Giáo trình Cơ học kết cấu (Phần 2) - Lý Trưởng Thành

ẳng của 
các thanh (mặt phẳng xoy). Tại liên kết có thể phát sinh các phản lực dọc theo trục thanh 
và một mô men nằm trong mặt phẳng của các thanh. 
8.1.7. Mối hàn (Hình 8.1g) 
Liên kết này khử toàn bộ các chuyển vị của vật thể, tức khử tất cả sáu bậc tự do. 
Trong liên kết này có thể phát sinh ba phản lực theo phương ba trục của hệ tọa độ và ba 
phản lực mô men trong ba mặt phẳng của hệ tọa độ đó. Mối hàn tương đương với sáu 
thanh. 
Trên đây là bảy loại liên kết cơ bản thường dùng. Ngoài ra còn có thể tổ hợp các liên 
kết thanh để được các liên kết loại khác, chẳng hạn như khớp tựa (Hình 8.1h) 
Trường hợp mối hàn hay khớp cầu đồng thời nối một số vật thể thì liên kết đó là liên 
kết phức tạp. Độ phức tạp của liên kết phức tạp bằng số vật thể được nối trừ đi một. 
8.2. CẤU TẠO HÌNH HỌC CỦA HỆ KHÔNG GIAN 
8.2.1. Cách nối hai vật thể thành một hệ bất biến hình 
Muốn nối hai vật thể thành một hệ bất biến hình cần phải dùng liên kết khử hết sáu 
bậc tự do của vật thể nọ đối với vật thể kia; do đó cần sử dụng số liên kết ít nhất phải tương 
đương với sáu thanh và sắp xếp hợp lý; nếu không hệ sẽ biến hình hoặc biến hình tức thời. 
Dưới đây là một số trường hợp sáu thanh sắp xếp không hợp lý cần tránh: 
226 
1. Sáu thanh cùng cắt một đường thẳng (đường ab Hình 8.2a): Đường thẳng đó là trục 
quay của vật thể nọ đối với vật thể kia, tức hệ bị biến hình hoặc biến hình tức thời. 
2- Số thanh đồng quy ở một điểm hoặc song song lớn hơn ba (Hình 8.2b): các thanh 
đồng quy (hoặc song song) chỉ khử được tối đa ba bậc tự do nên số thanh còn lại ít hơn ba 
không đủ để khử hết ba bậc tự do nữa, do đó hệ biến hình. 
b)
b 
a 
c)
a 
b 
a) 
b a 
Hình 8.2 
3- Ba thanh cùng trong một mặt phẳng và đồng quy ở một điểm (Hình 8.2c): Khi đó 
ba thanh này chỉ khử được hai bậc tự do, nên ba thanh còn lại không đủ để khử nốt bốn bậc 
tự do nữa, vì vậy hệ biến hình. 
8.2.2. Cách nối nhiều vật thể thành một hệ bất biến hình 
Trước hết thành lập điều kiện để nối V vật thể thành một hệ bất biến hình. Coi một 
trong số các vật thể là bất động thì đối với vật thể đó, hệ có 6(V - 1) bậc tự do cần khử. Gọi 
T là số liên kết thanh tương đương với số liên kết có trong hệ. Vậy điều kiện cần về số 
lượng liên kết để nối các vật thể với nhau thành một hệ bất biến hình như sau: 
 6(V - 1) ≤ T (8-1) 
Trường hợp hệ không gian nối đất bằng số liên kết tựa quy ra số liên kết thanh tương 
đương là C: 
 6V ≤ T + C (8-2) 
Nếu không đảm bảo điều kiện trên, tức thiếu liên kết, hệ sẽ biến hình. Trường hợp 
điều kiện cần đảm bảo với dấu “=”, hệ vừa đủ liên kết, nếu sắp xếp liên kết hợp lý để khử 
hết bậc tự do, sẽ bất biến hình, ta được hệ không gian tĩnh định. Còn ứng với dấu “<” là hệ 
thừa liên kết, nếu sắp xếp hợp lý thì hệ bất biến hình, ta được hệ không gian siêu tĩnh. 
Để nhận biết việc sắp xếp các liên kết có hợp lý hay không, với các hệ không gian đơn 
giản thường gặp, cũng tương tự như hệ phẳng, ta tìm cách đưa về trường hợp hai vật thể 
nối với nhau ở trên để xem xét hoặc phát triển dần từ một vật thể ra toàn hệ. 
227 
8.2.3. Cấu tạo hình học của dàn không gian 
Tương tự như trong dàn phẳng, do đặc điểm về cấu tạo chỉ gồm các thanh thẳng nối 
với nhau bởi các khớp cầu ở hai đầu nên đối với dàn không gian cũng có thể lập được công 
thức điều kiện cần đơn giản hơn nhiều. 
Giả sử trong hệ dàn có T thanh và M mắt. Đối với dàn không nối đất, ta quan niệm 
một tam giác khớp là vật thể bất động, như vậy trong hệ còn lại M - 3 mắt cần nối vào vật 
thể bất động và có T - 3 thanh để nối. Đối với dàn nối đất bằng C liên kết tựa tương đương 
liên kết thanh, coi trái đất là vật thể bất động, trong hệ có M mắt cần nối vào vật thể bất 
động và có T + C thanh để nối. Ta có điều kiện cần về liên kết như sau: 
 Đối với dàn tự do: 3M ≤ T + 6 (8 - 3) 
Hình 8.3
 Đối với dàn nối đất: 3M ≤ T + C (8 - 4) 
Ý nghĩa các dấu tương tự như trường hợp trên 
Dàn không gian thường gặp là loại dàn lưới 
(Hình 8.3), có các thanh dàn đều nằm trên các mặt 
phẳng biên của một đa diện kín và mỗi mặt là một hệ 
phẳng bất biến hình. Người ta chứng minh được rằng 
một đa diện lồi là bất biến hình khi tất cả các mặt biên 
của nó đều là hệ phẳng bất biến hình. 
8.3. XÁC ĐỊNH PHẢN LỰC VÀ NỘI LỰC TRONG HỆ KHÔNG GIAN TĨNH 
ĐỊNH 
8.3.1. Xác định phản lực 
Nếu một hệ bất biến hình nối cố định với đất bằng sáu thanh, thì có thể xác định phản 
lực từ hệ sáu phương trình cân bằng tĩnh học, thông thường hay dùng hai nhóm phương 
trình sau: 
1. Nhóm sáu phương trình gồm ba phương trình cân bằng hình chiếu và ba phương 
trình cân bằng mô men: 
 ΣX = 0; ΣY = 0; ΣZ = 0; 
 ΣM1 = 0; ΣM2 = 0; ΣM3 = 0. (8-5) 
Trong đó các trục X, Y, Z hay các trục lấy mô men 1, 2, 3, phải không được song song 
với nhau hoặc không được cùng nằm trong một mặt phẳng. 
2. Nhóm sáu phương trình cân bằng mô men: 
 ΣM1 = 0; ΣM2 = 0; ΣM3 = 0; 
 ΣM4 = 0; ΣM5 = 0; ΣM6 = 0. (8-6) 
228 
Trong đó các trục phải thỏa mãn các điều kiện sau: 
- Các trục không được cắt qua một đường thẳng. 
- Không được có quá ba trục song song với nhau 
- Nếu có ba trục cắt nhau tại một điểm thì ba trục còn lại không được song song với 
nhau. 
Nếu các điều kiện trên không được bảo đảm thì mặc dù các phương trình (8-5), (8-6) 
thỏa mãn nhưng vật thể vẫn không nằm trong trạng thái cân bằng. 
Ngoài hai nhóm phương trình cân bằng tĩnh học thường dùng nêu trên còn có thể có 
nhiều nhóm phương trình cân bằng khác. Cần chú ý đến việc chọn trục chiếu hoặc trục lấy 
mô men, cũng như thứ tự phương trình sao cho mỗi phương trình có ít ẩn phản lực nhất. 
Ví dụ 8-1: Xác định các phản lực của hệ cho trên hình 8.4 
Dùng các phương trình cân bằng với các thứ tự sau đây: 
 ΣY = -P + R4 = 0 → R4 = P 
 ΣMcd = P.4 -R6.12 = 0 → R6 = 
3
P 
 ΣX = R3 - R6 = 0 → R3 = R6 = 
3
P 
 ΣMbc = P.3 - R5.12 = 0 → R5 = 
4
P 
 ΣMcg = R1.4 - R6.3 = 0 → R1 = 
4
P 
 ΣZ = R1 + R5 - R2 = 0 → R2 = 
2
P 
8.3.2. Xác định nội lực 
Để xác định nội lực tại một tiết diện trong hệ không gian vẫn áp dụng nguyên lý mặt 
cắt. Nguyên tắc chung là dùng mặt cắt đi qua tiết diện cần tìm nội lực và chia kết cấu ra hai 
phần riêng biệt. Thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh đối với một phần kết cấu đã được 
tách ra, ta xác định được các nội lực cần tìm. Xét cân bằng một bộ phận trong không gian, 
ta lập được sáu phương trình cân bằng tĩnh, nên số nội lực chưa biết không được quá sáu. 
Vì vậy, trừ trường hợp đặc biệt, thông thường đối với khung, mặt cắt không được đi qua 
hai tiết diện, đối với dàn không được cắt quá sáu thanh. Riêng đối với dàn, nếu tách xét cân 
bằng phần dàn chỉ có một mắt (phương pháp tách mắt) thì với hệ lực đồng quy cân bằng 
chỉ lập được ba phương trình; Do đó thông thường tách mắt dàn không quá ba thanh. 
Tương tự đối với dàn phẳng, ta cũng có những nhận xét thường dùng từ phương pháp tách 
mắt đối với dàn không gian như sau: 
- Nếu tại mắt có ba thanh qui tụ và không có tải trọng tác dụng thì lực dọc trong cả ba 
thanh đều bằng không. 
3 
a 
b 
Hình 8.4
e 
h 
f 
g 
d 
c 
4 
12 
1 2 
3 
4 
5 
6 
P 
229 
- Nếu tại mặt cắt có n thanh qui tụ, trong đó có (n - 1) thanh 
nằm trong cùng một mặt phẳng thì lực dọc trong thanh còn lại 
bằng không khi tại mắt không có tải trọng tác dụng hoặc tải 
trọng nằm trong mặt phẳng của (n - 1) thanh kể trên. 
1 
Hình 8.5 
4m 
P 
3 
2 
4 
6 
5 
3m 
α 
Ví dụ 8-2: Xác định nội lực trong các thanh dàn trên hình 8.5. 
Sử dụng phương pháp tách mắt cùng các nhận xét và theo 
thứ tự sau: 
 Tách mắt 2, được: N23 = 0; 
 Tách mắt 3, được: N31 = N35 = N36 = 0 
 Tách mắt 1, được: N14 = N16 = 0; N12 = - P 
 Tách mắt 6, được: N24 = αsin
P ; N25 = - Pcotgα 
 Tách mắt 5, được: N54 = 0 
Ví dụ 8-3: Vẽ biểu đồ mô men uốn và xoắn của khung cho trên hình 8.6a. 
Hình 8.6
q=20kN/m 
A 
a) 
8m 
4m 4m 
P=50kN 
B 
C 
D 
b) 
400 480 
560 
160 
160 
M uốn 
c) 
M xoắn 
160 
560 
Thanh CD có mô men uốn trong mặt phẳng YOZ do q gây nên. Thanh CB có mô men 
uốn trong mặt phẳng XOZ do q gây nên. Thanh AB có mô men uốn trong mặt phẳng XOZ 
do q và trong mặt phẳng XOY do P. Biểu đồ mô men uốn của khung vẽ được trên 
hình 8.6b. 
Lực phân bố còn gây nên mô men xoắn trong các thanh BC, AB và biểu đồ vẽ được 
trên hình 8.6c. 
8.3.3. Tính dàn không gian bằng cách phân tích thành những dàn phẳng 
Nếu dàn không gian gồm nhiều dàn phẳng bất biến hình ghép lại thì ta có thể phân 
tích thành các dàn phẳng để tính riêng. Cơ sở lý luận của việc phân tích này là: Trong dàn 
không gian, nếu tải trọng chỉ tác dụng trong mặt phẳng của từng dàn phẳng bất biến hình 
riêng biệt mà cân bằng với nhau, hoặc cân bằng với các phản lực tựa của hệ thuộc trong 
mặt phẳng ấy, thì lực dọc chỉ phát sinh trong những thanh thuộc dàn phẳng đó, còn các 
thanh khác của dàn không gian không nằm trong mặt phẳng ấy sẽ có lực dọc bằng không. 
230 
 1 
2 
3 
4 
5 
6 
P1 
7 
8 
9 
10 
11 
12
P2 2 
P2 
2 
P2 
b) 
 a) 
Chẳng hạn xét dàn không gian cho trên hình 8.7a, ta nhận thấy chỉ có các thanh trong 
hai dàn thẳng đứng có nội lực khác không và được xác định bằng cách tính riêng từng dàn 
như trên hình 8.7b. 
Kết quả tính dàn trong ví dụ 8-2. cho thấy lực dọc chỉ 
sinh ra trong các thanh của dàn phẳng bất biến hình 1-2-4-5 
và kết quả hoàn toàn giống với kết quả khi tính riêng dàn 
phẳng ấy. 
Trường hợp tại mắt biên nối giữa các dàn phẳng có hệ 
lực tác dụng một cách bất kỳ thì ta có thể phân tích thành các 
thành phần nằm trong từng dàn phẳng một để sau đó sẽ tính 
cho từng dàn riêng biệt. Ví dụ lực P bất kỳ tại mắt 1 của dàn 
cho trên hình 8.8. được phân tích thành các lực P1, P2, P3. 
P1 chỉ gây ra các nội lực trong các thanh của dàn phẳng 
a-5-1-4-8-d. 
P2 gây ra nội lực trong các thanh của dàn phẳng a-5-1-2-6-b. 
P3 có phương trùng với giao tuyến của hai mặt dàn nên có thể tính trên sơ đồ của một 
trong hai dàn trên. Nội lực trong các thanh a-5 và 5-1 xuất hiện trong cả ba sơ đồ tính trên 
sẽ bằng tổng các kết quả riêng rẽ. 
8.4. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH KHÔNG GIAN 
Nguyên tắc xác định chuyển vị trong hệ thanh không gian cũng giống như hệ phẳng, 
chỉ khác là công thức tính phức tạp hơn do phải xét đến cả sáu thành phần nội lực: Mx, My, 
Mz, Qx, Qy, Nz (Hình 8.9). 
Tương tự cách chứng minh trong hệ thanh phẳng, công thức tính chuyển vị trong hệ 
thanh không gian có độ cong nhỏ, do tải trọng tác dụng như sau: 
Hình 8.7
2 
P2 
3 
1 
6 
4 
5 
8 
9 
10
7 
12 
11 
2 
P2 
2 
P2 P1 
Hình 8.8 
5 
1 
P2 
3 
4 
a 
c 
b 
d 
2 
P1 P3 
7 
8 
6 
231 
ΔkP = ∑∫s
0 x
xPxk EJ
ds
MM +∑∫s
0 y
yPyk EJ
ds
MM +∑∫s
0 xoan
zPzk GJ
ds
MM + 
 + ∑∫s
0
Pk EF
ds
NN + ∑∫μs
0
xPxkx GF
ds
QQ + ∑∫μs
0
yPyky GF
ds
QQ (8-7) 
Trong đó: GJxoắn độ cứng của tiết diện khi chịu xoắn. Với tiết 
diện vuông có Jxoắn ≈ 0,1426a4; Với tiết diện chữ nhật hẹp (a > b) 
có: Jxoắn ≈ )b63,0a(
a
b3 − ; Với tiết diện tròn Jxoắn =
2
r 4π ; Qx 
Hình 8.9 
x 
Qy 
Mx 
My Nz 
Mz 
y 
z Các tích phân trên có thể được tính bằng cách nhân biểu đồ 
Vêrêsaghin như trong hệ phẳng. Với dầm khung, tiết diện chủ yếu 
là uốn, thường bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc. 
Với hệ dàn, công thức tính chuyển vị vẫn như trước đây trong chương 4. 
Các định lý về công và chuyển vị đã rút ra trong hệ phẳng vẫn đúng cho hệ không 
gian. 
8.5. TÍNH HỆ KHÔNG GIAN SIÊU TĨNH 
Tính hệ không gian siêu tĩnh theo các phương pháp cơ bản - phương pháp lực và 
phương pháp chuyển vị, về nguyên tắc giống như khi tính hệ siêu tĩnh phẳng, nhưng phức 
tạp hơn do: 
- Số ẩn trong hệ không gian nhiều hơn. 
- Số nội lực trong các thanh nhiều hơn. 
8.5.1. Áp dụng nguyên lý chung của phương pháp lực 
Số ẩn của hệ bằng số liên kết “thừa” và được suy ra từ công thức (8-1). Để đơn giản ta 
thường áp dụng cách loại bỏ liên kết thừa để được hệ không gian tĩnh định, vừa đồng thời 
lập được hệ cơ bản. 
Hình 8.10 
a) b) Hệ cơ bản của hệ cho trên hình 8.10a, lập 
được bằng cách cắt qua bốn thanh ngang ta sẽ có 
bốn công sôn tĩnh định (Hình 8.10b). Tại mỗi tiết 
diện bị cắt xuất hiện sáu ẩn nội lực, như vậy số ẩn 
lực của toàn hệ là 6.4 = 24. 
Với hệ siêu tĩnh bậc n, tương tự trước đây, ta lập được hệ phương trình chính tắc: 
 δ11X1 + δ12X2 + ... + δ1kXk + ... + δ1nXn + Δ1P = 0 
 δ21X1 + δ22X2 + ... + δ2kXk + ... + δ2nXn + Δ2P = 0 
 ... 
 δn1X1 + δn2X2 + ... + δnkXk + ... + δnnXn + ΔnP = 0 
232 
Trong đó ý nghĩa của phương trình, của các hệ số và số hạng tự do vẫn như trong hệ 
phẳng. Hệ số và số hạng tự do được xác định theo công thức (8-7) 
δik = ∑∫s
0 x
xkxi EJ
ds
MM +∑∫s
0 y
ykyi EJ
ds
MM +∑∫s
0 xoan
zkzi GJ
ds
MM + 
 +∑∫s
0
ki EF
ds
NN + ∑∫μs
0
xkxix GF
ds
QQ + ∑∫μs
0
ykyiy GF
ds
QQ 
ΔiP = ∑∫s
0 x
o
xPxi EJ
ds
MM +∑∫s
0 y
o
yPyi EJ
ds
MM +∑∫s
0 xoan
o
zPzk GJ
ds
MM + 
 +∑∫s
0
o
Pi EF
ds
NN + ∑∫μs
0
o
xPxix GF
ds
QQ + ∑∫μs
0
o
yPyiy GF
ds
QQ 
Chúng còn có thể xác định qua cách nhân biểu đồ và bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt, 
lực dọc. Với dàn siêu tĩnh: 
 δik = ∑
j j
jkjij
EF
lNN
 ΔiP = ∑
j j
j
o
Pjij
EF
lNN
Sau khi giải hệ phương trình chính tắc tìm được các ẩn lực, nội lực cuối cùng trong hệ 
siêu tĩnh được xác định theo nguyên lý cộng tác dụng: 
 S = 1S X1 + 2S X2 + ... + nS Xn + 
o
PS
Ví dụ 8-4: Vẽ biểu đồ mô men uốn và xoắn của khung siêu tĩnh trên hình 8.11b. Biết 
xoanGJ
EJ =1, Jx = Jy = J. 
x 
a) P 
6m 
y 
z 
6m 
6m 
o 
b) P 
6P
Mx,p
M p
6 
c) 
X1=1
Mz,1 
Mx,1 
M1 
6 6 
Hình 8.11
6 
d) 
X2=1 
Mz,2 
My,2
M2 
6 
6 
My,2 
e) Mx=
Mp 
16
66P
P
Mz= 16
12P
16
18P
16
30P
233 
Hệ cơ bản và biểu đồ mô men do tải trọng vẽ trên hình 8.11b. Các biểu đồ mô men 
đơn vị vẽ trên hình 8.11c,d.Các hệ số và số hạng tự do xác định theo cách nhân biểu đồ: 
 δ11 = = 
EJ
360
GJ
6.6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
xoanxx
=++ M1 M1
 δ22 = = 
EJ
360
GJ
6.6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
EJ
1
.6.
3
2
.
2
6.6
xoanyy
=++ M2 M2
 δ12 = = 
EJ
216
GJ
6.6.6
xoan
= M1 M2 
 Δ1P = = 
EJ
P72
EJ
6
.
3
2
.
2
P.6.6 −=− ; 
 Δ2P = = 0; 
Hệ phương tình chính tắc: 
 360X1 + 216X2 - 72P = 0; 
 216X1 + 360X2 + 0 = 0; 
Từ đó tìm được: X1 = P
16
5 ; X2 = P
16
3− ; 
Áp dụng biểu thức (8-13) có biểu đồ mô men trên hệ siêu tĩnh (Hình 8.11e). Kiểm tra 
biểu đồ cuối cùng: 
 = 0
GJ
6
.6.
16
P12
EJ
6
.
3
2
.
2
6
.
16
P66
EJ
6
.
3
2
.
2
6
.
P30 
16 xoan
=+−
8.5.2. Tính khung siêu tĩnh phẳng chịu lực không gian 
Trong trường hợp khung siêu tĩnh phẳng (Hình 8.12), các ẩn lực trong mặt phẳng của 
hệ (X1, X2, X3) chỉ gây ra các chuyển vị trong mặt phẳng đó, mà không gây ra các chuyển 
vị theo phương các ẩn còn lại (theo X4, X5, X6). Hệ phương trình chính tắc luôn luôn tách 
thành hai nhóm độc lập: Nhóm thứ nhất gồm ba phương trình với ba ẩn lực nằm trong mặt 
phẳng của hệ (X1, X2, X3), và nhóm thứ hai gồm ba phương trình với ba ẩn lực còn lại (X4, 
X5, X6). Như vậy việc giải sáu phương trình sáu ẩn số là đơn giản đi rất nhiều. 
Mặt khác, nếu ta cũng phân tích tải trọng đã cho thành tải trọng tác dụng trong mặt 
phẳng của hệ (Png trong hình 8.12a) và tải trọng thẳng góc với hệ (Pđ trong hình 8.12b) thì 
M1 Mp o 
M2 Mp o 
M1 Mp 
a) 
Hình 8
Pngang
x 
.12
y 
z 
X1 X1 
X2 X2 
X3 
X3 
Pđứng X4
b) 
X4
X5
X6
X6
X5
234 
khối lượng tính số hạng tự do cũng giảm đi đáng kể. Tải trọng nằm trong mặt phẳng của hệ 
chỉ gây nên những ẩn lực trong mặt phẳng của hệ (X1, X2, X3), còn tải trọng vuông góc chỉ 
gây nên các ẩn còn lại (X4, X5, X6). 
Ví dụ 8-5: Vẽ biểu đồ mô men uốn của khung cho trên hình 8.13a, biết tiết diện của 
thanh hình tròn có 
G
E = 2,5; 
J
Jxoan = 2. 
Hệ cơ bản vẽ trên hình 8.13b. Từ tính chất đối xứng, khung siêu tĩnh chỉ có một ẩn lực 
X1 (mô men uốn tại tiết diện bị cắt). Biểu đồ do X1 và do tải trọng vẽ trên hình 8.13c,d. 
Phương trình chính tắc: δ11X1 + Δ1P = 0 
Hệ số δ11 và số hạng tự do Δ1P xác định được: 
 δ11 = = 
EJ
5,13
2.
J.2.G
1.3.1
EJ
1.3.1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + M1 M1
 Δ1P = = 
EJ
P75,15
2.
J.2.G
1
.3.
2
P3
EJ
1
.
2
3
.
2
P3 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− M1 Mp o 
Từ phương trình: 13,5X1 - 15,75P = 0, tìm được X1 = 1,167P. Biểu đồ mô men uốn 
cuối cùng vẽ trên hình 8.13e. 
Ví dụ 8-6: Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ dầm trực giao cho trên hình 8.14a. 
Hệ dầm trực giao có thể đưa về sơ đồ tính đơn giản như trên hình 8.14b. Do đó hệ cơ 
bản lập được trên hình 8.14c, đều gồm các dầm đơn giản chịu các lực tác dụng trong mặt 
phẳng của từng dầm. Các biểu đồ đơn vị và biểu đồ do tải trọng vẽ trên hình 8.14e, f. 
Hình 8.13
a) 
x 
y 
z 
P J 
6m 
3m 3m 
3m 
J 
J 
X1 
b) 
2 P 2 P 
X1 Mx,1
1 
Mz,1 c) 
M1 
X1=1
1 
Mx,p 
Mp o 
d) 
P 
2 
P 
2 
Mz,p 
Mz,p
3P 
2 
3P
2 
3P
2 
P 
Mp 
e) 3P 
2 
Mz=0,333P 
0,333P
1,167P
3P
2 
Mz=0,333P
235 
Hệ phương trình chính tắc: 
 δ11X1 + δ12X2 + Δ1P = 0 
 δ21X1 + δ22X2 + Δ2P = 0 
Các hệ số và số hạng tự do: 
 δ11 = = EJ9
97
EJ2
1.
3
4.
3
2.
3
4.4.
2
1
3
4.
3
2.
3
4.2.
2
1
EJ5,0
2.
2
3.
3
2.
2
3.3.
2
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ; 
 δ22 = = 
EJ9
40 ; 
 δ12 = =
EJ27
42 ; 
 Δ1P = = 
EJ3
P46
EJ5,0
2
2.2
5
.P2.11.
3
2
.P2.2.
2
1 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− ; 
 Δ2P = = 0; 
 Hình 8.14
2m 
P 
A 
a) 
P 2m 
2m 
2m 
2m 
2m 
2m 
3m 3m 
B 
C D 
E F 
2J
0,5J 
0,5J 
P 
b) 
P 
P 
c) 
P 
X2 
X1 
M1 
d) 
X1=1
2J
0,5J
3
2
4
3
M2 
e) X2=1 
1 
2J
0,5J 
4 
3 
o Mp 
f) 
P P 
2P2P
M2 M2 
M1 M1 
M1 M2
M1 Mp o 
2M Mp o 
236 
Hệ phương trình chính tắc dạng số: 
Hình 8.15
Mp 
1,6483P 
0,5244P 
0,2988P 
0,246P 
0,5106P 0,5106P
9
97 X1 + 
27
42 X2 - 
3
46 P = 0 
27
42 X1 + 
9
40 X2 - 0 = 0 
Từ đó tìm được: X1 = 1,4984P, 
 X2 = -0,5244P. 
Biểu đồ mô men uốn cuối cùng vẽ trên hình 8.15. 
8.5.3. Tính hệ không gian siêu tĩnh theo phương pháp chuyển vị 
Tương tự như hệ phẳng, các ẩn số trong phương pháp chuyển vị là các chuyển vị góc 
xoay và chuyển vị thẳng của các nút khung. Mỗi nút khung không gian có thể có sáu 
chuyển vị: Ba chuyển vị góc xoay quanh ba trục tọa độ và ba chuyển vị thẳng hướng theo 
ba trục đó. 
Với các giả thiết như đã sử dụng trước đây, ta có số ẩn chuyển vị góc bằng ba lần số 
nút cứng trong hệ (vì mỗi nút cứng có ba ẩn góc xoay); còn số ẩn chuyển vị thẳng bằng số 
chuyển vị thẳng độc lập có trong hệ. Cũng giống như đối với hệ phẳng, để xác định số ẩn 
chuyển vị thẳng ta đưa hệ đã cho về hệ khớp bằng cách thay tất cả các nút cứng và liên kết 
ngàm bằng khớp rồi xét tính biến hình của hệ khớp đó. Số ẩn chuyển vị thẳng bằng số liên 
kết thanh chống đã thêm vào vừa đủ để cố định các nút của hệ khớp theo các phương. Hệ 
đã cho trên hình 8.16a có 12 ẩn chuyển vị góc và 4 ẩn chuyển vị thẳng. 
Hình 8.16
a) b) 
Hệ cơ bản là hệ các các nút đã hoàn toàn được cố định, lập được bằng cách đưa các 
liên kết ngàm chống xoay (theo ba trục) vào các nút cứng và đặt thêm các liên kết thanh 
chống ngăn chuyển vị thẳng của nút. Hệ cơ bản của khung đã cho được vẽ trên hình 8.16b. 
Trên hình 8.17. vẽ một số biểu đồ do tải trọng, do ẩn chuyển vị đơn vị tác dụng trên hệ 
cơ bản. Khi ẩn chuyển vị góc xoay tác dụng các thanh nối với nút đều biến dạng: Các 
thanh nằm trong mặt phẳng góc xoay bị uốn, còn các thanh khác vuông góc với mặt phẳng 
đó bị xoắn. Mô men xoắn do góc xoay đơn vị bằng: 
 Mz = iEJ
GJGJ xoanxoan =l ; i = l
EJ 
237 
Hệ phương trình chính tắc có dạng như trước đây: 
 ri1Z1 + ri2Z2 + ... + rinZn + RiP = 0 (i = 1, 2, ... n) 
Ý nghĩa phương trình, các hệ số và số hạng tự do vẫn như trong hệ phẳng. 
Giải hệ phương trình chính tắc tìm được các ẩn chuyển vị và mô men cuối cùng được 
xác định theo biểu thức cộng tác dụng: 
 MP = 11 Z M + 22 Z M + ... + nn Z M + 
o
PM 
l 
i1 
l1 
P h 
a) 
Pl1 
8 
Pl1
8 
i2 
2i1 
z =1
b)
Mz 
4i1
2i2
4i2
Hình 8.17
238