Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Tích phân

02/11/2017
1
LOG
O
Chương 3:
Tích phân
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Tích phân suy rộng
§4. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế
2
§1. Tích phân bất định
I. Nguyên hàm:
3
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên 
khoảng D.
Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D
( ) ( ), .F x f x x D   
Ví dụ 1.1:
 x2 là nguyên hàm của 2x, vì 2( ) 2 .x x 
 x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì 2( 3) 2 .x x 
 x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 
2x, vì 2( ) 2 .x C x 
4
Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D
đều có dạng F(x) + C.
5
II. Tích phân bất định:
trong đó  : dấu tích phân.
:x biến lấy tích phân.
( ) :f x hàm lấy tích phân.
Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm
số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất
cả các nguyên hàm của f trên D.
Tích phân bất định của f được ký hiệu là
( ) :f x dx biểu thức dưới dấu tích phân.
( ) , f x dx
6
Ví dụ 2.1. 22x dx x C  vì  
2( ) 2 .x x
Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2
thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x   
02/11/2017
2
III. Tính chất:
7
  . ( ) ( )k f x dx k f x dx với k là hằng số.
       ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx
    ( ) ( ) .f x dx f x C
    ( ) ( ).f x dx f x
IV. Bảng tích phân cơ bản:
8
Xem Bảng 3. 
9
§2. Tích phân xác định
I. Công thức Newton-Leibniz:
10
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  
Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích
phân xác định của f từ a đến b là
II. Tính chất:
11
  ( ) 0
a
a
f x dx
   ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx
  . ( ) . ( )
a b
b a
k f x dx k f x dx với k là hằng số
       ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
    ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx với c nằm giữa a và b
 ( ) 0f x trên [a,b]   ( ) 0.
b
a
f x dx
III. Các phương pháp tính tích phân:
12
Dạng 1: Tính tích phân bằng cách dùng các
công thức tích phân cơ bản, công thức
Newton-Leibniz.
Ví dụ 3.1. Tính
 
20
) 2 1b x dx
0
1
)
1 2


dx
d
x
5)a x dx
3
2
2
)
dx
c
x
02/11/2017
3
13
Dạng 2: Tính tích phân bằng cách biến đổi
hàm dưới dấu tích phân, đưa về tích phân cơ
bản. Các phép biến đổi hay dùng là
Tíchnhân phân phối Tổng.


1
; . ; ; .     
m a
n m a b a b a b bn
b b
x
x x x x x x x
x x

 
a b a b
c c c
14
Các tính chất của tích phân bất định và xác
định.
Hằng đẳng thức.
Biến đổi lượng giác.
Nhân, chia lượng liên hiệp.
15
Ví dụ 3.2. Tính
2
2
1
) 7
5 cos

  
 

x
a x dx
x
1
2
0
) ( 1)b x xdx
2
3
(1 )
)


x
x
e
c dx
e
2
2
0
) 2cos
2
x
d dx

7
3
)
2 3  

dx
f
x x
2) tane xdx
2 2
4
1 1
)
1
  


x x
g dx
x  

3
2
1
)
3 2
dx
h
x x
16
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp
đổi biến số loại 1
Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp
sao cho biểu thức còn lại trong hàm số.
Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi
hàm số.
 t
Tích phân dạng:  ( ) ( )I f u x u x dx 
B1 (đổi biến): Đặt ( )t u x  ( )dt u x dx
B2 (thay vào tích phân):
 ( ) ( ) ( )I f t dt F t C F u x C    
17
Tích phân dạng:  ( ) ( )
b
a
I f u x u x dx 
B1 (đổi biến): Đặt ( )t u x  ( )dt u x dx
B2 (đổi cận): x a b
t u(a) u(b)
B3 (thay vào tích phân):
( )
( )
( )
u b
u a
I f t dt 
(cận mới, biến mới).
18
Dấu hiệu đặt thông thường:
Có Đặt
ax + b t = ax + b
căn t = căn
và
và
xe ,
xt e const   
ln x lnt x
1
x
2
1
x
1
x
1
t
x

02/11/2017
4
19
Dấu hiệu đặt khi gặp biểu thức lượng giác:
Dạng Đặt
có và t = tanx
có và t = cotx
có arcsinx và t = arcsinx
có arccosx và t = arccosx
tan x 2
1
cos x
cot x 2
1
sin x
2
1
1 x
2
1
1 x
20
Dạng Đặt
có arctanx và t = arctanx
có arccotx và t = arccotx
(sin )f x dx cosx sint x
(cos )f x dx sinx cost x
2
1
1 x
2
1
1 x
21
Dạng
Đặt
f không đổi dấu
f đổi dấu
f đổi dấu
Tổng quát
(sin ,cos )f x x dx
sin sin
Thay
cos cos


 
x x
x x tant x
Thay sin sin x x
cost x
Thay cos cosx x sint x
tan
2

x
t
22
Ví dụ 3.3. Tính
1
3 2
0
) 1b x x dx
)
1
x
x
e dx
c
e

20) (1 )a x x dx
 2
)
(2 ln )
dx
d
x x
 
 
 

1
2
1/2
1 1
) sine dx
xx


tan4
2
0
)
cos
xe
f dx
x
2
arccos
)
1

x
g dx
x
2
2 sin
0
) cos



xh e xdx
23
Dạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
số loại 2
Phương pháp (đổi biến):
Đặt ( ) x u t ( )dx u t dt
Dấu hiệu đặt thông thường:
Có Đặt
2 2 ( )a u x ( ) sin , ;2 2
  
   
u x a t t
2 2( )u x a ( ) , 0; ;0sin 2 2
    
     
   
a
u x t
t
2 2( ) u x a ( ) tan , ;2 2
  
  
 
u x a t t
24
Ví dụ 3.4. Tính
1
2
0
) 2 b x x dx
1
2 2
0
) 4 a x x
Chú ý: Khi tính tích phân hàm chứa căn, ta
ưu tiên đặt t = căn hoặc nhân liên hiệp trước.
Nếu không được thì ta mới nghĩ đến đổi biến
loại 2.
02/11/2017
5
25
Dạng 5: Tính tích phân hàm hữu tỉ
Phương pháp:
Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức.
Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =
một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta
làm như sau
( )
( )
P x
dx
Q x
, P(x), Q(x) là các đa thức.

26
Mẫu có : Đặt( )
nax b . t ax b
Mẫu là tam thức bậc hai
2 : ax bx c
Vô nghiệm và tích phân có dạng ta 
biến đổi , rồi đặt 
2
,
 
dx
ax bx c
2 2 2 ( )   ax bx c a u x
( ) tan .u x a t
Vô nghiệm và tích phân có dạng ta tìm 
hệ số A, B sao cho 
2
( )px q dx
ax bx c

 
~
2 2 2
.(Maâ u)px q A B
ax bx c ax bx c ax bx c

 
     
27
Có nghiệm kép x0 , ta phân tích 
2 2
0
( ) ( )
.
( )
 
  
P x P x
ax bx c a x x
Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích 
1 2 1 2
( )
.
( )( )
 
   
P x A B
a x x x x x x x x
2 2
0( )ax bx c a x x   
2
1 2( )( ).    ax bx c a x x x x
Tìm hệ số A, B sao cho
28
Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích
mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay
lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các
hệ số như sau
1 2 3 1 2 3
A B C
x x x x x x
  
  
( )
( )( )( )
P x
x x x x x x  
2 2
1 2 1 2 2( )
A B C
x x x x x x
  
  
( )
( )( )
P x
x x x x 
2 2
0 0

 
  
A Bx C
x x ax bx c
( )
( )( )
P x
x x ax + bx + c
trong đó vô nghiệm.2 0  ax bx c
29
2 2 2 2
0 0 0( )

  
   
A B Cx D
x x x x ax bx c
( )
( ) ( )
P x
x x ax + bx + c
2 2 2 2 2
0 0 ( )
 
  
    
A Bx C Dx E
x x ax bx c ax bx c
( )
( )( )
P x
x x ax + bx + c
trong đó vô nghiệm.2 0  ax bx c
Đặc điểm:
-Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng.
-Mẫu là lũy thừa của tam thức vô nghiệm: Tử
là nhị thức.
2  ax bx c
Cách tìm các hệ số: Có bao nhiêu hệ số thì lần lượt cho
x nhận bấy nhiêu giá trị thuộc TXĐ để lập hệ phương
trình. Từ đó, ta giải tìm các hệ số.
30
Ví dụ 3.5. Tính
3sin
)
2 cos
x
a dx
x
1
0
4 3
)
2 1


x
b dx
x
3
)
(2 1)
xdx
c
x
4
2
3
( 1)
)
3 2

 
x dx
d
x x
2
3 2
( 1)
)
3 4 12

  
x
e dx
x x x
2
2
( 2)
)
( 1)


x
f dx
x x
2
3 2
2 3 11
)
3 5
 
  
x x
g dx
x x x
02/11/2017
6
31
Dạng 6: Tính tích phân bằng phương pháp
tích phân từng phần
Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log);
đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác);
mũ (eax+b) liên hệ với nhau bởi phép nhân.
Phương pháp:
B1: Đặt 
( ) ( )
( )
u f x du f x
dv g x v
  
 
  
dx
dx Nguyên hàm của g(x)
Đặt theo thứ tự ưu tiên là" "u dv
“Nhất lô nhì đa tam lượng tứ mũ”
(đứng trước thì đặt u, đứng sau thì đặt dv).
32
B2: Dùng công thức tích phân từng phần
udv uv vdu  
hoặc
.
b b
b
a
a a
udv uv vdu  
33
Ví dụ 3.6 Tính
) cosa x xdx
2
0
) sin 2 ln(2 cos )

e x x dx
2) arccosd x xdx
1
2
0
)
xb x e dx
2
1
ln
) 
e
x
c dx
x
) sin
xf e xdx
34
§3. Tích phân suy rộng
I. Các loại tích phân suy rộng:
35
Loại 1:
( ) ; ( ) ; ( ) .
b
a
f x dx f x dx f x dx
 
 
  
Loại 2:
( )
b
a
f x dx trong đó vớilim ( )x c f x   [ , ].c a b
36
Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân
suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy
cho biết nó thuộc loại nào.
2
1
1
)

a dxx 2) 1



dx
b
x
/2
0
sin
)
cos


xdx
c
x
1
1
)


dx
d
x
1
2
) .



dx
e
x
02/11/2017
7
II. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:
37
TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân.
TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay
phân kỳ.
38
TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x

 
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.
39
Chú ý 2.1:
 ( ) lim ( )
b b
a
a
f x dx f x dx

 

 ( ) lim ( )
b
b
a a
f x dx f x dx

 


( ) ( ) ( ) ,     
c
c
f x dx f x dx f x dx c
 
 
 ( ) ( ) ( ) , (0, )

     
b
a a b
f x dx f x dx f x dx b


tùy ý
tùy ý
40
 Điểm suy rộng tại a  lim ( )
x a
f x

 
( ) lim ( )
b b
t a
t
f x dx f x dx

 
a
 Điểm suy rộng tại b  lim ( )
x b
f x

 
( ) lim ( )
t
t b
a a
f x dx f x dx

 
b
 Điểm suy rộng tại a và b
( ) ( ) ( ) , ( , )
c b
a c
f x dx f x dx f x dx c a b    
b
a
41
-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn
tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược
lại là tích phân phân kỳ.
-Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích
phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.
 Điểm suy rộng tại ( , )a bc
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx f x dx   
c
c
42
Định lí 2.2: 
a) ( )
a
f x dx

 hội tụ và ( )
a
g x dx

 hội tụ
 ( ) ( )
a
f x g x dx

  hội tụ và
 ( ) ( ) ( ) ( ) .
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
  
    
b) ( )
a
f x dx

 hội tụ và k là một hằng số
. ( )
a
k f x dx

  hội tụ và . ( ) . ( )
a a
k f x dx k f x dx
 
 
02/11/2017
8
43
Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích 
phân sau (trong trường hợp hội tụ)
2
1
)
dx
a
x


0
) xb e dx


0
) xd xe dx


 2) 1
dx
e
x



1
2
0
)
1
dx
f
x

1
1
)
1
x
x
e dx
h
e


/2
0
sin
)
1 cos
xdx
g
x


1
ln
)
x
c dx
x


2
2
2
)
4
dx
i
x 

44
TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm 
[ , ]c a b mà lim ( ) .
x c
f x

 
-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã
có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên
hàm.
45
Định lí 2.2: f(x), g(x) dương, liên tục trên [ , )a 
Xét
( )
lim .
( )x
f x
k
g x

i) 0 :k  
( ) , ( )
a a
f x dx g x dx
 
  cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
ii) 0 :k  ( )
a
g x dx

 hội tụ ( )
a
f x dx

  hội tụ.
( )
a
f x dx

 phân kỳ ( )
a
g x dx

  phân kỳ.
iii) :k   ( )
a
f x dx

 hội tụ ( )
a
g x dx

  hội tụ.
( )
a
g x dx

 phân kỳ ( )
a
f x dx

  phân kỳ.
46
Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên và
thì
[ , )a 
( ) ( )f x g x khi x  
( )
a
f x dx


cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
( )
a
g x dx

và
Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên 
( , ], [ , ), ( , ]b a b a b
47
Chú ý 2.4:
 Với , ta có0 a  
1

 n
a
dx
x
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
 Với , ta có0 b  
0
1

b
n
dx
x
hội tụ 
phân kỳ
1 n
1 n
48
Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
3
1
)
1
dx
a
x x

  5
1
2
)
1
xdx
b
x x

 

33
1
( 5)
)
1
x dx
c
x x




1
3/2
0
ln(1 )
)
x dx
e
x


1
0
)
sin
dx
f
x
3
0
)
dx
d
x


02/11/2017
9
49
Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
2
2
0
)

 x
x
a dx
e
2
3
1
5ln
)
2 1

 
 
x x x
b dx
x x
2
11
0
)  xc xe dx
1
0
ln
) 
x
d dx
x
50
Định lí 2.5: 
0 ( ) ( )f x g x  với mọi x trên 
[ , ) [ , )
[ , ), lim ( )
( , ] ( , ]
( , ], lim ( )
x b
x a
a b a
a b f x
a b b
a b f x




 
  
  
  
Khi đó:
( )
b
a
g x dxi) hội tụ ( )
b
a
f x dx  hội tụ.
( )
b
a
f x dxii) phân kỳ ( )
b
a
g x dx  phân kỳ.
51
Chú ý 2.6:
 , ta có
 ta có
 ta có 
 ta có
 ta có
2 1.x x x  1x 
1,x  ln .xx x e 
Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân 
2
1
) xa e dx



1 1
0
)
xe dx
b
x


0,x  1.xe 
,x e  ln 1.x 
6
4
3
ln
)
( 3)
x
c dx
x 
2,x  ln(1 ) 1.x 
52
Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu
Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định
lý sau
Tích phân suy rộng của hội tụ ( )f x
 Tích phân suy rộng của hội tụ. ( )f x
Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt
đối.
Chú ý kết quả: sin 1; cos 1, .X X X   
Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân 
3
1
sin x
dx
x


53
§4. Ứng dụng của tích phân
trong kinh tế
I. Xác định hàm tổng theo biên tế:
54
Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng
chi phí, tổng doanh thu, tổng tiêu dùng,) là hàm số
được xác định theo giá trị của biến số x:
y = f (x)
Nếu ta biết được hàm giá trị cận biên thì ta
có thể xác định được hàm tổng y = f (x) thông qua
phép toán tích phân
( )My f x
'( )y Mydx f x dx  
Hằng số C trong tích phân bất định trên được xác
định nếu ta biết giá trị của y tại một điểm x0 nào đó:
y0 = f(x0).
02/11/2017
10
55
Ví dụ 1.1: Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức
sản lượng Q là
MC = 8.e0,2Q
và chi phí cố định là FC = 50. Tìm hàm tổng chi
phí C(Q) và chi phí khả biến VC(Q).
II. Tính thặng dư:
56
Trong kinh tế học:
-Tổng tất cả các giá trị hưởng lợi của mọi người
tiêu dùng được gọi là thặng dư của người tiêu
dùng (Consumers’ Surplus), ký hiệu là CS.
-Tổng tất cả các giá trị mà mọi nhà sản xuất được
hưởng lợi khi giá cân bằng là thặng dư của nhà
sản xuất (Producers’Surplus), ký hiệu là PS.
57
Giả sử:
Điểm cân bằng của thị trường là (P0,Q0), nghĩa
là khi giá P = P0 thì QS=QD
P(QS) là hàm cung (đảo).
P(QD) là hàm cầu (đảo).
Khi đó:
0
0
0 0
0
0 0
0
( ) .
. ( )
Q
D D
Q
S S
CS P Q dQ P Q
PS P Q P Q dQ
 
 


58
Ví dụ 2.1: Biết hàm cung, hàm cầu của một loại
hàng hóa được cho bởi
Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và
nhà sản xuất đối với hàng hóa đó.
1,
113 .
S
D
Q P
Q P
 
 
11 
BẢNG 3. TÍCH PHÂN CƠ BẢN 
 (1) 0  dx C 
(2) dx x C  Với 0A  : 
(3) 
1
1
x
x dx C




 

11 ( )
( ) ( 1)
1
Ax B
Ax B dx C
A

 


     

(4) ln ( 0)
dx
x C x
x
   
1
ln ( 0)
dx
Ax B C Ax B
Ax B A
    

(5) 
2
1
 
dx
C
x x
 
    

dx
. C
A Ax B(Ax B)2
1 1
(6) 


 
 n n
dx
C
x (n )x 1
1
1


  
   n n
dx
C
A(Ax B) (n )(Ax B) 1
1 1
1
(7)  
dx
x C
x
2 (x > 0)   


dx
Ax B C
AAx B
2
 (Ax + B > 0) 
(8)  

n nm n mnx dx x C
n m
     

m n mn nn(Ax B) dx (Ax B) C
A n m
1
(9) 
 

n n m
n m
n
dx x C
n mx
1
    


n mn
mn
n
dx (Ax B) C
A n m(Ax B)
1 1
(10) 

 
   
dx ax b
ln C
(ax b)(cx d) ad bc cx d
1
(11) 
x xe dx e C  ( ) ( )
1Ax B Ax Be dx e C
A
   
(12) 
ln
x
x aa dx C
a
  
( )
( ) 1 (0 1)
ln
Ax B
Ax B aa dx C a
A a

      
(13) cos sinxdx x C  
1
cos( ) sin( )Ax B dx Ax B C
A
    
(14) sin cosxdx x C   
1
sin( ) cos( )Ax B dx Ax B C
A

    
(15) cot ln sin  xdx x C 
1
cot( ) ln sin( )    Ax B dx Ax B CA 
(16) tan ln cos   xdx x C 
1
tan( ) ln cos( )

    Ax B dx Ax B CA 
(17) 2 tancos
dx
x C
x
  2
1
tan( )
cos ( )
dx
Ax B C
Ax B A
  

(18) 2 cotsin
dx
x C
x
   2
1
cot( )
sin ( )
dx
Ax B C
Ax B A

  

12 
(19) 
2 2
1
arctan ( 0)  

dx x
C k
k x k k 

  
 
dx Ax B
arctan C
A k k(Ax B) k2 2
1 1
(20) 
2 2
arcsin ( 0)  


dx x
C k
kk x

 
 

dx Ax B
arcsin C
A kk (Ax B)2 2
1
(21) 
2
2
ln
( 0)
   



dx
x x k C
x k
k
2
2
( )
1
ln ( ) ( )
 
     

dx
Ax B k
Ax B Ax B k C
A
(22) 
2
2 2 2 2 arcsin ( 0)
2 2
     
x k x
k x dx k x C k
k
(23) 
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
      
x k
x k dx x k x x k C 
(24) 2 2 2ln
2 2
      
x k
k x dx k x x k x C