Bài giảng Toán C2 - Chương 3: Không gian vector Rn - Huỳnh Văn Kha

Chương 3
KHÔNG GIAN VECTOR Rn
Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
Toán C2 - MS: C01010
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 1 / 18
Nội dung
1 Một số khái niệm cơ bản
Khái niệm không gian vector, kg vector con
Không gian sinh bởi tập hợp
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector
3 Tọa độ
Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 1 / 18
Không gian vector, kg vector con
Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và
nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính
chất sau thì ta nói V là một không gian vector:
∀u, v ,w ∈ V ; ∀h, k ∈ R
1. Giao hoán: u + v = v + u
2. Kết hợp: (u + v) + w = u + (v + w)
3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V
4. ∀u ∈ V ,∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0
5. h(ku) = (hk)u
6. (h + k)u = hu + ku
7. h(u + v) = hu + hv
8. 1.u = u
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 2 / 18
Ví dụ:
Tập các ma trậnMm×n cùng với phép cộng ma
trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector
Tập Rn với phép cộng và nhân:
I (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn)
I k (x1, ..., xn) = (kx1, ..., kxn)
lập thành không gian vector
Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅
Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W .
Thì ta nói W là không gian vector con của V
Ký hiệu: W ≤ V
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 3 / 18
Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V
không?
1. V = R2, W = {(x , 0) : x ∈ R}
2. V = R2, W = {(x , 1) : x ∈ R}
3. V = R3, W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R}
4. V = Rn, W là tập nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với
A ∈Mm×n)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 4 / 18
Không gian sinh bởi tập hợp
Cho V là kgvt và S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V
Với mỗi bộ k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta gọi vector
v = k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun là một tổ hợp tuyến tính
của các vector u1, u2, . . . , un
Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , un thì
W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S
hay S sinh ra W
Ký hiệu: W = 〈S〉 = 〈u1, u2, ..., un〉
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 5 / 18
Ví dụ: Xét W = 〈u1, u2, u3〉 ≤ R4,
với u1 = (2, 0,−1, 3), u2 = (0, 1, 2,−1), u3 = (2, 2, 3, 1)
1. Các vector v1 = (−2, 3, 7,−6), v2 = (2, 1, 1, 1) có
thuộc W không?
2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c , d) ∈ W
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 6 / 18
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Cho V là kgvt, S = {u1, u2, . . . , un}
S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi
k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta có:
k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun = 0 kéo theo
k1 = k2 = · · · kn = 0
Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ
thuộc tuyến tính
Ví dụ: S = {u1, u2, u3} có độc lập tuyến tính không?
1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)
2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1,−3, 1), u3 = (−5, 6, 4)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 7 / 18
Cơ sở và số chiều
Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector
độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V
đều phụ thuộc tuyến tính.
n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dimV = n
Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n
chiều là một cơ sở của không gian đó
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 8 / 18
Ví dụ:
1. Không gian Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R} có
số chiều là n; có một cơ sở là B0 = {e1, e2, . . . , en},
với:

e1 = (1, 0, ..., 0)
e2 = (0, 1, ..., 0)
...
en = (0, 0, ..., 1)
Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn
2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của
R3 không?
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 9 / 18
Chú ý
Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi:
S sinh ra V , nghĩa là: 〈S〉 = V , và
S độc lập tuyến tính
Nếu S là cơ sở của V thì: dimV = số phần tử của S
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 10 / 18
Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của 〈S〉
Trong kgvt V , cho hệ S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V .
Khi đó, số chiều của 〈S〉 gọi là hạng của S , ký hiệu:
rank S
Nếu S ′ thu được bằng cách:
I Đổi chỗ 2 phần tử của S
I Nhân một vector của S với số khác 0
I Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một
vector khác trong S
Thì 〈S〉 = 〈S ′〉
Để tìm cơ sở, số chiều của 〈S〉, ta làm như sau:
I Sắp các vector của S thành hàng
I Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận
bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 11 / 18
Ví dụ:
1. Trong R4, xét S = {u1, u2, u3, u4}, với
u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0,−2, 0, 1),
u3 = (3,−1, 9, 2), u4 = (−1,−7,−3,−3).
Tìm cơ sở và số chiều cho 〈S〉
2. Trong R4, xét B = {v1, v2, v3, v4}, với
v1 = (2,−1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1,−1),
v3 = (−2,−2,−8, 3), v4 = (2,−7, 5, 1).
Tìm cơ sở và số chiều cho 〈B〉
Chú ý: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi:
rank(S) = số vector của S
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 12 / 18
Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất
Dùng pp Gauss giải hệ, suy ra cơ sở, số chiều
Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm hệ:
1.
 x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 02x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 0
2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 0
2.

x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0
2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 0
3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0
2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 13 / 18
Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự
do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm
Dùng 1 trong 2 cách sau:
1. Xem là kg sinh bởi các vector cột của ma trận hệ số
2. Dùng phương pháp Gauss
Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian
W = {(a, b, c , d , e) : hệ dưới đây có nghiệm}
x1 + x2 + 2x4 = a
2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b
x1 + 3x2 + 5x4 = c
3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d
2x1 + 8x2 − 4x3 + 2x4 = e
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 14 / 18
Tọa độ
Cho B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở được sắp của
kgvt V .
Khi đó, ∀u ∈ V ,∃!(k1, k2, . . . , kn) ∈ Rn sao cho:
u = k1e1 + k2e2 + · · ·+ knen
Tọa độ của u trong B là: [u]B =

k1
k2
...
kn

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 15 / 18
Ví dụ:
1. Tìm tọa độ của u = (x1, x2, . . . , xn) trong cơ sở
chính tắc của Rn
2. Chứng tỏ rằng B = {u1 = (2, 3, 3), u2 =
(−1,−1,−3), u3 = (1, 2, 3)} là sơ sở của R3. Tìm
tọa độ của u = (−1, 0, 0) trong B
3. a)Chứng tỏ rằng S = {v1 = (1,−1, 1, 1), v2 =
(2,−2, 3, 0), v3 = (3,−3, 4, 3)} là một cơ sở của
W = 〈S〉 ≤ R4.
b) Chứng tỏ rằng v = (−1, 1,−2, 3) ∈ W . Tìm [v ]S
c) Biết [w ]S =
 −11
0
. Xác định w .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 16 / 18
Ma trận chuyển cơ sở
Cho B, và B′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là các cơ sở của kgvt V .
Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′ được định
nghĩa là:
P(B → B′) = ([e ′1]B [e ′2]B · · · [e ′n]B)
Các tính chất:
P(B → B) = In
P(B → C) = P(B → B′)P(B′ → C)
P(B → B′) = [P(B′ → B)]−1
[v ]B = P(B → B′)[v ]B′
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 17 / 18
Ví dụ: Cho B0 là cơ sở chính tắc của R3
B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)},
C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2,−3)}.
1. Chứng tỏ rằng B, C đều là các cơ sở của R3.
2. Tìm P(B0 → B), P(B → B0), P(B → C),
P(C → B)
3. Cho u = (−2, 1, 3). Tìm [u]B
4. Cho [v ]C =
 −2−1
3
. Tìm [v ]B
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Rn Toán C2 - MS: C01010 18 / 18