0
0 1 1 1
0 0 1 1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 27 / 31
Giải phương trình ma trận
Nếu A ∈Mn khả nghịch thì:
1. ∀B ∈Mn×p: A · X = B ⇔ X = A−1 · B
2. ∀B ∈Mp×n: X · A = B ⇔ X = B · A−1
Ví dụ: Cho
A=
 1 2 0−2 −2 2
0 2 3
, B=
−1 20 −2
−2 2
, C =
−5 −6 4−5 −8 2
1 0 −3

1. Tìm ma trận X biết: A · X = B .
2. Tìm ma trận Y biết: Y · A = C .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 28 / 31
Hạng của ma trận
Xét A ∈Mm×n. Nếu ta bỏ đi m − k dòng và n − k cột
trong A thì định thức của ma trận thu được gọi là một
định thức con cấp k của A
Định nghĩa
Hạng của ma trận A là số nguyên không âm r thỏa:
Mọi định thức con cấp lớn hơn r của A đều bằng 0
Có (ít nhất) một định thức con cấp r của A khác 0
Ký hiệu hạng của A là: rank(A) hoặc r(A)
Dễ thấy: 0 ≤ r(A) ≤ min{m, n}
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 29 / 31
Hạng ma trận không thay đổi qua phép biển đổi sơ
cấp trên dòng.
Hạng của ma trận bậc thang theo dòng là số dòng
khác 0 của nó.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận
A =
 1 2 −1 0−1 2 4 2
3 6 −3 0

rank(A>) = rank(A)
Nếu A ∈Mn thì: r(A) = n⇔ det(A) 6= 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 30 / 31
Bài tập
1. Cho A =
(
2 −1 3
0 1 2
)
và B =
−2 10 2
1 −1
.
Tính AB , (AB)3.
2. Cho A =
1 −2 64 3 −8
2 −2 5
.
Tìm ma trận X sao cho 3A+ 2X = I3.
3. Biện luận theo m hạng của ma trận
1 1 −32 1 m
1 m 3
.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận, định thức Toán C2 - MS: C01010 31 / 31