Giáo trình Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn (Phần 2)

Ví dụ 8. Giải phương trình 
 206
32cos cos 2 sin 0 (1)x x x+ + = 
Giải. 
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 2 2
2
2
(1) 2cos cos sin sin 0
cos 2cos 1 sin 1 sin 0
1 sin 1 sin 2cos 1 sin 0
1 sin sin cos 2 sin cos 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
⇔ + − + =
⇔ + + − =
 ⇔ − + + + = 
 ⇔ − + + + =
 
( )( )( )1 sin sin cos sin cos 2 0
1 sin 0
sin cos 0
x x x x x
x
x x
⇔ − + + + =
− =
⇔ 
 + =
sin 1
1
x
tgx
=
⇔ 
 = −
2
; .
4
x k
k
x k
pi
= + pi
⇔ ∈
 pi
= − + pi

ℤ 
Ví dụ 9. Giải phương trình 
4 6cos cos 2 2sin 0 (1)x x x− + = 
Giải. 
( )( ) ( )
4 2 6
2 2 2 4
(1) cos 1 2sin 2sin 0
cos 1 cos 1 2sin 1 sin 0
x x x
x x x x
⇔ − + + =
⇔ − + + + =
( ) ( )
( )
( )
2 4 2
2 4 2
4 2
sin 2 1 sin cos 1 0
sin 2sin sin 0
sin 2sin 1 0
x x x
x x x
x x
 ⇔ + − + = 
⇔ + =
⇔ + =
4sin 0 ; .x x k k⇔ = ⇔ = pi ∈ℤ 
Ví dụ 10. Giải phương trình 
4cos 2cos 2 cos 4 1x x x− − = (1) 
Giải. 
( ) 2(1) 4cos 2cos 2 cos 4 1 0 4cos 2cos 2 2cos 2 0x x x x x x⇔ − − + = ⇔ − − = 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 207 
( )
( ) ( )
24cos 2cos 2 1 cos 2 0 4cos 4cos 2 cos 0
cos 1 cos 2 cos 0 cos 2 cos cos3 0
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − + = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ − − =
3
cos 0
cos 0
2cos 1 ; .
cos 1 2
cos3 4cos 3cos 1
x
x x k
x k
x
x k
x x x
= pi = = + pi  =⇔ ⇔ ⇔ ∈    =   = pi = − =
ℤ 
Ví dụ 11. Giải phương trình 
( )3cos 2 cos 6 4 3sin 4sin 1 0x x x x− + − + = (1) 
Giải. Phương trình (1) tương đương với 
( ) ( )
( )
2 2
22
1 cos 2 1 cos 6 4sin 3 2 0
2cos 2sin 3 4sin 3 2 0
2cos 2 sin 3 1 0
x x x
x x x
x x
+ + − + + =
⇔ + + + =
⇔ + + =
3
sin 1cos 0
sin 3 1 3sin 4sin 1
sin 1 2 ; .
2
xx
x x x
x x k k
= ±=  
⇔ ⇔ 
= −
− = −  
pi
⇔ = ⇔ = + pi ∈ℤ
2. Dạng phân thức 
Chú ý. Khi giải các phương trình có chứa ẩn dưới mẫu, ta phải đặt điều kiện cho mẫu khác 
không. 
Ví dụ 1. Giải phương trình 
63cos 4sin 6 (1)
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
Giải. Đặt 3cos 4sint x x= + ⇒ phương trình (1) trở thành 6 6.
1
t
t
+ =
+
(2) 
 Điều kiện: 1 0 1.t t+ ≠ ⇔ ≠ − 
( ) ( ) ( ) ( )(2) 1 6 6 1 5 0 0 5 1 .
3 4 33cos 4sin 5 cos sin 5cos arccos
5 5 5
t t t t t t t t
t x x x x x
⇔ + + = + ⇔ − = ⇔ = ∨ = ≠ −
   
= + = + = −   
   
3 3) 0 cos arccos 0 arccos ; .
5 5 2
3 3) 5 cos arccos 1 arccos 2 ; .
5 5
a t x x k k
b t x x k k
pi 
= ⇔ − = ⇔ = + + pi ∈ 
 
 
= ⇔ − = ⇔ = + pi ∈ 
 
ℤ
ℤ
 208
Ví dụ 2. Giải phương trình 
1 1 2
.
cos sin 2 sin 4x x x
+ = (1) 
Giải. 
Điều kiện: sin 4 0 , (*).
4
k
x x kpi≠ ⇔ ≠ ∈ℤ 
( )2(1) 4sin cos 2 2cos 2 2 4sin cos 2 2 1 2sin 2x x x x x x⇔ + = ⇔ + − = 
( ) ( )24sin cos 2 sin 0 sin 2sin sin 1 0x x x x x x⇔ − = ⇔ + − = 
sin 0
sin 1
1
sin
2
x
x
x

 =

⇔ = −


=

. 
So với điều kiện (*) ta chọn 1sin
2
x = 
2
6
; .
5 2
6
x k
k
x k
pi
= + pi
⇔ ∈
 pi
= + pi

ℤ 
Ví dụ 3. Giải phương trình 
3 5sin 4 cos6sin 2cos .
2cos 2
x x
x x
x
− = (1) 
Giải. 
Điều kiện: cos 2 0 , .
4 2
k
x x kpi pi≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ 
( )
3
3 2
(1) 6sin 2cos 5sin 2 cos
6sin 2cos 10sin cos * .
x x x x
x x x x
⇔ − =
⇔ − =
Vìcos 0x = không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình (*) cho 32cos x ta nhận được 
( )23 tan 1 tan 1 5 tanx x x+ − = 
( )( )
( )
3 2
2
3tan 2 tan 1 0 tan 1 3tan 3tan 1 0
3 1
tan 1 3 tan 0 tan 1 ; .
2 4 4
x x x x x
x x x x k k
⇔ − − = ⇔ − + + =
   pi
 ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + pi ∈     
ℤ
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 209 
So với điều kiện của phương trình thì 
4
x kpi= + pi không thỏa. Vậy, phương trình đã cho vô 
nghiệm. 
3. Dạng chứa tan x và cot x 
 Chú ý. Đối với các phương trình chứa tan x và cot ,x ta phải đặt điều kiện cho tan x và cot x 
xác định. 
Ví dụ 1. Giải phương trình 
cot tan sin cos (1)x x x x− = + 
Giải. 
Điều kiện: sin 0 cos 0 , .
2
k
x x x kpi≠ ∧ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ (*) 
( )
( )( )
2 2(1) cos sin cos sin cos sin
sin cos sin cos sin cos 0
) sin cos 0 tan 1 ; .
4
x x x x x x
x x x x x x
a x x x x k k
⇔ − = +
⇔ + − + =
pi
+ = ⇔ = − ⇔ = − + pi ∈ℤ
,
4
x k kpi= − + pi ∈ℤ thỏa điều kiện (*). 
) sin cos sin cos 0.b x x x x− + = Đặt 
21
sin cos 2 sin( ) 2; 2 sin cos .
4 2
t
t x x x x x
pi − = − = − ∈ − ⇒ =  
2
21 0 2 1 0 2 sin 1 2
2 4
1 2
sin
4 2
tpt t t t t x
x
− pi 
⇔ + = ⇔ − − = ⇔ = − = − 
 
pi − 
⇔ − = 
 
1 2
arcsin 2
4 2
; .
5 1 2
arcsin 2
4 2
x k
k
x k
 pi −
= + + pi

⇔ ∈
pi −
= − + pi
ℤ 
(Thỏa điều kiện (*)). 
Ví dụ 2. Giải phương trình 
1
cot 2 cot 3 0.
sin sin 2 sin 3
x x
x x x
+ + = 
Giải. 
Điều kiện: sin .sin 2 .sin 3 0 , .
2 3
k k
x x x x x kpi pi≠ ⇔ ≠ ∧ ≠ ∈ℤ 
 210
sin 5 10 0 sin sin 5 1,
sin 2 sin 3 sin sin 2 sin 3
xpt x x
x x x x x
⇔ = + = ⇔ = − suy ra 
sin 1
1 sin 5 sin sin 5 sin 1.1 1
sin 5 1
x
x x x x
x
 =

= = ≤ = ⇒ 
=
cos 0 sin 2 0x x⇒ = ⇒ = (loại vì điều 
kiện). Vậy phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 3. Giải phương trình 
6 tan 5cot 3 tan 2 .x x x+ = 
Giải. 
Điều kiện: cos 0 cos 2 0 sin 3 0 , .
2 4 2 3
k k
x x x x k x x kpi pi pi pi≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ⇔ ≠ + pi ∧ ≠ + ∧ ≠ ∈ℤ 
( )
( )2 2
5cos 2 sin5 tan cot 3 tan 2 tan
cos sin 3 cos cos 2
15cos 2 sin sin 3 cos 2 cos 4 12cos 2 cos 2 1 0
2
x xpt x x x x
x x x x
x x x x x x x
⇔ + = − ⇔ =
⇔ = = − ⇔ − − =
1 1
cos 2 cos 2
3 4
x x⇔ = ∨ = − (thỏa mãn điều kiện). 
1 1 1 1
arccos arccos ; .
2 3 2 4
x k x k k ⇔ = ± + pi ∨ = ± − + pi ∈ 
 
ℤ 
Ví dụ 4. Giải phương trình 
( ) ( )2 tan sin 3 cot cos 5 0.x x x x− + − + = 
Giải. 
Điều kiện: sin 0 cos 0 , .
2
k
x x x kpi≠ ∧ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ 
( ) ( )
sin cos2 sin 1 3 cos 1 0
cos sin
2 30 sin cos sin cos sin cos sin cos
cos sin
x xpt x x
x x
x x x x x x x x
x x
   
⇔ − + + − + =   
   
⇔ = + − + + −
( )2 30 sin cos sin cos
cos sin
x x x x
x x
 
⇔ = + + − 
 
( ) 2 3 3 30 tan arctan ; .
cos sin 2 2
a x x k k
x x
 
+ = ⇔ = − ⇔ = − + pi ∈ 
 
ℤ Thỏa điều kiện. 
( ) sin cos sin cos 0.b x x x x+ − = 
Đặt sin cos 2; 2t x x  = + ∈ − 
2 1
sin cos .
2
t
x x
−
⇒ = 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 211 
2 1 22 1 0 2 cos 1 2 cos
4 4 2
1 2
arccos 2 , .
42
pt t t t x x
x k k
pi pi −   
⇔ − − = ⇒ = − = − ⇔ − =   
   
− pi
⇔ = ± + + pi ∈ℤ
Ví dụ 5. Giải phương trình 
2 1 costan (1)
1 sin
x
x
x
+
=
−
Giải. Điều kiện: 
cos 0
, .(*)
2sin 1.
x
x k k
x
≠ pi
⇔ ≠ + pi ∈
≠
ℤ 
( )( )
2
1 cos sin cos1 cos 1 cos(1) 0 1
1 sin 1 sin cos
2
cos 1 cos 1
; .
sin cos 0 tan 1
4
x x xx x
x x x
x k
x x
k
x x x x k
+ ++ − 
⇔ = − = 
− + 
= pi + pi
= − = −  
⇔ ⇔ ⇔ ∈   pi
 + = = − = − + pi  
ℤ
2 ,
4
x k x k kpi= pi + pi ∨ = − + pi ∈ℤ thỏa điều kiện (*) nên là nghiệm của phương trình đã cho. 
Ví dụ 6. Giải phương trình 
3
2
3
1 cos
tan (1)
1 sin
x
x
x
−
=
−
Giải. Điều kiện: { 3cos 0 , . (*)1 sin 0 2x x k kx pi≠ ⇔ ≠ + pi ∈− ≠ ℤ 
( )( )
( )( )
22
2 2
1 cos 1 cos cos1 cos(1)
1 sin 1 sin 1 sin sin
x x xx
x x x x
− + +
−
⇔ =
−
− + +
( )
( )
2
2
1 cos 1 cos cos 1 cos
. 0
1 sin 1 sin sin 1 sin
x x x x
x x x x
−  + + +
⇔ − = 
− + + + 
( )( )( )1 cos cos sin sin cos sin cos 0x x x x x x x⇔ − − + + = 
( ) 1 cos 0 cos 1 2 , .a x x x k k− = ⇔ = ⇔ = pi ∈ℤ 
( ) cos sin 0 tan 1 , .
4
b x x x x k kpi− = ⇔ = ⇔ = + pi ∈ℤ 
( ) sin cos sin cos 0.c x x x x+ + = 
Đặt 
2 1
sin cos 2 cos( ) 2; 2 sin cos .
4 2
t
t x x x x x
pi − = + = − ∈ − ⇒ =  
Ta có phương trình theo ẩn t 
2 1 22 1 0 2 cos 1 2 arccos 2 .
4 42
t t t x x kpi − + pi + − = ⇒ = − = − + ⇔ = ± + + pi 
 
.k ∈ℤ 
Các công thức nghiệm trên đều thỏa điều kiện (*) nên là nghiệm của phương trình đã cho. 
 212
4. Một số phương trình giải bằng phương pháp đặc biệt 
 Ngoài các phương pháp cơ bản giải phương trình lượng giác đã nêu ở các mục trên, 
chúng ta còn có một số cách giải đặc biệt, sử dụng các kết quả sau 
· 
2 2
0
0
0
A
A B
B
=
+ = ⇔ 
=
 · 
A m
A m
B m
B m
A B
≤
=  ≥ ⇔ 
= 
=
 · 
1
1
1
1
1 1
A A
A A
B B
B B
A B A B
≤
=  ≤ ⇔ 
= 
+ = +
Ví dụ 1. Giải phương trình 
2 2 21sin sin 3 sin sin 3 (1)
4
x x x x+ = 
Giải. 
2 2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1(1) sin sin 3 sin 3 (1 sin 3 ) 0 sin sin 3 sin 6 0
2 4 2 16
1 1
sin sin 3 0 sin (1 cos 6 )
2 4
cos 6 1 cos6 1sin 6 0
x x x x x x x
x x x x
x xx
   
⇔ − + − = ⇔ − + =   
   
  
− = = −   ⇔ ⇔ 
 
= ∨ = −= 
cos 6 1
sin 0
2
cos 6 1 6
1 5
sin 2 .
2 6
x
x k
x
x k
x
x x k
 = 
  = pi
 =
  pi
⇔ ⇔ = + pi 
= −
 
  pi = = + pi
 
 Vậy, phương trình có nghiệm là 5; 2 ; 2 , .
6 6
x k x k x k kpi pi= pi = + pi = + pi ∈ℤ 
Ví dụ 2. Giải phương trình 
2(cos 4 cos 2 ) 5 sin 3 (1)x x x− = + 
Giải. 
2 2(1) 4sin 3 sin 5 sin 3 (2)x x x⇔ = + . Do 
2 24sin 3 sin 4
5 sin 3 4
x x
x
 ≤

+ ≥
, nên ta có 
2 2
2
233 2
sin 3 1sin 3 sin 4 2 32(2)
5 sin 3 4 sin 1
2 2
2 , .
2
k
xx k
xx x
x x
x l x l
x m m
pi pipi 
= += + pi = − =   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
pi pi+ = =    
= + pi = + pi  
pi
⇔ = + pi ∈ℤ
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 213 
 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 , .
2
x m m
pi
= + pi ∈ℤ 
Ví dụ 3. Giải phương trình 
sin 2sin 2 sin 3 2 2 (1)x x x− − = 
Giải. 
Ta có vế trái của phương trình (1) bằng 
( ) ( )2 2 2 2
2
sin 2sin 2 sin 3 2cos 2 sin 2sin 2 2cos 2 2sin 2 sin 1
4(sin 1) 2 2.
x x x x x x x x x
x
− − = − − ≤ − + − +
= + ≤
Vậy, (1) 
2
2
cos 0sin 1
(*)
cos 2 sin 2 1 2sin 2sin cos
sin 1 sin 1
xx
x x x x x
x x
= =
 
⇔ ⇔ 
−
= = 
 
Hệ (*) vô nghiệm. Vậy, phương trình (1) vô nghiệm. 
Ví dụ 4. Giải phương trình 
3 3 4sin cos 2 sin (1)x x x+ = − 
Giải. Ta có vế trái của (1): 3 3 2 23 3sin cos sin cos sin cos 1.x x x x x x+ ≤ + ≤ + ≤ 
Vế phải của (1): 42 sin 1.x− ≥ 
Vậy, 
3 2
3 2
4
cos cos
(1) sin sin sin 1 2 .
2
sin 1
x x
x x x x k
x
 =

pi
⇔ = ⇔ = ⇔ = + pi

 =
 Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là 2 , .
2
x k kpi= + pi ∈ℤ 
5. Một số phương trình chứa tham số 
Ví dụ 1. Cho phương trình 
6 6sin cos sin 2 (1)x x m x+ = 
Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Giải. Ta có 
26 6 2 2 3sin cos sin 2 1 3sin cos sin 2 1 sin 2 sin 2 (*)
4
x x m x x x m x x m x+ = ⇔ − = ⇔ − = 
Do sin 2 0x = không thỏa phương trình nên 
(*) 1 3 sin 2 .
sin 2 4
m x
x
⇔ = − Đặt sin 2 ,0 1.t x t= < ≤ Ta xét hàm số 
2
1 3 1 3( ) , ( ) 0.
4 4
y f t t f t
t t
′= = − = − − <
0
1lim ( ) ; (1) .
4t
f t f
+→
= +∞ = 
 214
Suy ra miền giá trị của hàm số ( )f t là 1[ ; ).
4f
T = +∞ 
 Vậy, giá trị cần tìm của m để phương trình (1) có nghiệm là 1 .
4
m ≥ 
Ví dụ 2. Cho phương trình 
2
2
3 3tan (tan cot ) 1 0 (1)
sin
x m x x
x
+ + + − = 
Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Giải. Ta có 
2 2
2
(1) 3(1 cot ) 3 tan (tan cot ) 1 0
3(tan cot ) (tan cot ) 4 0.
x x m x x
x x m x x
⇔ + + + + − =
⇔ + + + − =
Đặt tan cot , 2,t x x t= + ≥ ta có phương trình 2 23 4 0 4 3t mt mt t+ − = ⇔ = − 
2
2
4 3 4( ), ( ) 3 0.tm f t f t
t t
−
′⇔ = = = − − < 
Suy ra hàm số ( )f t nghịch biến, mà lim ( ) , ( 2) 4, (2) 4.
t
f t f f
→±∞
= ∞ − = = −∓ 
Do đó miền giá trị của hàm số ( )f t là ( ; 4] [4; ).fT = −∞ − ∪ +∞ 
 Vậy, giá trị cần tìm của m để phương trình (1) có nghiệm là 4 4.m m≤ − ∨ ≥ 
Ví dụ 3. Cho phương trình 
sin 2( ) sin(3 ) sin (1)x x m x− pi − − pi = 
Tìm m để phương trình có nghiệm , .x k k≠ pi ∈ℤ 
Giải. Ta có 
3
2 2
(1) sin 2 sin 3 sin 2sin cos 3sin 4sin sin
sin (2cos 3 4sin ) sin sin (4cos 2cos 1) sin
x x m x x x x x m x
x x x m x x x x m x
⇔ + = ⇔ + − =
⇔ + − = ⇔ + − =
24cos 2cos 1 , ( ). (*)x x m x k⇔ + − = ≠ pi 
Đặt cos ,t x= do x k≠ pi nên ( 1;1).t ∈ − (*) trở thành 24 2 1t t m+ − = . Yêu cầu bài toán được 
thỏa khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số 2( ) 4 2 1, ( 1;1).f t t t t= + − ∈ − 
Ta có 1( ) 8 2 0 ( 1;1).
4
f t t t′ = + = ⇔ = − ∈ − 1 5( ) , ( 1) 1, (1) 5.
4 4
f f f− = − − = = 
Miền giá trị của hàm số ( )f t trên khoảng ( 1;1)− là 5[ ;5).
4f
T = − Vậy, giá trị cần tìm của m là 
5 5.
4
m− ≤ < 
Ví dụ 4. Cho phương trình 
2 2 2sin 3 ( 3)sin 3 4 0 (1)x m x m+ − + − = 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 215 
Tìm m để phương trình (1) có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn 2 4[ ; ].
3 3
pi pi
Giải. Đặt sin 3 , 1.t x t= ≤ Khi đó phương trình (1) trở thành 
2 2 2( 3) 4 0t m t m+ − + − = 
2 2
2
21 sin 3 1 ,
6 3
4 sin 3 4
sin 3 4 (2)
k
t x x k
t m x m
x m
pi pi
= − = − = − + ∈  
 ⇔ ⇒ ⇔ 
 = − = −  
= −
ℤ
Ta nhận thấy rằng họ nghiệm 2
6 3
k
x
pi pi
= − + , có đúng một giá trị 7 2 4[ ; ].
6 3 3
x
pi pi pi
= ∈ 
Vậy, để phương trình (1) có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn 2 4[ ; ],
3 3
pi pi
điều kiện là phương trình 
(2) có đúng ba nghiệm khác 7
6
pi
 thuộc đoạn 2 4[ ; ].
3 3
pi pi
Ta có 2 4[ ; ] 3 [2 ;4 ],
3 3
x x
pi pi
∈ ⇔ ∈ pi pi do đó điều kiện là 2
2
sin 3 0 4 0
2
m
x m
m
= −
= ⇔ − = ⇔ 
 =
Khi đó ta được ba nghiệm là 2 4 .
3 3
x x x
pi pi
= ∨ = pi ∨ = 
 Vậy, với 2 2m m= ∨ = − thì phương trình (1) có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn 2 4[ ; ].
3 3
pi pi
BÀI TẬP CHƯƠNG VI 
Bài 1. Giải các phương trình 
 1) 3 sin x – cos x = 2; 
 2) cos x + 2cos2 x = 1; 
 3) cos4 x + 2cos2 x = 0; 
 4) 22cos x + 4cos x = 3sin2 ;x 
 5) cos x – sin x + 3sin2 x – 1 = 0; 
 6) 2sin2 x − 3 3 (sin x + cos x ) + 3 3 = 0; 
 7) sin2 x + 2 sin( x –
4
pi ) = 1; 
 8) sin2 x + 2sin x coss x – 2cos2 x = 1
2
; 
 9) cos x + sin x = cos2 ;
1 sin 2
x
x−
 10) sin3 x – cos3 x = 1 + sin x cos .x 
Bài 2. Giải các phương trình 
 216
 1) 2cos2 x – 1 = sin3 x ; 
 2) 1 tan
1 tan
x
x
+
−
 = (sin x + cos x )2; 
 3) 1 + tan2 x = 2
1 sin 2
cos 2
x
x
−
; 
 4) tan3 x – tan x = sin2 x ; 
 5) (sin x – sin2 x )(sin x + sin2 x ) = sin23 x ; 
 6) sin x + sin3 x + 4cos3 x = 0; 
 7) sin2 x = 1 + 2 cos x + cos2 x ; 
 8) 2cos6 x + sin4 x + cos2 x = 0; 
 9) 2 2 2 22cos 3 cos cos 3 sin 1 0x x x x− + − = . 
Bài 3. Giải các phương trình 
 1) sin x + cot
2
x
 = 2; 
 2) sin2 x + cos2 x + tan x = 2; 
 3) ( )223 1 tancos 4 + 2 = 0;1+ tan
x
x
x
−
− 
 4) tan 1 cot 2 0, (0 );
tan 1
x
x x
x
−
+ = < < pi
+
 5) 3 2
1 3
tan 1 3cot( ) 3, ( );
cos 2 2
x x x
x
pi pi
pi− + − − = < < 
 6) cos3 x sin x – sin3 x cos x = 2
8
; 
 7) sin23 x – cos24 x = sin25 x – cos26 x ; 
 8) cos3 x – 4cos2 x + 3cos x – 4 = 0, x ∈ [0,14]; 
 9) sin4 x + sin4(
2 8
x pi
+ ) + cos4 x = 1
2
sin22 x ; 
 10) 12cos 2 8cos 7
cos
x x
x
− + = . 
Bài 4. Giải các phương trình 
 1) cos3 sin 35 sin cos 2 3, (0; 2 );
1 2sin 2
x x
x x x
x
+ 
+ = + ∈ pi + 
 2) sin 2 .cos tan 3 .sin( ) cos 2 .sin
6
x x x x x x
pi
= + − ; 
 3) 2cos 2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
; 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 217 
 4) 2sin 4 sin 2 sin 9 sin 3 cosx x x x x+ = ; 
 5) 2 4cos sin cos 2 2cos (sin cos ) 1x x x x x x+ = + − ; 
 6) 3 cos 4 sin 4 2cos3 0x x x+ − = ; 
 7) 2 24cos 2cos 2 1 cos 4x x x− = + ; 
 8) 2 22sin ( ) 2sin tan
4
x x x
pi
− = − ; 
 9) cos3 2cos 2 1 2sin sin 2x x x x+ = − ; 
 10) (2sin 1)(2cos sin ) sin 2 cos ;x x x x x− + = − 
 11) 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0;x x x x− − = 
 12) ( )3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin .x x x x x x+ + = + 
Bài 5. Giải các phương trình 
 1) 
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ = ; 
 2) 
4 4sin cos 1
5sin 2 2
x x
x
+
= cot
12
8sin 2
x
x
− ; 
 3) 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = ; 
 4) 2 2 12cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
pi pi
− + − − − = ; 
 5) cot sin (1 tan tan ) 4
2
x
x x x+ + = ; 
 6) 
6 62(cos sin ) sin cos 0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
; 
 7) cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − = ; 
 8) 13 18 tan 6 tan 3;x x− = − 
 9) 4 4cos sin cos sin ;x x x x− = + 
 10) 13 14cos sin 1.x x+ = 
Bài 6. Giải các phương trình 
 1) 2tan cot 4cos 2 ;x x x= + 
 2) 2sin 2 sin ;
4 4 2
x x
pi pi   
− = − +   
   
3) ( ) ( )23 2cos cos 2 3 2cos sin 0;x x x x+ − + − = 
4) ( ) 21 2cos3 sin sin 2 2sin 2 ;
4
x x x x
pi 
+ + = + 
 
 218
5) 2 21 sin sin cos sin 2cos ;
2 2 4 2
x x x
x x
pi 
+ − = − 
 
6) 2 2 1cos ( ) sin ( ) 2sin ;
3 6 4
x x x
pi pi
+ + + = − 
7) 
sin 3 4cos 3
6 0;
sin 3 1
x x
x
pi 
− − − 
 
=
−
8) 3 3 2 3 2cos3 cos sin 3 sin ;
8
x x x x
+
− = 
9) 24sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 1 0;
4 4 4
x x x x x
pi pi pi     
+ − + − + + =     
     
10) sin 3 3 cos3 cos 2 3 sin 2 sin 3 cos ;x x x x x x+ + − = + 
11) ( ) ( )2sin 1 tan 3sin cos sin 3;x x x x x+ = − + 
12) sin 2 cos 2 tan cot ;
cos sin
x x
x x
x x
+ = − 
 13) 1 1 74sin ;
3sin 4
sin
2
x
x
x
pi 
+ = − pi   
− 
 
 14) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cos ;x x x x x x− = − 
 15) ( )2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cos ;x x x x+ + = + 
 16) ( )( )( )
1 2sin cos
3.
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
Bài 7. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình cho sau đây có nghiệm 
 1) 2 2tan cot (tan cot ) 2 0;x x m x x m+ + + + = 
 2) (sin cos ) sin 2 1 0;m x x x m+ + + − = 
 3) 4(cos sin ) sin 2 .x x x m− + = 
Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm thỏa 
2 2
x
pi pi
− < < 
( )2cos 2 cos 4 1 0.x m x m− + − = 
Bài 9. Giải và biện luận phương trình theo tham số m 
2 2sin 2sin cos 2cos .x x x x m+ − = 
Bài 10. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2cos 2 2sin 2 2 0m x x m− + − = có 
nghiệm trong khoảng 0; .
4
pi 
 
 
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
 219 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Đặng Hùng Thắng. 1998. Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Hà Nội: 
 NXB Giáo dục. 
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm – Đặng 
 Hùng Thắng – Trần Văn Vuông. 2008. Đại số 10 (Nâng cao). Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm – 
 Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng. 2008. Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao). Hà 
 Nội: NXB Giáo dục. 
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Trần Phương Dung – 
 Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng). 2008. Giải tích 12 (Nâng cao). Hà Nội: 
 NXB Giáo dục. 
Hoàng Kỳ. 1999. Đại số sơ cấp. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Hoàng Kỳ. 2007. Giáo trình căn số và toán vô tỉ. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Nguyễn Thái Hòe. 2001. Dùng ẩn phụ để giải toán. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Nguyễn Văn Mậu. 2001. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình. Hà Nội: 
 NXB Giáo dục. 
Phan Đức Chính. 1999. Bất đẳng thức. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Phan Đức Chính – Nguyễn Dương Thụy – Tạ Mân – Đào Tam – Lê Thống Nhất. 1996. 
 Các bài giảng luyện thi môn Toán – Tập 2. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Phan Huy Khải. 2001. Phương pháp đồ thị để biện luận hệ phương trình chứa tham số. 
 Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Trần Phương. 1995. Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh môn Toán. Hà Nội: NXB 
 Giáo dục. 
Đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng toàn quốc từ năm 2002 – 2003 đến 2007 – 
 2008. 
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
М.И.Сканави, Б.А.Кордемский,1978. СБОРНИК КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ПО 
 МАТЕМАТИКЕ для поступающих во втузы. Москва. “высшая школа”. 
Ю.В.Нестеренко, С.Н.Олехник, М.К.Потапов.1986. ЗАДАЧИ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ 
 ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. Москва. “Наука”. 
V.A.Kretsmar.1978. Bài tập Đại số sơ cấp – Tập 1. Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy 
 Thuận, dịch. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
V.A.Kretsmar.1978. Bài tập Đại số sơ cấp – Tập 2. Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy 
 Thuận, dịch. Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Chịu trách nhiệm xuất bản:
Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
Tổng biên tập VŨ DƯƠNG THUỴ
Biên tập :
NFUYỄN TRỌNG BÁ
Trình bày bìa:
NGUYỄN QUỐC ĐẠI
GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ SƠ CẤP
In 100.000 cuốn khổ 24 x 35 cm tại Công ti In Tiến An.
Giấy phép xuất bản số 6725.413-00/ XB-QLXB, kí ngày 19/11/2022.
In xong và nộp lưu chiểu quý IV năm 2022.
VI
ET
M
AT
H
S.
NE
T
Giá: 38.000đ
Cùng tác giả: