Bài giảng Xử lý tin hiệu số - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số - Đinh Đức Anh Vũ

*
2
1
nxnxnjxnxnx
nxnxnjxnxnx
đótrong
nxnx
nxnxjnxnxnjxnxnx
o
I
o
Ro
e
I
e
Re
oe
o
I
e
I
o
R
e
RIR
[ ] [ ]
[ ] [ ])()()()()(
)()()()()(
ωωωωω oI
o
R
e
I
e
R
o
I
o
R
e
I
e
R
jXXjXXX
njxnxnjxnxnx
+++=
+++=
T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
2011
dce
51DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tuyến tính
– Ví dụ: tìm BĐ Fourier của x(n) sau. Vẽ t/h và phổ của t/h.
)()()()(
)()(
)()(
22112211
22
11 ωω
ω
ω
XaXanxanxa
Xnx
Xnx F
F
F
+→←+⇒




→←
→←
11
00
0
)(
00
0
)(
)()()(
2
1
21
<<−



≥
<
=



<
≥
=
+=
−
a
n
na
nx
n
na
nx
nxnxnx
n
n
ω
ω
ωω
ω
ω
j
j
n
nj
n
nj
ae
X
aaeDo
aeenxX
−
−
∞
=
−
∞
−∞=
−
−
=⇒
<=
== ∑∑
1
1)(
1
)()()(
1
0
11
ω
ω
ω
ωωω
ω
ω
j
j
j
k
kj
n
nj
n
nj
ae
aeX
aaeDo
aeaeenxX
−
=⇒
<=
=== ∑∑∑
∞
=
−
−∞=
−
∞
−∞=
−
1
)(
1
)()()()(
2
1
1
22
T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
2011
dce
52DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
2
2
21
cos21
1)(
)()()(
aa
aX
XXX
+−
−
=
+=
ω
ω
ωωω
2011
dce
53DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Dịch theo thời gian
– Ví dụ: tìm BĐ Fourier của t/h 
• Đảo theo thời gian
– Ví dụ
)2()(3)( 321 −=
− nunx n
)()()()( ωω ω XeknxXnx kjFF −→←−⇒→←
)()()()( ωω −→←−⇒→← XnxXnx FF
1
1
1 11
2 32
( ) 3.2 . ( )
( ) 3.( ) . ( ) ( ) 3.2 . ( 3)
n
n n
x n u n
x n u n x n u n
− +
− + − +
= −
= − = − +
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
j
j
F
n
j
j
jF
n
j
Fn
e
eXXnxnunx
e
eXeXnunxnx
e
Xnunx
−
−−
−
−
−
−
−
−
==→←=−




=⇒
−
==→←−




=−=
−
=→←=
2
1
2
22
2
2
1
2
1
2
2
2
12
2
112
1
1
1
6)(6)()(6)2(
2
16)(
1
)()()2(
2
1)2()(
1
1)()()()(
T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
2011
dce
54DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tổng chập
– Chú ý: Có thể dùng BĐ Fourier thuận và BĐ Fourier ngược để tính tích
chặp
• Tương quan
• Định lý Wiener-Khintchine
)()()()(*)()(
)()(
)()(
2121
22
11 ωωω
ω
ω
XXXnxnxnx
Xnx
Xnx F
F
F
=→←=⇒




→←
→←
)()()()(
)()(
)()(
21
22
11
2121
ωωω
ω
ω
−=→←⇒




→←
→←
XXSmr
Xnx
Xnx
xx
F
xxF
F
)()()()()( ωωω −=→←⇒ XXSlrthucnx xx
F
xx
T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
2011
dce
55DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Dịch theo tần số
• Định lý điều chế
• Định lý Parseval
[ ]10 0 02( ) ( ) ( ) co s ( ) ( )F Fx n X x n n X Xω ω ω ω ω ω←→ ⇒ ←→ + + −
0
0( ) ( ) ( ) ( )
j nF Fx n X e x n Xωω ω ω←→ ⇒ ←→ −
∫∑ −
∞
−∞=
=⇒




→←
→← π
π
ωωω
πω
ω
dXXnxnx
Xnx
Xnx
n
F
F
)()(
2
1)()(
)()(
)()( *
21
*
21
22
11
T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
2011
dce
56DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Nhân 2 chuỗi (định lý cửa sổ)
• Đạo hàm miền tần số
• Liên hợp phức
ω
ωω
d
dXjnnxXnx FF )()()()( →←⇒→←
)()()()( ** ωω −→←⇒→← XnxXnx FF
∫− −=→←=⇒




→←
→←
π
π
λλωλ
π
ω
ω
ω
dXXXnxnxnx
Xnx
Xnx
F
F
F
)()(
2
1)()()()(
)()(
)()(
213213
22
11
T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
2011
dce
57DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• H/t nghỉ LTI
• Hàm đáp ứng tần số: đáp ứng tần số của t/h mũ phức và t/h sin
– Đáp ứng tần số của t/h mũ phức: cho x(n) = Aejωn -∞ < n < ∞
T/h mũ phức
T/h sin
Hệ LTI trong miền tần số
h(n)
h(n): hàm đáp ứng xung đơn vị
H(ω): hàm đáp ứng tần số
H(ω)
F
Miền thời gian
Miền tần số
x(n)
x(n) y(n)
y(n)
nj
k
kjnj
k
knj
k
eAH
ekhAeAekh
knxkhnhnxny
ω
ωωω
ω)(
)()(
)()()(*)()(
)(
=
==
−==
∑∑
∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
x(n) = Aejωn là một eigenfunction của h/t
H(ω) là eigenvalue tương ứng
2011
dce
58DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Biểu diễn H(ω) ở dạng cực
• Ta có
Trong đó
• Do đó, nếu biết │H(ω)│và Θ(ω) trong khoảng 0 ≤ ω ≤ π thì cũng xác định
được trong khoảng –π ≤ ω ≤ 0
)()()( ωωω Θ= jeHH
[ ])(/)(tan22 1)()(
)()(
sin)(cos)()()(
ωω
ω
ωω
ωω
ωωω
RI HHj
IR
IR
kkk
kj
eHH
jHH
kkhjkkhekhH
−
+=
+=
−== ∑∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−
lehàmkkhH
chanhàmkkhH
k
I
k
R
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=
=
ωω
ωω
sin)()(
cos)()(
lehàm
chanhàmHHH
R
I
H
H
IR
)(
)(1
22
tan)(
)()()(
ω
ωω
ωωω
−=Θ
+=
2011
dce
59DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Đáp ứng tần số của t/h sin
njAenx ω=)(1
njAenx ω−=)(2
njj eeHAny ωωω )(1 )()(
Θ=
njj
njj
eeHA
eeHAny
ωω
ωω
ω
ω
−Θ−
−−Θ
=
−=
)(
)(
2
)(
)()(
[ ])()(sin)( 2121 nxnxnAnx j −== ω [ ]
[ ])(sin)(
)()()( 2121
ωωω Θ+=
−=
nHA
nynyny j
[ ])()(cos)( 2121 nxnxnAnx +== ω [ ]
[ ])(cos)(
)()()( 2121
ωωω Θ+=
+=
nHA
nynyny
2011
dce
60DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Ví dụ: cho hệ LTI nhân quả, điều kiện đầu bằng 0
T/h nhập x(n) = 3cos(πn/3). Tìm y(n)
ωω je
H −−
=
2
11
3)( 6
3
32
1
3)(
2
13
π
π
π j
j
e
e
H −
−
=
−
=
)cos(36)( 63 ππ −= nny
Z-1
+
1/2
x(n) y(n)3
2011
dce
61DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Đáp ứng cho t/h tuần hoàn
– Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N
• Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn
Hệ LTI trong miền tần số
∑
−
=
=
1
0
2 2)()(
N
k
nj
N
k
k
N
k
eHcny
π
πH(ω)
h(n)
H(ω)
F
x(n)
X(ω) Y(ω)
y(n)
F F
y(n) = x(n)*h(n)
Y(ω) = X(ω)H(ω)
Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│ejΘ(ω0)X(ω0)
 Thành phần tần số (ω0) khi đi qua hệ thì: 
- Biên độ: co/giãn │H(ω0)│
- Pha: lệch pha Θ(ω0)
∑
−
=
=
1
0
2
)(
N
k
nj
k
N
k
ecnx
π
2011
dce
62DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Quan hệ giữa hàm hệ thống và hàm đáp ứng tần số
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
1
0
1
)(
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
kj
k
M
k
kj
k
ea
eb
H
1
0
1
)(
ω
ω
ω
∑
∞
−∞=
−
=
==
n
nj
ez
enhzHH j ωωω )()()(
∏
∏
=
=−
−
−
= N
k
k
M
k
k
MN
pz
zz
zbzH
1
1
0
)(
)(
)(
∏
∏
=
=−
−
−
= N
k
k
j
M
k
k
j
MNj
pe
ze
ebH
1
1)(
0
)(
)(
)(
ω
ω
ωω
Hệ ổn định
)()/1( *** ωHzH =
)()/1( 1** −= zHzH
)()(* ωω −= HH
)()()()()()()( 1*2 −=−== zHzHHHHHH ωωωωω
2011
dce
63DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Tính hàm đáp ứng tần số H(ω)
– Biểu diễn dưới dạng cực
– Do đó, có thể tính được H(ω) nếu biết được zero và pole 
của hàm hệ thống
– Ý nghĩa ?




=−
=−
Φ
Θ
)(
)(
)(
)(
ωω
ωω
ω
ω
k
k
j
kk
j
j
kk
j
eUpe
eVze
∏
∏
=
=−
−
−
= N
k
k
j
M
k
k
j
MNj
pe
ze
ebH
1
1)(
0
)(
)(
)(
ω
ω
ωω






Φ−Θ+−+∠=∠
=
∑∑
==
N
k
k
M
k
k
N
M
MNbH
UUU
VVVbH
11
0
21
21
0
)()()()(
)()...()(
)()...()()(
ωωωω
ωωω
ωωωω
2011
dce
64DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tính hàm đáp ứng tần số H(ω)
– Cho zero zk và pole pk
– Xác định H(ω) tại ω (điểm L)
– Việc tính H(ω) tương đương việc 
tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị
– Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại 
những điểm trên vòng tròn gần điểm đó nhỏ
– Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng 
tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn
x
pk
C 0
A
Bzk
L
ejω hoặc 
│z│= 1
Φk(ω)
Θk(ω)
Im(z)
Re(z)
Vk
Uk
Hệ LTI trong miền tần số
CL = CA + AL AL = CL – CA
CL = CB + BL BL = CL – CB
pk = CA
zk = CB
ejω = CL
)(
)(
)(
)(
ωω
ωω
ω
ω
k
k
j
kk
j
j
kk
j
eVzeBL
eUpeAL
Θ
Φ
=−=
=−=
2011
dce
65DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t được mô tả bằng hàm h/t
– Zero tại z = 0
– Pole tại z = 0.8
8.08.01
1)( 1 −
=
−
= − z
z
z
zH
8.0
)(
−
= ω
ω
ω j
j
e
eH
ω
ω
ω
ω
cos6.164.1
1
8.0
)(
−
=
−
=
j
j
e
e
H
8.0cos
sintan)( 1
−
−= −
ω
ωωωθ
2011
dce
66DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI trong miền tần số
• Hàm tương quan vào-ra và phổ
)(*)()( mrmrmr xxhhyy =
)(*)()( mrmhmr xxyx =
)()()()()()( 1 zSzHzHzSzSzS xxxxhhyy
−==
)()()( zSzHzS xxyx =
)()()( 2 ωωω xxyy SHS =
2)()()()()( ωωωωω XHSHS xxyx ==
z=ejω
Phổ mật độ năng lượng chéo
Phổ mật độ năng lượng 
∫∫
−−
===
π
π
π
π
ωωω
π
ωω
π
dSHdSrE xxyyyyy )()(2
1)(
2
1)0( 2Năng lượng tổng
Nếu t/h nhập có phổ phẳng
Sxx(ω) = Ex = const khi –π ≤ ω ≤ π
xyx EHS )()( ωω = )(
1)( ωω yx
x
S
E
H =
)(1)( mr
E
nh yx
x
=Dùng trong việc xác định h(n) của hệ lạ: 
tác động vào h/t t/h có phổ phẳng
2011
dce
67DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
Lowpass
filter
Highpass
filter
Bandpass
filter
Bandstop
filter
All-pass
filter
Filter
• Bộ lọc
– Thiết bị dùng để xử lý tùy theo đặc tính của t/h tác động vào h/t
– Ví dụ: bộ lọc không khí, bộ lọc dầu, bộ lọc tia cực tím
• Hệ LTI
– Y(ω) = H(ω)X(ω)
– Thay đổi phổ t/h nhập tùy theo đặc trưng của đáp ứng tần số H(ω)
– Hệ LTI được xem là bộ lọc tần số: H(ω) đóng vai trò hàm tác động hoặc hàm 
chỉnh phổ
– Có tác dụng
• Loại bỏ nhiễu trên t/h
• Tinh chỉnh hình dạng phổ của t/h
• Phân tích phổ t/h
• Phát hiện t/h trong Radar, Sonar, 
• Phân loại bộ lọc
2011
dce
68DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
ω
|H(ω)|
–π π–ωc ωc
1
Highpass
ω
|H(ω)|
–π π–ωc ωc
1
Lowpass
ω
|H(ω)|
–π π–ω0 ω0
1
Bandpass
ω
|H(ω)|
–π π–ω0 ω0
1
Bandstop
2011
dce
69DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc lý tưởng
– Đặc trưng của H(ω) lý tưởng
• Biên độ = hằng số A, trong vùng tần số được qua
= 0, trong vùng tần số không được qua
• Pha tuyến tính ( = -aω, a: hằng số)
– Minh họa
• T/h x(n) với các thành phần t/s trong khoảng [ω1, ω2]
• Hàm đáp ứng tần số
• Phổ t/h tại ngõ xuất
• T/h ngõ xuất y(n) = Cx(n-n0)
• x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng 
– bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả các thành phần t/s đều bị trễ như
nhau)
– bị co giãn biên độ
– Trong thực tế không hiện thực được tình trạng lý tưởng, mà chỉ là xấp 
xỉ của nó


 <<
=
−
otherwise
Ce
H
nj
0
)( 21
0 ωωω
ω
ω
)()()()()( 210 ωωωωωωω
ω <<== − XCeXHY nj
2011
dce
70DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Thiết kế bộ lọc bằng sơ đồ zero-pole
– Bộ lọc số đơn giản nhưng quan trọng
– Nguyên lý: đặt các pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị tương ứng với 
các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số được cho qua bộ lọc) và 
đặt các zero gần các điểm tương ứng với các tần số không muốn
– Ràng buộc
• Pole bên trong vòng tròn đơn vị (để hệ ổn định). Zero có thể nằm bất kỳ ở đâu trên 
mpz
• Các zero/pole phức phải theo từng cặp liên hợp (để hệ số của bộ lọc là số thực)
• Chọn b0 thích hợp để chuẩn hoá đáp ứng tại tần số được cho qua bộ lọc (để 
│H(ω0)│ = 1, ω0 là tần số trong bandpass của bộ lọc)
∏
∏
∑
∑
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
+
= N
k
k
M
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
zp
zz
b
za
zb
zH
1
1
1
1
0
1
0
)1(
)1(
1
)(
G ≡ b0: độ lợi
2011
dce
71DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc thông thấp (lowpass)
– Đặt pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số thấp (ω = 0)
– Đặt zero gần hoặc tại các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số cao (ω = π)
• Bộ lọc thông cao (highpass)
– Tương tự như bộ lọc thông thấp, bằng cách lấy đối xứng các zero/pole qua trục ảo của 
mpz
– Trong biểu thức hàm h/t, thay z bởi –z
2011
dce
72DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Ví dụ 1: bộ lọc thông thấp 
(lowpass) một pole
– Hàm hệ thống
– Độ lợi G được chọn (1–a) để
biên độ H(z) bằng đơn vị khi 
ω = 0
– Việc thêm zero = –1 sẽ làm 
suy giảm đáp ứng của bộ lọc
ở tần số cao
– Do đó
– │H2(ω)│giảm bằng 0 khi ω = 
π
11 1
1)( −−
−
=
az
azH
1
1
2 1
1
2
1)( −
−
−
+−
=
az
zazH
a = 0.9
2011
dce
73DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc thông cao 
(highpass)
– Có thể đạt được từ 
bộ lọc lowpass bằng 
cách thay z bởi –z
1
1
1
1
2
1)( −
−
−
+−
=
az
zazHlp
1
1
1
1
2
1)( −
−
+
−−
=
az
zazHhp
z = –z
a = 0.9
2011
dce
74DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Ví dụ 2: thiết kế bộ lọc lowpass, thoả:
– Một điểm pole: p
– Một zero tại: 0
– Đáp ứng năng lượng tại tần số đỉnh cho qua (ω=0) bằng 1
– Đáp ứng năng lượng tại tần số ω=π/2 là 0.5
11
1)( −−
=
−
=
pz
G
pz
zGzH
pe
eGH j
j
−
= ω
ω
ω)(
2
2
2
cos21
1
)1)(1(
1)(
pp
G
pepe
GS jjxx
+−
=
−−
= −
ω
ω ωω







=
+
=
=
+−
=
2
1
1
)(
1
21
)0(
2
2
2
2
2
p
GS
pp
GS
xx
xx
π




−±=
−=
)32(2
32
G
p 32+=p(bỏ qua vì hệ không ổn định)
z=ejω
2011
dce
75DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
2)32(cos)32(21
)32(2)(
−+−−
−
=
ω
ωxxS 11
)( −−
=
pz
Gzh
z–1p
x(n) y(n)G
+
2011
dce
76DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ 3: xác định các tham số của bộ lọc trong hình 
1 để thoả yêu cầu phổ mật độ năng lượng trong 
hình 2
2a
x(n) y(n)G
–a2
+
+
z–1
+
z–1
Hệ LTI và bộ lọc
(Hình 1) (Hình 2)
2011
dce
77DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc bandpass
– Nguyên tắc: được thực hiện tương tự lowpass và highpass
– Có một hoặc nhiều cặp pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị, trong vùng 
lân cận dải tần số cho phép
– Ví dụ 4: thiết kế bộ lọc bandpass thoả:
• Tâm của passband = π/2. Đáp ứng tần số tại tâm đó = 1
• Đáp ứng tần số = 0 tại các tần số: 0, π
• Đáp ứng biên độ = tại các tần số: 4π/9
z-1
z-1
z-1
B D
E
x(n) y(n)A
z-1
C
+ +
+ +
2
1
22
2 1
))((
)1)(1()(
rz
zG
jrzjrz
zzGzH
+
−
=
+−
+−
=



±=
=
⇒




=
=
7.0
15.0
)(
1)(
2
1
9
4
2
r
G
H
H
π
π
2
2
7.01
115.0)( −
−
+
−
=
z
zzH
12,1
2,1
2
±=
= ±
zZero
repPole j
π
2011
dce
78DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
2
2
7.01
115.0)( −
−
+
−
=
z
zzH
2011
dce
79DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Biến đổi đơn giản từ bộ lọc lowpass sang bộ lọc highpass
– Tạo bộ lọc highpass bằng cách dịch Hlp(ω) một đoạn π (nghĩa là thay 
thế ω bởi ω – π
Hhp(ω) = Hlp(ω – π)
– Trong miền thời gian
hhp(n) = (ejπ)nhlp(n) = (-1)nhlp(n)
∑∑
==
−+−−=
M
k
k
N
k
k knxbknyany
01
)()()( ∑∑
==
−−+−−−=
M
k
k
k
N
k
k
k knxbknyany
01
)()1()()1()(
∑
∑
=
−
=
−
+
= N
k
kj
k
M
k
kj
k
lp
ea
eb
H
1
0
1
)(
ω
ω
ω
∑
∑
=
−
=
−
−+
−
= N
k
kj
k
k
M
k
kj
k
k
hp
ea
eb
H
1
0
)1(1
)1(
)(
ω
ω
ω
2011
dce
80DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ cộng hưởng số
– Bộ lọc bandpass 2 pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị
– Vị trí góc của pole xác định tần số cộng hưỏng
– Chọn pole liên hợp phức p1,2 = re±jω0 (0 < r < 1)
– Có thể chọn thêm tối đa 2 zero
• Hoặc zero tại gốc tọa độ
• Hoặc zero tại ±1
• Cho phép loại bỏ các đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 hoặc ω = π
– Giả sử zero được chọn tại gốc
• Do |H(ω)| có đỉnh tại (hoặc gần) ω = ω0, nên
)1)(1(
)( 11
0
00 −−− −−
=
zrezre
bzH jj ωω
1
)1)(1(
)(
0000
0
0 =−−
= −−− ωωωωω jjjj ereere
bH
0
2
0 2cos21)1( ωrrrb −+−=
2011
dce
81DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Phổ biên độ và phổ pha trong trường hợp ω0 = 1
• SV khảo sát trường hợp 
zero được chọn tại ±1 và so 
sánh phổ biên độ và phổ pha 
với trường hợp zero tại 0
ω0
–ω0
r
r
p1 = rej
p2 = re–j
2011
dce
82DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc khe V (notch)
– Chứa một hoặc nhiều khe sâu, có 
đáp ứng tần số bằng 0
– Đặt một cặp zero liên hợp phức 
trên vòng tròn đơn vị, tại góc ω0, 
tức
– Hàm h/t
– Nhược điểm
• Khe có độ rộng khá lớn
• Thành phần tần số xung quanh 
ω0 bị suy hao
• P/p khắc phục: ad-hoc (nhiều p/p 
khác được trình bày ở chương 8)
0
2,1
ωjez ±=
)cos21(
)1)(1()(
21
00
11
0
00
−−
−−−
+−=
−−=
zzb
zezebzH jj
ω
ωω
ω0 = π/4
2011
dce
83DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• P/p khắc phục bộ lọc notch
– Đặt cặp pole liên hợp phức tại ω0
để cộng hưởng trong vùng lân cận 
ω0
– Hàm h/t
– Nhược điểm:
• Ngoài việc giảm băng thông của 
khe, pole cũng tạo ra các lăn tăn 
(ripple) trong bandpass của bộ lọc 
(do việc cộng hưởng)
• Khắc phục ripple bằng cách thêm 
zero và/hoặc pole → thử và sai
0
2,1
ωjrep ±=
221
0
21
0
0 cos21
cos21)( −−
−−
+−
+−
=
zrzr
zzbzH
ω
ω ω0 = π/4
2011
dce
84DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc răng lược (comb)
– Là bộ lọc notch với các khe xuất hiện tuần hoàn
– Hàm h/t
– Thay z bằng zL (L>0)
– Đáp ứng tần số HL(ω) chính là việc lặp bậc L của đáp ứng tần số H(ω) trong
khoảng [0, 2π]
• Nếu H(ω) có một phổ không tại tần số ω0 nào đó, HL(ω) sẽ có các phổ không răng
lược tại ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, , L-1)
∑
=
−=
M
k
kzkhzH
0
)()( ∑
=
−=
M
k
jkekhH
0
)()( ωω
∑
=
−=
M
k
kL
L zkhzH
0
)()( )()()(
0
ωω ω LHekhH
M
k
jkL
L ==∑
=
−z=ejω
z=ejω
H4(ω)
ω
ππ/2 3π/2 2π
H(ω)
2π
ω
-2π
2011
dce
85DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
M=10 & L=3M=10
Hệ LTI và bộ lọc
• Ví dụ: bộ lọc trung bình ∑
=
−
+
=
M
k
knx
M
ny
0
)(
1
1)(
1
)1(
0 1
1
1
1
1
1)( −
+−
=
−
−
−
+
=
+
= ∑ z
z
M
z
M
zH
MM
k
k
2
2
12/
sin
)(sin
1
)(
ω
ω ω
ω
+−
+
=
MMj
M
eH
Mkez Mkjk ,...,3,2,1
)1/(2 == +π )1/(2 += Mkk πω
L
ML
L z
z
M
zH −
+−
−
−
+
=
1
1
1
1)(
)1(
2
2
12/
sin
)(sin
1
)(
ω
ω ω
ω
L
MLMj
L
L
M
eH
+−
+
=
z-1 z-1 z-1 z-1z-1z-1 z-1 z-1 z-1
+ ++
h(0)
x(n)
h(1) h(2) h(3)
y(n)
L=3 & M=3
z=ejω
2011
dce
86DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ lọc Allpass
– |H(ω)| = 1 (0 ≤ ω ≤ π)
– Loại đơn giản nhất: H(z) = z–k
– Loại khác
• Nếu z0 là pole của H(z), thì 1/z0 là zero của H(z)
realaa
za
za
zH kN
k
k
k
N
k
kN
k
,1)( 0
0
0 ≡=
∑
∑
=
−
=
+−
1)( 0
0
≡=∑
=
− azazA
N
k
k
k )(
)()(
1
zA
zAzzH N
−
−=
0 a 1 a-1 0
(r–1,–ω0)
(r–1,ω0)
(r,–ω0)
(r,ω0)
–ω0
ω0
2011
dce
87DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
1
1
1 1
)( −
−
+
+
=
az
zazH 221
0
21
0
2
2 cos21
cos2)( −−
−−
+−
++
=
zrzr
zzrrzH
ω
ω
θ1(ω)
θ2(ω)
a = 0.6
r = 0.9
ω0 = π/4
2011
dce
88DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Hệ LTI và bộ lọc
• Bộ dao động sin số
– Bộ cộng hưởng 2 pole, trong đó các pole nằm trên vòng tròn đơn vị
– Pole và đáp ứng xung đơn vị
– Nếu pole nằm trên vòng tròn đơn vị: r = 1 và b0 = Asinω0



=
−=
++
= −− 2
2
01
2
2
1
1
0
cos2
1
)(
ra
ra
zaza
bzH
ω
0
2,1
ωjrep ±= )()1sin(
sin
)( 0
0
0 nunrbnh
n
ω
ω
+=
)()1sin()( 0 nunAnh ω+=
+
+
z-1
z-1
x(n)=(Asinω0)δ(n)
–a2
–a1
y(n)=Asin(n+1)ω0
a1= –2cosω0
a2= 1
y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0δ(n)