Giáo trình Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn (Phần 1)

rình bậc hai một ẩn 
 2.1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai 2( ) ; 0f x ax bx c a= + + ≠ 
 Định lý. Cho tam thức bậc hai ( ) 2f x ax bx c= + + 
 + Nếu 0<∆ thì ( )xf cùng dấu với hệ số a với mọi ;x ∈ℝ 
 + Nếu 0=∆ thì ( )xf cùng dấu với hệ số a với mọi ;
2
b
x
a
≠ − 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 101 
 + Nếu 0>∆ thì ( )xf có hai nghiệm phân biệt 1 2, ,x x ( )1 2 .x x< 
Khi đó ( )xf trái dấu với hệ số a nếu x nằm trong khoảng 1 2( ; ),x x ( )xf cùng dấu với hệ số 
a nếu x nằm ngoài đoạn [ ]1 2; .x x 
Chứng minh. 
Ta có 
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
( ) ( )
( )
4 4
4
2 4
2 4
b cf x ax bx c a x x
a a
b b c b
a x x
a a a a
b b ac
a x
a a
b
a x
a a
= + + = + +
= + + + −
 
− 
= + −  
   
 ∆ 
= + −  
   
· Trường hợp 1: 0.∆ < Khi đó 
2
2 0,2 4
b
x
a a
∆ 
+ − > 
 
do đó nếu 0a > thì ( ) 0f x > và ngược lại 0a < thì ( ) 0.f x < Hay nói 
cách khác tam thức ( )f x luôn luôn cùng dấu với hệ số a với mọi .x ∈ℝ 
· Trường hợp 2: 0.∆ = Khi đó 
2
( )
2
bf x a x
a
 
= + 
 
luôn luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \ .
2
b
x
a
 
∈ − 
 
ℝ 
· Trường hợp 3: 0.∆ > Khi đó tam thức ( )xf có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x và ( )xf được 
viết dưới dạng 
1 2( ) ( )( ),f x a x x x x= − − giả sử 1 2.x x< 
Lập bảng xét dấu biểu thức 1 2( )( )x x x x− − ta được 
1
1 2
2
1 2 1 2
( )( ) 0
( )( ) 0 .
x x
x x x x
x x
x x x x x x x
<
− − > ⇔ 
 >
− − < ⇔ < <
Suy ra ( )xf trái với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng 1 2( ; ),x x ( )xf cùng dấu với hệ số 
a với mọi x nằm ngoài đoạn [ ]1 2; .x x 
 2.2. Bất phương trình bậc hai một ẩn 
 Định nghĩa. Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng 02 >++ cbxax 
(hoặc 0;0;0 222 ≤++<++≥++ cbxaxcbxaxcbxax ). Với , ,a b c ∈ℝ và 0.a ≠ 
Cách giải. 
 102
Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai. 
Chú ý. Cũng như trường hợp bất phương trình bậc nhất, ta cũng giải được các bất phương trình 
dạng 
( )
0
( )
P x
Q x
> ; 
( )
0
( )
P x
Q x
< ; 
( )
0
( )
P x
Q x
≥
 ; ≤
( )
0.
( )
P x
Q x
Trong đó ( ) ( ); P x Q x là tích các tam thức bậc hai. 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình 
2
107
27162
2
2
≤
+−
+−
xx
xx
Giải. 
 Bất phương trình đã cho tương đương với 
( )
2
2
2 2
2
2
2 16 27
 2 0
7 10
2 16 27 2 7 10
0
7 10
2 7 0
7 10
x x
x x
x x x x
x x
x
x x
− +
− ≤
− +
− + − − +
⇔ ≤
− +
− +
⇔ ≤
− +
 Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình ta được nghiệm của bất phương trình đã cho 
là 
( )72; 5; .
2
x
 
∈ ∪ +∞  
Ví dụ 2. Giải và biện luận bất phương trình 
( ) ( ) ( )21 2 1 3 3 0f x m x m x m= + − − + − ≥ (1) 
Giải. 
+ Trường hợp 1: 1−=m 
3(1) 4 6 0
2
x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ 
+ Trường hợp 2: 1−≠m 
( ) ( )( ) ( )( )21 1 3 3 2 1 2m m m m m′∆ = − − + − = − − − 
Lập bảng xét dấu hệ số a và biệt số ′∆ 
m
1= +a m
' ( 1)( 2)∆ = − − −m m
−∞ +∞2− 1− 1
0
0 0
−−
− −+ +
+ +
a) 2−<m , khi đó 



<∆
<
0'
0a
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 103 
Suy ra ( ) 0, .f x x< ∀ ∈ℝ 
Như vậy (1) vô nghiệm. 
b/ 2−=m , khi đó 



=∆
<
0'
0a
 nghiệm của (1) là 3.x = 
c/ 12 −<<− m , khi đó 



>∆
<
0'
0a
Suy ra ( )xf có hai nghiệm phân biệt 
1
'1
1
'1
2
1
+
∆+−
=
+
∆−−
=
m
m
x
m
m
x
Trường hợp này 0<a nên 1 2.x x< 
Nghiệm của (1) là 2 1.x x x≤ ≤ 
d) 1 1m− < < . Khi đó 
,
0
0
a >
∆ >
, 1 2.x x< 
Nghiệm của (1) là 1 2.x x x x≤ ∨ ≥ 
e) 1.m≥ Khi đó 
,
0
0
a >
∆ ≤
 suy ra ( ) 0, ,f x x≥ ∀ ∈ℝ nghiệm của (1) là .x∀ ∈ℝ 
Kết luận. 
· 
31:
2
m x= − ≥ 
· 2:m<− vô nghiệm 
· 2: 3m x=− = 
· 2 12 1:m x x x− < < − ≤ ≤ 
· 1 21 1:m x x x x− < < ≤ ∨ ≥ 
· 1: .m x≥ ∀ ∈ℝ 
Ví dụ 3. Tìm m đế 2( ) 4 0, .f x mx x m x= + + > ∀ ∈ℝ 
Giải. 
Xét 0m = , khi đó ( ) 4 0 0,f x x x= > ⇔ > Do đó 0,m= không chấp nhận được. 
Xét 0m ≠ , 
, 2
0 0( ) 0 2
2 24 0
a m mf x x R m
m mm
= > > 
> ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔ > 
∆ = − < 
 Vậy, giá trị m cần tìm là 2.m> 
 104
2.3. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai 
 Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì chỉ trong trường hợp ( )f x có nghiệm 1 2,x x 
thì 2 1( )< 0 và ,af x x x x< < do đó ta có định lý đảo của định lý về dấu của tam thức bậc hai như 
sau. 
Định lý. Cho tam thức bậc hai 2( ) ,f x ax bx c= + + nếu tồn tại số thựcα sao cho ( ) < 0af α thì 
( )f x có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2, ( ) àx x x x v< α nằm trong khoảng 1 2( ; ).x x 
Từ định lý đảo về dấu của tam thức ( )f x ta có phép so sánh nghiệm của ( )f x với một số α 
như sau. 
+ Nếu ( ) 0f =α thì α là nghiệm của ( );f x 
+ Nếu ( ) < 0 thìaf α α nằm giữa hai nghiệm 1 2,x x của ( );f x 
+ Nếu ( ) > 0 và ( )af f xα có hai nghiệm 1 2,x x thìα nằm ngoài đoạn [ ]1 2;x x và hơn nữa 
· 1 2x xα < < nếu ;2
s
α> 
· 1 2x x α< < nếu .2
s
α< 
Hệ quả. Điều kiện để tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + có hai nghiệm, trong đó có một 
nghiệm nằm trong khoảng ( ; ),α β còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [ ; ]α β là ( ). ( ) 0.f fα β < 
Chứng minh. 
Thật vậy, theo giả thiết ta có ( ). ( ) 0f fα β < suy ra 2 ( ) ( ) 0a f fα β < 
hay 
1 2
1 2
( ) 0
( ) 0
[ ( )][ ( )] 0
( ) 0
( ) 0
af
af x x
af af
x xaf
af
 α >

 β < α < < β < 
α β < ⇔ ⇔ 
  < α < < βα < 
 β >
 Vậy, ta có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 1. Cho , ,a b c là ba số dương phân biệt. Chứng minh phương trình 
( )( ) ( )( ) ( ( ) 0a x b x c b x a x c c x b x a− − + − − + − − = 
có hai nghiệm phân biệt. 
 Giải. 
Không mất tính tổng quát, giả sử a b c< < và đặt 
( )f x = ( )( ( )( ) ( ( )a x b x c b x a x c c x b x a− − + − − + − − 
Ta có ( ) ( )( ) 0f b b b a b c= − − 
 Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 2. Cho phương trình 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 105 
2 26 (2 2 9 ) 0 (1)x mx m m− + − + = . 
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa điều kiện 
a) 1 24 ;x x< < 
b) 1 23 .x x< ≤ 
Giải. 
Đặt ( )f x = 2 26 (2 2 9 )x mx m m− + − + 
a) 21 2
13 17 13 174 (4) < 0 9 26 18 0
9 9
x x af m m m− +< < ⇔ ⇔ − + < ⇔ < < 
b) 
,
2
1 2
2 2 0
113 (3) =9 20 11 0 .
9
3 3 3
2
m
x x af m m m
s
m

∆ = − ≥

 ⇔ >

 − = −

Ví dụ 3. Cho hai phương trình 
2
2
( ) 3 2 0 (1)
( ) 6 5 0 (2)
f x x x m
g x x x m
= + + =
= + + =
Tìm m để mỗi phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm của phương trình 
(1) và (2) xen kẽ nhau. 
Giải. 
Giả sử 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình (1), khi đó 
1 2
9 8 0
( ) ( ) 0
f m
ycbt
g x g x
∆ = − >
⇔ 
<
( ) ( )
( )
1 1 2 2
9 8 0
( ) 3 ( ) 3 0
9 8 0
0 1.
9 1 0
m
f x x m f x x m
m
m
m m
− >
⇔ 
   + + + + <   
− >
⇔ ⇔ < <
− <
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình 
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 0f x ab x a x b bc x b x c ca x c x a= − − + − − + − − = 
có nghiệm với mọi , , .a b c ∈ℝ 
Giải. 
Ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 0f a f b f c a b c a b b c c a= − − − − ≤ . 
 106
Như vậy, trong ba giá trị ( ), ( ), ( )f a f b f c chắc chắn phải có một giá trị không dương, chẳng 
hạn ( ) 0.f a ≤ 
Mặt khác, ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 0 0 0.f a b b c c a f f a= + + ≥ ⇒ ≤ Mà ( )y f x= là hàm số liên 
tục trên toàn trục số nên chắc chắn phương trình ( ) 0y f x= = có nghiệm [ ]0 0; .x a∈ 
Ví dụ 5. Tìm a để phương trình 
( ) 2 21 1 3 0a tg x a
cosx
− − + + = (1) 
 có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng 0, .
2
pi 
 
 
Giải. 
( ) 21 2(1) 1 4 0.a acos x cosx⇔ − − + = Đặt 
1
,t
cosx
= do (0; )
2
x
pi
∈ nên 1.t > 
 Yêu cầu bài toán được thỏa khi và chỉ khi phương trình 
( ) ( ) 21 2 4 0f t a t t a= − − + = 
có hai nghiệm 1 2,t t thỏa mãn điều kiện 1 21 t t< < 
( ) ( )
10 1
31 1 0
1
.
21
2
a
a f
aS

 ′∆ > < < 
⇔ − > ⇔ 
  ≠
 <

Ví dụ 6. So sánh nghiệm của phương trình 
2( ) ( 2) 2( 1) 5 0f x m x m x m= − − + + − = (1) 
với 1.− 
Giải. 
· Khi 2,m = (1) trở thành 16 3 0 1.
2
x x− − = ⇔ = − > − 
· Khi 2,m ≠ Ta có 
2( 1) ( 2)( 5) 9 9m m m m′∆ = + − − − = − 
( 1) ( 2)(4 5)af m m− = − − 
1 2 11 1 .
2 2 2
S m m
m m
+ −
+ = + =
− −
Lập bảng xét dấu , ( 1), 1
2
S
af′∆ − + và dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, ta có 
bảng tổng hợp sau. 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 107 
m '∆ ( )1af − 12
S
+
1
2
−∞
1
5
4
2
+∞
−
−
−
−
−
−
+
+
+ +
+
+
+ +
+
0
0
0
0
1 2 2 1x x= = − < −
1 2 1x x< < −
1 25 1x x= − < = −
1 21x x< − <
1 1
2
x = − > −
1 21 x x− < <
Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì bất phương trình 4 4 0mx x m− + ≥ nghiệm đúng với mọi 
?x ∈ℝ 
Giải. 
Ta có 
4 4 0mx x m− + ≥ đúng với mọi x ∈ℝ khi và chỉ khi 4
4
1
x
m
x
≥
+
 đúng với mọi .x ∈ℝ 
Đặt ( ) 44 1
xf x
x
=
+
. 
Như vậy, 4
4
1
x
m
x
≥
+
 đúng với mọi x ∈ℝ khi và chỉ khi ( ) .Maxf x m≤ Ta có 
 ( ) ( )( )
4
24
4 1 3
'
1
xf x
x
−
=
+
, ( ) 4
4
1
3
' 0
1
3
x
f x
x

=
= ⇔

= −

Bảng biến thiên 
x
'( )f x
( )f x
−∞ +∞4
1
3
−
4
1
3
0 0− −+
0
04 27−
4 27
Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận được 4( ) 27Maxf x = (khi 
4
1
3
x = ). 
 Vậy, 4 27m≥ là giá trị cần tìm thỏa đề bài. 
Ví dụ 8. Cho bất phương trình 
 108
4 4 21sin cos cos 2 sin 2 0
4
x x x x a+ − + + ≤ (1). 
Với giá trị nào của a thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi ?x ∈ℝ 
Giải. 
Ta có ( ) 2 21 11 1 sin 2 cos 2 sin 2
2 4
x x x a⇔ − − + ≤ − 
( )2
2
1 1 cos 2 cos 2 1
4
cos 2 4cos 2 3 4 . (2)
x x a
x x a
⇔ − − − + ≤ −
⇔ − + ≤ −
Đặt t = cos2 x , với x ∈ℝ thì 1 1t− ≤ ≤ . Bất phương trình (2) trở thành 
2 24 3 4 4 4 3t t a a t t− + ≤ − ⇔ ≤ − + − (3) 
Xét hàm số 2( ) 4 3f t t t= − + − trên đoạn [ − 1; 1], ta có (1) đúng với x∀ ∈ℝ khi và chỉ khi (3) 
đúng với [ 1;1],t∀ ∈ − khi và chỉ khi 
[ 1;1]
( ) 4 .
t
Minf t a
∈ −
≥ 
( )
( ) [ ]
' 2 4.
' 0 2 1; 1 .
f t t
f t t
= − +
= ⇔ = ∉ −
( 1) 8; (1) 0f f− = − = 
nên [ ]1 ; 1 ( ) 8.t Min f t∈ − = − Vậy ta có 4 8 2.a a≥ − ⇔ ≥ − 
Giá trị cần tìm là 2.a ≥ − 
Ví dụ 9. Tìm p để phương trình 
2
2
2 4 2
4 2 1 0
1 2 1
x px p
x x x
+ + − =
+ + +
có nghiệm. 
Giải. Đặt [ ]22 1;11
x
t ycbt
x
= ∈ − ⇒ ⇔
+
 tìm p để ( ) 2 21 0f t t pt p= + + − = có nghiệm thuộc 
[ ]1;1 .− 
( )
( )
) 1 0 1; 2
) 1 0 1;2
a f p
b f p
− = ⇒ = −
= ⇒ = −
( ) ( ) 2 1) 1 1 0
1 2
p
c f f
p
− < < −
− < ⇔  < <
d) Cả hai nghiệm thuộc ( ) ( ) ( )
20 1
51;1 1 0, 1 0 .
2 1
1 1 5
2
p
f f
pS

∆ ≥
− < ≤ −

− ⇔ > − > ⇔
 ≤ <
− < < 

VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 109 
 Vậy, các giá trị cần tìm là 2 1.
5
p≤ <
Ví dụ 10. Tìm a để phương trình 
( ) ( )21 8 1 6 0a x a x a+ − + + = 
có đúng một nghiệm thuộc ( )0;1 . 
Giải. 
· Xét 1 0,a + = phương trình trở thành ( )67 6 0 0;1 1
7
x x a− = ⇔ = ∈ ⇒ = − (nhận). 
· Xét 1 0,a + ≠ để ý rằng ( ) ( ) 20 1 6 0.f f a= − ≤ Do đó 
Nếu 0,a = phương trình trở thành 2 0x x− = có nghiệm 0, 1x x= = (loại). 
Nếu ( ) ( )0 0 1 0a f f≠ ⇒ < ⇒ phương trình có nghiệm thuộc ( )0;1 . 
 Vậy, giá trị cần tìm là 0.a ≠ 
Ví dụ 11. Cho phương trình 
2 2( ) 2 2( 1) 4 3 0f x x m x m m= + + + + + = (1) 
1) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1; 
2) Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 2 1 2| 2( ) | .A x x x x= − + 
Giải. 
1) Yêu cầu bài toán được thỏa khi và chỉ khi 
2
(1) 0
6 7 0
0
5 1
(1) 0
3 2
11
2 2
3 2 3 2
5 3 2
5 3 2.
f
m m
m
f
m
S m
m
m
m
≤

  + + ≤
  ′∆ ≥
 
− ≤ ≤ −⇔   ≥   < − − + < = −

− − ≤ ≤ − +
⇔

− ≤ < − −
⇔ − ≤ ≤ − +
2) Vì 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Viet ta có 
2
1 2 1 2
1( 1); . ( 4 3).
2
x x m x x m m+ = − + = + + Do đó ta có 
 110
( )
( 5 1)
2 2
2
1 1 1| 8 7 | | ( 1)( 7) | ( 8 7)
2 2 2
1 99 4 .
2 2
m
A m m m m m m
m
− ≤ ≤−
= + + = + + = − − −
 = − + ≤
 
 Vậy, 9 ,
2
MaxA = đạt được khi 4.m = 
Ví dụ 12. Cho hệ bất phương trình 
( )
( )
2
2
2 0 1
4 6 0 2
x x a
x x a
 + + ≤

− − ≤
1) Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm; 
2) Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất. 
Giải. 
1) Ta có 
( ) ( )
( )
1 2
3 4
1 1 1 1 1 1 .
22 2 6 4 2 6 4 .
3
x a x a x a
x a x a x a
⇔ = − − − ≤ ≤ − + − = ≤ −
 
⇔ = − + ≤ ≤ + + = ≥ − 
 
Với 2 1
3
a− ≤ ≤ ta tìm a để [ ] [ ] ( )1 2 3 4; ; * .x x x x∩ ≠ ∅ 
Vì 1 4x x< nên 
( )
( )( )
3 2* 1 6 4 3
2 1 4 6 4 5
x x a a
a a a
⇔ ≤ ⇔ − + + ≥
⇔ − + ≥ −
2
4 1
5
2 4 0 1.
3 5
49 48 0
a
a
a
a a

< ≤

⇔ ⇔ ≤ ≤
− ≤ ≤

− ≤
2) Các khả năng để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất là 
1 2 1 0 1x x a′= ⇒ ∆ = ⇒ = thoả mãn. 
3 4 2
20
3
x x a′= ⇒ ∆ = ⇒ = − (loại). 
2 3 0.x x a= ⇒ = 
 Vậy, giá trị cần tìm để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
0
1.
a
a
=

=
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 111 
BÀI TẬP CHƯƠNG III 
Bài 1. 1) Chứng minh rằng với mọi , ,a b c ta có 
 a) 2 2 1 ;a b ab a b+ + ≥ + + Đẳng thức xảy ra khi nào? 
 b) ( )2 2 4 2 ;a b ab a b+ + ≥ + + Đẳng thức xảy ra khi nào? 
 c) 
2
2 2 2 .
4
a b c ab ac bc+ + ≥ − + Đẳng thức xảy ra khi nào? 
 2) Cho , ,x y z là các số dương. Chứng minh rằng 
( )2 2 2 2 2 2 3 .x xy y y yz z z zx x x y z+ + + + + + + + ≥ + + 
 3) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )( )31 1 1 9.a b b c c aa b c
a b c abc
− − − 
+ + + + + ≥ 
 
 4) Cho 0, 0.x y≥ ≥ Chứng minh rằng 
( )2 2 2 .
2
x y
x y x y y x++ + ≥ + 
Bài 2. Chứng minh rằng 
 1) 1 1 12 , ( , , 0);a b c a b c
bc ca ab a b c
 
+ + ≥ + − > 
 
 2) 1 2, ( , , , 0).a b c d a b c d
a b c b c d c d a d a b
+ + + + + + + +
 3) 1 2a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
, ( , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác). 
Bài 3. 1) Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
) ( )( 1) 4 ( , 0);
) ( )( )( ) 8 ( , , 0);
) (1 ) (1 ) (1 ) 6 .
a a b ab ab a b
b a b b c c a abc a b c
c a b b c c a abc
+ + ≥ >
+ + + ≥ >
+ + + + + ≥
 2) Cho 0, 0, 0.a b c> > > Chứng minh rằng 
2 2 2
.
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài 4. 1) Cho , , ,u v x y thỏa 2 2 2 2 1u v x y+ = + = . Chứng minh rằng 
 a) 1;ux vy+ ≤ 
 b) ( ) ( ) 2u x y v x y+ + − ≤ . 
 2) Cho 0, 0, 0x y z> > > và 1.xyz = Chứng minh rằng 
 112
2 2 2 3
.
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
 3) Cho 0, 0, 0a b c> > > và 1.a b c+ + = Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 1 1 30.
a b c ab bc ca
+ + + ≥
+ +
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
Bài 5. 1) Cho 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2( ) ( ) (2 1) , .x ax b x cx d x x+ + + + + ≤ + ∀ ∈ℝ 
 2) Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện .ab bc ca abc+ + = Chứng minh 
rằng 
( )2
1 1 1 3
.
2 3 2 3 3 2 1 2 3a b c a b c a b c
+ + <
+ + + + + + + +
Bài 6. 1) Chứng minh 2 2 2 22 2
1 1 25(sin ) (cos ) .
sin cos 2
x x
x x
+ + + ≥ Khi nào đẳng thức xảy ra? 
 2) Cho , 0x y > và thỏa 2 2 1.x y+ = Chứng minh rằng 
( ) ( )1 11 1 1 1 4 3 2.x y
y x
   
+ + + + + ≥ +   
  
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
Bài 7. 1) Chứng minh rằng với mọi ; 0, , , ,
2
x x x k x k kpi∈ ≠ ≠ + pi ≠ pi ∈ℝ ℤ ta luôn có 
2 2
2 2 2
1 tan cot1 1 1 .x x
x x x
   
+ ≤ + +   
   
 Khi nào đẳng thức xảy ra? 
 2) Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện .ab bc ca abc+ + = 
Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 22 2 2 3.b a c b a c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥ 
Khi nào đẳng thức xảy ra? 
 3) Cho , , 0x y z > và thỏa 1.x y z+ + ≤ Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 82.x y z
x y z
+ + + + + ≥ 
 4) Cho , , 0x y z > và thỏa 1.xyz = Chứng minh rằng 
3 3 3 3 3 31 1 1 3 3.x y y z z x
xy yz zx
+ + + + + +
+ + ≥ 
Khi nào đẳng thức xảy ra? 
Bài 8. 1) Chứng minh rằng với mọi ,x y thì 
2 2 2(1 sin ) 2 (sin cos ) 1 os 0x y x y y c y+ + + + + > . 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 113 
 2) Cho 0.a b≥ > Chứng minh rằng 
1 12 2 .
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +   
   
 3) Chứng minh: 2sin tan 3 0x x x+ − > , với 0 .
2
x
pi
< < 
 4) Chứng minh: 
3
sin ,
6
x
x x x− 
Bài 9. 1) Cho , ,a b c là các số không âm. Chứng minh rằng 
2 2 2( ) ( ) ( ) 3 .a b c a b c a b c a b c abc+ − + + − + + − ≤ 
 2) Cho , , ,a b c là các số dương. Chứng minh rằng 
3
.
2 2 2 4
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≤
+ + + + + +
 3) Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,x y z thỏa mãn ( ) 3 ,x x y z yz+ + = 
 ta có ( ) ( ) ( )( )( ) ( )3 3 33 5 .x y x z x y x z y z x z+ + + + + + + ≤ + 
Khi nào đẳng thức xảy ra? 
Bài 10. 1) Cho ,a b là các số dương, n∈ℕ . Chứng minh rằng 
1(1 ) (1 ) 2 .n n na b
b a
++ + + ≥ 
 2) Cho 0, 0,a b≥ ≥ *.n∈ℕ Chứng minh rằng 
.
2 2
n n na b a b+ +  ≤ 
 
Bài 11. Cho , , ,a b c là các số dương. Chứng minh rằng 
 1) 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
;
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
 2) 
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
. 
Bài 12. Giải các bất phương trình sau 
2
2
2
2 51) 1 0;| 3 |
22) 1 ;
| 2 |3) 3;
5 6 |
x
x
x
x
x
x x
−
+ >
−
≤ −
−
≥
− +
 114
2
2
2 3 | |4) 1;
1
| 2 |5) 2;
| 4 | 36) 1.| 5 |
x
x
x x
x
x x
x x
− ≤
+
+ − ≥
− +
≥
+ −
Bài 13. Giải các bất phương trình sau 
 1) 3 2 3 2
2 1 2
;
2
x x
x x x x
− −
>
+ −
 2) 
4 3 2
2
3 2 0;
30
x x x
x x
− +
>
− −
 3) 
3 2
2
3 3 0;
2
x x x
x x
− − +
≤
−
 4) 
4 2
2
4 3 0;
8 15
x x
x x
− +
≤
− +
 5) 2 3
1 2 2 3
;
1 1 1
x
x x x x
+
+ <
+ − + +
 6) 2 2 2
15( 1) ;
1
x x
x x
+ + ≤
+ +
 7) 3 22 5 2 0;x x x+ − + > 
 8) 32 3 0.x x+ + ≤ 
Bài 14. Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m 
 1) ( m – 3) x 2 – 2 m x + m – 6 ≤ 0; 
 2) ( m – 4) x 2 – 2( m – 2) x + m – 1 ≥ 0; 
 3) m x 2 – 2( m – 3) x + m – 4 < 0. 
Bài 15. Cho tam thức bậc hai 
2( ) ( 1) 2( 1) 3 3f x m x m x m= + − − + − 
Tìm các giá trị của m để 
 1) Bất phương trình ( ) 0f x < vô nghiệm; 
 2) Bất phương trình ( ) 0f x ≥ có nghiệm. 
Bài 16. Tìm các giá trị của m để các bất phương trình sau có tập hợp nghiệm là ℝ 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 115 
2
2
2
2
3 51) 1 6;
2 1
12) 2.
1
x mx
x x
x mx
x
− +≤ <
− +
+ +
<
+
Bài 17. Tìm các giá trị của m để các phương trình sau đây có các nghiệm 1 2,x x thỏa điều kiện 
được chỉ ra 
2 2
1 2
2
1 2
2
2 2
1) (2 3) 0 ; 3 ;
2) 2( 1) 5 0 ; 2;
3) ( 1) ( 5) 1 0 ; 1 .
x m x m x x
mx m x m x x
m x m x m x x
− + + = < <
+ − + − = < <
− − − + − = − < <
Bài 18. Biện luận theo m vị trí của số 1 với các nghiệm của phương trình 
2(3 ) 2(2 5) 2 5 0.m x m x m− − − − + = 
Bài 19. Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm 1 2,x x thỏa điều kiện được 
chỉ ra 
2
1 2
2
1 2
1) 2( 1) 5 0 ; 0 2;
2) ( 2) 2 2 3 0 ; 6 4 .
mx m x m x x
m x mx m x x
− + + + = < < <
− − + − = − < < <
Bài 20. Biện luận theo m vị trí của số 0 và số 2 đối với nghiệm của phương trình 
2 2( 1) 3 0.mx m x m− − + − = 
Bài 21. Tìm các giá trị của m để phương trình 
22 (2 1) 1 0x m x m+ − + − = 
có một nghiệm nằm trong khoảng ( 1;3),− còn nghiệm kia nhỏ hơn –1. 
Bài 22. Cho phương trình 
2( 1) 2 5 0m x mx m− − + + = 
Tìm các giá trị của m để phương trình 
 1) Có hai nghiệm đều lớn hơn 2; 
 2) Có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2. 
Bài 23. Cho 2( ) 2( 1) 5f x mx m x m= − + − + . 
Tìm các giá trị của m để ( ) 0, 1.f x x> ∀ < 
Bài 24. Cho 2( ) 2 (3 1) (3 9)f x x m x m= − + − + . 
Tìm các giá trị của m để [ ]( ) 0, 2;1 .f x x≤ ∀ ∈ − 
Bài 25. Cho 2 2( ) ( 2) 3( 6) 1f x m x m x m= − − − − − . 
Tìm các giá trị của m để ( )( ) 0, 1,0f x x< ∀ ∈ − .