Bàn về khả năng ứng dụng lý thuyết hệ phẳng vào phân tích và điều khiện hệ phi tuyến

 có phẳng hay không. Như vậy bộ điều khiển phản hồi trạng thái
(42) để điều khiển tuyến tính hóa chính xác hệ truyền ngược chặt dạng chuẩn (9) thành (41),
là có ngay được từ cấu trúc hệ truyền ngược, chứ không cần phải đợi tới khi có lý thuyết hệ
phẳng.
Từ đây và mở rộng ra ta sẽ thấy là với những kết luận cho sự tồn tại phép đổi biến vi phôi
z = m(x) cũng như phương pháp xác định nó đã được xây dựng trên nền hình học vi phân
[19], để chuyển hệ affine (10) về dạng truyền ngược chặt (11), ta cũng có ngay được bộ điều
khiển tuyến tính hóa cho hệ affine một đầu vào (10) dạng tổng quát mà hoàn toàn không cần
tới lý thuyết hệ phẳng. Nói cách khác, tất cả những cố gắng áp dụng lý thuyết hệ phẳng vào
điều khiển hệ phi tuyến một đầu vào sau này đều chỉ có nghĩa hàn lâm hóa vấn đề chứ thực
chất hoàn toàn không có một đóng góp mới nào cho việc cải thiện chất lượng điều khiển hiện
tại.
Một ví dụ khác minh họa cho kết luận trên là nội dung tài liệu tham khảo [3]. Sau phần
trình bày chung về lý thuyết hệ phẳng, khả năng điều khiển bám và tuyến tính hóa chính xác
cho hệ phẳng, bài báo này đã ứng dụng lý thuyết đó vào hệ hấp dẫn Levintation có mô hìnhx˙1 = x2x˙2 = ku2
m(c− x1)2 − g
. (43)
Bài báo chỉ rằng hệ Levintation (43) này có tín hiệu ra phẳng là y = x1 để rồi từ đó xác
định tín hiệu điều khiển bám theo tín hiệu mẫu ym
uf = (c− x1)
√
m
k
(y¨ − a1(x2 − ym)− a0(x1 − ym)− g. (44)
Rõ ràng tất cả những công việc đó là rườm rà và không cần thiết, vì hệ Levintation (43)
là hệ truyền ngược chặt nên ta đưa nó ngay được về dạng tuyến tính bằng bộ điều khiển tĩnh
(42) và đó cũng chính là bộ điều khiển phẳng (44) của bài báo.
Ngoài việc điều khiển bám, bài báo [3] còn xét đến tính bền vững của chất lượng bám khi
hệ có tham số hằng k là bất định. Để đánh giá chất lượng bền vững đó, bài báo thay k trong
(44) bằng một hằng số mẫu k0 rồi đánh giá sai lệch bám nhờ khảo sát mô hình động học của
sai lệch, lúc này có dạng là phương trình vi phân tuyến tính bậc 3. Có thể thấy việc làm này
hoàn toàn không liên quan gì tới lý thuyết hệ phẳng và cũng không góp phần đưa được lý
thuyết hệ phẳng vào thực tế như mong đợi.
3.3. Điều khiển thiết bị bay PVTOL
Điều khiển thiết bị bay nói chung hiện đang là bài toán được quan tâm nhiều trong lĩnh
vực điều khiển phi tuyến, đặc biệt là các thiết bị có khả năng cất và hạ cánh thẳng đứng [1,
10, 17].
Thiết bị bay PVTOL (planar vertical takeoff and landing) là một trong các thiết bị có khả
năng cất và hạ cánh như trực thăng. Mô hình thiết bị bay PVTOL có dạng
x˙k = xk+3, k = 1, 2, 3
x˙4 = −u1 sinx3 + εu2 cosx3
x˙5 = u1 cosx3 + εu2 sinx3 − 1
x˙6 = u2
⇔

x¨1 = −u1 sinx3 + εu2 cosx3
x¨2 = u1 cosx3 + εu2 sinx3 − 1
x¨3 = u2
(45)
214 NGUYỄN DOÃN PHƯỚC
trong đó x1 là đoạn đường đi được của vật bay theo phương thẳng đứng, x2 là theo phương
nằm ngang, x3 là góc nghiêng của vật so với phương nằm ngang và u = (u1, u2)
T là các tín
hiệu điều khiển.
So với hai ví dụ nêu trên thì có lẽ ở đây, trong bài toán điều khiển hệ PVTOL (45) này,
vai trò lý thuyết hệ phẳng mới được thể hiện rõ nét, mặc dù chất lượng điều khiển mà nó
mang lại, so với các phương pháp điều khiển khác là chưa nhiều, đặc biệt khi mà bài toán
điều khiển bị ràng buộc thêm các điều kiện giới hạn cho tín hiệu điều khiển u và vector trạng
thái x (xem các phương pháp điều khiển trong tài liệu [8]). Tính đặc biệt trong bài toán điều
khiển hệ PVTOL nằm ở chỗ là hệ PVTOL chỉ điều khiển tuyến tính hóa chính xác được bằng
bộ điều khiển động.
Hệ PVTOL (45) trên là hệ phẳng. Điều này đã được chứng minh trong [10, 17] bằng cách
ở đó họ đã chứng minh rằng
y =
(
y1
y2
)
=
(
x1 − ε sinx3
x2 + ε cosx3
)
⇔
(
y1 − x1 = −ε sinx3
y2 − x2 = ε cosx3
)
(46)
là tín hiệu ra phẳng của hệ. Từ tín hiệu ra phẳng này, tài liệu [10, 17, 21] cũng đã chỉ ra
các công thức hàm ngược (3) cho ba phần tử đầu tiên x1, x2, x3 trong vector trạng thái
x = (x1, x2, ..., x6)
T là
x1 = α1(y,y
(1), y(2)) = y1 + ε
y
(2)
1√
(y
(2)
1 )
2 + (y
(2)
2 + 1)
2
,
x2 = α2(y,y
(1), y(2)) = y2 + ε
y
(2)
2 + 1√
(y
(2)
1 )
2 + (y
(2)
2 + 1)
2
, (47)
x3 = α3(y,y
(1), y(2)) = arctan
y
(2)
2 + 1
y
(2)
1
,
Các hàm ngược αk(y,y
(1), y(2), y(3)), k = 4, 5, 6 cho ba phần tử còn lại x4, x5, x6 sẽ thu được
bằng cách đạo hàm hai vế của (47) theo thời gian. Thay tiếp những hàm ngược này vào mô
hình (45) của hệ ta thu được hai hàm ngược β i(y,y
(1), y(2), y(3)), y(4)), k = 1, 2 cho hai tín
hiệu vào
u2 = β2(y,y
(1), y(2), y(3)), y(4)) =
3∑
i=0
∂α6
∂y(i)
y(i+1),
u1 = β1(y,y
(1), y(2), y(3)), y(4)) =
1
sinα3
[
β2 cosα3 −
3∑
i=0
∂α4
∂y(i)
y(i+1)
]
.
Tuy nhiên, mặc dù đã chứng minh được hệ PVTOL (45) là hệ phẳng bằng cách sử dụng
trực tiếp định nghĩa về hệ phẳng, song tất cả các tài liệu [10, 17] đều không lý giải hay đưa
ra bất cứ một lập luận nào cho sự hình thành công thức (46) của tín hiệu ra phẳng, cũng như
ngoài công thức đó còn có các tín hiệu ra phẳng nào nữa không. Điều đó gây cho ta cảm giác
BÀN VỀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HỆ PHẲNG VÀO PHÂN TÍCH 215
rằng tín hiệu ra phẳng (46) có vẻ như được mò mẫm tìm ra. Đó cũng chính là vấn đề đã được
nêu lên ở bài toán mở số 1.
Tiếp theo, để điều khiển tuyến tính hóa chính xác hệ PVTOL này, tài liệu [17] đã chỉ ra
rằng hệ PVTOL (45) đó là tương đương Lie-Backlund với hệ tuyến tính bậc 8
z˙i = zi+2, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
z˙7 = w1
z˙8 = w2
⇔
{
z
(4)
1 = w1
z
(4)
2 = w2
(48)
có vector trạng thái z = (z1, z2, ..., z8)
T và hai tín hiệu vào w = (w1, w2)
T , theo nghĩa (21),
tức là giữa hai mô hình Brunovsky của chúng
dξ(t)
dt
= F (ξ(t)) với ξ =

x
u
u(1)
...
 , F (ξ) =

f (x,u)
u(1)
u(2)
...
 , f (x,u) =

xk+3, k = 1, 2, 3
−u1 sinx3 + εu2 cosx3
u1 cosx3 + εu2 sinx3 − 1
u2

với k = 1, 2, 3 cho hệ PVTOL (45) và
dζ(t)
dt
= G(ζ(t)) với ζ =

z
w
w(1)
...
 , G(ζ) =

g(z,w)
w(1)
w(2)
...
 , g(z,w) =
zi+2w1
w2

với i = 1, 2, 3, 4 cho hệ (48), tồn tại ánh xạ khả nghịch (21), tức là có
ζ = Ψ(ξ)⇔ ξ = Ψ−1(ζ) = Φ(ζ).
Cuối cùng, từ ánh xạ khả nghịch này [17] đã xác định được bộ điều khiển phản hồi trạng
thái (32) {
v˙1 = v2
v˙2 = −w1 sinx3 + w2 cosx3 + v1x26
u =
 v1 + εx26− 1
v1
(w1 cosx3 + w2 sinx3 + 2v2x
2
6)
 (49)
và một phép đổi biến vi phôi tương ứng x = (x1, x2, ..., x6, v1, v2)
T 7→ z = (z1, z2, ..., z8)T
chuyển hệ PVTOL thành hệ tuyến tính (48).
Quy tắc xác định bộ điều khiển này từ ánh xạ Ψ đã được trình bày trong các tài liệu [10,
17, 21, 22], tức là khi đã có Ψ ta cũng có ngay được bộ điều khiển phản hồi trạng thái và
phép đổi biến vi phôi để tuyến tính hóa chính xác được hệ. Nhưng để có được ánh xạ Ψ ta lại
phải biết được hệ tuyến tính tương đương Lie-Backlund với hệ phi tuyến phẳng đã cho. Tài
liệu [17] đã đưa ngay ra hệ tuyến tính tương đương (48) mà không có một lời giải thích nào,
ngay cả một lời gợi ý cũng không có. Nó cứ như là được mò ra vậy. Do đó lại một lần nữa ở
đây ta lại thấy được sự cần thiết của lời giải cho bài toán mở số 4.
216 NGUYỄN DOÃN PHƯỚC
3.4. Thiết kế tín hiệu điều khiển đầu vào cho bài toán chuyển đổi điểm làm
việc
Ứng dụng đơn giản nhất của lý thuyết hệ phẳng là xác định tín hiệu đặt đầu vào u(t) để
đầu ra phẳng y(t) tương ứng (2) của hệ phẳng{
x˙ = f (x,u), x ∈ Rn, u ∈ Rm
y = g(x,u), y ∈ Rm (50)
chuyển đổi từ vị trí y0 tới giá trị mong muốn yT cho trước. Trình tự xác định tín hiệu điều
khiển u(t) cho bài toán trên gồm các bước như sau
1) Xác định hàm mẫu ym(t) thỏa mãn:
- Khả vi ít nhất q + 1 lần với q là bậc vi phân trong công thức định nghĩa hệ phẳng (3).
- ym(0) = y0 và ym(t) = yT khi t ≥ T với khoảng thời gian T có thể cho trước.
2) Xác định tín hiệu điều khiển u(t) từ ym(t) nhờ công thức (3) của hệ phẳng, tức là nhờ
u = β(Y q+1), trong đó, như đã trình bày ở công thức (28), Y q+1 là ký hiệu của vector
Y q+1 =

ym
y
(1)
m
...
y
(q+1)
m
 .
Trong hai bước thiết kế trên, bước 1 là then chốt. Rất có thể ở bước 1 này ta thu được
nhiều hàm ym(t) thỏa mãn hai tính chất nêu trên. Khi đó cần phải lựa chọn trong số chúng
một hàm ym(t) cụ thể, để với nó đảm bảo được là tại u(t) xác định được chỉ có một giá trị
ngược duy nhất Y q+1 = β−1(u).
Để hỗ trợ việc tìm ym(t) = (y1(t), ..., ym(t))
T thỏa mãn hai điều kiện nêu ở bước 1, tài
liệu [17] đã giới thiệu nguyên lý khá đơn giản bằng cách thay
yi(t) =
l∑
j=1
aijλj(t), i = 1, 2, ...,m (51)
có λj(t), j = 1, 2, ..., l là những hàm cơ sở khả vi ít nhất q+ 1 lần cho trước, thậm chí có thể
là các hàm của C∞. Khi đó, với cấu trúc (51) thay thế này, bài toán xác định ym(t) chỉ còn
là tìm các hệ số aij để có ym(0) = y0 và ym(T ) = yT với y0, yT và T là cho trước.
Viết lại (51) thành
ym(t) = A
Tλ(t) vớiA = (aij), j = 1, 2, ...,m
thì từ yêu cầu ym(0) = y0, ym(T ) = yT cũng như mong muốn y0, yT sẽ còn là các điểm làm
việc cân bằng của hệ, ta được
Y = ΛA, (52)
trong đó
Y =
(Y q+1(0)
Y q+1(T )
)
với y(k)m (0) = y
(T )
m (0) = 0, k = 1, 2, ..., q + 1
BÀN VỀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HỆ PHẲNG VÀO PHÂN TÍCH 217
và
Λ =

λ1(0) λ2(0) . . . λl(0)
λ
(1)
1 (0) λ
(1)
2 (0) . . . λ
(1)
l (0)
...
...
. . .
...
λ
(q+1)
1 (0) λ
(q+1)
2 (0) . . . λ
(q+1)
l (0)
λ1(T ) λ2(T ) . . . λl(T )
λ
(1)
1 (T ) λ
(1)
2 (T ) . . . λ
(1)
l (T )
...
...
. . .
...
λ
(q+1)
1 (T ) λ
(q+1)
2 (T ) . . . λ
(q+1)
l (T )

.
Nghiệm A = (aji) của phương trình (52) là dễ dàng tìm được bằng các thuật toán của đại
số tuyến tính kể cả khi Λ bị suy biến, chẳng hạn như với thuật toán Moore-Penrose.
Như vậy, phương trình (52) sẽ có nhiều nghiệm A = (aji) , do đó cũng sẽ có nhiều nghiệm
ym(t). Tuy vậy nghiệm nào trong số đó sẽ thỏa mãn yêu cầu rằng hàm u = β(Y q+1) thu được
sau này chỉ có ảnh ngược duy nhất Y q+1 = β−1(u) thì vẫn còn bỏ ngỏ. Đó cũng chính là nội
dung của bài toán mở số 3 đã được phát biểu ở trên.
3.5. Ứng dụng vào điều khiển bám
Tài liệu [23] giới thiệu một ứng dụng khác của lý thuyết hệ phẳng vào bài toán thiết kế bộ
điều khiển truyền thẳng (hình H4) để hệ phẳng (50) có tín hiệu ra phẳng y(t) bám theo được
tín hiệu mẫu ym(t) thích hợp cho trước. Đây là bài toán mở rộng hơn của bài toán chuyển
đổi điểm làm việc từ ym(0) = y0 tới ym(t) = yT mà ta đã xét ở Mục 3.4 trước đây.
Hình 4. Điều khiển bám
Hình 4 mô tả hệ điều khiển bám này, gồm hai bộ điều khiển. Bộ điều khiển phản hồi có
nhiệm vụ làm hệ ổn định và bộ điều khiển truyền thẳng là để đầu ra phẳng y(t) của hệ phẳng
(50) bám theo được tín hiệu mẫu ym(t). Tất nhiên rằng hệ không thể điều khiển bám theo
được mọi tín hiệu mẫu bất kỳ, do đó tài liệu [23] này cũng chỉ tập trung chủ yếu vào việc xây
dựng tín hiệu mẫu cho hệ SISO{
x˙ = f (x, u), x ∈ Rn, u ∈ R
y = g(x, u), y ∈ R (53)
được ký hiệu là ym(t), thỏa mãn:
- Khả vi ít nhất n lần với n là bậc của mô hình (53).
- Đi qua M điểm (tk, Pk), k = 1, 2, ...,M cho trước, trong đó T = M(∆T ) là khoảng thời
gian điều khiển.
218 NGUYỄN DOÃN PHƯỚC
- Có các đạo hàm y
(i)
m (t), i = 0, 1, ..., n là bị chặn theo nghĩa ‖y(i)m (t)‖∞ ≤ ci.
Sau khi đã có ym(t), bộ điều khiển truyền thẳng ở hình 4 sẽ sử dụng hàm ngược um = β(Yn)
của công thức (3) định nghĩa về hệ phẳng để có um(t).
Có thể thấy bản chất của bài toán điều khiển bám của tài liệu [23] lại là chuyển về
bài toán chuyển đổi điểm làm việc, nhưng cho từng đoạn một, tính từ ym(tk) = Pk tới
ym(tk+1) = Pk+1, k = 0, 1, ...,M − 1 trong khoảng thời gian ∆T , trong đó bài toán chuyển
đổi điểm làm việc đã được giải quyết ở Mục 3.5. Ngoài ra điều kiện ‖y(i)m (t)‖∞ ≤ ci bổ sung
thêm cũng chỉ là để đảm bảo hệ có tín hiệu đầu ra bị chặn, chứ không có ý nghĩa nhiều về
bản chất phẳng của hệ (53).
Điểm khác biệt duy nhất của bài toán trong [23] là thay vì bậc trơn q+ 1 lần của tín hiệu
ra phẳng ym(t) thì nay lại là n lần, đúng bằng bậc mô hình (53). Tuy nhiên ta sẽ thấy ở đây
điều kiện đó là tương đương với tính tuyến tính hóa chính xác được của hệ (53) bằng bộ điều
khiển tĩnh, thiết kế theo công cụ hình học vi phân [13, 19, 21], vì khi hệ đã có bậc vi phân
q = n− 1 trong công thức định nghĩa (3) thì với mô hình chuẩn của Isidori [13], nó cũng sẽ có
bậc tương đối r = n. Bởi vậy, khi đã có q = n− 1, hệ (53) sẽ điều khiển tuyến tính hóa chính
xác được. Và khi đã điều khiển để trở thành tuyến tính trong toàn bộ không gian trạng thái
thì vấn đề tiếp theo là điều khiển bám theo tín hiệu đặt ở đầu vào cho hệ tuyến tính đó sẽ trở
nên tầm thường. Nói cách khác nếu hệ phẳng (53) đã có bậc vi phân q = n − 1 thì ta hoàn
toàn không cần tới lý thuyết hệ phẳng để điều khiển bám cho nó như tài liệu [23] đã làm.
Một điều thừa nữa của bài báo [23] là chỉ xét hệ phẳng (53) có một đầu vào. Theo [5] thì
với tất cả các hệ phẳng một đầu vào, ta luôn điều khiển tuyến tĩnh hóa chính xác được bằng
bộ điều khiển phản hồi trạng thái tĩnh, cho dù nó có hay không bậc phẳng (bậc tương đối)
bằng bậc mô hình. Tức là mọi hệ phẳng (53) SISO đều điều khiển tuyến tính hóa chính xác
được mà không làm thay đổi bậc mô hình và do đó đều bám theo được các tín hiệu mẫu bị
chặn và không cần phải liên tục (có thể là hằng số từng đoạn), điều mà phương pháp giới
thiệu trong [23] không làm được.
4. KẾT LUẬN
Hệ phẳng được xem như là sự mở rộng của lớp các hệ điều khiển tuyến tính hóa chính xác
được. Đây là lớp các hệ đã được khảo sát nhiều nhờ công cụ hình học vi phân. Với lớp các
hệ điều khiển tuyến tính hóa chính xác được bằng công cụ hình học vi phân này, lý thuyết
các hệ phi tuyến cũng đã có bước nhảy vọt mang tính đột phá ở những năm 80-90 của thế
kỷ trước [19]. Chính vì vậy người ta đã kỳ vọng ở hệ phẳng cũng có được một bước đột phá
tương tự. Minh chứng là khá nhiều các công trình nghiên cứu ứng dụng hệ phẳng đã được
công bố, không chỉ riêng trong lĩnh vực điều khiển thuần túy, chẳng hạn như [24, 27] về phát
hiện lỗi và [11] về khoa học tính toán xử lý lỗi.
Tuy nhiên, có thể nói là mặc dù nhiều tài liệu gốc nghiên cứu về hệ phi tuyến phẳng như
[9–15, 17, 22, 26] đã hứa hẹn khá nhiều khả năng ứng dụng của lý thuyết hệ phẳng trong cả
phân tích cũng như điều khiển hệ phi tuyến, song theo ý kiến riêng của tác giả bài báo này
thì sự mong đợi nhất ở ứng dụng lý thuyết hệ phẳng ở thời điểm hiện tại chính là điều khiển
tuyến tính hóa chính xác hệ phi tuyến bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái động, điều mà
các phương pháp khác được xây dựng trên nền hình học vi phân chưa giải quyết được trọn
vẹn. Nói như vậy là vì khi so sánh với các lý thuyết điều khiển khác, ta có thể thấy sự tiến bộ
của lý thuyết hệ phẳng trong lĩnh vực phân tích và điều khiển là chưa đáp ứng được so với
BÀN VỀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HỆ PHẲNG VÀO PHÂN TÍCH 219
những lý thuyết không phẳng, điển hình là ở các bài toán phân tích tính ổn định, điều khiển
được,... Sự chưa đáp ứng được đó đã được nêu lên ở bảy bài toán mở.
Vậy, để thể hiện được rõ sự vượt trội của lý thuyết hệ phẳng so với các lý thuyết phân
tích và điều khiển hệ phi tuyến khác, cần tập trung giải quyết bảy bài toán mở trên.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. Ailon, Closed form feedback controller for set point and trajectory tracking for the nonlinear
model of quadrotor helicopters, Proceedings of 7th IFACT Symposium on Robust Control
Design, Denmark, 2012 (375–380).
[2] E.C. Anene, U.O. Aliyu, J. Levine, and Venayagamoorthy, Flatness-based feedback lineariza-
tion of a synchronous machine model with static excitation and fast turbine valving, Power
Engineering Society General Meeting 14 (2005) 1–6.
[3] F. Antritter, and M. Kletting, Checking robust practical stability for flatness based controllers
using interval methods, Proceedings of 18th World Congress Int. Federation of Automatic
Control, Milano Italy, September 2011 (4632–4637).
[4] S. Bououden, D. Boutat, J.P. Barbot, and F. Kratz, A geometrical characterization of a class of
0-flat affine dynamical systems, American Control Conference, American, June 10-12, 2009
(3989–3994).
[5] B. Charlet, J. Levine, On dynamic feedback linearization, Systems Control Letters 13 (2)
(1989) 143–151.
[6] A. Colombo, and D.D. Vecchio, Supervissory control of differentially flat systems based on ab-
straction, 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Con-
ference (CDC-ECC), Orlando, FL, USA, Dec. 12-15, 2011 (6134–6139).
[7] J. Dannehl, F.W. Fuchs, Flatness-based voltage oriented control of three phase PWM recitifiers,
Power Electronics and Motion Control Conference, Poznan, Sept. 1-3, 2008 (444–450).
[8] I. Fantoni, A. Zavala, and R. Lozano, Global stabization of a PVTOL aircraft with bounded
thrust, Proceedings of 41th IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Nevada,
USA, Dec. 10-13, 2002 (4462–4467).
[9] M. Fliess, J. Levine, P. Martin, and P. Rouchon, Flatness and defect of nonlinear systems:
Introductory theory and applications, International Journal of Control 61 (6) (1995) 1327–
1361.
[10] M. Fliess, J. Levine, P. Martin, and P. Rouchon, A Lie-Backlund approach to equivalence and
flatness of nonlinear systems, IEEE Transactions on Automatic Control 44 (5) (1999) 922–
937.
[11] A. Gensior, H.S. Ramfrez, J. Rudolf, and H. Guldner, On some nonlinear current controllers for
three phase boost rectifiers, IEEE Trans. on IE 56 (2) (2009) 360–370.
[12] A. Haddad, A. Aitouche, and V. Cocquempot, Fault tolerant control for autonomous verhicle by
generating references for rear weels steering, Proceeding of 13th IFAC Symposium on Control
in Transportation Systems, Bulgaria, Sept. 2012 (328–333).
[13] A. Isidori, Nonlinear Control Systems, Springer Verlag, 1995.
[14] K.L. Knierim, K. Krieger, and O. Sawodny, Flatness based control of a 3 DOF overhead crane
with velocity controlled drives, 5th IFAC Symposium on Mechatronics Systems, Marriott
Boston Cambridge, United States of America, Sept. 2010 (363–368).
220 NGUYỄN DOÃN PHƯỚC
[15] J. Levine, Analysis and Control of Nonlinear Systems, Springer, 2009.
[16] J. Levine, On necessary surficient conditions for differential flats, Journal of Applicable Al-
gebra in Engineering, Communication and Computing 22 (1) (January 2011) 47–90.
[17] Ph. Martin, R.M. Muray, and P. Roucho, “Flat systems, equivalence and trajectory generation,”
Technical report, April 2003.
[18] Đ.P. Nam, “Khảo sát khả năng sử dụng nguyên lý phẳng để điều khiển động cơ tuyến tính kiểu
đồng bộ kích thích vĩnh cửu” Báo cáo chuyên đề nghiên cứu sinh (2011).
[19] H. Nijmeijer, A. Schaft, Nonlinear Dynamical Control Systems, Springer Verlag, 1990.
[20] N.V. Quang Thành, “Nghiên cứu đề xuất cấu trúc điều khiển bộ chỉnh lưu tích cực theo nguyên
lý hệ phẳng”. Đồ án tốt nghiệp ĐH Bách khoa Hà Nội, 2011.
[21] N.D. Phước, Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến, Nhà xuất bản Bách khoa, 2012.
[22] H.S. Ramirez, K.S. Agrawal, Differentially Flat Systems, Marcel Dekker, 2004.
[23] T. Ruppel, K.L. Knierim, and O. Sawodny, Analytical multi point trajectory generation for
differentially flat systems with output constraints, Proceeding of 18th Congress. the Int.
Federation of Automatic Control, Italy, Aug.-Sep., 2011 (950–955).
[24] V. Stephane, M. Pierrer, and O. Alain, Computation of flat output for fractional systems: A ther-
mal application, 6th Workshop on Fractional Differentation and its Application, France,
February 2013 (42–47).
[25] R. Seydou, T. Raissi, A. Zolghadri, and D. Henry, Change detection in flat systems by constraint
satisfaction techniques, 18th IFACT Congress, September 2011 (12009–12014).
[26] H.L. Trentelman, On flat systems behaviors and observable image representations, Systems
Control Letters 51 (1) (2004) 51–55.
[27] N. Zhang, A. Doncescu, A.C. Ramos, and F. Camino, Fault detection for difference flat systems,
Proceedings of Int. Conference of Engineers and Computers Scientists, vol. 2, IMECS
Hong Kong, March, 2012. (938–943).
Ngày nhận bài 19 - 3 - 2013
Nhận lại sau sửa ngày 31 - 7 - 2013