Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số một biến

22/09/2017
1
LOGO
TỐN CAO CẤPC1
GV. Phan Trung Hiếu
45 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1điểm.Chỉ được vắng 1 ngày cĩ phép.-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):Tự luận, khơng được sử dụng tài liệu.-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):Tự luận, khơng được sử dụng tài liệu.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
3
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì khơngtrừ điểm).Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
4
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làmbài: -0,5 điểm/lần.Khi khơng cĩ SV xung phong lên làm thì GVsẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từtrên xuống:-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,-Nếu làm sai hoặc khơng biết làm thì -0,5điểm/lần.
Trang web mơn học:
5
https://sites.google.com/site/sgupth
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàngtuần, điểm quá trình trên trang web sau:
6
Nội dung:
Chương 1: Hàm số một biến số.Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàmmột biến.Chương 3: Tích phân.Chương 4: Hàm nhiều biến.Chương 5: Phương trình vi phân.
22/09/2017
2
7
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.[2] Lê Văn Hốt, Tốn cao cấp (Phần 2: Giảitích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXBGiáo dục.
8
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus.
LOGO
Chương 1:Hàm số một biến số
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Hàm số liên tục
10
§1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số
I. Biến số:
11
Biến số là một ký hiệu mà ta cĩ thể gán cho nĩ mộtsố bất kì thuộc tập số cho trướcTập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) vàmỗi số thực được gọi là một giá trị của biếnsố đĩ.
Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái:x, y, z, 
X   ( ).X 
0x X
12
Các biến số kinh tế: 
Kýhiệu Ý nghĩa Tiếng Anh Kýhiệu Ý nghĩa Tiếng Anh
(pi) Lợinhuận Profit P Đơngiá Price
C Chi phí Cost Q Sảnlượng Quantity
D Cầu Demand QD Lượngcầu Quantity Demanded
R Doanhthu Revenue QS Lượngcung Quantity SuppliedS Cung Supply T Thuế Tax
X Xuấtkhẩu Export Y Thu nhập Income

22/09/2017
3
II. Hàm số:
13
Một hàm số f xác định trên một tập hợp làmột quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một sốthực y xác định duy nhất
D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.x: biến độc lập (biến số).y: biến phụ thuộc (hàm).f(x): giá trị của hàm số f tại x.
:
( )




f D
x y f x
 Dx D
( ) { ( ), }:    f D y y f x x D Tập giá trị (TGT) của hàm số f.
14
Chú ý 2.1:-Nếu cho hàm số y=f(x) mà khơng nĩi gì vềTXĐ của hàm số thì TXĐ của nĩ là tập hợpnhững điểm x sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa.-TGT của hàm số y=f(x) là tập hợp các giá trịy để pt y=f(x) cĩ nghiệm
Ví dụ 2.1: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số 
2 1.y x 
.x D
III. Một số phương pháp cho hàm số:
15
3.1. Liệt kê tập hợp các cặp:
Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp muốn biết lợi nhuậncĩ quan hệ như thế nào với sản lượng nên lập bảngtheo dõi và cĩ được kết quả sau
Sản lượng Q(kg) 1000 1100 1200 1300 1400Lợi nhuận(triệu đồng) 25 27 28 31 27
Tính: (1100); (1400). 
16
3.2. Hàm cho bằng biểu thức giải tích:
Ví dụ 3.2: Cho hàm số Tính y(1).2 2 3.y x x  
3.3. Hàm số xác định từng khúc:
Ví dụ 3.3: Cho hàm số
2 nếu 1,( )
2 1 nếu 1.
x xf x
x x
    Tính f(-2); f(1); f(3). 
17
Ví dụ 3.4: Một hãng cho thuê xe ơ tơ với giá3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe khơng quá 100km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thìngồi số tiền phải trả cho 100 km đầu cịn phải trảthêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy vàC(x) là chi phí thuê xe.a) Viết hàm số C(x).b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạyđược 50km.c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạyđược 150km.
IV. Đồ thị của hàm một biến số:
18
Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x,y)của mặt phẳng tọa độ cĩ hồnh độ x là một số thực bấtkỳ lấy từ TXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tươngứng của hàm số tại điểm x.Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hồnh chính làTXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT.
TGT
TXĐ
22/09/2017
4
V. Các hàm số cơ bản: 
19
Hàm lũy thừa: ( ).y x  
Hàm mũ: (0 1).xy a a  
Hàm logarit: log (0 1).ay x a  Hàm lượng giác:sin , cos , tan , cot .   y x y x y x y xHàm lượng giác ngược:arcsin , arccos , arctan , arccot   y x y x y x y x
Hàm hằng: .y C5.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
20
5.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạothành bởi một số hữu hạn các phép tốn cộng, trừ,nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản.Ví dụ 5.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp cácdạng hàm số sơ cấp sau
11 0... .n nn ny a x a x a   
Hàm đa thức (hàm nguyên):
Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):
 ( )
( )
P xy
Q x
P(x) và Q(x) là các đa thức.
21
5.3. Hàm hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số củabiến số u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biếnsố x. Khi đĩ y = f(u) = f(g(x))là hàm số hợp của biến số x thơng qua biến sốtrung gian u. Ký hiệu là  ( )( ) ( ) .f g x f g xVí dụ 5.2: Cho
Khi đĩ, hàm số hợp 
2
( ) sin ,
( ) 4 5.
y f u u
u g x x x
 
   
2( )( ) ( ( )) sin( 4 5).y f g x f g x x x    
22
5.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) cĩ TXĐ là Xvà TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị chỉ tồn tại duynhất một giá trị sao cho , nghĩa làpt chỉ cĩ 1 nghiệm trong tập X thì từ hệthức y = f(x) ta cĩ thể xác định được một hệ thứctính được x theo y, ký hiệu là
0y Y
0x X 0 0( )f x y
0( )f x y
1( ).x f y
Khi đĩ hàm số được gọi là hàmngược của hàm số
1( ),x f y y Y 
( ), .y f x x X 
Ví dụ 5.3: a) Hàm số cĩ hàm ngược làb) Hàm số khơng cĩ hàm ngược.c) Tìm hàm ngược của hàm sốd) Tìm hàm ngược của hàm số 
2y x  2.x y 
2y x
2 , .y x x  
2 , .y x x  
23
5.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế:
Hàm sản xuất: , Q: sản lượng, L: lao động. ( )Q f L
Hàm doanh thu: ( ).R R Q
Hàm chi phí: ( ).C C Q
Hàm lợi nhuận: ( ).Q 
Hàm cung: ( ).sQ S PHàm cầu: ( ).DQ D P
24
§2. Giới hạn của hàm số
22/09/2017
5
I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số:
25
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tậpD và hoặc Ta nĩi hàm số f(x) cĩgiới hạn là L khi (L, x0 hữu hạn),ký hiệu là
0x D 0 .x D
0x x
0
lim ( )x x f x L 
00, 0 : , 0 ( ) .x D x x f x L              
26
lim ( )x f x L 0, 0 : , ( ) .M x D x M f x L           lim ( )x f x L 0, 0 : , ( ) .m x D x m f x L          
0
lim ( )x x f x  
00, 0 : ,0 ( ) .M x D x x f x M           
0
lim ( )x x f x  
00, 0 : ,0 ( ) .M x D x x f x M            
Ngồi ra, ta cịn cĩ các định nghĩa giới hạn mở rộngsau
27
lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P        
lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P         
lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P         
lim ( )x f x  0, 0 : , ( ) .P M x D x M f x P          
28
Định nghĩa 1.2▪ Nếu f(x) cĩ giới hạn là L (L cĩ thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nĩi f(x) cĩgiới hạn bên phải tại x0. Ký hiệu
▪ Nếu f(x) cĩ giới hạn là L (L cĩ thể là ) khi(x0 hữu hạn) và thì ta nĩi f(x) cĩgiới hạn bên trái tại x0. Ký hiệu
0x x 0x x
0
lim ( ) .x x f x L 


0x x 0x x
0
lim ( ) .x x f x L 
29
Chú ý 1.1:
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x xf x L f x f x L      
 và và

0 0.x x x x  
0 0x x x x   0.x x
0 0x x x x   0.x x
0
0 0
1
2
1 2
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L
f x L f x
L L



 
   
khơng tồn tại.
II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 
30
2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc TXĐ của nĩ được tính theo cơng thức 0x
0 0lim ( ) ( ). x x f x f xVí dụ 2.1: Tính các giới hạn sau
2
1
) lim( 2).
x
a x x  
0
sin 3) lim .
cosx
xb
x

2
) lim 2.
x
c x 
22/09/2017
6
31
Ví dụ 2.2: Cho
2
5 2 khi 1( ) 3 khi 1
x xf x x x
    
Tìm 11 1lim ( ), lim ( ), lim ( ).xx xf x f x f x   
Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau cĩ giới hạn khi 2x 
2
2
1 khi 2( ) .2 1 khi 2
       
x mx xf x x x x
V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ:
32
Xem Bảng 1.
2.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản: 
III. Một số định lý về giới hạn hàm số: 
33
0
lim ( ).x x k k k  ĐL 3.1:ĐL 3.2: Giả sửKhi đĩ: 0 0lim ( ) , lim ( ) .x x x xf x A g x B  
 
0
) lim ( ) ( ) .x xii f x g x A B    
0
) lim ( ). ( ) . .x xiii f x g x A B 
0
( )) lim ( 0).( )x x
f x Aiv Bg x B
     
 
0 0
) lim . ( ) . lim ( ) ( ).x x x xi k f x k f x k  
 
0
( )) lim ( ) (0 1).g x Bx xv f x A A   
34
Nếu
thì
0 0
) lim ( ) 0 lim ( ) 0.x x x xi f x f x   )ii
0 0
0 0( ) ( ) ( ), ( , ),lim ( ) lim ( )x x x x
g x f x h x x x x
g x h x L
 
 
       
0
lim ( ) .x x f x L 
ĐL 3.3:
ĐL 3.4: Giới hạn hàm số (nếu cĩ) là duy nhất.
35
Chú ý 3.1: Trong tính tốn về giới hạn hàmsố, cĩ khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạngvơ định:
Khi đĩ, ta khơng thể dùng định lý 3.2, mà phảidùng các phép biến đổi để khử các dạng vơđịnh đĩ.
0 00 , , 0. , , 0 , ,1 .0 
    
36
Chú ý 3.2: Một vài quy tắc với : ( ) ( ) ,a a      ( ) ( ) ,a a      , 0,.( ) ( ). , 0,
aa a a
      

, 0,.( ) ( ). , 0.
aa a a
      
22/09/2017
7
37
( ) ( ) ,     ( ).( ) ( ).( ) ,      ( ) ( ) ,    ( ).( ) ( ).( ) .      
 ta cĩ*,n  ( ) ,n  
  
nếu chẵn,( )
nếu lẻ.
n n
n
 0.a 
38
:0
a   a > 0 và mẫu > 0a 0 và mẫu 0
,,, . 
IV. Vơ cùng bé (VCB):
39
Định nghĩa 4.1. Hàm số f(x) được gọi vơ cùngbé khi (x0 cĩ thể là vơ cùng) nếu0x x
0
lim ( ) 0.x x f x Ví dụ 4.1:
3) 3sin 2b x x 0.x ) sin , tan , 1 cosa x x x là VCB khi0.x là VCB khi) cos , cotc x x .2x là VCB khi
2
1) 2
xd x
 .x là VCB khi
40
Tính chất 4.31) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB.2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn làmột VCB.3) Thương của hai VCB chưa chắc là mộtVCB.
Định lý 4.2.
0
lim ( ) ( ) ( )    x x f x L x f x L là một VCB khi 
0.x x
41
-Nếu thì ta nĩi f(x) là VCB bậc cao hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là nhanh hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) 0f x -Nếu thì ta nĩi f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).k  
-Nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCB tươngđương. Ký hiệu: 
0,k k  
Định nghĩa 4.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x)là hai VCB khiXét 0.x x
0
( )lim .( )x x
f x kg x 
1k ( ) ( ).f x g x
Ví dụ 4.2: Một số vơ cùng bé tương đương thường gặp(Xem Bảng 1).
 ( ) ( ) .f x O g x
V. Vơ cùng lớn (VCL):
42
Định nghĩa 5.1. Hàm số f(x) được gọi vơ cùnglớn khi (x0 cĩ thể là vơ cùng) nếu0x x
0
lim ( ) .x x f x  Ví dụ 5.1:
0.x 1 1) , , cotsina xx x là VCL khi
2) , 2 1b x x  .x là VCL khi
22/09/2017
8
43
-Nếu thì ta nĩi f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x).Ký hiệu: , nghĩa là chậm hơn g(x).0k   ( ) ( )f x o g x ( ) f x-Nếu thì ta nĩi f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).k  
-Nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCL cùng bậc. Ký hiệu: -Đặc biệt, nếu thì ta nĩi f(x) và g(x) là hai VCL tươngđương. Ký hiệu: 
0,k k  
Định nghĩa 5.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x)là hai VCL khiXét 0.x x
0
( )lim .( )x x
f x kg x 
1k ( ) ( ).f x g x
 ( ) ( ) .f x O g x
44
Tính chất 5.3: Quan hệ trong VII và VIII làquan hệ tương đương, nĩ cĩ 3 tính chất sau
1) ( ) ( ).f x f x
2) ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x g x f x
( ) ( )3) ( ) ( ).( ) ( )
 



f x g x f x h xg x h x
~
VI. Phương pháp tính
45
0
lim ( ) :x x f x
Thế vào f(x)0x
con số cụ thể biện luậnxem ? vơ định
khử
0 00, , 0. , ,0 , ,1 .0 
   
46
6.1. Khử dạng và : 00Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây

00
( ) ( )2) lim ( ) .lim ( ) 
   

x xx x
f x g x f x Lg x L
1 11
11 1
( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )3) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
   



f x g x f x g xf x f x f xf xg x g x g x g x
4) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x  nếu căn cĩ nghĩa.
0
1) lim ( ) \{0} ( ) .x x f x L f x L    
47
Chú ý 6.1:Ta khơng thể viết hayngay cả khi hay vì điềunày vơ nghĩa.
( ) 0f x  ( )f x ( ) 0f x  ( )f x 
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x g x f x g x
g x g x f x g x f x g x
      
 
 
48
Ví dụ 6.1: Cho và Tính:
a) b)
2( ) 5f x x  2( ) 3.g x x  
( )lim .( )x
f x
g x  lim ( ) ( ) .x f x g x 
Ví dụ 6.2: Tính các giới hạn sau
2
30
21) lim .3
x x xx x
2
2
( 2)( 5 1)4) lim .( 2)
  x x x xx x
2
3
2 33) lim
2 1x
x x
x x
 
 
2
22
42) lim .3 2
 x xx x
22/09/2017
9
49
0
sin 26) lim .x xx
20
7arctan 49) lim .1 xx
x
e
30
ln(1 2 )11) lim .1
 xx xe
0
1 2 110) lim .t an3
 
x
x
x
20
1 cos38) lim . x xx
2
07) lim .arcsin 3x
x
x
20
ln(cos )12) lim .x xx
22 3 55) lim .5 1
 x x xx
50
Chú ý 6.2 (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCBkhi sao cho
Khi đĩ:
0x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx 
      

nếu
( ) ( ) nếu
( ) nếu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b
Nếu thì ta khơng thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x
51
Ví dụ 6.3:
2 4 2) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .a f x x g x x f x g x x    
4 4 4) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .b f x x g x x f x g x x     
Ví dụ 6.4: Tính
2 3
3 80
3sin 4sin) lim .5x
x x xa x x x
  
30
tan sin) lim . x x xc x
3 5
0) lim . 
x x
x
e eb x
52
Chú ý 6.3. (Quy tắc thay tương đương củatổng hai VCL): Cho f(x) và g(x) là hai VCLkhi sao cho
Khi đĩ:
x  ( ) , ( )m nf x ax g x bx 
      

nếu
( ) ( ) nếu
( ) nếu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b
Nếu thì ta khơng thể viết  , 0m n a b  ( ) ( ) 0.f x g x
53
Ví dụ 6.5: Tính
2
2
4 2 3lim .4x
x x x
x x
  
 
6.2. Khử dạng :   Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 0
0 .Ví dụ 6.6: Tính các giới hạn sau
22
1 4) lim .2 4     xa x x  2) lim 1 .xb x x x   
hoặc
54
6.3. Dạng : 0 . 00 hoặc .biến đổi đưa về dạng 
2 20
1 1) lim 1 .1xa x x    
Ví dụ 6.7: Tính các giới hạn sau
3
2 1) lim ( 1) .2
  x xb x x x
6.4. Dạng :  
0
( )lim ( ) g xx x f x0 00 , ,1 Giới hạn cĩ dạng
Đặt  
0
( )lim ( ) g xx xa f x  0 ( )ln lim ln ( )  g xx xa f x
0
ln lim ( )ln ( )
Tính
x x
a g x f x b     
.ba e 
Ví dụ 6.8: Tính 210lim(cos ) .xx x
22/09/2017
10
55
§3. Hàm số liên tục
I. Hàm số liên tục tại một điểm:
56
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác địnhtrong một khoảng chứa x0. Ta nĩi:(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu
(ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu0
0lim ( ) ( ).x x f x f x 
0 0
lim ( ) ( ).x x f x f x 
57
(iii) f(x) liên tục tại x0 nếu
0 0
lim ( ) ( ).x x f x f x Nĩi cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điềusau: f(x) xác định tại x0. tồn tại.

0
lim ( )x x f x
0 0
lim ( ) ( ).x x f x f x 
58
Hàm số f(x) khơng liên tục tại x0 thì được gọi là giánđoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f(x) khơng xác định tại x0. f(x) xác định tại x0, nhưng
0
lim ( )x x f x khơng tồn tạihoặc
0
lim ( )x x f x khơng tồn tạihoặc
0 0
lim ( ) lim ( ).x x x xf x f x   f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng 0lim ( )x x f x
0 0lim ( ) ( ).x x f x f x 
59
Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì
cũng liên tục tại x0., . , ( 0)ff g f g gg Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau
sin 3 khi 0) ( )
3 khi 0
   
x xa f x x x tại 0 0.x 
2
2
1 khi 1) ( ) khi 12
      
x xb f x x x
tại 0 1.x  
2
2 3 khi 0
) ( ) 1 khi 0
3 khi 0
     
x x
c f x x
x x
tại 0 0.x
60
Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số
3
2
2
1 khi 0) ( ) ln(1 )
1 khi 0
     
xe xa f x x
m x liên tục tại 0 0.x
khi 0) ( ) khi 0
xe xb f x x m x
     liên tục tại 0 0.x 
22/09/2017
11
II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: 
61
Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc(a,b).Định nghĩa 2.2:
f(x) liên tục trên [a,b]
 
f(x) liên tục trên (a,b)
lim ( ) ( )x a f x f a 
lim ( ) ( )x b f x f b 
62
Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] cĩ đồthị là một đường liền nét (khơng đứt khúc)trên đoạn đĩ.
Liên tục Khơng liên tục
a b a b
63
Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phânthức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và cáchàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.
Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thìđạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đĩ.
Định lý 2.6:
f(x) liên tục trên [a,b]
( ). ( ) 0f a f b  ( , ) : ( ) 0.c a b f c  