Bài giảng Toán cao cấp 1 - Nguyễn Văn Tiến (Phần 2)

MA TRẬN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
TUYẾN TÍNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Định nghĩa ma trận
• Một ma trận A cấp 
mxn là một bảng 
số hình chữ nhật 
gồm mxn phần tử, 
gồm m hàng và n 
cột.
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
a a a
a a a
hay A
a a a
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
K
L
M M O M
L
K
L
M M O M
L
Định nghĩa ma trận
• Ký hiệu ma trận:
• Ví dụ:
ij m n
A a
´
é ù= ê úë û
1 2 7 0
4 5 7 1
0 2 8 9
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Ma trận vuông
• Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.
• Đường chéo chính gồm các phần tử:
11 12 1
21 22 2
ij
1 2
n
n
n n nn
n n
a a a
a a a
A a
a a a
´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç é ù÷= =ç ÷ ê úç ÷ ë û÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
K
L
M M O M
L
11 22
, , ...,
nn
a a a
Các dạng ma trận đặc biệt
1. Ma trận không:
2. Ma trận hàng
3. Ma trận cột
4. Ma trận tam giác trên
5. Ma trận tam giác dưới
6. Ma trận chéo
7. Ma trận đơn vị
8. Ma trận bậc thang
Ma trận không
• Tất cả các phần tử đều bằng 0.
• Ký hiệu: 0 hay 0mxn
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
m n´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
L
L
M MO M
L
Ma trận hàng, cột
• Ma trận hàng: chỉ có một hàng
• Ma trận cột: chỉ có một cột
( )
1
2
1 2 3 4 5
4
5
A B
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - = ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
Ma trận tam giác trên
1 2 3 4
1 2 3
0 0 2 1
0 4 5
0 0 8 9
0 0 6
0 0 0 4
A B
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
• Ma trận vuông
• Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 
Ma trận tam giác dưới
1 0 0 0
1 0 0
2 0 0 0
3 4 0
0 6 8 0
5 0 6
9 3 1 4
A B
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
• Ma trận vuông
• Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 
Ma trận chéo
1 0 0 0
1 0 0
0 0 0 0 0
0 4 0
0 0 8 0 0
0 0 6
0 0 0 4
a
A B C
b
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷çç ç÷ ÷ ÷çç= = =ç÷ ÷ ÷çç ÷ ç ÷ ÷çç ÷÷ ÷ç è øç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
• Ma trận vuông
• Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0
• Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0
Ma trận đơn vị
2 3 4
1 0 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
I I I
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç çæ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷ç ç= = = ç÷ ÷÷ç ç ÷ ç ÷÷ç ç÷ ÷ ÷çè ø ç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
• Ma trận chéo
• Các phần tử chéo đều bằng 1.
• Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n
Ma trận bậc thang
• Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử 
bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.
• Ma trận bậc thang:
– Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm 
dưới cùng.
– Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải 
(không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng 
trên.
Ví dụ 1
2 1 0 0
0 0 7 1
0 4 8 9
0 0 0 9
3 1 0 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 9 1
A
B
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
Không là bậc 
thang
Không là bậc 
thang
Ví dụ 2
2 1 0 0
0 4 8 9
0 0 7 1
0 0 0 0
3 1 0 0 3
0 0 3 1 2
0 0 0 9 1
C
D
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø
bậc thang
bậc thang
Các dạng phép toán trên ma trận
1. Ma trận bằng nhau
2. Cộng hai ma trận cùng cấp
3. Nhân một số với ma trận
4. Nhân hai ma trận
5. Ma trận chuyển vị
6. Lũy thừa của một ma trận
Hai ma trận bằng nhau
• Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.
1 2
4 5
2
1
4
5
a d
A B
b c
a
d
A B
b
c
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
ìï = -ïïï =ïï= Û í
ï =ïïï =ïïî
Cộng hai ma trận
• Cộng các phần tử tương ứng với nhau
• Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp
1 2
4 5
2 1
4 5
a d
A B
b c
a d
A B
b c
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
æ ö- + ÷ç ÷ç+ = ÷ç ÷+ +ç ÷è ø
Nhân một số với ma trận
• Nhân số đó vào tất cả các phần tử
1 2 6
4 5
2 2
2
2 2
2 6
4 5
a d
A B
b c f
a
A
b c
k dk k
kB
k k fk
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø
æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø
Ví dụ
1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
)
) 2 3
1 2
)
3 7
A B
a A B
b A B
c A B
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
+
-
+
Phép nhân hai ma trận
• Cho 2 ma trận:
• Khi này ma trận A nhân được với ma trận B
• Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng 
ma trận sau.
;
m n n k
A B
´ ´
.
m k kn mn
A B C
´ ´ ´
=
Qui tắc nhân
• Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng 
hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma 
trận sau.
( )( )h ang cotijc i j
C A B
=
Ví dụ
• Các ma trận nào nhân được với nhau?
1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
1 2
2 4 1 2 3
0 1 2 4 1
3 7
A B
C D
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç æ ö÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç= =ç ÷ ÷çç ÷ ÷- -ç ÷÷ç è ø÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
Định thức
• Cho ma trận A vuông, cấp n.
• Định thức của ma trận A, ký hiệu:
• Đây là một số thực, được xác định như sau:
( )det A hay A
( ) ( )
( )
11 111 1
11 12
11 22 21 12
21 22 2 2
det
det . .
A a thì A a
a a
A thì A a a a a
a a
´
´
= =
æ ö÷ç ÷ç= = -÷ç ÷ç ÷è ø
Định thức cấp n≥3
• Dùng phần bù đại số
• Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là 
ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ 
đi hàng thứ i và cột thứ j.
11 12 1
21 22 2
1 2
......
......
.............................
......
n
n
n n nn
n n
a a a
a a a
A
a a a
´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
4 4
3 21 0 9
1 7 1 2
2 14 0 6
6 42 1 13
A
´
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø
Ví dụ
• Cho ma trận:
( )23 23
3 21 9
2 14 6
6 42 13
M M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= Þ = ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
boûhaøng 2 vaø coät 3
M23=???
Phần bù đại số
• Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác 
định như sau:
( ) ( )ij ij1 det
i j
A M
+
= -
( )ij ij1
i j
A M
+
= -
Khai triển định thức
• Định thức của ma trận vuông cấp n:
• Đây là khai triển theo dòng 1.
• Ta có thể khai triển dòng bất kỳ.
( ) 11 11 12 12 1 1d et . . ... n nA a A a A a A= + + +
( ) 1 1 2 2d et . . ...i i i i in inA a A a A a A= + + +
Ví dụ
• Tính định thức ma trận sau:
1 2 3 4
1 2 3
0 5 7 6
0 5 7
1 2 8 5
1 2 8
0 0 0 2
A B
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç- ÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
Định thức cấp 3
• Ta dùng qui tắc sau:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
( ) ( )
( )
11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 22 13 32 23 11 33 21 12
d et . . . . . .
. . . . . .
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= + +
- + +
Ví dụ
• Tính lại định thức ma trận sau:
( )
( )
1 2 3 1 2 1
0 5 7 0 1 0
1 2 8 2 2 2
5 7 6 0 1 1
1 2 5 1 2 2
0 3 9 3 3
A C
m m
m
B D
m
æ öæ ö ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç= = ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷- ç÷ -ç ÷çè ø è ø
æ ö æ ö+÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç çè ø è ø
Tính chất của định thức
1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ 
để tính định thức.
2. det(A)=det(AT)
3. det(AB)=det(A). det(B)
4. det(kA)=kndet(A)
5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định 
thức đổi dấu.
6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không 
thì định thức tăng lên k lần.
Tính chất của định thức
7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp thứ 3 thì 
định thức không thay đổi.
8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 
thì định thức bằng 0.
9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.
10.Định thức của ma trận tam giác bằng tích các 
phần tử trên đường chéo chính.
11.Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai 
số hạng thì tách tổng 2 định thức
Tính chất 11
Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số 
hạng thì tách tổng 2 định thức
1 3 1 3 1 3
0 7 0 7 0 7
1 8 1 8 1 8
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 4 6 5 7
10 12
2 2
5 5
2
5 10 12 5 1
6 6
1
2
2 4 5
4 14
16 16
3 6 7
0 12 5
+
+ = +
- + - -
+ + + = +
Ma trận nghịch đảo
• Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch 
nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho:
• Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của 
ma trận A. Ký hiệu: A-1
.
.
n
n
A B I
B A I
ìï =ï
í
ï =ïî
Tính chất
( )
1
1 1
1
1
. .
n
A
A A A A I
A
-
- -
-
-
Û
= =
=
i ) khaûnghòch toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A
ii)
i i i) M a traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù)
thì duy nhaát, vaø:
A
Tính chất
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
1 1
1
1 1 1
1
1
1
. ;
1
det
det
T
T
T
A B B A
A BC C B A
A A
A
A
-
- -
-
- - -
-
-
-
=
=
=
=
iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì:
v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch:
vi)
Điều kiện để ma trận khả nghịch
• Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:
( )
( )
( )
det 0
det 0
n
A A I
A r A n
A A
A A
Û
Û =
Û ¹
Û =
:i ) khaûnghòch
ii) khaûnghòch
ii i) khaûnghòch
iv) khoâng khaûnghòch
Cách tìm ma trận nghịch đảo
• Phương pháp Gauss – Jordan
• Phương pháp Định thức
Ma trận nghịch đảo_1
• Ta có:
• Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của 
A.
• Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận 
A
1 1
det
TA C
A
- =
( )i j i j1 det
i j
ij
c A M
+
= = -
Ví dụ 1
• Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu 
có 3 4 6
0 1 1
2 3 4
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
( )det ???A =
Ví dụ 1
• Tìm ma trận phụ hợp của A:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 0 1 0 1
3 4 2 4 2 3
4 6 3 6 3 4
3 4 2 4 2 3
4 6 3 6 3 4
1 1 0 1 0 1
c c c
c c c
c c c
= + = = - = = + =
- - - -
- -
= - = = + = = - =
- - - -
- -
= + = = - = = + =
Giải phương trình ma trận
a) Xét phương trình: A.X=B
Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B
b) Xét phương trình: X.A=B
Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1
c) Xét phương trình: A.X.C=B
Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1
Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự 
của phương trình.
Kiểm tra 30’
• 1) Thực hiện phép tính
1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
1 2
) ) 2 3 )
3 7
A B
a A B b A B c A B
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø
+ - +
Kiểm tra 30’
• 2. Tính định thức
• 3. Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có):
( )0 1 1
1 2 2
3 3
m
D
m
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
3 4 6
0 1 1
2 3 4
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø
Ví dụ
• Giải các phương trình sau:
1 2 3 5
) .
3 4 5 9
3 10 5 6 4 16
) . .
5 2 7 8 9 10
a X
b X
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç=÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1. Đổi chỗ hai dòng với nhau
2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0
3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân 
với một số.
4. Tổng hợp:
i j
d d«
.
i i
d k d®
.
i i j
d d d® + l
. .
i i j
d k d d® + l
Ví dụ
• Thực hiện phép biến đổi ma trận:
• Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với 
ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A
2 2 1
3 3 1
3 3 29
2 3 2
8
1 2 3 4
8 7 5 3 ? ??
2 3 0 1
?? '
d d d
d d d
d d d
d d
A
A
+
® -
® -
® -
«
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ¾ ¾ ¾ ¾® ¾ ¾ ¾ ¾ ¾®÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ®
Hạng của ma trận
• Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma 
trận bậc thang của ma trận A.
• Ký hiệu: r(A) hay rank(A)
• Ma trận bậc thang của A:
A→..bdsc theo dòng →A’ (có dạng bậc
thang)
Ví dụ
• Tìm hạng của ma trận
3 21 0 9 0
1 7 1 2 1
2 14 0 6 1
6 42 1 13 0
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø
Tính chất
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
)
)
) m in ,
T
ij m n
i r A r A
ii A B thì r A r B
iii A a thì r A m n
´
=
=
é ù= £ê úë û
:
Hệ phương trình tuyến tính
• Dạng tổng quát
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...............................................
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
ìï + + + =ïïï + + + =ïïí
ïïïï + + + =ïïî
Hệ phương trình tuyến tính
• Dạng ma trận
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
...................... ... ...
...
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
A X B´ =
Hệ phương trình tuyến tính
• Dạng ma trận
• Ma trận A gọi là ma trận hệ số.
• X: ma trận cột các ẩn số
• B: ma trận cột các hệ số tự do
• Nghiệm của phương trình là một bộ số:
Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều 
thỏa mãn.
A X B´ =
( ) ( )1 2 1 2, , ..., , , ...,n nx x x c c c=
Định lý Cronecker – Capeli
( )
Cho phöông trình:
Ñaët
ma traän boå sung cuûa ma traän A
Tìm haïng cuûa ma traän 
:
:
;
A X B
A A B
A A
´ =
=
Định lý Cronecker – Capeli
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i ) Heä pt coù nghieäm duy nhaát
i i) Heä pt coù voâ soá nghieäm
ii i ) Heä pt voâ nghieäm
iv) Heä pt coù nghieäm
r A r A n
r A r A n
r A r A
r A r A
Û = =
Û = <
Û ¹
Û =
Ví dụ
• Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô 
nghiệm
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2
2 4 1
3 4 0
2 4 1
x x x
x x x
x x x
x x x
ìï - + =ïïï + - = -ïïí
ï - - =ïïï + + =ïïî
Cách giải hpt tuyến tính
• Phương pháp Gauss – Jordan 
• Phương pháp Cramer
• Phương pháp ma trận nghịch đảo
Phương pháp Gauss – Jordan
( )
( ) ( )
i ) Laäp ma traän boå sung .
i i) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang 
baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng.
i i i ) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu.
iv) Giaûi n
bdsc dong
r r
A A B
A A B A A B
=
¢= ¾ ¾ ¾ ¾® =
ghieäm töø döôùi leân treân.
Ví dụ
• Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 3 2 4 8
2 4 1 2 4 5 11
) )
3 4 0 4 3 2 1
2 4 1 6 7 10
x x x x y z
x x x x y z
a b
x x x x y z
x x x x y z
ì ìï ï- + = + - =ï ïï ïï ï+ - = - + - =ï ïï ïí í
ï ï- - = - + =ï ïï ïï ï+ + = + - =ï ïï ïî î
Đề thi mẫu
• Câu 5. Cho hệ phương trình:
• a) Giải hpt với m=1
• b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
( )
3
2 3 0
3 2 7
x y z
x y z m R
x y mz m
ìï + + =ïïï + - = Îí
ïï - + =ïïî
Phương pháp Cramer
• Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình
• Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A 
bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do.
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
...
...
...................... ... ...
...
n
n
n n nn m n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
Phương pháp Cramer
• Ví dụ: A1
• Thay cột 
1 bằng 
cột hệ số 
tự do
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
12 1
22 2
1
1
2
2
...
...
...................... ...
...
...
...
......................
...
n
n
n n nn n
n
n
n nn n
a a a b
a a a b
A B
a a a b
a a
a a
A
a a
b
b
b
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
æ
ççççç= ççççççè
ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç ø
Phương pháp Cramer
( ) ( ) ( )
Ñaët:
Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát:
Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm.
Neáu thì heä voâ nghieäm 
hoaëc voâ soá nghieäm.
Ta giaûi tieáp
1 1
1
det ; d et ; ... ; det
) 0
) 0 0
) ... 0
n n
i
i
i
n
A A A
i
x
ii
ii
D = D = D =
D ¹
D
=
D
D = D ¹
D = D = = D =
 baèng phöông phaùp Gauss.
Ví dụ
• Giải và biện luận hệ phương trình sau
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1 4
) ) 8
2 4
mx x x ax y z
a x mx x m b x by z
x by zx x mx m
ì ìï ï+ + = + + =ï ïï ïï ï+ + = + + =í í
ï ïï ï + + =+ + =ï ïï ïîî
Đề thi mẫu
• Câu 5. Cho hệ phương trình:
• a) Giải hpt với m=1
• b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
( )
3
2 3 0
3 2 7
x y z
x y z m R
x y mz m
ìï + + =ïïï + - = Îí
ïï - + =ïïî
Phương pháp ma trận nghịch đảo
• Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số 
ẩn.
• Nếu ma trận A khả nghịch thì:
.A X B=
1. .A X B X A B-= Û =
Ví dụ
• Giải phương trình sau
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 1
2 3 6 1
7
x x x
x x x
x x x m
ìï + + =ïïï + + =í
ïï - + =ïïî
Hệ pt tuyến tính thuần nhất
• Dạng:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0
... 0
...............................................
... 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
ìï + + + =ïïï + + + =ïïí
ïïïï + + + =ïïî
Hệ pt tuyến tính thuần nhất
• Dạng:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
... 0
... 0
...................... ... ...
... 0
n
n
m m mn m
a a a x
a a a x
a a a x
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
0A X´ =
Định lý
• Hệ luôn có 1 nghiệm dạng:
• Đây gọi là nghiệm tầm thường của hệ.
• Nếu r(A)=n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường.
• Nếu r(A)<n thì hệ có vô số nghiệm.
( ) ( )1 2, , ..., 0, 0, ..., 0nx x x =
Định lý
• Nếu m=n thì:
• Nếu det(A)=0 thì hệ chỉ có nghiệm tầm
thường.
• Nếu det(A)≠0 thì hệ có vô số nghiệm.
Ôn thi
• Tìm ma trận X biết
1 2 52 2 0
1 1 5 0 7 6
1 2 3 2 1 3
X
   
      
      
Bài 1
• Cho hai ma trận:
• Tìm ma trận nghịch đảo của A.
• Tìm X biết: X.A=3B
1 2 3 1 2 1
3 2 4 3 1 0
2 1 0 2 1 1
A B
    
   
      
      
Bài 2
• Giải hệ phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
x x x x 0
3x x x 2x 5
5x x x 4
7x x x 3x 10
   
    

  
    
Bài 2
• Giải hệ phương trình sau
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2x y 3z 9 x y z 6
a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21
4x 7y z 5 7x y 3z 6
2x 2x x x 4
4x 3x x 2x 6
c)
8x 5x 3x 4x 12
3x 3x 11x 5x 6
      
 
      
       
   

   

   
    
Bài 3
• Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1 1
1 1
1 1 1
m
A m
m m
 
   
   
• Tìm m để hệ là hệ Crammer
• Giải nghiệm của hệ
Bài 4 
1
1
1
mx y z
x my z
x y mz
  

  
   
Bài 5
• Tìm điều kiện để các hệ sau có nghiệm không 
tầm thường.
22x y z 0 a x 3y 2z 0
a) x y 2z 0 b) ax y z 0
5x y az 0 8x y 4z 0
     

      
       
Bài 6
• Giải và biện luận theo m
mx y z 1 mx y z m
a) x my z 1 b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1
x y mz 1 x y mz 1
      
 
         
       
Bài 7
• Tìm để hệ có nghiệm duy nhất
• Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m
x y mz 1
x my z a
x (m 1)y (m 1)z b
  

  
     
Bài 2
• Giải và biện luận
 
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2 2 2 4
3 3 3
x x mx m
mx x m x
x x x m m
   

   

     