Chuyên đề Phương trình hàm - Nguyễn Hoài Ngải

⇒ Tứ giác A1B1C1D1 là hình bình hành 
Do A1B1 // NQ; B1C1 // MP 
C1P1 // NQ; A1D1 // MP 
Nếu A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn thì A1B1C1D1 cũng nằm trên 1 đường tròn ⇒ tứ 
giác A1B1C1D1 là hình chữ nhật. 
Gọi x là tâm đường tròn ngoai tiếp A1B1C1D1 
⇒ NQ2 + MP2 = 4b2 + 4a2 = 4 (b2 + a2) = 16x2 
Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là (O1, R1) 
Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác A1B1C1D1 là (O2, R2) 
Voλ: O1 → O2 
ϕ (O1) → C (O2) 
R1 → R2 ⇒ R2 = λR1 
λ = 
P
r 2 ; Po /(01) = R2 - a2 ( O trong (O1)) 
λ = 22
2
aR
r
− ⇒ x = 22
1
2
aR
Rr
− 
Gọi A’, C’ là giao OA, OC và đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
OA . OA’ = OC . OC’ = R2 - a2 
OA = 
2
sin A
r ; OC = 
2
sin C
r ; 1
2
sin
2
sin 22 =+ CA 
Do góc A + góc C = 1800 
 97
2
1
OA
 = 2
2
2
sin
r
A
 ; 2
1
OC
= 2
2
2
sin
r
C
⇒ 222 111 rOCOA =+ 
Xét Δ A’OC’ gọi I là trung điểm A’C’ 
* Chứng minh I là tâ, đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD 
Vì Sđ góc BA’ = SđGóc DA’; Sd góc = Sđ C’D 
⇒ Sđ góc A’B’C’ = Sd góc A’DC’ 
Có OA’ + OC’ = 2OI2 + 2R2 
 = 2 (a2 + R2) 
Mặt khác: OA = '
22
OA
aR − ; OC = '
22
OC
aR − 
⇒ Phương trình bậc 2 ẩn a 
Bài tập rèn kỹ năng 
Bài 1: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp Δ ABC không cân. Giả sử đường tròn này tiếp xúc 
với BC, CA, AB tại A1, B1, C1CMR tâm các đường tròn ngoại tiếp Δ AIA1; BIB1, CIC1 thẳng 
hàng. 
Hướng dẫn học sinh: 
Xét I (I, r2): A1 → A1 
 A → Ao 
C IAA1→ đường thẳng A1A0 
CIBB1 → đường thẳng B1Bo 
C ICC1 → C1Co 
Mà A1Ao, B1Bo, C1Co đồng quy ⇒ đpcm 
Bài 2: Cho (O,R) và điểm cố định M không trùng với tâm O và không nằm trên đường tròn 
(O,R). Một đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm. Gọi C là giao điểm các tiếp 
tuyến của đường tròn tại A và B. Tìm tập hợp điểm C khi d biến thiên. 
Hướng dẫn học sinh: 
I (O, R2) : H → C 
* ảnh C [OM] là đường thẳng (Δ) qua C qua I (O, R2) 
* Chứng minh: P c/(O) = P c/[OM] ⇒ Δ ≡ H1H2C 
Phần III: KẾT LUẬN 
Trên đây là một hệ thống bài tập khi dạy về phép biến hình trong mặt phẳng. Với lượng kiến 
thức nói trên còn phải bổ sung rất nhiều, nhưng phần nào cũng hình thành được những kĩ năng cơ 
bản trong việc sử dụng phép biến hình vào việc giải toán trong hình học phẳng. Bài viết còn rất 
nhiều thiếu sót, rất mong được sự đóng góp của các thày cô giáo. 
 98
NHÌN “ĐỆ QUI” QUA LĂNG KÍNH “SONG ÁNH” 
Bùi Tuấn Ngọc 
 THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 
Xây dựng song ánh để thiết lập công thức truy hồi (đệ qui) từ đó đưa ra kết luận. Đó là phương 
pháp giải cho một số bài toán tổ hợp sau đây. 
Bài 1: Cho n ∈ N*. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập con khác rỗng của tập hợp gồm n số nguyên dương 
đầu tiên mà mỗi tập không chứa hai số nguyên liên tiếp nào. 
Lời giải : 
Đặt { }1, 2,...,nA n= 
Sn = {M ⊂ An ⎢M không chứa hai số nguyên liên tiếp nào} 
Pn = {( ) { } ( ) ( )1 2 1, ,..., 0;1 1,2,..., , , 1;1 1,2,..., 1n i i ia a a a i n a a i n+∈ ∀ = ≠ ∀ = − } 
+ Xét ánh xạ f: Sn → Pn 
 M 6 ( )1 2, ,..., n na a a P∈ sao cho 10ii
a khii M
a khii M
= ∈⎧⎨ = ∉⎩
Vì f là song ánh nên : nS 1nP n= ∀ ≥ 
+ Xét ánh xạ g : Pn → Pn-1 ∪ Pn-2 ∀n ≥ 3 
 ( ) ( )( )
1 2 1 1
1 2
1 2 2 2
, ,..., 0
, ,...,
, ,..., 1
n n n
n
n n n
a a a P khia
a a a
a a a P khia
− −
− −
∈ =⎧⎪⎨ ∈ =⎪⎩
6 
Vì g là song ánh nên : n 1 2 n 1 23 3n n n nP P P n S S S n− − − −= + ∀ ≥ ⇒ = + ∀ ≥ 
Dễ thấy : 2 13; 2S S= = . Do đó : n 1S 1nF n+= ∀ ≥ , ({Fn} là dãy Fibônaxi) 
2 2
1 1 5 1 5
2 25
n n
nS
+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 mà nS∅ ⊂ nên số tập con thoả mãn giả thiết là: 
2 2
1 1 5 1 5
2 25
n n+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 - 1 
 99
Bài 2: Với mỗi n ∈ N*, kí hiệu Hn là tập tất cả các hoán vị ( )1 2, ,..., na a a của n số nguyên dương 
đầu tiên. Xét các tập hợp: 
( ){ }n 1 2S , ,..., : 1 1, 2,...,n n ia a a H a i i n= ∈ ≥ − ∀ = 
( ){ }n 1 2, ,..., : 1 1, 2,...,n n iT a a a S a i i n= ∈ ≤ + ∀ = 
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 1
3
n
n
T
S
> 
Lời giải: 
Đặt ( ){ }1 2 1, ,..., 1n n nP a a a S a= ∈ = 
 ( ){ }1 2 1, ,..., 1n n nQ a a a S a= ∈ ≠ 
Dễ có: ,n n n n nP Q P Q S∩ = ∅ ∪ = 
+ Xét ánh xạ f: n nP Q→ 
 ( ) ( )1 2 2 1, ,..., , ,...,n na a a a a a6 
Vì f là song ánh nên: 1
2n n n
P Q S= = 
+ Xét ánh xạ g: 1n nP S −→ 
 ( ) ( )1 2 2 3, ,..., 1, 1,..., 1n na a a a a a− − −6 
Vì g là song ánh nên: 1n nP S −= 
Vậy: 12 2n nS S n−= ∀ ≥ 
Mà 2 12; 1S S= = 12nnS −⇒ = 
+ Xét ánh xạ h: Tn → Tn-1 ∪ Tn-2 
 ( ) ( )( )
2 3 1 1
1 2
3 4 2 1
1, 1,..., 1 1
, ,...,
2, 2,..., 2 2
n n
n
n n
a a a T khia
a a a
a a a T khia
−
−
− − − ∈ =⎧⎪⎨ − − − ∈ =⎪⎩
6 
Vì h là song ánh nên 1 2n n nT T T− −= + 
mà 2 12; 1T T= =
1 1
1 1 5 1 5
2 25
n n
nT
+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Vậy: 1
3
n
n
T
S
> ⇔ 
1 1
1
1 1 5 1 5
2 25 1
2 3
n n
n
+ +
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ > ⇔ n ≤ 6. 
Bài 3: (IMO 1987) 
Gọi Pn(k) là số các hoán vị của tập { }1, 2,...,A n= (n ∈N*) có đúng k điểm cố định (0 ≤ k ≤ n). 
Chứng minh rằng: 
0
. ( ) !
n
n
k
k P k n
=
=∑ 
Lời giải: 
Đặt: M ={(f, i)⎢f là hoán vị của A giữ nguyên k phần tử, i ∈A sao cho f(i) = i} 
Ta có: . ( )nM k P k= 
Với mỗi 1≤ i ≤ n: đặt Ni là tập tất cả các hoán vị giữ nguyên k -1 phần tử của tập hợp B = A\ {i} thì 
1( 1)i nN P k−= − 
+ Xét ánh xạ g: 
1
n
i
i
M N
=
→∪ 
 100
 ( , )f i f6 ( )( ) ( ) 1,.., ;f m f m m n m i= ∀ = ≠ 
Vì g là song ánh nên 
11
n n
i i
ii
M N N
==
= = ∑∪ 1. ( ) . ( 1)n nk P k n P k−⇒ = − 
1
1 1
1 1 0 0
. ( ) . ( 1) . ( ) . ( ) .( 1)! !
n n n n
n n n n
k k k j
k P k n P k k P k n P j n n n
−
− −
= = = =
⇒ = − ⇒ = = − =∑ ∑ ∑ ∑ 
Bài 4: (VMO 2002) 
Cho tập S gồm tất cả các số nguyên [1;n](n N*)∈ ∈ . T là tập tất cả các tập con khác rỗng của S. 
Với mỗi A ∈ T, kí hiệu m(A) là trung bình cộng của tất cả các phần tử thuộc A. Tính: 
( )
X T
m X
m
T
∈=
∑
Lời giải: 
+ Xét song ánh f: T → T 
 { }( ) 1X f X n x x X= + − ∈6 
Vì f là song ánh nên 
( ) ( ( )) 1,
( ) ( ( ))
X T X T
m X m f X n X T
m X m f X
∈ ∈
+ = + ∀ ∈⎧⎪⎨ =⎪⎩∑ ∑ [ ]( ) ( ( )) ( 1) 2 ( ) ( 1)X T X Tm X m f X T n m X T n∈ ∈⇒ + = + ⇒ = +∑ ∑ 
Vậy : 
( )
1
2
X T
m X
nm
T
∈ += =
∑
Bài 5: (VMO 1996) 
Cho n, k, m ∈N* thoả mãn điều kiện 1 1. Hỏi có bao nhiêu chỉnh hợp chập k: 
( )1 2, ,..., ka a a của n số nguyên dương đầu tiên mà mỗi chỉnh hợp đó đều thoả mãn ít nhất một trong 
hai điều kiện sau: 
i. ∃ i, j ∈{1, 2,...,k} sao cho i aj 
ii. ∃ i ∈{1, 2,...,k} sao cho ai – i không chia hết cho m 
Lời giải: 
Đặt A = {tập các chỉnh hợp chập k của (1,2,...,n)} 
A* = {tập các chỉnh hợp thoả mãn giả thiết} 
B = { ( )1 2, ,..., ka a a ∈A ⎢a1 < a2 <...< ak và ai – i # m ∀i = 1,2,...,k} 
Dễ thấy A* = A\B 
+ Xét ánh xạ f: B → B’ 
 ( ) ( )1 2 1 2, ,..., 1 , 2 2 ,...,k ka a a a m a m a k km− + − + − +6 
Khi đó f là song ánh từ B đến B’ 
với B’ = ( ) { }{ }1 2 1 2, ,..., ... , 1, 2,..., , 1,...,k k i ib b b b b b b n k km b m i k< < < ∈ − + ∀ =# 
Do đó ' kn k k
m
B B C −⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
= = 
Vậy * k kn n k k
m
A A B A C −⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
= − = − 
*Một số bài luyện tập: 
Bài 6: Tìm tất cả các bộ số nguyên ( )1 2, ,..., na a a ( n>1) sao cho 
 101
1
1, 1,2,...,
1, 1,2,..., 1
i
i i
a i n
a a i n+
⎧ ≤ ∀ =⎪⎨ − ≤ ∀ = −⎪⎩
Bài 7: Chứng minh rằng ∀n ∈N* ta có: 
a. ( )22
0
n
n i
n n
i
C C
=
= ∑ 
b. 2 2 1
0
2 . .
n kn
k k n
n n k n
k
C C C
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
− +
=
=∑ 
c. 1
0 0
.2 .2 2
m n
k m k k n k m n
n k m k
k k
C C− − + ++ +
= =
+ =∑ ∑ 
Bài 8: (IMO 1996) 
Cho bảng ô vuông nxn (n >1). Hỏi có bao nhiêu cách đánh dấu các ô vuông trong bảng sao cho 
trong mỗi hình vuông 2x2 có đúng 2 ô vuông được đánh dấu. 
Bài 9: (VMO 2003) 
Với mỗi n ∈N*, n ≥ 2, gọi Sn là số các hoán vị ( )1 2, ,..., na a a của n số nguyên dương đầu tiên sao 
cho 1 2 1, 2,...,ia i i n≤ − ≤ ∀ = 
Chứng minh rằng: 1 11,75 2 , 6n n nS S S n− − 
Bài 10: Giả sử Fk là tập tất cả các bộ ( )1 2, ,..., kA A A trong đó Ai , i =1,2,...,k là một tập con của tập 
hợp {1,2,...,n}. TÍnh: 
( )1 2, ,..., 1k k
k
n i
A A A F i
S A
∈ =
= ∑ ∪ 
Bài 11: Trong các xâu nhị phân có độ dài n, gọi an là số các xâu không chứa ba số liên tiếp 0,1,0. bn 
là số các xâu không chứa 4 số liên tiếp 0,0,1,1 hoặc 1,1,0,0. Chứng minh rằng: bn+1 = 2an. 
Bài 12: Cho n ∈N, n>1 và 2n điểm nằm cách đều trên một đường tròn cho trước. Hỏi có tất cả bao 
nhiêu bộ n đoạn thẳng mà mỗi bộ đều thoả mãn đồng thời: 
a. Mỗi đoạn thẳng thuộc bộ đều có đầu mút là 2 trong 2n điểm đã cho 
b. Tất cả các đoạn thẳng thuộc bộ đôi một không có điểm chung. 
PhÐp vÞ tù – quay 
 102
Hä vμ tªn gi¸o viªn :........................... 
Tr−êng THPT Chuyªn :........................ 
Trong bμi viÕt nμy, t«i sÏ tr×nh bμy c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vμ cÇn thiÕt vÒ phÐp vÞ tù – quay vμ viÖc ¸p dông phÐp 
vÞ tù – quay vμo gi¶i to¸n h×nh häc ph¼ng. 
I. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vμ cÇn thiÕt: 
 1. §Þnh nghÜa: 
 PhÐp vÞ tù – quay lμ tÝch giao ho¸n cña mét phÐp vÞ tù vμ mét phÐp quay cã cïng t©m. 
 NhËn xÐt: 
 + Thø tù thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn h×nh ë ®©y kh«ng quan träng, v× k kO O O OQ .V V .Q
α α= 
 + TØ sè cña phÐp vÞ tù – quay cã thÓ coi lμ mét sè d−¬ng v× 
0180 k k
O O OQ .V V
−= 
 2. C¸ch x¸c ®Þnh ¶nh cña mét ®iÓm qua phÐp vÞ tù – quay: 
 Cho phÐp quay OQ
ϕ vμ phÐp vÞ tù kOV (víi k > 0) 
Ta cã: ( )1O 1 1
OA OA
Q : A A
OA;OA
α
=⎧⎪⇔ ⎨ = α⎪⎩
JJJG JJJJG6 (1) 
( )1kO 1 1
OA' kOA
V : A A'
OA ;OA' 0
=⎧⎪⇔ ⎨ =⎪⎩
JJJJG JJJJG6 (2) 
Tõ (1) vμ (2) cho ta: ( )
OA '
k
OA
OA;OA '
⎧ =⎪⎨⎪ = α⎩
JJJG JJJJG (3) 
Nh− vËy kO OV .Q
α lμ phÐp ®ång d¹ng thuËn Z(O; α; k) biÕn A thμnh A’ x¸c ®Þnh bëi (3). Khi ®ã O ®−îc gäi lμ 
t©m; α gäi lμ gãc quay; k lμ tØ sè cña phÐp vÞ tù - quay 
 3. TÝnh chÊt: 
 §Þnh lÝ: Z(O; α; k): A A';B B'6 6 th× ( )
A'B ' kAB
AB;A'B '
=⎧⎪⎨ = α⎪⎩
JJJG JJJJJG 
 HÖ qu¶: 
 1) PhÐp vÞ tù - quay biÕn mét ®−êng th¼ng thμnh mét ®−êng th¼ng vμ gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng Êy 
b»ng gãc ®ång d¹ng 
 2) PhÐp vÞ tù - quay biÕn mét ®−ßng trßn thμnh mét ®−êng trßn, trong ®ã t©m biÕn thμnh t©m vμ tØ sè 
hai b¸n k×nh b»ng tØ sè ®ång d¹ng. 
α
A'
A1
A
O
 103
 4. C¸ch x¸c ®Þnh t©m cña phÐp vÞ tù – quay: 
 Cho phÐp vÞ tù - quay Z(O; α; k). H·y x¸c ®Þnh t©m O khi biÕt: 
Tr−êng hîp 1: Mét cÆp ®iÓm t−¬ng øng (A; A’); α vμ k 
Ta cã: ( )
OA'
k (1)
OA
OA;OA' (2)
⎧ =⎪⎨⎪ = α⎩
JJJG JJJJG 
(1) ⇔ O thuéc ®−êng trßn Ap«l«nius (ω) ®−êng kÝnh CD (C, D chia AA’ theo tØ sè k) 
(2) ⇔ O thuéc cung (C) chøa gãc ®Þnh h−íng (mod 2π) nhËn AA’ lμm d©y. 
VËy O lμ giao ®iÓm cña (ω) vμ (C) 
Tr−êng hîp 2: Hai cÆp ®iÓm t−¬ng øng (A; A’) vμ (B; B’) 
Ta cã: ( )
A'B ' kAB
AB;A'B '
=⎧⎪⎨ = α⎪⎩
JJJG JJJJJG . Tõ ®ã ta biÕt ®−îc k vμ α vμ quay vÒ tr−êng hîp 1 
C¸ch kh¸c: Gäi I lμ giao ®iÓm cña AB vμ A’B’ 
Ta cã: 
( ) ( )
( ) ( )
OA;OA' IA;IA ' (1)
OB;OB ' IB;IB ' (2)
⎧ = = α⎪⎨ = = α⎪⎩
(1) ⇔ O thuéc ®−êng trßn (IAA’) 
(2) ⇔ O thuéc ®−êng trßn (IBB’) 
VËy O lμ giao ®iÓm cña hai ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ΔIAA’ vμ ΔIBB’ 
 5. Mét kÕt qu¶ quan träng: 
 §Þnh lÝ: Mäi phÐp vÞ tù - quay trong mÆt ph¼ng ®Òu cã mét ®iÓm bÊt ®éng duy nhÊt O vμ O chÝnh lμ t©m 
cña phÐp vÞ tù - quay ®ã. 
 Tõ tÝnh chÊt nμy, cho phÐp ta chøng minh c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ΔABC, trong ®ã A cè ®Þnh cßn B, 
C di ®éng nh−ng lu«n lμ cÆp ®iÓm t−¬ng øng cña mét phÐp vÞ tù - quay cã gãc quay α (kh«ng ®æi) vμ tØ sè k 
(kh«ng ®æi) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lμ t©m O cña phÐp vÞ tù – quay ®ã. 
II. øng dông cña phÐp vÞ tù – quay vμo viÖc gi¶i to¸n h×nh häc. 
 1. Mét sè vÝ dô: 
VÝ dô 1: Cho hai ®−êng trßn (O) vμ (O’) c¾t nhau t¹i A vμ B. Mét c¸t tuyÕn di ®éng MAN (M ∈ (O); N ∈ 
(O’)). T×m quü tÝch trùc t©m H cña ΔBMN? 
H−íng dÉn gi¶i: 
α
O
DC A'A
O
α
α
α
A'
B'
B
I
A
 104
+ DÔ chøng minh ®−îc ΔBMN ®ång d¹ng víi ΔBOO’ (1) vμ cïng h−íng hay ΔBMN tù ®ång d¹ng vμ gi÷ 
nguyªn h−íng. KÎ trùc t©m H cña ΔBMN vμ ®Æt BHk
BM
= vμ ( )BM;BH = αJJJG JJJG 
+ Do ΔBMN tù ®ång d¹ng nªn k, α kh«ng ®æi vμ 
phÐp vÞ tù – quay: Z (B, α, k) = kB BV .Qα : M 6 H (2) 
⇒ TËp hîp c¸c ®iÓm H lμ ®−êng trßn (O’’) lμ 
¶nh cña ®−êng trßn (O) qua phÐp vÞ tù - quay 
Z (B, α, k) nãi trªn. 
+ Tõ (1) ta cã O” lμ trùc t©m ΔBOO’ vμ tõ (2) ta cã B ∈ (O) vμ B lμ ®iÓm bÊt ®éng nªn B ∈ (O”) vμ b¸n kÝnh 
cña ®−êng trßn ¶nh b»ng O”B. 
VËy tËp hîp ®iÓm H lμ ®−êng trßn (O”; O”B) 
 VÝ dô 2: (§Ò thi chän ®éi tuyÓn HSG tØnh H−ng Yªn n¨m 2007 – 2008) 
Trªn hai ®−êng th¼ng a vμ b c¾t nhau t¹i mét ®iÓm C cã hai ®éng tö chuyÓn ®éng th¼ng ®Òu víi vËn tèc kh¸c 
nhau: A trªn a víi vËn tèc v1, B trªn b víi vËn tèc v2, v1 ≠ v2, chóng kh«ng gÆp nhau ë C. 
 a) Chøng minh r»ng ë bÊt k× thêi ®iÓm nμo, ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ΔABC còng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè 
®Þnh O nμo ®ã kh¸c C 
 b) T×m quü ®¹o chuyÓn ®éng cña ®éng tö M lu«n ë vÞ trÝ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. 
 H−íng dÉn gi¶i: 
a) Gi¶ sö A0, B0 lμ 2 vÞ trÝ xuÊt ph¸t øng víi thêi ®iÓm t0 
 A1, B1 lμ 2 vÞ trÝ cña 2 ®éng tö ë thêi ®iÓm t1 > t0 
Khi ®ã 0 1 2 1 0 1
0 1 1 1 0 0
B B v (t t ) v
k
A A v (t t ) v
−= = =− (0 < k kh«ng ®æi) 
Gäi O lμ giao ®iÓm thø 2 cña hai ®−êng trßn 
(A0B0C) vμ (A1B1C) 
DÔ dμng chøng minh ®−îc: ΔOA0A1 ®ång d¹ng 
víi ΔOB0B1. Tõ ®ã suy ra: 
n n
1 1 0 0
1 0 0 1 2
1 0 0 1 1
A OB A OB
OB OB B B v
OA OA A A v
⎧ = = α⎪⎨ = = =⎪⎩
⇒ 
( ) ( )1 1 1 1
1 2
1 1
OA ;OB CA ;CB (1)
OB v
 (2)
OA v
⎧ = = α⎪⎨ =⎪⎩
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG
(1) chøng tá O thuéc cung chøa gãc ®Þnh h−íng α (mod 2π) dùng trªn A1B1 cè ®Þnh (3) 
(2) chøng tá O thuéc ®−êng trßn Ap«l«nius ®−êng kÝnh CD cè ®Þnh (C, D chia ®o¹n A1B1 theo tØ sè kh«ng ®æi 
2
1
v
v
) (4) 
O''
H
O'
O
B
N
AM
a
b
C
O
B1
A1
B0
A0
 105
Tõ (3) vμ (4) suy ra O lμ ®iÓm cè ®Þnh. 
b) KÝ hiÖu A0 = A ( khi t = 0); B0 = B (khi t = 0); M0 lμ trung ®iÓm cña ®o¹n A0B0. 1 2v ; v
JJG JJG
 lμ hai vÐc t¬ vËn tèc 
cña A vμ B. 
Quü tÝch cña M lμ ®−êng th¼ng M0m ®i qua M0 vμ cã vÐc t¬ chØ ph−¬ng lμ ( )1 21v v v2= +G JJG JJG (suy ra tõ ( )0 1 22M M v v t= +JJJJJG JJG JJG ) 
 NhËn xÐt: 
 1) NÕu kh«ng dïng gãc ®Þnh h−íng th× ph¶i xÐt hai tr−êng hîp. 
 2) O chÝnh lμ t©m cña phÐp vÞ tù - quay tØ sè k = 2
1
v
v
; gãc quay ( )1 1CA ;CB = αJJJJG JJJJG biÕn a thμnh b, 
trong ®ã A1 biÕn thμnh B1. V× a, b cè ®Þnh, k, α kh«ng ®æi nªn O cè ®Þnh 
 3) §Ó chøng minh ®−êng trßn (ABC) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh, trong ®ã A, B lμ hai ®éng tö 
chuyÓn ®éng, ta cè ®Þnh ho¸ hai vÞ trÝ nμo ®ã cña A, B vμ xÐt hai vÞ trÝ bÊt k× A1; B1 cña hai ®éng tö ®ã. Sau ®ã 
chøng minh giao ®iÓm cña (ABC) vμ (A1B1C) lμ hai giao ®iÓm cè ®Þnh b»ng c¸ch chØ ra c¸c tÝnh chÊt ®Æc tr−ng 
(1) vμ (2) cña nã mμ ta cã thÓ dùng ®−îc. 
 VÝ dô 3: (§Ò dù tuyÓn IMO n¨m 1999) 
C¸c ®iÓm A, B, C chia ®−êng trßn Ω ngo¹i tiÕp ΔABC thμnh ba cung. Gäi X lμ mét ®iÓm thay ®æi trªn cung 
trßn AB vμ O1; O2 t−¬ng øng lμ t©m ®−êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c CAX vμ CBX. Chøng minh r»ng ®−êng 
trßn ngo¹i tiÕp ΔXO1O2 c¾t Ω t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh. 
 H−íng dÉn gi¶i: 
+ Gäi T = (XO1O2) ∩ (ABC) 
 M = XO1 ∩ (ABC); N = XO2 ∩ (ABC) 
+ Trªn (ABO) ta cã: n nXNT XMT= 
Trªn (XO1O2) ta cã: 
n n
1 2XO T XO T= 
⇒ n n1 2TO N TO N= ⇒ ΔTO1N ®ång d¹ng víi ΔTO2M 
⇒ 1
2
O NTN AN
k
TM O M BM
= = = (kh«ng ®æi) (1) 
(dÔ chøng minh ®−îc ΔNAO1 vμ ΔMO2B c©n t¹i N, M) 
+ DÔ thÊy ( ) ( ) ( )1 2TN;TM TO ;TO XN;XM (mod2 )= = = α πJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG 
(kh«ng ®æi) (2) 
Tõ (1) suy ra T thuéc ®−êng trßn Ap«l«nius ®−êng kÝnh 
E, F (E, F chia MN theo tØ sè k) (3) 
Tõ (2) suy ra T thuéc cung chøa gãc α (mod 2π) dùng trªn ®o¹n MN cè ®Þnh (4) 
TX
O2
O1
N
M
C
BA
 106
Tõ (3) vμ (4) vμ do cung (α) ®i qua 1 ®iÓm n»m trong vμ 1 ®iÓm n»m ngoμi ®−êng trßn Ap«l«nius nªn chóng 
c¾t nhau t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh T (kh¸c C) 
⇒ ®pcm 
 NhËn xÐt: T chÝnh lμ t©m cña phÐp vÞ tù - quay gãc α, tØ sè k biÕn M thμnh N 
VÝ dô 4: Dùng ra phÝa ngoμi mét ΔABC ba tam gi¸c bÊt k× BCM; CAN; vμ ABP sao cho 
n n n n n n0 0 0MBC CAN 45 ; BCM NCA 30 ; ABP PAB 15= = = = = = . Chøng minh r»ng ΔMNP vu«ng c©n 
®Ønh P. 
H−íng dÉn gi¶i: 
+ XÐt tÝch cña hai phÐp vÞ tù - quay Z2DZ1 
trong ®ã Z1 = Z(B, 
4
π
, k1) vμ Z2 = Z(A, 
4
π
, k2) 
víi 1
2
BC AC 1
k
BM AN k
= = = (v× ΔCAN ®ång d¹ng víi ΔCBM) 
+ Ta cã ΔBMC cè ®Þnh, nMBC
4
π= nªn ( )
1
BC
k
BM
BM;BC
4
⎧ =⎪⎪⎨ π⎪ =⎪⎩
JJJG JJJG 
do ®ã Z1 = Z(B, 
4
π
, k1): M 6 C vμ P 6 P1 (ΔBPP1 ®ång d¹ng víi ΔBMC) 
+ L¹i cã ΔCAN cè ®Þnh, nCAN
4
π= nªn ( )
2
AN
k
AC
AC;AN
4
⎧ =⎪⎪⎨ π⎪ =⎪⎩
JJJG JJJG 
do ®ã Z2 = Z(A, 
4
π
, k2): C 6 N vμ P1 6 P 
suy ra Z = Z2DZ1: M 6 N. 
TÝch hai phÐp ®ång d¹ng trªn cã tØ sè ®ång d¹ng k = k2.k1 = 1 vμ α1 + α2 = 
2
π
 nªn Z lμ phÐp dêi h×nh cã mét 
®iÓm cè ®Þnh duy nhÊt P. 
Cô thÓ lμ 2PQ : M N
π
6 nªn ta cã ( )
PM PN
PM;PN
2
=⎧⎪⎨ π=⎪⎩
JJJG JJJG . VËy ΔPMN lμ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh P. 
 VÝ dô 5: Dùng mét tø gi¸c (låi) néi tiÕp ABCD biÕt ®é dμi c¸c c¹nh: AB = a; BC = b; CD = c; DA = 
d, trong ®ã a, b, c, d lμ nh÷ng ®é dμi cho tr−íc. 
 H−íng dÉn gi¶i 
Ph©n tÝch: Gi¶ sö tø gi¸c ABCD ®· dùng ®−îc. 
P1
P
N
M
C
B
A
 107
ABCD néi tiÕp khi vμ chØ khi l l 0A C 180+ = (hoÆc l l 0B D 180+ = ). KÐo dμi c¹nh BC vÒ phÝa Cùc ®Ó xuÊt 
hiÖn n nDCx BAD= vμ 
kÒ bï víi nDCB . 
Trªn tia Cx (tia ®èi cña tia CB) lÊy ®iÓm 
E sao cho ΔDCE ®ång d¹ng víi ΔDAB. 
Bμi to¸n dùng tø gi¸c ABCD quay vÒ 
dùng ΔDCE. 
Gi¶ sö ΔDCE ®ång d¹ng víi ΔDAB, hai 
tam gi¸c nμy chung ®Ønh D. Bëi vËy ΔDCE 
®−îc suy ra tõ ΔDAB bëi phÐp vÞ tù - quay Z(D, (DA;DC)ϕ = JJJG JJJG , k = c
d
) 
Bëi vËy, ®Æt k = 
c
d
; n(DA;DC) ADC= = δJJJG JJJG . 
XÐt phÐp vÞ tù - quay Z(D; δ; k) 
Ta cã Z: D 6 D; A 6 C vμ B 6 E sao cho E ∈ [BE]. Khi ®ã ΔDCE ®ång d¹ng víi ΔDAB vμ do ®ã 
n nDCE DAB= vμ B, C, E th¼ng hμng theo thø tù ®ã, ®ång thêi ta ®−îc nBDE ADC= = δJJJJG . 
Bμi to¸n trë thμnh dùng ΔDBE cã c¸c yÕu tè ®· biÕt: BC = b; CE = ca
d
, do ®ã 
ac bd
BE
d
+= ; CD = c; 
DE c
DB d
= 
Ta cÇn dùng ®iÓm D lμ mét ®iÓm trong c¸c giao ®iÓm cña ®−êng trong 1γ (C; c) vμ ®−êng trßn Ap«l«nius 
( )2γ cã ®−êng kÝnh IJ mμ I, J chia trong vμ chia ngoμi ®o¹n BE theo tØ sè k = cd . §Ønh A ®−îc dùng sau 
cïng. 
BiÖn luËn: Bμi to¸n cã thÓ cã 1 nghiÖm h×nh hoÆc kh«ng cã nghiÖm h×nh nμo tuú vμo ( )1γ vμ ( )2γ cã c¾t 
nhau hay kh«ng. 
 2. Mét sè bμi tËp tù luyÖn. 
Bμi 1: (§Ò thi HSG QG n¨m 1999 – 2000) 
Trªn mÆt ph¼ng cho tr−íc hai ®−êng trßn (O1; r1) vμ (O2; r2). Trªn ®−êng trßn (O1; r1) lÊy mét ®iÓm M1 
vμ trªn ®−êng trßn (O2; r2) lÊy ®iÓm M2 sao cho ®−êng th¼ng O1M1 c¾t O2M2 t¹i mét ®iÓm Q. Cho M1 chuyÓn 
®éng trªn (O1; r1), M2 chuyÓn ®éng trªn (O2; r2) cïng theo chiÒu kim ®ång hå vμ cïng víi vËn tèc gãc nh− 
nhau. 
1) T×m quü tÝch trung ®iÓm ®o¹n th¼ng M1M2 
2) Chøng minh r»ng giao ®iÓm thø hai cña hai ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ΔM1QM2 vμ ΔO1QO2 lμ mét ®iÓm 
cè ®Þnh. 
Bμi 2: (§Ò thi chän ®éi tuyÓn HSG tØnh H−ng Yªn n¨m 2004 – 2005) 
Cho ®−êng trßn (O), dùng ®−êng trßn (ω) mμ O n»m trong ®−êng trßn (ω). Mét tam gi¸c ABC c©n t¹i 
A di ®éng nh−ng lu«n gi÷ nguyªn d¹ng vμ h−íng A di ®éng trªn (ω); B, C di ®éng trªn (O). C¸c ®−êng th¼ng 
AB; AC c¾t (ω) t¹i I, J. 
d
a
c
b
δ
E
D
CB
A
 108
1) Chøng minh r»ng I vμ J lμ c¸c ®iÓm cè ®Þnh 
2) T×m quü tÝch h×nh chiÕu vu«ng gãc M, N cña I, J trªn BC. Cã nhËn xÐt g× vÒ quü tÝch ®ã. 
Bμi 3: 
Dùng mét tø gi¸c låi ABCD biÕt tæng ®é lín hai gãc ®èi diÖn l lA C+ = θ vμ ®é dμi c¸c c¹nh AB = a; 
BC = b; CD = c; DA = d 
Bμi 4: 
Cho ®−êng trßn (O1; R1) vμ (O2; R2) c¾t nhau ë A vμ B. Hai ®éng tö M1 vμ M2 xuÊt ph¸t tõ A lÇn l−ît 
chuyÓn ®éng trßn ®Òu trªn (O1) vμ (O2) theo cïng 1 h−íng, sau mét vßng trë l¹i A cïng mét lóc. 
1) Chøng minh r»ng trong mÆt ph¼ng cã mét ®iÓm P duy nhÊt lu«n c¸ch ®Òu M1 vμ M2 ë mäi thêi ®iÓm. 
(®Ò thi IPQ, London 1979) 
2) T×m quü tÝch träng t©m G, trùc t©m H cña ΔAM1M2 
Bμi 5: (Bμi to¸n NapolÐon) 
LÊy c¸c c¹nh cña ΔABC bÊt k× lμm ®¸y, dùng ra phÝa ngoμi ΔABC ba tam gi¸c ®Òu BCA’; CAB’ vμ 
ABC’. Chøng minh r»ng c¸c t©m A0; B0; C0 cña ba tam gi¸c ®Òu võa dùng lμ c¸c ®Ønh cña mét tam gi¸ ®Òu.