Giáo trình Cơ học kết cấu (Phần 2) - Lý Trưởng Thành
Tóm tắt Giáo trình Cơ học kết cấu (Phần 2) - Lý Trưởng Thành: ...các hàm tải trọng, nội lực và chuyển vị. So với các biện pháp khác, biên pháp biến đổi sơ đồ tính cho phép giảm nhẹ khối lượng tính toán rất lđáng kể nên hay được áp dụng. Sau đây ta sẽ nghiên cứu cách tìm sơ đồ tính tương đương để thực hiện tính toán với một nửa hệ. 1. Hệ đối xứng chịu ng...i, được: 0K)(2 K iii1i1i 1i =λ−λ+λ+λ− − − − Từ đó rút ra biểu thức tính tỉ số tiêu cự trái của nhịp i: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −λ λ+= − − 1ii 1i i K 122K (5-42) Công thức trên có tính truy hồi vì muốn tính được Ki phải biết Ki-1 là tỉ số tiêu cự trái của nhịp thứ i-1 kề phía trái nhịp ... 2 M1 EJ Z1=1 c) δ21 Mp f) 60 42,86 31,42 1,43 2,86 8,58 34,28 (kNm) 40 oMp e) 60 40 40 (kNm) M2 d) X2=1 6 6 (m) trong đó các hệ số chính r11, δ22 và các số hạng tự do R1P, Δ2P có ý nghĩa và cách tính như đã biết trong mỗi phương pháp. r11, R1P phản...
ẳng của các thanh (mặt phẳng xoy). Tại liên kết có thể phát sinh các phản lực dọc theo trục thanh và một mô men nằm trong mặt phẳng của các thanh. 8.1.7. Mối hàn (Hình 8.1g) Liên kết này khử toàn bộ các chuyển vị của vật thể, tức khử tất cả sáu bậc tự do. Trong liên kết này có thể phát sinh ba phản lực theo phương ba trục của hệ tọa độ và ba phản lực mô men trong ba mặt phẳng của hệ tọa độ đó. Mối hàn tương đương với sáu thanh. Trên đây là bảy loại liên kết cơ bản thường dùng. Ngoài ra còn có thể tổ hợp các liên kết thanh để được các liên kết loại khác, chẳng hạn như khớp tựa (Hình 8.1h) Trường hợp mối hàn hay khớp cầu đồng thời nối một số vật thể thì liên kết đó là liên kết phức tạp. Độ phức tạp của liên kết phức tạp bằng số vật thể được nối trừ đi một. 8.2. CẤU TẠO HÌNH HỌC CỦA HỆ KHÔNG GIAN 8.2.1. Cách nối hai vật thể thành một hệ bất biến hình Muốn nối hai vật thể thành một hệ bất biến hình cần phải dùng liên kết khử hết sáu bậc tự do của vật thể nọ đối với vật thể kia; do đó cần sử dụng số liên kết ít nhất phải tương đương với sáu thanh và sắp xếp hợp lý; nếu không hệ sẽ biến hình hoặc biến hình tức thời. Dưới đây là một số trường hợp sáu thanh sắp xếp không hợp lý cần tránh: 226 1. Sáu thanh cùng cắt một đường thẳng (đường ab Hình 8.2a): Đường thẳng đó là trục quay của vật thể nọ đối với vật thể kia, tức hệ bị biến hình hoặc biến hình tức thời. 2- Số thanh đồng quy ở một điểm hoặc song song lớn hơn ba (Hình 8.2b): các thanh đồng quy (hoặc song song) chỉ khử được tối đa ba bậc tự do nên số thanh còn lại ít hơn ba không đủ để khử hết ba bậc tự do nữa, do đó hệ biến hình. b) b a c) a b a) b a Hình 8.2 3- Ba thanh cùng trong một mặt phẳng và đồng quy ở một điểm (Hình 8.2c): Khi đó ba thanh này chỉ khử được hai bậc tự do, nên ba thanh còn lại không đủ để khử nốt bốn bậc tự do nữa, vì vậy hệ biến hình. 8.2.2. Cách nối nhiều vật thể thành một hệ bất biến hình Trước hết thành lập điều kiện để nối V vật thể thành một hệ bất biến hình. Coi một trong số các vật thể là bất động thì đối với vật thể đó, hệ có 6(V - 1) bậc tự do cần khử. Gọi T là số liên kết thanh tương đương với số liên kết có trong hệ. Vậy điều kiện cần về số lượng liên kết để nối các vật thể với nhau thành một hệ bất biến hình như sau: 6(V - 1) ≤ T (8-1) Trường hợp hệ không gian nối đất bằng số liên kết tựa quy ra số liên kết thanh tương đương là C: 6V ≤ T + C (8-2) Nếu không đảm bảo điều kiện trên, tức thiếu liên kết, hệ sẽ biến hình. Trường hợp điều kiện cần đảm bảo với dấu “=”, hệ vừa đủ liên kết, nếu sắp xếp liên kết hợp lý để khử hết bậc tự do, sẽ bất biến hình, ta được hệ không gian tĩnh định. Còn ứng với dấu “<” là hệ thừa liên kết, nếu sắp xếp hợp lý thì hệ bất biến hình, ta được hệ không gian siêu tĩnh. Để nhận biết việc sắp xếp các liên kết có hợp lý hay không, với các hệ không gian đơn giản thường gặp, cũng tương tự như hệ phẳng, ta tìm cách đưa về trường hợp hai vật thể nối với nhau ở trên để xem xét hoặc phát triển dần từ một vật thể ra toàn hệ. 227 8.2.3. Cấu tạo hình học của dàn không gian Tương tự như trong dàn phẳng, do đặc điểm về cấu tạo chỉ gồm các thanh thẳng nối với nhau bởi các khớp cầu ở hai đầu nên đối với dàn không gian cũng có thể lập được công thức điều kiện cần đơn giản hơn nhiều. Giả sử trong hệ dàn có T thanh và M mắt. Đối với dàn không nối đất, ta quan niệm một tam giác khớp là vật thể bất động, như vậy trong hệ còn lại M - 3 mắt cần nối vào vật thể bất động và có T - 3 thanh để nối. Đối với dàn nối đất bằng C liên kết tựa tương đương liên kết thanh, coi trái đất là vật thể bất động, trong hệ có M mắt cần nối vào vật thể bất động và có T + C thanh để nối. Ta có điều kiện cần về liên kết như sau: Đối với dàn tự do: 3M ≤ T + 6 (8 - 3) Hình 8.3 Đối với dàn nối đất: 3M ≤ T + C (8 - 4) Ý nghĩa các dấu tương tự như trường hợp trên Dàn không gian thường gặp là loại dàn lưới (Hình 8.3), có các thanh dàn đều nằm trên các mặt phẳng biên của một đa diện kín và mỗi mặt là một hệ phẳng bất biến hình. Người ta chứng minh được rằng một đa diện lồi là bất biến hình khi tất cả các mặt biên của nó đều là hệ phẳng bất biến hình. 8.3. XÁC ĐỊNH PHẢN LỰC VÀ NỘI LỰC TRONG HỆ KHÔNG GIAN TĨNH ĐỊNH 8.3.1. Xác định phản lực Nếu một hệ bất biến hình nối cố định với đất bằng sáu thanh, thì có thể xác định phản lực từ hệ sáu phương trình cân bằng tĩnh học, thông thường hay dùng hai nhóm phương trình sau: 1. Nhóm sáu phương trình gồm ba phương trình cân bằng hình chiếu và ba phương trình cân bằng mô men: ΣX = 0; ΣY = 0; ΣZ = 0; ΣM1 = 0; ΣM2 = 0; ΣM3 = 0. (8-5) Trong đó các trục X, Y, Z hay các trục lấy mô men 1, 2, 3, phải không được song song với nhau hoặc không được cùng nằm trong một mặt phẳng. 2. Nhóm sáu phương trình cân bằng mô men: ΣM1 = 0; ΣM2 = 0; ΣM3 = 0; ΣM4 = 0; ΣM5 = 0; ΣM6 = 0. (8-6) 228 Trong đó các trục phải thỏa mãn các điều kiện sau: - Các trục không được cắt qua một đường thẳng. - Không được có quá ba trục song song với nhau - Nếu có ba trục cắt nhau tại một điểm thì ba trục còn lại không được song song với nhau. Nếu các điều kiện trên không được bảo đảm thì mặc dù các phương trình (8-5), (8-6) thỏa mãn nhưng vật thể vẫn không nằm trong trạng thái cân bằng. Ngoài hai nhóm phương trình cân bằng tĩnh học thường dùng nêu trên còn có thể có nhiều nhóm phương trình cân bằng khác. Cần chú ý đến việc chọn trục chiếu hoặc trục lấy mô men, cũng như thứ tự phương trình sao cho mỗi phương trình có ít ẩn phản lực nhất. Ví dụ 8-1: Xác định các phản lực của hệ cho trên hình 8.4 Dùng các phương trình cân bằng với các thứ tự sau đây: ΣY = -P + R4 = 0 → R4 = P ΣMcd = P.4 -R6.12 = 0 → R6 = 3 P ΣX = R3 - R6 = 0 → R3 = R6 = 3 P ΣMbc = P.3 - R5.12 = 0 → R5 = 4 P ΣMcg = R1.4 - R6.3 = 0 → R1 = 4 P ΣZ = R1 + R5 - R2 = 0 → R2 = 2 P 8.3.2. Xác định nội lực Để xác định nội lực tại một tiết diện trong hệ không gian vẫn áp dụng nguyên lý mặt cắt. Nguyên tắc chung là dùng mặt cắt đi qua tiết diện cần tìm nội lực và chia kết cấu ra hai phần riêng biệt. Thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh đối với một phần kết cấu đã được tách ra, ta xác định được các nội lực cần tìm. Xét cân bằng một bộ phận trong không gian, ta lập được sáu phương trình cân bằng tĩnh, nên số nội lực chưa biết không được quá sáu. Vì vậy, trừ trường hợp đặc biệt, thông thường đối với khung, mặt cắt không được đi qua hai tiết diện, đối với dàn không được cắt quá sáu thanh. Riêng đối với dàn, nếu tách xét cân bằng phần dàn chỉ có một mắt (phương pháp tách mắt) thì với hệ lực đồng quy cân bằng chỉ lập được ba phương trình; Do đó thông thường tách mắt dàn không quá ba thanh. Tương tự đối với dàn phẳng, ta cũng có những nhận xét thường dùng từ phương pháp tách mắt đối với dàn không gian như sau: - Nếu tại mắt có ba thanh qui tụ và không có tải trọng tác dụng thì lực dọc trong cả ba thanh đều bằng không. 3 a b Hình 8.4 e h f g d c 4 12 1 2 3 4 5 6 P 229 - Nếu tại mặt cắt có n thanh qui tụ, trong đó có (n - 1) thanh nằm trong cùng một mặt phẳng thì lực dọc trong thanh còn lại bằng không khi tại mắt không có tải trọng tác dụng hoặc tải trọng nằm trong mặt phẳng của (n - 1) thanh kể trên. 1 Hình 8.5 4m P 3 2 4 6 5 3m α Ví dụ 8-2: Xác định nội lực trong các thanh dàn trên hình 8.5. Sử dụng phương pháp tách mắt cùng các nhận xét và theo thứ tự sau: Tách mắt 2, được: N23 = 0; Tách mắt 3, được: N31 = N35 = N36 = 0 Tách mắt 1, được: N14 = N16 = 0; N12 = - P Tách mắt 6, được: N24 = αsin P ; N25 = - Pcotgα Tách mắt 5, được: N54 = 0 Ví dụ 8-3: Vẽ biểu đồ mô men uốn và xoắn của khung cho trên hình 8.6a. Hình 8.6 q=20kN/m A a) 8m 4m 4m P=50kN B C D b) 400 480 560 160 160 M uốn c) M xoắn 160 560 Thanh CD có mô men uốn trong mặt phẳng YOZ do q gây nên. Thanh CB có mô men uốn trong mặt phẳng XOZ do q gây nên. Thanh AB có mô men uốn trong mặt phẳng XOZ do q và trong mặt phẳng XOY do P. Biểu đồ mô men uốn của khung vẽ được trên hình 8.6b. Lực phân bố còn gây nên mô men xoắn trong các thanh BC, AB và biểu đồ vẽ được trên hình 8.6c. 8.3.3. Tính dàn không gian bằng cách phân tích thành những dàn phẳng Nếu dàn không gian gồm nhiều dàn phẳng bất biến hình ghép lại thì ta có thể phân tích thành các dàn phẳng để tính riêng. Cơ sở lý luận của việc phân tích này là: Trong dàn không gian, nếu tải trọng chỉ tác dụng trong mặt phẳng của từng dàn phẳng bất biến hình riêng biệt mà cân bằng với nhau, hoặc cân bằng với các phản lực tựa của hệ thuộc trong mặt phẳng ấy, thì lực dọc chỉ phát sinh trong những thanh thuộc dàn phẳng đó, còn các thanh khác của dàn không gian không nằm trong mặt phẳng ấy sẽ có lực dọc bằng không. 230 1 2 3 4 5 6 P1 7 8 9 10 11 12 P2 2 P2 2 P2 b) a) Chẳng hạn xét dàn không gian cho trên hình 8.7a, ta nhận thấy chỉ có các thanh trong hai dàn thẳng đứng có nội lực khác không và được xác định bằng cách tính riêng từng dàn như trên hình 8.7b. Kết quả tính dàn trong ví dụ 8-2. cho thấy lực dọc chỉ sinh ra trong các thanh của dàn phẳng bất biến hình 1-2-4-5 và kết quả hoàn toàn giống với kết quả khi tính riêng dàn phẳng ấy. Trường hợp tại mắt biên nối giữa các dàn phẳng có hệ lực tác dụng một cách bất kỳ thì ta có thể phân tích thành các thành phần nằm trong từng dàn phẳng một để sau đó sẽ tính cho từng dàn riêng biệt. Ví dụ lực P bất kỳ tại mắt 1 của dàn cho trên hình 8.8. được phân tích thành các lực P1, P2, P3. P1 chỉ gây ra các nội lực trong các thanh của dàn phẳng a-5-1-4-8-d. P2 gây ra nội lực trong các thanh của dàn phẳng a-5-1-2-6-b. P3 có phương trùng với giao tuyến của hai mặt dàn nên có thể tính trên sơ đồ của một trong hai dàn trên. Nội lực trong các thanh a-5 và 5-1 xuất hiện trong cả ba sơ đồ tính trên sẽ bằng tổng các kết quả riêng rẽ. 8.4. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH KHÔNG GIAN Nguyên tắc xác định chuyển vị trong hệ thanh không gian cũng giống như hệ phẳng, chỉ khác là công thức tính phức tạp hơn do phải xét đến cả sáu thành phần nội lực: Mx, My, Mz, Qx, Qy, Nz (Hình 8.9). Tương tự cách chứng minh trong hệ thanh phẳng, công thức tính chuyển vị trong hệ thanh không gian có độ cong nhỏ, do tải trọng tác dụng như sau: Hình 8.7 2 P2 3 1 6 4 5 8 9 10 7 12 11 2 P2 2 P2 P1 Hình 8.8 5 1 P2 3 4 a c b d 2 P1 P3 7 8 6 231 ΔkP = ∑∫s 0 x xPxk EJ ds MM +∑∫s 0 y yPyk EJ ds MM +∑∫s 0 xoan zPzk GJ ds MM + + ∑∫s 0 Pk EF ds NN + ∑∫μs 0 xPxkx GF ds QQ + ∑∫μs 0 yPyky GF ds QQ (8-7) Trong đó: GJxoắn độ cứng của tiết diện khi chịu xoắn. Với tiết diện vuông có Jxoắn ≈ 0,1426a4; Với tiết diện chữ nhật hẹp (a > b) có: Jxoắn ≈ )b63,0a( a b3 − ; Với tiết diện tròn Jxoắn = 2 r 4π ; Qx Hình 8.9 x Qy Mx My Nz Mz y z Các tích phân trên có thể được tính bằng cách nhân biểu đồ Vêrêsaghin như trong hệ phẳng. Với dầm khung, tiết diện chủ yếu là uốn, thường bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. Với hệ dàn, công thức tính chuyển vị vẫn như trước đây trong chương 4. Các định lý về công và chuyển vị đã rút ra trong hệ phẳng vẫn đúng cho hệ không gian. 8.5. TÍNH HỆ KHÔNG GIAN SIÊU TĨNH Tính hệ không gian siêu tĩnh theo các phương pháp cơ bản - phương pháp lực và phương pháp chuyển vị, về nguyên tắc giống như khi tính hệ siêu tĩnh phẳng, nhưng phức tạp hơn do: - Số ẩn trong hệ không gian nhiều hơn. - Số nội lực trong các thanh nhiều hơn. 8.5.1. Áp dụng nguyên lý chung của phương pháp lực Số ẩn của hệ bằng số liên kết “thừa” và được suy ra từ công thức (8-1). Để đơn giản ta thường áp dụng cách loại bỏ liên kết thừa để được hệ không gian tĩnh định, vừa đồng thời lập được hệ cơ bản. Hình 8.10 a) b) Hệ cơ bản của hệ cho trên hình 8.10a, lập được bằng cách cắt qua bốn thanh ngang ta sẽ có bốn công sôn tĩnh định (Hình 8.10b). Tại mỗi tiết diện bị cắt xuất hiện sáu ẩn nội lực, như vậy số ẩn lực của toàn hệ là 6.4 = 24. Với hệ siêu tĩnh bậc n, tương tự trước đây, ta lập được hệ phương trình chính tắc: δ11X1 + δ12X2 + ... + δ1kXk + ... + δ1nXn + Δ1P = 0 δ21X1 + δ22X2 + ... + δ2kXk + ... + δ2nXn + Δ2P = 0 ... δn1X1 + δn2X2 + ... + δnkXk + ... + δnnXn + ΔnP = 0 232 Trong đó ý nghĩa của phương trình, của các hệ số và số hạng tự do vẫn như trong hệ phẳng. Hệ số và số hạng tự do được xác định theo công thức (8-7) δik = ∑∫s 0 x xkxi EJ ds MM +∑∫s 0 y ykyi EJ ds MM +∑∫s 0 xoan zkzi GJ ds MM + +∑∫s 0 ki EF ds NN + ∑∫μs 0 xkxix GF ds QQ + ∑∫μs 0 ykyiy GF ds QQ ΔiP = ∑∫s 0 x o xPxi EJ ds MM +∑∫s 0 y o yPyi EJ ds MM +∑∫s 0 xoan o zPzk GJ ds MM + +∑∫s 0 o Pi EF ds NN + ∑∫μs 0 o xPxix GF ds QQ + ∑∫μs 0 o yPyiy GF ds QQ Chúng còn có thể xác định qua cách nhân biểu đồ và bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, lực dọc. Với dàn siêu tĩnh: δik = ∑ j j jkjij EF lNN ΔiP = ∑ j j j o Pjij EF lNN Sau khi giải hệ phương trình chính tắc tìm được các ẩn lực, nội lực cuối cùng trong hệ siêu tĩnh được xác định theo nguyên lý cộng tác dụng: S = 1S X1 + 2S X2 + ... + nS Xn + o PS Ví dụ 8-4: Vẽ biểu đồ mô men uốn và xoắn của khung siêu tĩnh trên hình 8.11b. Biết xoanGJ EJ =1, Jx = Jy = J. x a) P 6m y z 6m 6m o b) P 6P Mx,p M p 6 c) X1=1 Mz,1 Mx,1 M1 6 6 Hình 8.11 6 d) X2=1 Mz,2 My,2 M2 6 6 My,2 e) Mx= Mp 16 66P P Mz= 16 12P 16 18P 16 30P 233 Hệ cơ bản và biểu đồ mô men do tải trọng vẽ trên hình 8.11b. Các biểu đồ mô men đơn vị vẽ trên hình 8.11c,d.Các hệ số và số hạng tự do xác định theo cách nhân biểu đồ: δ11 = = EJ 360 GJ 6.6.6 EJ 1 .6. 3 2 . 2 6.6 EJ 1 .6. 3 2 . 2 6.6 xoanxx =++ M1 M1 δ22 = = EJ 360 GJ 6.6.6 EJ 1 .6. 3 2 . 2 6.6 EJ 1 .6. 3 2 . 2 6.6 xoanyy =++ M2 M2 δ12 = = EJ 216 GJ 6.6.6 xoan = M1 M2 Δ1P = = EJ P72 EJ 6 . 3 2 . 2 P.6.6 −=− ; Δ2P = = 0; Hệ phương tình chính tắc: 360X1 + 216X2 - 72P = 0; 216X1 + 360X2 + 0 = 0; Từ đó tìm được: X1 = P 16 5 ; X2 = P 16 3− ; Áp dụng biểu thức (8-13) có biểu đồ mô men trên hệ siêu tĩnh (Hình 8.11e). Kiểm tra biểu đồ cuối cùng: = 0 GJ 6 .6. 16 P12 EJ 6 . 3 2 . 2 6 . 16 P66 EJ 6 . 3 2 . 2 6 . P30 16 xoan =+− 8.5.2. Tính khung siêu tĩnh phẳng chịu lực không gian Trong trường hợp khung siêu tĩnh phẳng (Hình 8.12), các ẩn lực trong mặt phẳng của hệ (X1, X2, X3) chỉ gây ra các chuyển vị trong mặt phẳng đó, mà không gây ra các chuyển vị theo phương các ẩn còn lại (theo X4, X5, X6). Hệ phương trình chính tắc luôn luôn tách thành hai nhóm độc lập: Nhóm thứ nhất gồm ba phương trình với ba ẩn lực nằm trong mặt phẳng của hệ (X1, X2, X3), và nhóm thứ hai gồm ba phương trình với ba ẩn lực còn lại (X4, X5, X6). Như vậy việc giải sáu phương trình sáu ẩn số là đơn giản đi rất nhiều. Mặt khác, nếu ta cũng phân tích tải trọng đã cho thành tải trọng tác dụng trong mặt phẳng của hệ (Png trong hình 8.12a) và tải trọng thẳng góc với hệ (Pđ trong hình 8.12b) thì M1 Mp o M2 Mp o M1 Mp a) Hình 8 Pngang x .12 y z X1 X1 X2 X2 X3 X3 Pđứng X4 b) X4 X5 X6 X6 X5 234 khối lượng tính số hạng tự do cũng giảm đi đáng kể. Tải trọng nằm trong mặt phẳng của hệ chỉ gây nên những ẩn lực trong mặt phẳng của hệ (X1, X2, X3), còn tải trọng vuông góc chỉ gây nên các ẩn còn lại (X4, X5, X6). Ví dụ 8-5: Vẽ biểu đồ mô men uốn của khung cho trên hình 8.13a, biết tiết diện của thanh hình tròn có G E = 2,5; J Jxoan = 2. Hệ cơ bản vẽ trên hình 8.13b. Từ tính chất đối xứng, khung siêu tĩnh chỉ có một ẩn lực X1 (mô men uốn tại tiết diện bị cắt). Biểu đồ do X1 và do tải trọng vẽ trên hình 8.13c,d. Phương trình chính tắc: δ11X1 + Δ1P = 0 Hệ số δ11 và số hạng tự do Δ1P xác định được: δ11 = = EJ 5,13 2. J.2.G 1.3.1 EJ 1.3.1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + M1 M1 Δ1P = = EJ P75,15 2. J.2.G 1 .3. 2 P3 EJ 1 . 2 3 . 2 P3 −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− M1 Mp o Từ phương trình: 13,5X1 - 15,75P = 0, tìm được X1 = 1,167P. Biểu đồ mô men uốn cuối cùng vẽ trên hình 8.13e. Ví dụ 8-6: Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ dầm trực giao cho trên hình 8.14a. Hệ dầm trực giao có thể đưa về sơ đồ tính đơn giản như trên hình 8.14b. Do đó hệ cơ bản lập được trên hình 8.14c, đều gồm các dầm đơn giản chịu các lực tác dụng trong mặt phẳng của từng dầm. Các biểu đồ đơn vị và biểu đồ do tải trọng vẽ trên hình 8.14e, f. Hình 8.13 a) x y z P J 6m 3m 3m 3m J J X1 b) 2 P 2 P X1 Mx,1 1 Mz,1 c) M1 X1=1 1 Mx,p Mp o d) P 2 P 2 Mz,p Mz,p 3P 2 3P 2 3P 2 P Mp e) 3P 2 Mz=0,333P 0,333P 1,167P 3P 2 Mz=0,333P 235 Hệ phương trình chính tắc: δ11X1 + δ12X2 + Δ1P = 0 δ21X1 + δ22X2 + Δ2P = 0 Các hệ số và số hạng tự do: δ11 = = EJ9 97 EJ2 1. 3 4. 3 2. 3 4.4. 2 1 3 4. 3 2. 3 4.2. 2 1 EJ5,0 2. 2 3. 3 2. 2 3.3. 2 1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ; δ22 = = EJ9 40 ; δ12 = = EJ27 42 ; Δ1P = = EJ3 P46 EJ5,0 2 2.2 5 .P2.11. 3 2 .P2.2. 2 1 −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− ; Δ2P = = 0; Hình 8.14 2m P A a) P 2m 2m 2m 2m 2m 2m 3m 3m B C D E F 2J 0,5J 0,5J P b) P P c) P X2 X1 M1 d) X1=1 2J 0,5J 3 2 4 3 M2 e) X2=1 1 2J 0,5J 4 3 o Mp f) P P 2P2P M2 M2 M1 M1 M1 M2 M1 Mp o 2M Mp o 236 Hệ phương trình chính tắc dạng số: Hình 8.15 Mp 1,6483P 0,5244P 0,2988P 0,246P 0,5106P 0,5106P 9 97 X1 + 27 42 X2 - 3 46 P = 0 27 42 X1 + 9 40 X2 - 0 = 0 Từ đó tìm được: X1 = 1,4984P, X2 = -0,5244P. Biểu đồ mô men uốn cuối cùng vẽ trên hình 8.15. 8.5.3. Tính hệ không gian siêu tĩnh theo phương pháp chuyển vị Tương tự như hệ phẳng, các ẩn số trong phương pháp chuyển vị là các chuyển vị góc xoay và chuyển vị thẳng của các nút khung. Mỗi nút khung không gian có thể có sáu chuyển vị: Ba chuyển vị góc xoay quanh ba trục tọa độ và ba chuyển vị thẳng hướng theo ba trục đó. Với các giả thiết như đã sử dụng trước đây, ta có số ẩn chuyển vị góc bằng ba lần số nút cứng trong hệ (vì mỗi nút cứng có ba ẩn góc xoay); còn số ẩn chuyển vị thẳng bằng số chuyển vị thẳng độc lập có trong hệ. Cũng giống như đối với hệ phẳng, để xác định số ẩn chuyển vị thẳng ta đưa hệ đã cho về hệ khớp bằng cách thay tất cả các nút cứng và liên kết ngàm bằng khớp rồi xét tính biến hình của hệ khớp đó. Số ẩn chuyển vị thẳng bằng số liên kết thanh chống đã thêm vào vừa đủ để cố định các nút của hệ khớp theo các phương. Hệ đã cho trên hình 8.16a có 12 ẩn chuyển vị góc và 4 ẩn chuyển vị thẳng. Hình 8.16 a) b) Hệ cơ bản là hệ các các nút đã hoàn toàn được cố định, lập được bằng cách đưa các liên kết ngàm chống xoay (theo ba trục) vào các nút cứng và đặt thêm các liên kết thanh chống ngăn chuyển vị thẳng của nút. Hệ cơ bản của khung đã cho được vẽ trên hình 8.16b. Trên hình 8.17. vẽ một số biểu đồ do tải trọng, do ẩn chuyển vị đơn vị tác dụng trên hệ cơ bản. Khi ẩn chuyển vị góc xoay tác dụng các thanh nối với nút đều biến dạng: Các thanh nằm trong mặt phẳng góc xoay bị uốn, còn các thanh khác vuông góc với mặt phẳng đó bị xoắn. Mô men xoắn do góc xoay đơn vị bằng: Mz = iEJ GJGJ xoanxoan =l ; i = l EJ 237 Hệ phương trình chính tắc có dạng như trước đây: ri1Z1 + ri2Z2 + ... + rinZn + RiP = 0 (i = 1, 2, ... n) Ý nghĩa phương trình, các hệ số và số hạng tự do vẫn như trong hệ phẳng. Giải hệ phương trình chính tắc tìm được các ẩn chuyển vị và mô men cuối cùng được xác định theo biểu thức cộng tác dụng: MP = 11 Z M + 22 Z M + ... + nn Z M + o PM l i1 l1 P h a) Pl1 8 Pl1 8 i2 2i1 z =1 b) Mz 4i1 2i2 4i2 Hình 8.17 238
File đính kèm:
giao_trinh_co_hoc_ket_cau_phan_2_ly_truong_thanh.pdf