Điều khiển chuyển động robot hai chân trong pha một chân trụ theo phương pháp trượt sử dụng mạng nơron

Tạp chí Tin học và Điều khiển học, T. 30, S. 1 (2014), 70–80
ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG ROBOT HAI CHÂN TRONG PHA MỘT
CHÂN TRỤ THEO PHƯƠNG PHÁP TRƯỢT SỬ DỤNG MẠNG NƠRON
NGUYỄN VĂN KHANG1, TRỊNH QUỐC TRUNG2
1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
2Trường Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tóm tắt. Trong bài báo này trình bày ứng dụng phương pháp điều khiển trượt sử dụng mạng nơron
để điều khiển robot hai chân trong pha bước. Bộ điều khiển này tỏ ra hiệu quả và ổn địnhkhi so sánh
với bộ điều khiển PD trong trường hợprobot hai chân có độ bất định và có nhiễu tác động lớn.
Từ khóa. Robot hai chân, động lực học ngược, điều khiển, mạng nơron.
Abstract. In this paper, an application of 5-link biped robotic control model is presented through
the neural network sliding mode approach. The proposed controller showes efficiency and stability in
comparision with the PD controller of biped robots with uncertainties and large noise effects.
Key words. Biped robot, inverse dynamics, control, neural networks.
1. MỞ ĐẦU
Robot dáng người (humanoid robot) là lĩnh vực khoa học đang được quan tâm nghiên
cứu ở Nhật, Hàn Quốc, Mỹ, CHLB Đức, Trung Quốc và nhiều nước khác [1–11]. Một vài loại
robot dáng người nổi tiếng trên thế giới là robot ASIMO của hãng HONDA, các phiên bản
robot HRP của Viện AIST. Bên cạnh đó robot dáng người được nghiên cứu nhiều phục vụ
trong lĩnh vực quân sự.
Về mặt cơ học robot dáng người được mô hình hóa bằng cơ hệ nhiều vật. Một dạng robot
dáng người được quan tâm nghiên cứu là robot hai chân (biped robot). Mô hình robot hai
chân được trình bày ở đây là mô hình robot có 5 khâu [2, 10, 11]. Đó là phần thân người và
hai khâu cho mỗi chân. Phần trên của chân (upper leg) được gọi là đùi còn phần dưới của
chân (lower leg) được gọi là cẳng chân. Các khâu này dược nối với nhau thông qua 4 khớp
quay (hai khớp hông và hai khớp đầu gối). Chuyển động của robot hai chân được chia ra làm
3 pha khác nhau. Đó là pha một chân trụ (single support phase), pha hai chân trụ (double
support phase) và pha bay (air phase). Vị trí hai chân của robot đối với mặt tựa xác định
robot đang ở pha nào. Người ta hay tập trung nghiên cứu về bước đi của robot và chuyển
động của robot ở pha một chân trụ. Bởi lẽ khi robot bước đi các pha bước diễn ra xen kẽ
nhau do đó để điều khiển được robot cần có sự chuyển mạch các phương trình vi phân chuyển
động và chuyển mạch của bộ điều khiển khi tính toán lặp trong chương trình mô phỏng. Việc
∗Bài báo được thực hiện với sự hỗ trợ từ Quỹ phát triển Khoa học và Công nghệ quốc gia (NAFOSTED), mã số
107. 04-2012. 10.
ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG ROBOT HAI CHÂN TRONG PHA MỘT CHÂN TRỤ 71
điều khiển này khá phức tạp. Nhằm hạn chế sự phức tạp này giả thiết rằng robot hai chân
khi bước đi không có giai đoạn chuyển chân làm trụ (đó là thời điểm mà chân bước chạm mặt
đất và chân làm trụ vẫn ở trên mặt đất). Do ta bỏ qua giai đoạn chuyển chân trụ nên do ảnh
hưởng trọng trường làm tăng moment quay nhưng bù lại chương trình mô phỏng sẽ đơn giản
hơn. Hơn nữa pha một chân trụ thường khó điều khiển hơn và tiêu tốn nhiều năng lượng hơn
so với pha hai chân trụ nên việc bỏ qua pha hai chân trụ có thể chấp nhận được. Ngoài ra khi
chuyển từ pha một chân trụ sang pha hai chân trụ cần phải nghiên cứu bài toán va chạm. Bài
toán này là một bài toán phức tạp. Vì thế bước đầu ta có thể giới hạn nghiên cứu bài toán
điều khiển robot hai chân trong pha một chân trụ.
Việc điều khiển robot hai chân bằng bộ điều khiển PD hoặc bộ điều khiển trượt đã được
trình bày trong các tài liệu [10, 11]. Trong bài báo này, trên cơ sở mô hình động lực robot hai
chân, năm khâu, chúng tôi áp dụng phương pháp mạng nơron [15, 16] nghiên cứu điều khiển
chuyển động của robot hai chân.
2. ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT HAI CHÂN Ở PHA MỘT CHÂN TRỤ
Mô hình robot hai chân 5 khâu được biểu diễn bằng mô hình được minh hoạ trên hình 1
[2,10,11,20]. Trong đó mi là khối lượng của khâu thứ i, li là chiều dài của khâu thứ i, ai là
khoảng cách từ trọng tâm của khâu thứ i tới khớp thấp hơn của khâu đó, Ii là moment quán
tính của khâu với trục quay đi qua khối tâm của khâu i và vuông góc với mặt phẳng đối xứng
dọc và θi là góc quay của khâu i so với phương thẳng đứng.
Phương trình động lực học robot hai chân 5 khâu ở pha một chân trụ với các góc và kí
hiệu như trên được biểu diễn bằng hệ phương trình vi phân chuyển động sau [2, 20]
Mθ (θ) θ¨ + Cθ
(
θ, θ˙
)
θ˙ + gθ (θ) + dθ
(
θ, θ˙
)
= τθ, (1)
trong đó Mθ (θ) là ma trận khối lượng suy rộng, Cθ
(
θ, θ˙
)
là ma trận ly tâm và coriolis, gθ (θ)
là vec tơ gia tốc trọng trường và τθ là vec tơ moment tác động lên khớp.
Hình 1. Mô hình robot hai chân 5 khâu
72 NGUYỄN VĂN KHANG, TRỊNH QUỐC TRUNG
Phương trình (1) là phương trình động lực học robot hai chân trong hệ toạ độ khớptuyệt
đối. Liên hệ giữa các góc khớp tuyệt đối và góc khớp tương đối (hình 1) được biểu diễn như
sau
q0 = θ1; q1 = θ1 − θ2; q2 = θ2 − θ3; q3 = −θ3 + θ4; q4 = −θ4 + θ5. (2)
Gọi R là ma trận chuyển từ hệ toạ độ khớp tương đối sang hệ toạ độ khớp tuyệt đối
R =

1 0 0 0 0
1 −1 0 0 0
1 −1 −1 0 0
1 −1 −1 1 0
1 −1 −1 1 1
 . (3)
Ta có quan hệ θ = Rq. Khi đó phương trình vi phân chuyển động của robot hai chân
trong hệ toạ độ khớp tương đối được biểu diễn dưới dạng
Mq (q) q¨ + Cq (q, q˙) q˙ + gq (q) + dq (q, q˙) = τq, (4)
trong đó Mq (q) = R
TMθ (Rq) R, Cq (q, q˙) = R
TCθ (Rq,Rq˙) R, gq (q) = R
Tgθ (θ) =
RTgθ (Rq) , τq = R
T τθ. với τq = [0, τ1, τ2, τ3, τ4]
T với τi
(
i = 1, 4
)
là các mô men phát động.
Phương trình đầu tiên của hệ (4) được gọi là phương trình liên kết động lực học
4∑
i=0
mq1,i+1 (q)q¨i +
4∑
i=0
cq1,i+1 (q, q˙) q˙i + g
q
1 (q) + d
q
1 (q, q˙) = 0. (5)
Chú ý rằng đối tượng được nghiên cứu ở đây khi xét pha bước có 5 bậc tự do nhưng số
động cơ được lắp cho mô hình robot này chỉ là 4 (hai động cơ lắp ở hông và hai động cơ lắp
ở đầu gối). Như thế, số bậc tự do của cơ hệ lớn hơn số động cơ. Một hệ như vậy được gọi là
hệ hụt dẫn động (underactuated mechanical system). Do đó có 4 góc khớp điều khiển được
và một góc khớp không điều khiển được.
Một cách tổng quát toạ độ suy rộng q ∈ Rn được tách thành qx ∈ Rm là các toạ độ suy
rộng không điều khiển và qy ∈ Rl là các toạ độ suy rộng điều khiển, n = m+ l. Phương trình
vi phân chuyển động của hệ hụt dẫn động có thể viết dưới dạng tổng quát như sau[
Mxx Mxy
Myx Myy
] [
q¨x
q¨y
]
+
[
Cxx Cxy
Cyx Cyy
] [
q˙x
q˙y
]
+
[
gx (q)
gy (q)
]
+
[
dx (q, q˙)
dy (q, q˙)
]
=
[
0
τ
]
. (6)
Hệ phương trình vi phân chuyển động (6) sẽ được sử dụng cho bài toán điều khiển được nêu
ở mục dưới đây.
3. ĐIỀU KHIỂN ROBOT HAI CHÂN Ở PHA MỘT CHÂN TRỤ THEO
NGUYÊN LÝ TRƯỢT SỬ DỤNG MẠNG NƠRON
3.1. Điều khiển robot dạng chuỗi theo nguyên lý trượt sử dụng mạng nơron
Phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng f bậc tự do
có dạng thu gọn như sau
Mˆ (q) q¨ + Cˆ (q, q˙) q˙ + gˆ (q) + d (q, q˙) = τˆ . (7)
ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG ROBOT HAI CHÂN TRONG PHA MỘT CHÂN TRỤ 73
Theo [15] ta có
M (q) q¨ + C (q, q˙) q˙ + g (q) + h (q, q˙) = τˆ
M (q) q¨ + C (q, q˙) q˙ + g (q) = τ
h (q, q˙, q¨) = ∆Mq¨ + ∆Cq˙ + ∆g + d (q, q˙)
τˆ = τ + h (q, q˙, q¨)
, (8)
Trong đó ma trận Mˆ (q) , Cˆ (q, q˙) , gˆ (q) có thể xác định được gần đúng, M (q) ,C (q, q˙) ,g (q)
là các ma trận hoặc vectơ chính xác của hệ, còn ∆M (q) ,∆C (q, q˙) ,∆g (q) là các ẩn biểu
thị sai số. Ta chấp nhận giả thiết sau ∆M (q) 6 m0,∆C (q, q˙) 6 c0,∆g (q) 6 g0.
Giả sử qd là vectơ chuyển động mong muốn. Sai lệch vị trí được định nghĩa e (t) =
q (t)− qd (t) và mặt trượt được chọn dưới dạng PD như sau
v (t) = e˙ (t) + Λe (t) (9)
trong đó tính bất định của hàm h (q, q˙, q¨)chính là nguyên nhân làm giảm chất lượng của quá
trình điều khiển. Nếu chúng ta thực hiện bù thành phần phi tuyến bất định này thì chất lượng
của quá trình điều khiển có thể được cải thiện. Theo định lý Stone - Weierstrass ta có thể
chọn được một mạng nơron nhân tạo có khả năng xấp xỉ một hàm phi tuyến với độ chính xác
cho trước. Để xấp xỉ hàm h (q, q˙, q¨) ta chọn cấu trúc mạng như sau
h (q, q˙, q¨) = Wσ + ε = hˆ (q, q˙, q¨) + ε (10)
trong đó hˆ =
[
hˆ1, hˆ2, . . . , hˆn
]
= Wσ là xấp xỉ của h (q, q˙, q¨) và ε là sai số xấp xỉ. Nếu
‖h (q, q˙, q¨)‖ 6 h0 thì ta có thể có ‖ε‖ 6 ε0. Gọi wi là vec tơ cột thứ i của ma trận W ta có
hˆ = Wσ = [w1,w2, . . . ,wn]σ. (11)
Trong tài liệu này mạng nơron nhân tạo được chọn sử dụng là mạng nơron RBF (Radial
Basis Function) [15]. Cấu trúc này đã được chứng minh có khả năng xấp xỉ một hàm phi
tuyến và đạt độ chính xác ε cho trước với số nút nơron hữu hạn.
Chọn hàm tác động σi dạng phân bố Gauss ta có
σi = exp
[
−(si − ci)
2
λ2i
]
, (12)
trong đó ci là trọng tâm, λi là tham số chuẩn hóa có thể tùy chọn của hàm Gauss σi.
Định lý. Quỹ đạo q (t) của hệ động lực (7) với mạng nơron và (11) và (12) và mặt trượt
(9) sẽ bám theo quỹ đạo mong muốn qd (t) với sai số e → 0. Nên ta chọn luật điều khiển
u (t) và thuật học mạng nơron như sau
u = Mq¨d + Cqd + g −MΛe˙−CΛe−Kv − γ v‖v‖ + (1 + η) Wσ, (13)
w˙i = −ηvσi (14)
trong đó ma trận K là ma trận đối xứng xác định dương với các tham số tự chọn γ, η > 0.
74 NGUYỄN VĂN KHANG, TRỊNH QUỐC TRUNG
3.2. Điều khiển robot hai chân theo nguyên lý trượt sử dụng mạng nơron
Xét hệ phương trình vi phân rút ra từ hệ (6)
Myyq¨y + Cyyq˙y + gy (q) + Cyxq˙x + hy (q, q˙, q¨) + Myxq¨x = τˆ . (15)
Như đã nói ở trên qx là thành phần không điều khiển, hệ phương trình vi phân chuyển
động (15) viết lại như sau
Myyq¨y + Cyyq˙y + Cyxq˙x + gy (q) + h
∗ (q, q˙, q¨) = τˆ , (16)
trong đó h∗ (q, q˙, q¨) = hy (q, q˙, q¨) + Myxq¨x là thành phần bất định. Ma trận Myy và Cyy
thoả mãn đầy đủ tính chất của ma trận M và C. Đó là
• Ma trận Myy là ma trận đối xứng xác định dương.
• Ma trận M˙yy − 2Cyy là ma trận đối xứng lệch.
Từ đó áp dụng nguyên lý điều khiển trượt sử dụng mạng nơron cho robot hai chân như
sau.
u = Myyq¨d + Cyyqd + Cyxq˙x + gy −MyyΛe˙ −CyyΛe−Kv − γ v‖v‖ + (1 + η) Wσ (17)
với thuật học
w˙i = −ηvσi. (18)
Ta sẽ chứng minh định lý này bằng cách áp dụng phương pháp trực tiếp Lyapunov về ổn
định tiệm cận. Chọn hàm xác định dương
V (t) =
1
2
(
vTMyyv +
n∑
i=1
wTi wi
)
> 0
(
vT ,wT
) 6= 0
V (t) = 0
(
vT ,wT
)
= 0.
(19)
Đạo hàm hàm V (t) = 0 theo thời gian ta được
V˙ (t) = vTMyyv˙ +
1
2
vTM˙yyv +
n∑
i=1
wTi w˙i. (20)
Sử dụng tính chất đối xứng lệch của ma trận M˙yy − 2Cyy ta có
vT (Myy − 2Cyy) v = 0⇔ vTM˙yyv = 2vTCyyv. (21)
Thế (21) vào phương trình (20) ta được
V˙ (t) = vT (Myyv˙ + Cyyv) +
n∑
i=1
wTi w˙i. (22)
Chú ý đến quan hệ (9) ta có
Myyv˙ + Cyyv = Myy (e¨ + Λe˙) + Cyy (e˙ + Λe) =
Myy (−q¨d + Λe˙) + Cyy (−q˙d + Λe) + Cyyq˙y + Myyq¨y
. (23)
ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG ROBOT HAI CHÂN TRONG PHA MỘT CHÂN TRỤ 75
Từ hệ phương trình (16) ta có
Cyyq˙y + Myyq¨y = τˆ − gy (q)−Cyxq˙x − h∗ (q, q˙, q¨) . (24)
Thay (24) vào (23) ta được
Myyv˙ + Cyyv = Myy (−q¨d + Λe˙) + Cyy (−q˙d + Λe)
+τˆ − gy (q)−Cyxq˙x − h∗ (q, q˙, q¨)
. (25)
Thế phương trình (25) vào phương trình (20) ta có
V˙ = vT [Myy (−q¨d + Λe˙) + Cyy (−q˙d + Λe) + τˆ
−gy (q)−Cyxq˙x −Wσ − ε] +
n∑
i=1
wTi w˙i
. (26)
Chọn u (t) theo (17) và cho u = τˆ từ phương trình (26) ta có
V˙ = vT
[
−Kv − γ v‖v‖ + ηWσ − ε
]
+
n∑
i=1
wTi w˙i. (27)
Chú ý đến thuật học (18) thành phần cuối trong (27) có dạng
n∑
i=1
wTi w˙i = −η
n∑
i=1
wTi vσi =− ηvTWσ. (28)
Thay (28) vào (27) ta được
V˙ = −vTKv − γv
Tv
‖v‖ − v
T ε. (29)
Nếu chọn γ = δ + ε với δ > 0 ta có
V˙ (t) = −vTKv − δv
Tv
‖v‖ −
(
vTv
‖v‖ ε+ ε0
)
. (30)
Do ‖ε‖ 6 ε0 nên V˙ (t) < 0 với mọiv 6= 0. Và V˙ (t) = 0 khi và chỉ khi v = 0. Theo định lý
Liapunov là ổn định thì v→ 0, e(t) = q(t)− qd(t)→ 0.
4. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG SỐ
Để có thể mô phỏng số, cần biết các tham số động học và động lực học của robot. Giá
trị của các tham số này được chọn như trong các tài liệu [10, 11] và cho dưới dạng như
bảng 1. Mô phỏng bộ điều khiển nơron theo nguyên lý trượt được thực hiện bằng công cụ
SIMULINK của MATLAB, các giá trị góc khớp tương đối mong muốn được trình bày như
trong [20], kết quả mô phỏng cho một bước đi ổn định. Giả sử độ bất định của mô hình là
30%: ∆M = 30%M,∆C = 30%C,∆g = 30%g.
Bộ điều khiển PD: Chọn các tham số λi = 100 thì KD = diag([200, 200, 200, 200]),
76 NGUYỄN VĂN KHANG, TRỊNH QUỐC TRUNG
Bảng 1. Các thông số của robot hai chân

 
	

	




























 
!"



#


$

%
&
 '
 ()*+,
 -*)./
 -*$.$
 '*'0(-1$

23

 $4)
 5*$.
 -*'-$
 -*$'/
 '*'0(-1$


 (45
 $*$'
 -*''$
 -*(.,
 '*'0(-1$

KP = diag([1000, 1000, 1000, 1000]).
Bộ điều khiển trượt: Chọn các tham số như sau Kps = diag([10, 10, 10, 10]),
Ks = diag([5000, 5000, 5000, 5000]) và Λ = diag([10, 10, 10, 10]).
Bộ điều khiển nơron: Chọn các tham số λi = 10, ci = 0.1, γ = 1, η = 700,
Λ = diag([5, 5, 5, 5]), K = diag([400, 400, 400, 400]).
Một phần các kết quả mô phỏng số được trình bày trên các hình từ hình 2 đến hình 7.
Trong đó hình 2, hình 4 và hình 6 là đồ thị mômen phát động của các bộ điều khiển. Các
hình 3, 5 và 7 cho biết độ chính xác của các phương pháp điều khiển. Qua các kết quả tính
ta thấy: khi độ bất định của mô hình lớn, độ chính xác của phương pháp PD kém hơn hẳn,
độ chính xác của phương pháp điều khiển nơron tốt nhất trong ba phương pháp.
Hình 2. Đồ thị mô men phát động bộ điều khiển PD
ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG ROBOT HAI CHÂN TRONG PHA MỘT CHÂN TRỤ 77
5. KẾT LUẬN
Việc nghiên cứu chế tạo robot dáng người đang được quan tâm ở một vài trường đại học ở
nước ta. Tuy nhiên, việc nghiên cứu động học, động lực học và điều khiển robot dáng người là
bài toán còn ít được quan tâm nghiên cứu. Mô hình động lực của robot hai chân là hệ nhiều
vật có cấu trúc thay đổi. Trong đó ta cũng phải quan tâm đến bài toán va chạm và tiếp xúc.
Trong bài báo này, sử dụng mô hình hệ 5 vật rắn, chúng tôi đã thiết lập phương trình vi
phân chuyển động của robot hai chân. Sau đó tiến hành điều khiển robot hai chân trong pha
một chân trụ bằng phương pháp sử dụng mạng nơron. Bài toán điều khiển ở đây là điều khiển
robot hụt dẫn động.
Việc điều khiển robot trong pha hai chân trụ và pha bay là những bài toán đang được
nghiên cứu tiếp.
Hình 3. Đồ thị sai số góc khớp tương đối với bộ điều khiển PD
78 NGUYỄN VĂN KHANG, TRỊNH QUỐC TRUNG
Hình 4. Đồ thị mômen phát động bộ điều khiển trượt
Hình 5. Đồ thị sai số góc khớp tương đối với bộ điều khiển trượt
ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG ROBOT HAI CHÂN TRONG PHA MỘT CHÂN TRỤ 79
Hình 6. Đồ thị mô men phát động bộ điều khiển nơron
Hình 7. Đồ thị sai số góc khớp tương đối với bộ điều khiển nơron
80 NGUYỄN VĂN KHANG, TRỊNH QUỐC TRUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] C. Shih, Gait synthesis for a biped robot, Robotica 15 (1997) 599–607.
[2] J. Gao, “Ein Beitrag zur stoßfreien Gehbeweguug”, PhD Thesis, University of Stuttgart, VDI
Verlag, Du¨sseldorf, 1992.
[3] S. Gruber, “Zur Dynamics und Regelung zweibeiniger Gehmaschinen”, PhD Thesis, University
of stuttgart, VDI Verlag, Du¨sseldorf, 2004.
[4] M. Ackermann, “Dynamics and Energetics of Walking with Protheses”, PhDThesis, Institute of
Engineering and Computational Mechanics, Univesity of Stuttgart, 2007.
[5] M. H. Raibert, Legged Robots that Balance, MIT Press, Cambridge, MA, 1986.
[6] M. H. P. Dekker, Zero-moment point method for stable biped walking, Eindhoven, 2009.
[7] Vukobratovic´ M., Borovac B., Note on the article zero-moment point-thirty five years of its life,
Int. J. Humanoid Robotics 1 (2004) 161–162.
[8] S. Kạita, F. Kanehiro, K. Kaneko, K. Fujiwara, K. Harada, K. Yokoi and H. Hirukawa, Biped
walking pattern generation by using preview control of zero-moment point, Proceedings of
the 2003 IEEE, International Conference on Robotics & Automation, Taipei, Taiwan,
September 14-19, 2003.
[9] Qiang Huang, Kazuhito Yokoi, Shuuji Kajita, Kenji Kaneko, Hirohiko Arai, Noriho Koyachi,
Kazuo Tanie, Planning walking patterns for a biped robot, IEEE Transactions on Robotics
and Automation 17 (2001) 280–289.
[10] S. Tzafestas, M. Raibert, C. Tzafestas, Robust sliding mode control applied to a 5-link biped
robot, Journal of Intelligent and Robotic Systems 15 (1996) 67–133.
[11] H. K. Lum, M. Zribi, Y. C. Soh, Planning and control of a biped robot, International Journal
of Engineering Science 37 (1999) 1319–1349.
[12] Nguyen Van Khang, Consistent definition of partial derivatives of matrix functions in dymanics
of mechanical systems, Mechanism and Machine Theory 45 (2010) 981–988.
[13] Nguyen Van Khang, Kronecker Product and a new matrix form of Lagrangian equations with
multipliers for constrained multibody systems, Mechanics Research Communications 38
(2011) 294–299.
[14] V. L. Utkin, Sliding Mode in Control and Optimization, Spinger Verlag, NewYork, 1992.
[15] Cat, P. T., Hiep, N. T., Robust PID sliding mode control of robot manipulators with online
learning neural networks, Proc. of the European Control Conference, Budapest, Hungary,
August 23-26, 2009 (2187–2192).
[16] Phạm Thượng Cát, Một số phương pháp điều khiển hiện đại cho robot công nghiệp, Nhà
xuất bản Đại học Thái Nguyên, 2009.
[17] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội
2007.
[18] Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ, Cơ sở robot công nghiệp, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,
Hà Nội 2010.
[19] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Quang Hoàng, Lê Đức Đạt, Trần Hoàng Nam, Về một thuật toán
điều khiển trượt robot dư dẫn động, Tạp chí Tin học và Điều khiển học 24 (3) (2008) 269–280.
[20] Trịnh Quốc Trung, “Động lực học và điều khiển robot đi hai chân”, Luận văn Thạc sỹ khoa học,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 2013.
Ngày nhận bài 20 - 6 - 2013
Nhận lại sau sửa ngày 07 - 4 - 2014