Giáo trình Vật lý 2 - Chương 8: Cơ học lượng tử

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 2
Cơ học lượng tử
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của
Vật lý học, là một phần của vật lý lượng tử nghiên cứu sự
vận động của các hạt. Nó là cơ sở của nhiều chuyên ngành
khác của Vật lý và Hoá học.
 Cơ học lượng tử được xây dựng trong những năm đầu của
thế kỷ XX. Năm 1900 có thuyết lượng tử của Planck, 1905 có
thuyết của Einstein, 1924 có thuyết của de Broglie, 
 Trong chương trình Vật lý đại cương ta chỉ xét những kiến
thức cơ bản nhất của Cơ học lượng tử.
Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Ánh sáng có bản chất sóng, mỗi ánh sáng đơn sắc là một
sóng điện từ có tần số và bước sóng xác định. Các hiện
tượng giao thoa, nhiễu xạ,  đã chứng tỏ điều này.
 Ánh sáng có bản chất hạt, chùm sáng là chùm các photon
chuyển động dọc theo tia sáng. Một ánh sáng đơn sắc là
chùm các hạt có khối lượng, năng lượng, động lượng hoàn
toàn xác định. Các hiện tượng quang điện, hiệu ứng
Compton,  đã chứng tỏ điều đó.
 Như vậy ánh sáng thể hiện lưỡng tính sóng – hạt. Bước
sóng càng dài thì bản chất sóng thể hiện càng rõ, bước sóng
càng ngắn thì bản chất hạt thể hiện càng rõ.
Hàm sóng ánh sáng
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Theo thuyết sóng, ánh sáng được mô tả bằng một hàm vô
hướng, gọi là hàm sóng ánh sáng:
2
u acos t d
  
   
 
 Theo thuyết hạt, photon có năng lượng và động lượng được
xác định bằng công thức:
hc
W hf 

h
p mc 

 Ta có mối liên hệ:
W hf h
2

   

h h 2
p k
2

   
  
Hàm sóng ánh sáng
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
Hàm sóng được biến đổi thành dạng khác:
 
p2 W 1
u acos t d acos t d acos Wt p.r
     
              
 Biểu diễn dưới dạng số phức:
 
i
Wt pr
ae
 
 
 Cường độ sáng được tính:
2I a *  
Giả thuyết de Broglie
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
Một vi hạt có năng lượng, động lượng xác định (ở một trạng
thái dừng nhất định) tương ứng với một sóng phẳng chạy
đơn sắc, ta có mối liên hệ:
W hf
h
p k
   


 

 Giả thuyết nàt được de Broglie đưa ra năm 1924, sau đó đã có
nhiều bằng chứng thực nghiệm chứng tỏ quan niệm này là
đúng, ví dụ như thí nghiệm nhiễu xạ electron, 
Nguyên lý bất định Heisenberg
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Không thể xác định chính xác đồng thời được cả toạ độ và
động lượng của một vi hạt, nếu đại lượng này càng chính xác
thì đại lượng kia càng kém chính xác.
x
x p h  
 Hệ thức trên là hệ thức toán học thể hiện lưỡng tính sóng –
hạt của vật chất. Trong cơ học lượng tử không tồn tại khái
niệm chuyển động chính xác, các vi hạt tuân theo quy luật
thống kê.
W t h  
Hàm sóng
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Trong cơ học lượng tử, trạng thái của vi hạt được mô tả
bằng một hàm số, gọi là hàm sóng. Hàm sóng mô tả trạng
thái của vi hạt có dạng:
Hàm sóng là một hệ thức toán học, nó mô tả trạng thái của
vi hạt trong thế giới tự nhiên do đó nó phải thoả mãn một
số điều kiện như giới nội, đơn trị, liên tục và đôi khi đạo
hàm bậc nhất cũng phải liên tục.
   
i
Wt
r, t r e

   
Ý nghĩa thống kê của hàm sóng
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
Hàm sóng không mô tả một chuyển động cụ thể của vi hạt
mà cho ta biết trạng thái tồn tại và vận động của vi hạt.
 Ý nghĩa thống kê của hàm sóng là cho phép ta xác định xác
suất tìm thấy hạt trong một khoảng không gian nào đó.
2
dP dV 
 Với đặc trưng này, hàm sóng phải thoả mãn điều kiện chuẩn
hoá: xác suất tìm thất hạt trong toàn bộ không gian tồn tại
của nó là 100%.
2
(V)
P dV 1  
Toán tử
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Trong cơ học lượng tử, toán tử là một phép biến đổi toán
học tác động lên một hàm sóng và kết quả là một hàm sóng
khác trong cùng không gian.
ˆ  
 Gọi  là một hàm sóng,  là một số thực.  là hàm riêng của
toán tử  ứng với trị riêng  khi thoả mãn:
ˆ  
Một số toán tử trong cơ học lượng tử
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Toán tử toạ độ
xˆ x
 Toán tử động lượng
x
p i
x

 

yˆ y zˆ z
y
p i
y

 

z
p i
z

 

Một số toán tử trong cơ học lượng tử
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Toán tử bình phương động lượng
2 2 22
x y z
2 2 2
2 2
2 2 2
p p p p
x y z
  
   
           
 Toán tử năng lượng
2 2p
H K U U U
2m 2m
       
Phương trình Schrodinger
Vật lý 2 \ Chương 8 – Cơ học lượng tử
 Trong cơ học lượng tử, để xác định được trạng thái của vi
hạt cũng như xác suất tìm thấy hạt thì ta cần xác định được
hàm sóng mô tả nó.
Hàm sóng chính là nghiệm của một phương trình vi phân,
gọi là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử, hay
phương trình Schrodinger.
     2
2m
r W U r 0    