Các phương pháp phân tích động phi tuyến kết cấu theo lịch sử thời gian trong SAP2000 (Phần 1)

gược lại. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 5 
 Ưu điểm: 
- Không có điều kiện ổn định nên giá trị bước 
thời gian có thể lớn hơn nhiều lần so với họ 
phương pháp ngoại hiển thức. 
 Nhược điểm: 
- Chương trình tính toán thường lớn và phức 
tạp, ví dụ như khi sử dụng phương pháp tính lặp 
Newton Raphson; 
- Độ tin cậy kém hơn; 
- Tốn nhiều dung lượng xử lý hơn. 
2.2 Phạm vi áp dụng của mỗi phương pháp 
Theo [8], các bài toán động lực học công trình 
được chia làm hai dạng chính: 
- Dạng 1 là các bài toán dạng truyền sóng 
(wave propagation problems), ví dụ như khi công 
trình chịu tác động va chạm hoặc các vụ nổ. 
Trong dạng này, ảnh hưởng của các dạng dao 
động tần số cao đến tổng thể công trình là đáng 
kể và ta cần phải quan tâm đến hiệu ứng của các 
sóng ứng suất. Thời gian bị ảnh hưởng của công 
trình thường là ngắn. 
Dạng 2 là các bài toán động lực học (structural 
dynamics problems), được định nghĩa là những 
bài toán không nằm trong dạng 1, ví dụ như khi 
tác động của động đất. Trong dạng này, lực quán 
tính đóng vai trò quan trọng trong ứng xử tổng 
thể của công trình, công trình chịu ảnh hưởng 
của các dạng dao động bậc thấp là chủ yếu. 
Do có điều kiện ổn định nên phương pháp 
ngoại hiển thức thường được dùng để giải các 
bài toán thuộc dạng 1. Thông thường giá trị bước 
thời gian được chọn thỏa mãn điều kiện ổn định 
thì điều kiện về độ chính xác cũng tự động được 
thỏa mãn. Với các bài toán động lực học, thường 
chiếm đa số trong các bài toán về xây dựng, 
phương pháp nội ẩn thức thường được chọn do 
không có điều kiện ổn định. Trong trường hợp 
này, bước thời gian tính toán không chọn theo 
điều kiện ổn định mà chọn theo yêu cầu về độ 
chính xác trong kết quả tính. 
2.3 Sai số tương đối của chu kỳ 
Để đánh giá độ chính xác trong kết quả của 
mỗi phương pháp phân tích động phi tuyến, khái 
niệm sai số tương đối của chu kỳ (relative period 
error) được sử dụng và được tính bằng: 
 T - T
PE =
T 
(3) 
trong đó: 
PE là ký hiệu của sai số tương đối của chu kỳ 
(Period Error). 
T là chu kỳ dao động của hệ kết cấu tính bằng 
phương pháp phân tích phi tuyến theo lịch sử thời 
gian. 
T là chu kỳ dao động thực. 
Sai số tương đối của chu kỳ được mô tả như 
trong hình 1 [9]. Việc tính toán các thông số này 
thường phức tạp và cần sử dụng đến máy tính. 
Sai số tương đối của chu kỳ càng nhỏ thì kết quả 
tính sẽ càng chính xác. 
d
t
T/2 T T
2πξ 
Hình 1. Các thông số đánh giá độ chính xác của phương pháp tính 
2.4 Hệ số cản nhớt số 
Các phương pháp phân tích phi tuyến theo 
lịch sử thời gian hiện tại thường cho kết quả 
không chính xác với các dạng dao động bậc cao, 
thêm vào đó, với các bài toán động lực thuộc 
dạng 2 thì ảnh hưởng của các dạng dao động 
bậc cao với tổng thể kết cấu là không đáng kể, do 
vậy hệ số cản nhớt số (algorithmic damping ratio 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 6 
hoặc numerical damping ratio) có tác dụng làm 
tắt nhanh chóng ảnh hưởng của các dạng dao 
động bậc cao trong khi không làm ảnh hưởng 
đến độ chính xác của các dạng dao động bậc 
thấp. Một phương pháp tính được đánh giá là tốt 
nếu nó có khả năng kiểm soát và điều chỉnh hệ 
số cản nhớt số bằng cách thay đổi các tham số 
tính toán. Trong mỗi phương pháp được giới 
thiệu ở mục 3, các giá trị này đều được đưa ra 
làm cơ sở so sánh. 
3. Các phương pháp phân tích 
3.1 Phương pháp Newmark 
Phương pháp Newmark [10] là phương pháp 
được biết đến rộng rãi nhất trong tất cả các 
phương pháp phân tích động phi tuyến theo lịch 
sử thời gian. Phương trình mô tả phương pháp 
này được viết như sau: 
 
 
 
   
  
  
Ma + Cv +Kd = Fi+1 i+1 i+1 i+1
2
Δt
d = d + Δt v + 1- 2β a + 2βai+1 i i i i+12
v = v + Δt 1- γ a + γai+1 i i i+1 
(4) 
Có rất nhiều cách để lựa chọn các hệ số β và 
γ cho phương pháp này, tuy nhiên có 4 cách lựa 
chọn được biết đến rộng rãi nhất như sau: 
Bảng 1. Các phương pháp thường dùng trong họ phương pháp Newmark 
Tên thường gọi bằng tiếng Anh Kiểu β γ 
Điều kiện ổn định 
(*) 
Hệ số cản 
nhớt số 
Average Acceleration Method (AAM) Nội ẩn thức 1/4 ½ Không Không 
Linear Acceleration Method Nội ẩn thức 1/6 ½ 2 3 3,464  crit Không 
Fox-Goodwin Method Nội ẩn thức 1/12 ½ 6 2,449  crit Không 
Newmark Explicit Method (NEM) Ngoại hiển thức 0 ½ 2 crit Không 
(*) Điều kiện ổn định của phương pháp được tính theo công thức:      2 /       critt T t hay 
 / / 2  critt T , với T là chu kỳ dao động lớn nhất của hệ kết cấu. Điều kiện ổn định còn phụ thuộc vào độ 
cản nhớt vật lý của hệ kết cấu, ở đây xét với trường hợp không có cản nhớt vật lý (ξ = 0). 
Hình 2. Sai số tương đối của chu kỳ ứng với trường hợp γ =1/2 
Trong 4 phương pháp này thì hai phương 
pháp AAM và NEM thường được dùng nhiều 
hơn. Tất cả các phương pháp này đều không có 
hệ số cản nhớt số (thực tế là phương pháp 
Newmark có thể có hệ số cản nhớt số với γ > 1/2, 
tuy nhiên nó sẽ làm giảm độ chính xác của kết 
quả tính từ bậc 2 xuống bậc 1 nên trường hợp 
này thường ít được quan tâm). Sau này, chúng 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 7 
được điều chỉnh cải tiến để đưa thêm hệ số cản 
nhớt số vào như phương pháp HHT sẽ nói ở mục 
0. Sai số tương đối của chu kỳ của cả 4 phương 
pháp này được trình bày trong hình 2. Hình 2 cho 
thấy nếu xét về độ chính xác trong kết quả tính 
toán thì trường hợp β = 1/12 cho kết quả chính 
xác hơn cả, tuy nhiên, nó lại có điều kiện ổn định. 
Trường hợp β = ½ thường được dùng do nó 
không có điều kiện ổn định. Với β = 0, dù có điều 
kiện ổn định nhưng lại hay được dùng để đối 
chiếu kết quả vì nó là phương pháp ngoại hiển 
thức. 
3.2 Phương pháp Wilson Theta 
Giả thiết cơ bản của phương pháp Wilson 
Theta [11] đó là gia tốc của hệ kết cấu thay đổi 
tuyến tính trong khoảng thời gian từ thời điểm t 
đến thời điểm t + θ(Δt) với θ ≥ 1 và θ được xác 
định dựa vào việc tối ưu hóa độ ổn định và độ 
chính xác của kết quả tính toán. Gọi  là khoảng 
thời gian tính thời điểm t đến thời điểm đang xét, 
với 0 ≤  ≤ θ(Δt), θ ≥ 1; như vậy trong khoảng thời 
gian từ t đến thời điểm t+θ(Δt), ta có: 
    

   
a = a + a - at+ t tt+ ΔtΔt 
(5) 
Tích phân công thức (5) để có vec-tơ vận tốc 
như sau: 
   

   
2
v = v + τa + a - at+ t t tt+ Δt2 Δt 
(6) 
Tích phân một lần nữa từ công thức 
(6) để thu được vec-tơ chuyển vị: 
   
 
   
2 3
d = d + v + a + a - at+ t t t tt+ Δt2 6 Δt 
(7) 
Ở thời điểm t+(Δt), ta có: 
 
 
   
Δt
v = v + a + at tt+ Δt t+ Δt2 
(8) 
 
 
 
   
2
Δt
d = d + Δt v + a + 2at t tt+ Δt t+ Δt6 
(9) 
Thay các công thức (5), (6) và (7) vào phương 
trình chuyển động cơ bản với  = θ(Δt), ta có: 
       Ma + Cv +Kd = Ft+θ Δt t+θ Δt t+θ Δt t+θ Δt (10) 
Giải phương trình (10) với một ẩn duy nhất 
chưa biết là at+θ(Δt), sau đó thế vào công thức 
(8) và (9) ta thu được các giá trị chuyển vị, vận 
tốc, gia tốc ở thời điểm t+(Δt). Khảo sát phương 
pháp này, ta thu được khoảng tối ưu cho giá trị θ 
là 1,37 ≤ θ ≤ 1,4, trong khoảng giá trị này phương 
pháp này không có điều kiện ổn định. Lưu ý rằng, 
với θ = 1, phương pháp này sẽ trở thành phương 
pháp Newmark tương ứng với trường hợp β = 
1/6 và γ = ½, khi đó nó sẽ có điều kiện ổn định. 
Sai số tương đối của chu kỳ, hệ số cản nhớt 
số ứng với các trường hợp θ = 1,37 và 1,4 được 
thể hiện trong hình 3. Sai số tương đối của chu 
kỳ của phương pháp Wilson Theta và hình 4, 
trong khi các tính chất của phương pháp được 
thể hiện trong bảng 2. 
Bảng 2. Các giá trị tham số θ và các tính chất của phương pháp Wilson Theta 
Giá trị  Kiểu Điều kiện ổn định Hệ số cản nhớt số 
1,37 Nội ẩn thức Không Có 
1,4 Nội ẩn thức Không Có 
1,0 (*) Nội ẩn thức Có Có 
(*): Với θ = 1, phương pháp này sẽ trở thành một trường hợp của phương pháp 
Newmark, liệt kê ở đây chỉ để tham khảo 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 8 
Hình 3. Sai số tương đối của chu kỳ của phương pháp Wilson Theta 
Hình 4. Độ cản nhớt số của phương pháp Wilson Theta 
3.3 Phương pháp collocation 
Phương pháp collocation là sự kết hợp của 
hai phương pháp Newton và Wilson Theta với 
phương trình mô tả được viết như sau [12]: 
 
 
 
 
 
   
  
  
a + Cv +Kd = Fii+θ +θ i+θ i+θ
a = 1- θ Ma + θMai i+1i+θ
F = 1- θ F + θFi i+1i+θ
22θ Δt
d = d + θ Δt v + 1- 2β a + 2βai i ii+θ i+θ2
v = v + θ Δt 1- γ a + γai ii+θ i+θ
M
(11) 
Với θ = 1, phương pháp này trở thành phương 
pháp Newmark, còn với β = 1/6 và γ = ½, phương 
pháp này trở thành phương pháp Wilson Theta. 
Điều kiện để phương pháp này có độ chính xác 
cấp hai là γ = ½. Để có độ chính xác trong kết 
quả lên đến cấp 3 thì cần thêm một điều kiện 
nữa, đó là  1 112 2 1     , tuy nhiên trong 
trường hợp này lại yêu cầu có điều kiện ổn định. 
Khoảng giá trị để phương pháp này thỏa mãn 
không có điều kiện ổn định và có độ chính xác 
cấp 2 là (xem hình 5): 
   
  
2θ 2θ -11γ = θ 1 β2 32 θ +1 4 2θ -1 
(12) 
Các giá trị β và θ được lựa chọn lựa chọn theo 
điều kiện tối ưu hóa độ chính xác của kết quả và 
giá trị độ cản nhớt số, cách lựa chọn này thực 
hiện như sau: giá trị γ cố định bằng ½ để 
phương pháp có độ chính xác cấp hai, tương 
ứng với mỗi giá trị β sẽ tìm lấy một giá trị θ sao 
cho sai số của kết quả là nhỏ nhất và độ cản nhớt 
số là lớn nhất. Một số cặp giá trị (β, γ, θ) được 
khuyến nghị lựa chọn trong bảng 3. Với các giá trị 
tham số khác có thể được lựa chọn bằng cách 
nội suy tuyến tính giữa các giá trị đã cho. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 9 
Hình 5. Vùng giá trị không có điều kiện ổn định của phương pháp collocation (γ = ½) 
Bảng 3. Các cặp giá trị tham số khuyến nghị sử dụng cho phương pháp collocation 
β γ θ Kiểu Hệ số cản nhớt số Ghi chú 
¼ 0.25 1 Nội ẩn thức Không Trở thành phương pháp AAM 
0.24 0.25 1,021712 Nội ẩn thức Có 
0.22 0.25 1,077933 Nội ẩn thức Có 
0.20 0.25 1,159772 Nội ẩn thức Có 
0.18 0.25 1,287301 Nội ẩn thức Có 
1/6 0.25 1,420815 Nội ẩn thức Có Trở thành phương pháp Wilson Theta 
Nhìn chung, với những yêu cầu sử dụng thông 
thường thì phương pháp này không dễ sử dụng, 
việc lựa chọn các cặp giá trị tham số khó hơn so 
với các phương pháp khác, do đó không khuyến 
nghị lựa chọn phương pháp này trong tính toán. 
Bài báo cũng không trình bày kỹ hơn về phương 
pháp này, nếu bạn đọc quan tâm có thể tham 
khảo tài liệu [12, pp. 114-119]. 
3.4 Phương pháp Hilber – Hughes – Taylor 
(HHT) 
Hilber, Hughes và Taylor đã đề xuất một 
phương pháp tính mới, trong đó đưa thêm vào hệ 
số α để điều chỉnh hệ số cản nhớt số tính toán, 
điều mà họ phương pháp Newmark không làm 
được [4]. Phương pháp này được viết như sau: 
     
 
 
 
   
  
  
Ma + 1+ α Cv - αCv + 1+ α Kd - αKd = 1+ α F - αFi+1 i+1 i i+1 i i+1 i
2
Δt
d = d + Δt v + 1- 2β a + 2βai+1 i i i i+12
v = v + Δt 1- γ a + γai+1 i i i+1
 (13) 
Giá trị α khuyến nghị nằm trong khoảng [-1/3, 
0], trong đó với α = 0 thì phương pháp này trở 
thành phương pháp AAM (thuộc họ phương pháp 
Newmark). Các giá trị β, γ được lựa chọn căn cứ 
theo α như sau: 
 21- 2α 1- α
γ = β =
2 4 
(14) 
Giá trị α càng giảm thì hệ số cản nhớt số càng 
tăng. Với trường hợp α = 0, nó không có hệ số 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 10 
cản nhớt số, tương tự như với phương pháp 
AAM. 
Phương pháp này được chọn là phương 
pháp tính mặc định trong SAP2000 với hệ số 
mặc định α = 0, β = 0,25 và γ = 0,5. Trong 
trường hợp này, đây chính là phương pháp 
AAM như đã nói ở mục 0. Một số cặp giá trị α, 
β, γ và các tính chất của chúng được trình bày 
như trong bảng 4 để thuận tiện cho người sử 
dụng. 
Bảng 4. Các giá trị thông số đầu vào thông dụng cho phương pháp HHT 
Giá trị α Kiểu β γ Điều kiện ổn định Hệ số cản nhớt số 
-1/3 Nội ẩn thức 0,444 0,833 Không Có 
-1/6 Nội ẩn thức 0,340 0,667 Không Có 
0 Nội ẩn thức 0,25 0,5 Không Không 
Ghi chú: Trong SAP2000, người dùng chỉ cần nhập giá trị α, giá trị β, γ sẽ do chương trình tự động tính 
toán. 
Sai số tương đối của chu kỳ, hệ số cản nhớt số ứng với các trường hợp α khác nhau được thể hiện 
trong hình 6 và hình 7. Ta thấy rằng, muốn có được hệ số cản nhớt số thì ta phải giảm độ chính xác, 
độ cản nhớt số càng tăng thì độ chính xác trong kết quả giảm xuống. 
Hình 6. Sai số tương đối của chu kỳ của phương pháp HHT 
Hình 7. Hệ số cản nhớt số của phương pháp HHT 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 11 
3.5 Phương pháp Chung&Hulbert 
Phương pháp Chung & Hulbert [13], đôi khi còn được gọi là phương pháp hệ số α (α-method), là 
phương pháp tổng quát bao hàm cả phương pháp Newmark và HHT, được viết như sau: 
       
 
 
 
   
m
  
  
1- α Ma Ma + 1- α Cv + αCv + 1- α Kd + αKd = 1- α F + αFm i+1 i i+1 i i+1 i i+1 i
2
Δt
d = d + Δt v + 1- 2β a + 2βai+1 i i i i+12
v = v + Δt 1- γ a + γai+1 i i i+1
 (15) 
Hai giá trị αm , α, β và γ được xác định dựa vào điều kiện ổn định, độ chính xác và sai số của kết 
quả tính. Dễ thấy rằng, với αm = 0, phương pháp này sẽ trở thành phương pháp HHT, và với cả αm = 0 
và α = 0, phương pháp này trở thành phương pháp Newmark. Để phương pháp này không có điều 
kiện ổn định, các giá trị αm , α, β và γ được kiến nghị lựa chọn như sau: 
 
 
 
 
2p -1 p 1 1 3 - p
α = α = β = γ =m 2p +1 p +1 2 p +1p +1
 (16) 
Giá trị p nằm trong khoảng [0, 1]. Với p = 1, phương pháp này không có hệ số cản nhớt số (trở 
thành phương pháp Newmark), p càng nhỏ sẽ cho hệ số cản nhớt số càng tăng, p = 0,5 sẽ trở thành 
phương pháp HHT tương ứng với α = -1/3. 
Một số trường hợp tính của phương pháp Chung&Hulbert được thể hiện trong, sai số tương đối của 
chu kỳ và hệ số cản nhớt sô được thể hiện trong hình 8 và hình 9. 
Bảng 5. Giá trị đầu vào của một số trường hợp tính của phương pháp Chung&Hulbert 
Giá trị p Kiểu αm α β γ 
Điều kiện ổn 
định 
Hệ số cản 
nhớt số 
1 Nội ẩn thức 0,5 0,5 0,25 0,5 Không Không 
0,5 Nội ẩn thức 0 1/3 0,444 0,833 Không Có 
0 Nội ẩn thức -1,0 0 1,0 1,5 Không Có 
Hình 8. Sai số tương đối của chu kỳ của phương pháp Chung&Hulbert 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 12 
Hình 9. Hệ số cản nhớt số của phương pháp Chung&Hulbert 
4. Lựa chọn các phương pháp tính 
Để dễ hình dung và so sánh các phương pháp tính, từ đó lựa chọn một phương pháp tính thích 
hợp, sai số tương đối của chu kỳ và độ cản nhớt số của các phương pháp được in chung trong hình 10 
và hình 11. Các phương pháp được lựa chọn so sánh được ký hiệu như sau: 
- AAM: phương pháp Newmark với β = 0,25, γ = 0,5; 
- HHT: phương pháp Hilber – Hughes – Taylor với α = -1/3; 
- WIL: phương pháp Wilson Theta với θ = 1,4; 
- C&H: phương pháp Chung&Hulbert với p = 0. 
Hình 10. So sánh độ sai số tương đối của chu kỳ giữa các phương pháp tính 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2016 13 
Hình 11. So sánh hệ số cản nhớt số giữa các phương pháp tính 
Từ hình 10 và hình 11, ta có thể đưa ra một số 
kết luận sau: 
- Sai số của phương pháp C&H là cao nhất, 
do vậy phương pháp này thường không được lựa 
chọn để tính toán. Với phương pháp 
Chung&Hulbert, khoảng giá trị 0 ≤ p < 0,5 thường 
ít được lựa chọn do sai số lớn. 
- Độ chính xác của phương pháp AAM là cao 
nhất, do vậy trong những trường hợp tính không 
yêu cầu có độ cản nhớt số, phương pháp này 
thường được lựa chọn để tính toán. Để dễ nhớ, 
có thể chọn phương pháp HHT và gán hệ số α = 
0, trường hợp này phương pháp HHT sẽ tương 
ứng với phương pháp AAM. Đây chính là trường 
hợp tính mặc định của SAP2000. 
- Trong trường hợp cần có độ cản nhớt số, 
nên sử dụng phương pháp HHT ứng với α < 0 do 
dễ nhớ (chỉ cần nhập một giá trị α, SAP2000 sẽ 
tự tính với các giá trị β, γ còn lại). 
- Khi tính toán với hệ kết cấu phức tạp, có 
nhiều bậc tự do và có tính phi tuyến cao, nên 
chọn phương pháp HHT với hệ số α <0 (ví dụ: α 
= -0,1, -0.2 hoặc -0.33), vì việc loại bỏ ảnh hưởng 
của các dạng dao động có tần số cao sẽ làm tăng 
khả năng hội tụ của kết quả tính toán khi chương 
trình dùng thuật toán tính lặp. 
5. Kết luận 
Bài báo (phần 1) đã tóm lược một số đặc điểm 
của các phương pháp phân tích phi tuyến theo 
lịch sử thời gian trong SAP2000. Với mỗi phương 
pháp, có thể đánh giá tính chất của nó qua các 
tính chất như: nội ẩn thức hay ngoại hiển thức, 
điều kiện ổn định, độ chính xác trong kết quả tính, 
hệ số cản nhớt số. Bài báo đã đưa ra những 
trường hợp tính toán cơ bản nhất với mỗi 
phương pháp làm cơ sở để sử dụng tính toán với 
SAP2000. Trong các phương pháp được thiết lập 
sẵn trong SAP2000, phương pháp 
Chung&Hulbert có thể bao quát gần như đủ hết 
các trường hợp còn lại (trừ phương pháp Wilson 
Theta). Tuy nhiên, phương pháp nên lựa chọn sử 
dụng là phương pháp HHT do các tính chất của 
nó được kiểm soát duy nhất với một thông số. 
Tất cả các trường hợp tính với các phương pháp 
đều thuộc họ nội ẩn thức, duy nhất một trường 
hợp tính của phương pháp Newmark thuộc họ 
ngoại hiển thức, nhưng phương pháp này không 
được khuyến nghị sử dụng do có điều kiện ổn 
định, chỉ dùng để so sánh kết quả hoặc để giải 
các bài toán dạng truyền sóng, dạng này ít gặp 
trong xây dựng. 
Phần 2 tiếp theo của bài báo sẽ giới thiệu một 
số ví dụ tính toán để làm rõ các tính chất của 
phương pháp này. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 14 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Hồng Hải (2015), “Nghiên cứu sự làm 
việc của nhà cao tầng bê tông cốt thép có tầng 
cứng chịu tác động của động đất ở Việt Nam”, 
Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng, Hà Nội, 
2015. 
[2] TCVN9386:2012, “Thiết kế công trình chịu động 
đất”, Bộ Khoa học Công nghệ, Hà Nội, 2012. 
[3] I. Computers and Structures, “SAP2000 Watch 
and Learn,” [Trực tuyến]. Available: 
atch-and-learn. [Đã truy cập 1 1 2016]. 
[4] Hilber, H.M., Hughes, T.J.R. and Taylor, R.L., 
“Improved numerical dissipation for time 
integration algorithms in structural dynamics.,” 
Earthquake Engineering and Structural 
Dynamics, tập 5, pp. 283-292, 1977. 
[5] X. Zhou và K. Tamma, “Algorithms by design 
with illustrations to solid and structural 
mechanics/dynamics,” International Journal for 
Numerical Methods In Engineering, tập 66, pp. 
1738-1790, 2006. 
[6] Robert D. Cook, David S. MalKus, Michael E. 
Plesha, “Finite Elements in Dynamics and 
Vibrations,” trong Concepts and Applications of 
Finite Element Analysis, Madison, Wisconsin, 
John Wiley & Sons, 1988, p. 396. 
[7] T. Belytschko, “An Overview of 
Semidiscretization and Time Integration 
Procedures,” trong Computational Methods for 
Transient Analysis, North Holland, Elsevier 
Science Publisher B.V, 1983, p. 55. 
[8] R. D. Cook, D. S. Malkus và M. E. Plesha, 
Concepts and applications of finite element 
analysis, Madison, Wisconsin: John Wiley & 
Son, 1988. 
[9] T. J. Hughes, The Finite Element Method, 
Toronto, Canada: General Publishing Company 
Ltd., 1987. 
[10] Newmark, N.M., “A method of computation for 
strutural dynamics,” Journal of Engineering 
Mechanics Division, ASCE, tập 85, pp. 67-94, 
1959. 
[11] Bathe, K.J. and Wilson, E.L., “Stability and 
accuracy analysis of direct integration 
methods.,” Earthquake Engineering and 
Structural Dynamics. Vol.1, pp. 283-291, 1973. 
[12] Belytschko, T. and Hughes, T.J.R., 
Computational methods for transient analysis., 
North-Holland, 1983. 
[13] J. Chung and G.M. Hulbert., “A time integration 
algorithm for structural dynamics with improved 
numerical dissipation: The generalized-α 
method,” Journal of Applied Mechanics, pp. 
60:371-375, 1993. 
Ngày nhận bài: 21/11/2015. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 01/01/2016.