Bài giảng Trị riêng - véctơ riêng - Lê Xuân Đại

∣∣∣∣ + ∣∣∣∣a11 a13a31 a33
∣∣∣∣)λ+det(A)
ở đây tr(A) = a11 + a22 + a33−vết của ma trận A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 14 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Định nghĩa
Các véctơ riêng ứng với trị riêng λ cùng với véctơ
0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không
gian con riêng ứng với λ. Kí hiệu Eλ
Định nghĩa
Số chiều của không gian con riêng ứng với trị
riêng λ được gọi là bội hình học của trị riêng λ.
Còn bội đại số của λ là bội của nghiệm của
phương trình đặc trưng χA(λ) = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 15 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Ví dụ
Cho A =
 3 1 12 4 2
1 1 3

1 Lập đa thức đặc trưng của A
2 Tính det(A− 2013.I )
3 Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 16 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
1. Đa thức đặc trưng của ma trận A
χA(λ) = |A− λI | =
∣∣∣∣∣∣
3− λ 1 1
2 4− λ 2
1 1 3− λ
∣∣∣∣∣∣ =
= −(λ− 2)2(λ− 6)
2. det(A− 2013.I ) = −(2013− 2)2(2013− 6)
3. Phương trình đặc trưng của A
χA(λ) = |A− λI | =
∣∣∣∣∣∣
3− λ 1 1
2 4− λ 2
1 1 3− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ −(λ− 2)2(λ− 6) = 0 ⇔ λ1 = 2, λ2 = 6.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 17 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Ứng với λ1 = 2 ta xét hệ
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
⇒ X1 = α
 −11
0
 + β
 −10
1
 , α2 + β2 6= 0.
Bội đại số của λ1 = 2 là 2. Bội hình học của
λ1 = 2 cũng là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 18 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Tính chất của véctơ riêng
Ứng với λ2 = 6 ta xét hệ
−3x1 + x2 + x3 = 0
2x1 − 2x2 + 2x3 = 0
x1 + x2 − 3x3 = 0
⇒ X2 = γ
 12
1
 , γ 6= 0. Bội đại số của λ2 = 6
là 1. Bội hình học của λ2 = 6 cũng là 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 19 / 75
Chéo hóa ma trận Định nghĩa chéo hóa
Chéo hóa ma trận
Định nghĩa
Cho A ∈ Mn(K ). Ta nói A chéo hóa được nếu nó
đồng dạng với một ma trận chéo D, tức là
∃S ∈ Mn(K ) không suy biến sao cho S−1AS = D.
Khi đó S được gọi là ma trận làm chéo hóa.
Chú ý. Không phải ma trận vuông nào cũng chéo
hóa được. Chéo hóa ma trận A là đi tìm ma trận
không suy biến S và ma trận chéo D.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 20 / 75
Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa
Ta có S−1AS = D = dig(λ1, λ2, . . . , λn). Từ đó
suy ra AS = SD
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 ,D =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λn

S =

s11 s12 . . . s1n
s21 s22 . . . s2n
. . . . . . . . . . . .
sn1 sn2 . . . snn
 = ( S∗1 S∗2 . . . S∗n )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 21 / 75
Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa
AS =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
 .

s11 s12 . . . s1n
s21 s22 . . . s2n
. . . . . . . . . . . .
sn1 sn2 . . . snn

= A
(
S∗1 S∗2 . . . S∗n
)
=
(
AS∗1 AS∗2 . . . AS∗n
)
SD =

s11 s12 . . . s1n
s21 s22 . . . s2n
. . . . . . . . . . . .
sn1 sn2 . . . snn


λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λn

=
(
λ1S∗1 λ2S∗2 . . . λnS∗n
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 22 / 75
Chéo hóa ma trận Ma trận làm chéo hóa
Vậy (AS)∗i = AS∗i = (SD)∗i = λiS∗i , (i =
1, 2, . . . , n). Vậy S∗i là véctơ riêng ứng với trị
riêng λi(i = 1, 2, . . . , n) của ma trận A.
Ma trận làm chéo hóa S có cấu trúc là: các cột
của nó chính là các véctơ riêng của ma trận A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 23 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ví dụ
Cho ma trận A =
 15 −18 −169 −12 −8
4 −4 −6
 . Hãy chéo
hóa ma trận A.
Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
χA(λ) = |A− λI | =
∣∣∣∣∣∣
15− λ −18 −16
9 −12− λ −8
4 −4 −6− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ −(λ+ 3)(λ+ 2)(λ− 2) = 0
⇔ λ1 = −3, λ2 = −2, λ3 = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 24 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ1 = −3 ta xét hệ
18x1 − 18x2 − 16x3 = 0
9x1 − 9x2 − 8x3 = 0
4x1 − 4x2 − 3x3 = 0
⇒ X1 = α
 11
0
 , α 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 25 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ2 = −2 ta xét hệ
17x1 − 18x2 − 16x3 = 0
9x1 − 10x2 − 8x3 = 0
4x1 − 4x2 − 4x3 = 0
⇒ X2 = β
 21
1
 , β 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 26 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ3 = 2 ta xét hệ
13x1 − 18x2 − 16x3 = 0
9x1 − 14x2 − 8x3 = 0
4x1 − 4x2 − 8x3 = 0
⇒ X3 = γ
 42
1
 , γ 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 27 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Bước 2. Xác định ma trận làm chéo hóa
S =
 1 2 41 1 2
0 1 1

Khi đó S−1AS = D =
 −3 0 00 −2 0
0 0 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 28 / 75
Chéo hóa ma trận Ứng dụng chéo hóa tính lũy thừa của ma trận vuông
Ứng dụng chéo hóa tính lũy thừa của ma trận vuông
Giả sử A chéo hóa được, tức là
S−1AS = D = dig(λ1, λ2, . . . , λn). Khi đó
(S−1AS)k = Dk , k ∈ N
⇒ S−1A(S .S−1)AS . . . . .S−1AS = S−1AkS = Dk
⇒ Ak = SDkS−1. Vậy
Ak = S

λk1 0 . . . 0
0 λk2 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λkn
 S−1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 29 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ví dụ
Cho ma trận A =
 0 −8 6−1 −8 7
1 −14 11
 . Tính Ak ,
k ∈ N.
Xét
χA(λ) = |A− λI | =
∣∣∣∣∣∣
−λ −8 6
−1 −8− λ 7
1 −14 11− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ −(λ− 2)(λ + 2)(λ− 3) = 0
⇔ λ1 = −2, λ2 = 2, λ3 = 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 30 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ1 = −2 ta xét hệ
2x1 − 8x2 + 6x3 = 0
−x1 − 6x2 + 7x3 = 0
x1 − 14x2 + 13x3 = 0
⇒ X1 = α
 11
1
 , α 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 31 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ2 = 2 ta xét hệ
−2x1 − 8x2 + 6x3 = 0
−x1 − 10x2 + 7x3 = 0
x1 − 14x2 + 9x3 = 0
⇒ X2 = β
 12
3
 , β 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 32 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ3 = 3 ta xét hệ
−3x1 − 8x2 + 6x3 = 0
−x1 − 11x2 + 7x3 = 0
x1 − 14x2 + 8x3 = 0
⇒ X3 = γ
 23
5
 , γ 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 33 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Vậy ta có ma trận làm chéo hóa S =
 1 1 21 2 3
1 3 5

⇒ S−1 =
 1 1 −1−2 3 −1
1 −2 1
 D =
 −2 0 00 2 0
0 0 3
 .
Do đó Ak = SDkS−1 = 1 1 21 2 3
1 3 5
 (−2)k 0 00 2k 0
0 0 3k
 1 1 −1−2 3 −1
1 −2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 34 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ak = (−2)k − 2.2k + 2.3k (−2)k + 3.2k − 4.3k −(−2)k − 2k + 2.3k(−2)k − 4.2k + 3.3k (−2)k + 6.2k − 6.3k −(−2)k − 2.2k + 3.3k
(−2)k − 6.2k + 5.3k (−2)k + 9.2k − 10.3k −(−2)k − 3.2k + 5.3k

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 35 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Định lý
Cho A ∈ Mn(K ). A chéo hóa được khi và chỉ khi
bội đại số của trị riêng bất kỳ bằng bội hình học
của nó.
Ví dụ
Cho ma trận A =
 2 0 11 1 1
−2 0 −1
 . Hãy chéo hóa
A nếu A chéo hóa được.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 36 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
χA(λ) = |A− λI | =
∣∣∣∣∣∣
2− λ 0 1
1 1− λ 1
−2 0 −1− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ −λ(λ− 1)2 = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = 1 (bội 2).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 37 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Ứng với λ1 = 0 (đơn) ta xét hệ
2x1 + x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
−2x1 − x3 = 0
⇒ X1 = α
 11
−2
 , α 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 38 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Ứng với λ2 = 1 (bội 2) ta xét hệ
x1 + x3 = 0
x1 + x3 = 0
−2x1 − 2x3 = 0
⇒ X2 =
 αβ
−α
 =
α
 10
−1
 + β
 01
0
 , α2 + β2 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 39 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Bước 2. Xác định ma trận làm chéo hóa
S =
 1 0 11 1 0
−2 0 −1

Khi đó S−1 =
 −1 0 −11 1 1
2 0 1

D = S−1AS =
 0 0 00 1 0
0 0 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 40 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Ví dụ
Cho ma trận A =
 2 0 00 4 0
1 0 2
 . Hãy chéo hóa A
nếu A chéo hóa được.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 41 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
χA(λ) = |A− λI | =
∣∣∣∣∣∣
2− λ 0 0
0 4− λ 0
1 0 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ −(λ− 4)(λ− 2)2 = 0 ⇔ λ1 = 4, λ2 = 2 (bội 2).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 42 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Ứng với λ1 = 4 (đơn) ta xét hệ{ −2x1 = 0
x1 − 2x3 = 0 ⇒ X1 = α
 01
0
 , α 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 43 / 75
Chéo hóa ma trận Điều kiện chéo hóa
Ứng với λ2 = 2 (bội 2) ta xét hệ
{
2x2 = 0
x1 = 0
⇒ X2 = β
 00
1
 , β 6= 0.
Ta có bội đại số=2>bội hình học=1 nên A không
chéo hóa được.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 44 / 75
Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao
Định nghĩa
Cho A ∈ Mn(R). A được gọi là ma trận đối xứng
thực nếu A = AT hay nếu A = (aij)n thì
aij = aji ,∀i , j = 1, 2, . . . , n.
Định lý
Cho A ∈ Mn(R) và A đối xứng thực. Khi đó nếu λ
là trị riêng của A thì λ ∈ R.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 45 / 75
Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao
Định nghĩa
Cho P ∈ Mn(K ). Ma trận P được gọi là ma trận
trực giao nếu và chỉ nếu P không suy biến và thỏa
điều kiện PT = P−1, tức là P có ma trận nghịch
đảo bằng ma trận chuyển vị.
Định lý
Với mỗi ma trận đối xứng thực A, tồn tại ma trận
trực giao P sao cho PTAP là ma trận chéo.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 46 / 75
Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực bằng ma trận trực giao
Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực
Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Tìm trị
riêng.
Bước 2. Tìm cơ sở của không gian con riêng ứng
với từng trị riêng.
Bước 3. Từ cơ sở này tìm cơ sở trực chuẩn.
Bước 4. Ma trận trực giao P có các cột là cơ sở
trực chuẩn của những không gian con riêng. Các
phần tử nằm trên đường chéo chính của D là các
trị riêng tương ứng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 47 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ví dụ
Hãy chéo hóa ma trận đối xứng thực
A =
 2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2
 bằng ma trận trực giao.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 48 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Bước 1. Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
χA(λ) = |A− λI | =
∣∣∣∣∣∣
2− λ −1 −1
−1 2− λ −1
−1 −1 2− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ −λ(λ− 3)2 = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = 3 (bội 2).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 49 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Bước 2, 3. Ứng với λ1 = 0 (đơn) ta xét hệ
2x1 − x2 − x3 = 0
−x1 + 2x2 − x3 = 0
−x1 − x2 + 2x3 = 0
⇒ X1 = α
 11
1
 , α 6= 0. Từ đó ta có
P∗1 =
X1
||X1|| =

1√
3
1√
3
1√
3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 50 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Ứng với λ2 = 3 (bội 2) ta xét hệ
−x1 − x2 − x3 = 0
−x1 − x2 − x3 = 0
−x1 − x2 − x3 = 0
⇒ X2 =
 −α− βα
β
 =
α
 −11
0
 + β
 −10
1
 , α2 + β2 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 51 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Dùng quá trình Gram-Shmidt, tìm cơ sở trực giao
F = {f1, f2}.
f1 = X1 =
 −11
0
 ,
f2 = X2 − 
f1 =
 −1/2−1/2
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 52 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Trực chuẩn hóa cơ sở trực giao ta được
P∗2 =
f1
||f1|| =
 −
1√
2
1√
2
0
 và
P∗3 =
f2
||f2|| =
 −
1√
6
− 1√
6
2√
6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 53 / 75
Chéo hóa ma trận Ví dụ
Bước 4. Xác định ma trận trực giao làm chéo
hóa P =

1√
3
− 1√
2
− 1√
6
1√
3
1√
2
− 1√
6
1√
3
0 2√
6

Khi đó D = PTAP =
 0 0 00 3 0
0 0 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 54 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa
Cho E là một K− kgv, ánh xạ tuyến tính
f : E → E . Nếu ∃x ∈ E , x 6= 0 sao cho
f (x) = λ.x , λ ∈ K
thì λ được gọi là trị riêng của f và x được gọi là
véc-tơ riêng của f ứng với trị riêng λ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 55 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa
Cho E là K−kgv, B là một cơ sở của E . Cho ánh
xạ tuyến tính f : E → E . A là ma trận của ánh xạ
tuyến tính f trong cơ sở B . Giả sử λ0 là trị riêng
của ánh xạ tuyến tính f
⇔ ∃x0 6= 0, x0 ∈ E : f (x0) = λ0.x0
⇔ [f (x0)]B = [λ0x0]B ⇔ A[x0]B = λ0[x0]B
⇒ λ0 là trị riêng của ma trận A và [x0]B là véctơ
riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 56 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa
Kết luận
1 Trị riêng của ma trận là trị riêng của ánh xạ
tuyến tính và ngược lại
2 Nếu véctơ x0 là véctơ riêng của ma trận A ứng
với trị riêng λ0 thì véctơ x sao cho [x ]B = x0 là
véctơ riêng của f ứng với trị riêng λ0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 57 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Các bước tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính
Các bước tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính
Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý B của kgv E . Tìm
ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B
Bước 2. Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận A
Bước 3. Kết luận
1 Trị riêng của ma trận là trị riêng của ánh xạ
tuyến tính và ngược lại
2 Nếu véctơ x0 là véctơ riêng của ma trận A ứng
với trị riêng λ0 thì véctơ x sao cho [x ]B = x0 là
véctơ riêng của f ứng với trị riêng λ0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 58 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết
f (x) = f (x1, x2, x3) =
(5x1−10x2−5x3, 2x1+14x2+2x3,−4x1−8x2+6x3).
Tìm trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f
Bước 1. Chọn cơ sở chính tắc của R3 là
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Ma trận của
ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B là
A =
 5 −10 −52 14 2
−4 −8 6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 59 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Bước 2. Tìm trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận A
Phương trình đặc trưng
−λ3 + 25λ2 − 200λ + 500 = 0⇔
−(λ− 5)(λ− 10)2 = 0⇔ λ1 = 5, λ2 = 10 (kép)
Với λ1 = 5 giải hệ phương trình
(A−λ1I )X = 0⇔
 0 −10 −52 9 2
−4 −8 1
 x1x2
x3
 = 0
⇔ X = α
 5−2
4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 60 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Bước 3. Kết luận: Véc-tơ riêng của A ứng với λ1
là X1 sao cho
[X1]B =
 5α−2α
4α
 , α 6= 0
⇒ X1 = (5α,−2α, 4α)
vì B là cơ sở chính tắc.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 61 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Bước 2. Với λ2 = 10 giải hệ phương trình
(A−λ2I )X = 0⇔
 −5 −10 −52 4 2
−4 −8 −4
 x1x2
x3
 = 0
⇔ X =
 −2α− βα
β
 , (α2 + β2 6= 0).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 62 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Bước 3. Kết luận: Véc-tơ riêng của A ứng với λ2
là X2 sao cho
[X2]B =
 −2α− βα
β
 , (α2 + β2 6= 0)
⇒ X2 = (−2α− β, α, β)
vì B là cơ sở chính tắc.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 63 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Đặt vấn đề
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính
Bài toán
Tìm 1 cơ sở B ′ (nếu có) của kgv E sao cho ma
trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B ′ là ma
trận chéo.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 64 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa
Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính f : E → E được gọi là chéo
hóa được nếu tồn tại cơ sở B ′ của kgv E , sao cho
ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở đó là
ma trận chéo D.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 65 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính
Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính
Bước 1. Chọn 1 cơ sở B của kgv E . Tìm ma trận
A của f trong cơ sở B
Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được)
Bước 3. Kết luận
1 Nếu A chéo hóa được thì f chéo hóa được
2 Nếu A không chéo hóa được thì f không chéo
hóa được
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 66 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính
Kết luận
Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận S và ma trận
chéo D. Khi đó cơ sở B ′ cần tìm có tọa độ mỗi
véctơ của B ′ trong cơ sở B là mỗi cột của ma trận
S ⇒ ma trận của f trong cơ sở B ′ cần tìm là ma
trận chéo D.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 67 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết
f (1, 1, 1) = (1,−7, 9); f (1, 0, 1) = (−7, 4,−15);
f (1, 1, 0) = (−7, 1,−12). Tìm một cơ sở B ′ (nếu
có) của R3 sao cho ma trận của f trong B ′ là ma
trận chéo D. Tìm ma trận D
Bước 1. Tìm ma trận của f trong
B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}
A =
 1 −4 −48 −11 −8
−8 8 5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 68 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được)
Phương trình đặc trưng
−λ3− 5λ2− 3λ+9 = 0⇔ −(λ− 1)(λ+3)2 = 0
Với λ1 = 1 giải hệ phương trình
(A−λ1I )X = 0⇔
 0 −4 −48 −12 −8
−8 8 4
 x1x2
x3
 = 0
⇔ X = α
 12
−2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 69 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Véc-tơ riêng của A ứng với λ1 là X1 sao cho
[X1]B =
 α2α
−2α
 , α 6= 0
⇒ X1 = α(1, 1, 1) + 2α(1, 0, 1)− 2α(1, 1, 0) =
(α,−α, 3α). Chọn 1 véc-tơ riêng của ánh xạ
tuyến tính f ứng với λ1 = 1 là (1,−1, 3)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 70 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Với λ2 = −3 giải hệ phương trình
(A−λ2I )X = 0⇔
 4 −4 −48 −8 −8
−8 8 8
 x1x2
x3
 = 0
⇔ X =
 α + βα
β
 , (α2 + β2 6= 0).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 71 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Véc-tơ riêng của A ứng với λ2 là X2 sao cho
[X2]B =
 α + βα
β
 , (α2 + β2 6= 0)
⇒ X2 = (α+β)(1, 1, 1)+α(1, 0, 1)+β(1, 1, 0) =
= (2α+2β, α+2β, 2α+β) = α(2, 1, 2)+β(2, 2, 1)
Chọn 2 véc-tơ riêng độc lập tuyến tính của f ứng
với trị riêng λ2 = −3 là (2, 1, 2), (2, 2, 1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 72 / 75
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Bước 3.
Vậy cơ sở cần tìm là
B ′ = {(1,−1, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 1)}. Ma trận của
ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B ′ là
D =
 1 0 00 −3 0
0 0 −3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 73 / 75
Thực hành MatLab
Thực hành MatLab
1 Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A:
p = poly(A)
2 Tìm nghiệm của đa thức đặc trưng:
roots(p)
3 Tìm trị riêng và véctơ riêng tương ứng:
[V ,D] = eig(A)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 74 / 75
Kết thúc
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 75 / 75