Khuếch tán phí tuyến và tensor cấu trúc trong mô hình hóa nhằm giảm thiểu đốm và tăng cường bên trong ảnh siêu âm

y
uxuy u
2
y
]
.
Phương pháp làm trơn này ổn định thông tin hướng bằng cách chuyển đổi tọa độ cục bộ
vector (x, y)T trong hệ tọa độ x ⊥ y tại điểm O ∈ ∂Ω bất kỳ của ảnh 2D thành hệ tọa độ
η ⊥ ξ [
η
ξ
]
=
1√
u2x + u
2
y
[
ux uy
−uy ux
] [
x
y
]
.
Hướng của tensor cấu trúc T2D bất biến trong chuyển đổi hệ tọa độ và chuyển đổi trục
chính, khi đó T2D = TωT
T . Khai triển phương trình (2) theo quan hệ giá trị riêng λi với
i ∈ [1, 2] thành các phần tử của ma trận đường chéo chính λ = diag(λi) của tensor cấu trúc
gradient T2D tương ứng với các vector riêng đã được chuẩn hóa và xoay trục tọa độ. Bằng
cách biến đổi này, tensor cấu trúc cho phép trích rút hướng khuếch tán trội và độ lớn cấu trúc
vùng ảnh cục bộ từ chính nó.
Tensor khuếch tán D(T2D) được xây dựng dựa trên những đặc tính của tensor cấu trúc
[19] chứa đầy đủ thông tin về dữ liệu cấu trúc cục bộ và hướng khuếch tán gradient cục bộ
của ảnh, được điều khiển bởi hai hệ số khuếch tán λ1, λ2 của phương trình (2). Tensor khuếch
tán D(T2D) ∈ R2×2 dạng đối xứng dương với các giá trị riêng là ω1λ1, ω2λ2 tương ứng với
các vector riêng eη ‖ ∇u và eξ ⊥ ∇u được thiết lập
D(T2D) =
1
|∇u|2
[
eη eξ
] [ω1λ1 0
0 ω2λ2
] [
eη
eξ
]
=
1
u2x + u
2
y
(ω1λ1eηe
T
η + ω2λ2eξe
T
ξ ), (4)
trong đó,
λ1 ≈
1−
|∇uσ|2
|∇uσ|2 +K2 |∇uσ| ≤ K
0 |∇uσ| > K,
λ2 = 1.
22 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU
Điều kiện khuếch tán giảm nhiễu, tăng cường vùng ảnh cục bộ phải thỏa mãn:
- Giảm nhiễu trong miền đồng nhất, khi đó λ1 = λ2 = β ≈ 1, thực hiện khuếch tán đẳng
hướng, ngầm định ω2λ2 = ω1λ1 ≈ β > 0 và D(T2D) = β(eηeTη + eξeTξ ).
- Bảo toàn và làm trơn biên ảnh, khi đó λ1 ≈ 0, λ2 = β = 1 thực hiện khuếch tán bất
đẳng hướng, ngầm định và ω2λ2 > ω1λ1 ≈ 0 và D(T2D) = ω2βλ2eξeTξ .
Mô hình khuếch tán phi tuyến và tensor cấu trúc được xây dựng từ phương trình khuếch
tán phi tuyến bất đẳng hướng (2) kết hợp với tensor cấu trúc được viết lại theo tensor khuếch
tán
∂u(x, y, t)
∂t
= div(D(T2D)∇u) = 1
u2x + u
2
y
div
([a b
b c
] [
ux
uy
])
(5)
với các điều kiện đầu, điều kiện biên{
u(0, x, y) = u0(x, y)
〈D(T2D)∇u, η〉 = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0
trong đó 〈., .〉 là tích vô hướng trong không gian vector Euclide, η là vector hướng ra ngoài
R2.
D. Rời rạc hóa mô hình khuếch tán phi tuyến và tensor cấu trúc
Hàm ảnh u(x, y, t) cho trong phương trình (5) với các giá trị riêng ω1λ1, ω2λ2 tương ứng
các vector riêng eη, eξ ∈ R2 thực chất là ảnh rời rạc về không gian và thời gian. Do vậy,
phương trình (5) có thể chuyển đổi thành sơ đồ sai phân hữu hạn để tìm nghiệm là các điểm
ảnh được xử lý lọc nhiễu theo thời gian thực.
Rời rạc hóa phương trình (5) theo không gian: miền chữ nhật Ω = (0, 1)× (0, 1) được rời
rạc hóa bằng lưới N = n × n các điểm ảnh, ta có kích thước bước lưới là ∆x = h1 = h =
1
n
, ∆y = h2 = h =
1
n
. Đặt xi = ih, yj = jh trong đó 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n là bước lưới
không gian theo hai hướng x, y.
Rời rạc hóa phương trình (5) theo thời gian: số lần rời rạc tk = k∆t, (k = 0, 1, ..., [T/∆t]),
∆t = τ là kích thước bước thời gian.
Định nghĩa xấp xỉ rời rạc uki,j : u
k
i,j ≈ u(ih, jh, kτ) với điều kiện biên Neumann.
Bằng cách sử dụng rời rạc hóa sai phân hữu hạn phương trình (5), ta có
uk+1i,j = u
k
i,j +
τ
1
2
(uki+1,j − uki−1,j
h
)2
+
1
2
(uki,j+1 − uki,j−1
h
)2 (Aki,j(u) + Cki,j(u) +Bki,j(u)), (6)
trong đó Aki,j(u), C
k
i,j(u), B
k
i,j(u) biểu diễn sự rời rạc hóa của các toán tử
∂x(a∂xu), ∂y(c∂yu), (∂x(b∂yu) + ∂y(b∂xu)).
Đặt
Lki,j(u
k
i,j) =
1
1
2
(uki+1,j − uki−1,j
h
)2
+
1
2
(uki,j+1 − uki,j−1
h
)2 (Aki,j(u) + Cki,j(u) +Bki,j(u))
KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 23
tại bước thời gian k, u là vector chứa các giá trị của từng điểm ảnh.
Áp dụng phương pháp sai phân trung tâm Crank-Nicolson [1, 18] có độ chính xác bậc nhất
theo thời gian, ta có sơ đồ bán ẩn
uk+1 =
(
I − τ
m∑
l=1
Lk+1l,l
)−1(
I +
τ
2
m∑
i=1
∑
j 6=i
Lki,j
)
uk, (7)
trong đó m là số chiều của ma trận điểm ảnh, trong trường hợp đang xét m = 2, I ∈ R2 là
ma trận đơn vị, ma trận Lkl,l là xấp xỉ sai phân của toán tử đạo hàm theo trục tọa độ thứ l
tại điểm thời gian rời rạc thứ k.
Sơ đồ (7) gọi là bán ẩn thỏa mãn mọi điều kiện ổn định của Von Neumann, cho phép mở
rộng bước thời gian tùy ý [18, 19].
Tuy vậy, trong sơ đồ bán ẩn (7), các ma trận nghịch đảo tại mỗi bước lặp thời gian, do đó
tiêu hao thời gian tính toán. Khắc phục hạn chế này, cần sử dụng xấp xỉ hệ các phương trình
phi tuyến bằng sơ đồ sai phân hữu hạn dựa vào tách toán tử cộng [18, 19]:
uk+1 =
(1
2
((1− τLk+111 )−1) + (1− τLk+122 )−1)
)(
1 +
τ
2
(Lk12 + L
k
21))
)
uk. (8)
Trong sơ đồ (8), thành phần
(
1 +
τ
2
(Lk12 +L
k
21))
)
uk gồm các giá trị hàm của các mắt lưới
đã biết tại mức thời gian k, cho phép xác định nghiệm ẩn của vector uk+1 tại mức thời gian
k + 1.
Áp dụng thuật toán tính nghiệm hệ ba đường chéo để giải sơ đồ (8) bằng hệ phương trình
đại số tuyến tính. Phương pháp này tính toán các toán tử độc lập tại từng bước thời gian,
sau đó lấy tổng, do vậy tăng hiệu năng tính toán, có độ chính xác bậc nhất theo thời gian.
Đây là thuật toán song song và thực hiện nhanh cho ma trận nghịch đảo, dùng thuật toán
này tính dữ liệu đầu vào là ảnh 2D đa mức xám, kích thước N × N chỉ đòi hỏi O(N) phép
tính số học dấu chấm động, trong khi các phương pháp tính toán số thông dụng khác phải
thực hiện O(N4) phép tính số học dấu chấm động [18].
E. Thuật toán của mô hình khuếch tán phi tuyến và tensor cấu trúc
Thuật toán của mô hình đề xuất được xây dựng dựa vào hai tiêu chuẩn chính: cải thiện
được chất lượng ảnh và tiết kiệm được không gian bộ nhớ, thời gian thực hiện. Một vòng lặp
k của thuật toán đề xuất gồm các bước:
Input u = uk
Bước 1: Chập từng điểm ảnh (x, y) với hàm Gσ tại thang σ của ảnh
∇uσ = ∇Gσ ∗ u = Gσ ∗ ∇u = ∇(Gσ ∗ u).
Bước 2: Tính bình phương biên độ gradient cho điểm ảnh tại (x, y) trong ảnh
|∇u|2 = u2x + u2y.
Bước 3: Tính giá trị riêng λ1 của phương trình (2).
Bước 4: Thiết lập các phần tử của ma trận T2D và ánh xạ λ1, λ2 trong (2) vào đường
chéo chính của tensor T2D cho từng điểm ảnh.
24 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU
Bước 5: Tính
V k =
(
I +
τ
2
m=2∑
i=1
∑
j 6=i
Lki,j
)
uk;
- Tính các phần tử của khung (3× 3) : Li,j ;
- Chập Li,j với u tại k;
- Nhân ma trận tích chập với τ.
Bước 6: Tính
uk+1 =
(
I − τ
m=2∑
l=1
Lk+1l,l
)−1
V k.
Tính nghiệm của hệ ba đường chéo bằng phân tích LU:
- Xây dựng ma trận tam giác dưới các phần tử đường chéo đơn vị L và ma trận tam giác
trên U từ các phần tử của ma trận Lkl,l: tạo một L và một U.
- Thực hiện phép thế thuận (giải Ly = b): biến đổi các vector trung gian bên vế phải của
ma trận.
- Thực hiện phép thế ngược (giải Ux = y): lần lượt tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính.
Output u = uk+1.
3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Những kết quả đưa ra từ các thực nghiệm được tiến hành chạy thử trên Matlab 7.0 với
hơn 60 ảnh siêu âm số Mode B quét các tổ chức bên trong cơ thể như thận, ổ bụng, gan, tim.
Cùng với thuật toán của mô hình đề xuất, ba mô hình khác là homomorphic Wiener, khuếch
tán phi tuyến P-M, khuếch tán tăng cường biên ảnh (EED) cũng đã được thực nghiệm với số
lượng ảnh trên và thực hiện các phép đo tiêu chuẩn chất lượng ảnh, tính thời gian thực hiện
cho từng thực nghiệm đơn lẻ. Mỗi ảnh được tiến hành thực nghiệm với từng mô hình khoảng
15-20 lần trước khi lấy kết quả trung bình. Trung bình sai số của MSE của ảnh khoảng 5-6/10
lần chạy thử / một ảnh, như vậy có thể chấp nhận được tính ổn định của thuật toán. Trong
khuôn khổ bài báo, sẽ minh họa hai trong số kết quả thực nghiệm đã thực hiện.
A. Tập dữ liệu ảnh sử dụng trong thực nghiệm
Trong thực nghiệm sử dụng ảnh siêu âm Mode B (Hình 1.a) chọn từ nguồn dữ liệu ảnh
siêu âm của ACR (American College of Radiology) và ảnh siêu âm thận thu nhận trực tiếp
trên bệnh nhân từ máy siêu âm 2D Hewlett-Packard Sonos 1000 (HP), đầu dò sector, dải tần
số f = 3÷ 5MHz (Hình 2.a).
Ảnh siêu âm của ACR (SA-ACR) (Hình 1.a) có mức xám ∈ (0 ÷ 255), kích thước ảnh
225×256pixel. Thực nghiệm rắc nhiễu trên ảnh và đọc được các chỉ tiêu chất lượng ban đầu của
ảnh siêu âm rắc nhiễu (Hình 1.b): MSE = 295, 94, SNR = 17, 73dB và PSNR = 23, 42dB.
Thực nghiệm với ảnh siêu âm thận lấy trực tiếp trên bệnh nhân (Hình 2) có mức xám
∈ (0÷ 255), kích thước ảnh 256× 236pixel, định dạng. BITMAP 8bits/pixel để minh họa khả
KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 25
năng ứng dụng thực tế của kỹ thuật hậu xử lý ảnh có hỗ trợ của máy tính trong thăm khám
chẩn đoán bằng hình ảnh.
B. Lựa chọn bộ tham số cài đặt
*Chọn tham số kích thước bước thời gian τ, số bước thời gian cực đại T và σ
Tiến trình khuếch tán của (5) phụ thuộc vào chương trình cài đặt thực hiện tính nghiệm
của phương trình của sơ đồ bán ẩn tách toán tử cộng (8). Hiệu quả của việc tính hàm ảnh phụ
thuộc vào sự lựa chọn các tham số τ, T và σ. Khi tính nghiệm của (8), cho phép mở rộng bước
thời gian τ tùy ý mà không ảnh hưởng tới độ chính xác của nghiệm, thực tế chọn τ = 1÷2 để
thỏa hiệp giữa mục đích giảm số bước lặp, giảm sai số tính toán khi thực hiện phép lọc nhiễu
đốm và tăng cường biên ảnh, đồng thời tiết kiệm không gian bộ nhớ của PC [17]. Tham số
T phụ thuộc vào phân bố mức xám của gradient điểm ảnh tại (x, y) bất kỳ, nếu chọn T quá
nhỏ, dẫn tới một số cấu trúc nhỏ của ảnh có thể không được xử lý, trái lại T quá lớn sẽ làm
chi phí thời gian tăng, đồng thời có thể làm mất mát một số thông tin gradient, để cân bằng
chọn T = 6÷ 9. Trong thực nghiệm giới hạn ngưỡng trung bình trong vùng bậc của tham số
σ = 1.
* Chọn tham số ngưỡng K
B iểu đồ 1. Chỉ tiêu MSE, SNR và PSNR biến đổi theo tham số K
trong tiến trình xử lý ảnh SA-ACR (Hình 1.b) với 4 bước lặp
Tham số K của hàm khuếch tán có tác dụng tạo ngưỡng tương phản của các điểm ảnh,
tương ứng với λ1 ∈ [0, 1] do phụ thuộc độ lớn của |∇u| vì vậy trong thực nghiệm giá trị của
tham số K ∈ [0, 1] lần lượt được cài đặt cho mô hình đề xuất với các tham số σ = 1, τ =
1, 5, T = 6 được giữ cố định. Mỗi giá trị của K tương ứng với một chỉ tiêu đánh giá chất
lượng MSE,SNR, và PSNR của ảnh SA-ACR đầu ra (Hình 1.b) được biểu diễn bằng Biểu
26 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU
đồ 1.
Số liệu trong Biểu đồ 1 cho thấy với giá trị của K = 0, 0 ÷ 0, 02 các chỉ tiêu MSE, SNR,
PSNR biến đổi nhanh, liên quan tới vùng ảnh có gradient lớn, độ tương phản ảnh biến đổi
mạnh. Trái lại, vùng ảnh có gradient nhỏ tương ứng với K > 0, 02 các chỉ tiêu trên biến đổi
rất chậm, khuếch tán làm trơn ảnh vùng đồng nhất. Mô hình đề xuất tập trung vào hai đặc
tính giảm nhiễu đốm, đồng thời bảo toàn, tăng cường ảnh, do vậy trong thực nghiệm chọn
K = 0, 02.
C. Kết quả làm trơn-tăng cường biên ảnh của mô hình đề xuất
* Thực nghiệm 1
Hình 1 minh họa kết quả giảm đốm-tăng cường biên tại cùng một vị trí của ảnh SA-ACR
của các mô hình xử lý ảnh khác nhau. Ảnh SA-ACR (Hình 1.b) được sử dụng làm dữ liệu
đầu vào của các mô hình thực nghiệm. Tham số cài đặt cho mô hình Homorphic Wiener
(HoW) [3] có hàm lọc Wiener. Tham số cài đặt chung cho các mô hình khuếch tán phi tuyến
Perona-Malik (P-M) [14], khuếch tán tăng cường biên ảnh (EED) [19] và mô hình đề xuất có
σ = 1, τ = 1, 5, T = 6. Tham số K = 0, 02 cài đặt cho P-M và mô hình đề xuất. Hằng số
Cm = 3, 31488, K = 3, 5, λ1‖∇u cài đặt cho EED.
Quan sát sự biến đổi giá trị mức xám của vùng ảnh cục bộ gồm 10× 10 điểm ảnh và khảo
sát sự khuếch tán mức xám của các điểm ảnh tại cột thứ 123 trong ma trận điểm ảnh của các
ảnh (Hình 1.a,b,c,d,e,f) cho thấy: HoW thực hiện tách đốm (nhân tính) bằng hàm logarit để
làm trơn, nhưng giảm tương phản ảnh và bỏ sót một số điểm ảnh có mức xám lớn (Hình 1.c)
do Wiener là hàm lọc thông thấp; mô hình P-M làm trơn đốm trong vùng đồng nhất, nhưng
tại một số điểm đột biến (biên) trong đồ thị mức xám cột 123 biểu diễn không rõ ràng, mức
xám các điểm ảnh đồng đều trong các vùng của ảnh (Hình 1.d), do P-M là đẳng hướng trong
cả miền biên ảnh; EED làm đồng đều mức xám trong từng vùng ảnh cục bộ, tăng độ tương
phản ảnh, tuy nhiên trong thăm khám bằng hình ảnh, cải thiện ảnh là cần thiết nhưng phải
bảo toàn tính tự nhiên của nó (Hình 1.e); mô hình đề xuất có những ưu điểm như EED, tại
các điểm đột biến mức xám cột 123 và các giá trị của 10 × 10 điểm ảnh (Hình 1.f) cho thấy
có dạng gần nhất với (Hình 1.a) của ảnh gốc so với hai mô hình khuếch tán phi tuyến trên.
Mô hình đề xuất có λ1, λ2 trong (4) điều khiển trực tiếp hướng khuếch tán của từng điểm
ảnh vùng có SND khác nhau của đốm và λ1 có tốc độ suy giảm hàm đa thức thay vì phép
chập Gauss tuyến tính với từng phần tử trong ma trận J0(∇u) trước khi điều khiển hướng
khuếch tán tức thời của vùng ảnh trong EED.
Đánh giá khả năng khôi phục ảnh của từng mô hình thực nghiệm biểu diễn trong Bảng 1.
Độ phức tạp tính toán của thuật toán cho các mô hình trong thực nghiệm được đánh giá
từ dữ liệu ảnh có số chiều m = 2, số điểm ảnh/số mắt lưới rời rạc N và số vòng lặp k.
* Thực nghiệm 2
Ảnh siêu âm thận Mode B thu nhận trực tiếp trên bệnh nhân (Hình 2) được sử dụng khảo
sát lần lượt sự khuếch tán mức xám của các điểm ảnh trong ma trận điểm ảnh gốc lẫn đốm.
Ảnh được làm trơn-tăng cường độ tương phản bằng mô hình đề xuất với 4 bước lặp và 6 bước
lặp. Các tham số cài đặt cho tiến trình thực nghiệm: σ = 1, τ = 1, 5, T = 6 và 9, K = 0, 02.
Kết quả với 4 bước lặp, ảnh được làm trơn đốm-tăng cường độ tương phản, giảm đáng
KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 27
H ình 1. Kết quả giảm đốm-tăng cường biên ảnh với các mô hình xử lý đốm a. Ảnh siêu âm
ACR (SA ACR); b. SA ACR rắc nhiễu; c. SA ACR đầu ra HoW; d. SA ACR đầu ra P-M;
e. SA ACR đầu ra EED; f. SA ACR đầu ra mô hình đề xuất.
28 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU
Bảng 1. Chỉ tiêu đánh giá chất lượng ảnh của các mô hình thử nghiệm
MSE SNR (dB) PSNR (dB) Độ phức tạp tính toán
SA ACR rắc nhiễu 295,94 17,73 23,42 –
SA ACR đầu ra HoW 269,37 18,14 23,83 O(mN log2N)
SA ACR đầu ra P-M 151,05 20,65 26,34 O(mNk)
SA ACR đầu ra EED 123,02 21,54 27,23 O(mNk)
SA ACR đầu ra 122,98 21,54 27,23 O(mNk)
mô hình đề xuất
kể sai lệch giữa các điểm ảnh so với các lân cận của chúng và bảo toàn được độ chói của các
điểm ảnh; các chỉ tiêu chất lượng của ảnh, độ chói của các điểm ảnh với 6 bước lặp giảm so
với ảnh 4 bước lặp, dẫn tới giảm độ tương phản các chi tiết trong ảnh.
Bảng 2. Chỉ tiêu đánh giá chất lượng ảnh SA thận sau 4 và 6 bước lặp của mô hình đề xuất
MSE SNR (dB) PSNR (dB)
Ảnh lọc σ = 1, τ = 1, 5, T = 6 102,09 20,18 28,04
Ảnh lọc σ = 1, τ = 1, 5, T = 9 118,91 21,24 27,38
4. KẾT LUẬN
Mô hình đề xuất đã phát triển mô hình khuếch tán phi tuyến chỉnh hóa của Catté và
cộng sự bằng cách kết hợp với phương trình dịch chuyển đường cong trung bình và biến đổi
nó thành các phần tử của ma trận tán xạ (tensor cấu trúc) để trở thành tensor khuếch tán.
Sự kết hợp các phương pháp và những biến đổi được thực hiện trong bài báo đã làm cho tiến
trình khuếch tán có cấu trúc rõ ràng và khắc phục hạn chế vốn có của từng mô hình đã đề
xuất trước đó. Đồng thời mô hình đề xuất luôn thoả mãn nguyên lý cực trị, nghĩa là bài toán
phương trình đạo hàm riêng của mô hình là đặt chỉnh.
KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 29
Trong những thực nghiệm mà nhóm tác giả đã thực hiện, nguồn dữ liệu ảnh siêu âm
được tham khảo từ ACR (American College of Radiology), AIUM (American Institute of
Ultrasound in Medicine), IT Lab at the Medical University of South Carolina và nguồn ảnh
lấy trực tiếp trên bệnh nhân từ máy siêu âm tại các bệnh viện trong nước. Nguồn dữ liệu ảnh
này được thực nghiệm trên các máy PC khác nhau và bằng một số mô hình lọc nhiễu đốm
trong ảnh siêu âm có liên quan tới mô hình đề xuất, cho thấy mô hình đề xuất đang trong
quá trình hoàn thiện nhưng đã chứng tỏ được khả năng phát triển, có độ tin cậy và tính ổn
định của nó trong làm trơn, tăng cường biên ảnh siêu âm. Các chỉ tiêu đo lường chất lượng
ảnh MSE, SNR, PSNR, thời gian thực hiện làm trơn đốm, tăng cường biên ảnh siêu âm của
mô hình đề xuất tương đồng với các kết quả của những mô hình theo hướng tiếp cận khuếch
tán phi tuyến bất đẳng hướng đã được công bố gần đây trong [7, 11, 12, 13, 15].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Gilles Aubert, Pierre Kornprobst, Mathematical Problems Image Processing, ISBN 11-387-
95326-4, Springer Verlag New York. LLC, 2002.
[2] Andrei D. Polyanin, Alexander V. Manzhirov, Handbook of Mathematics for Engineers and
Scientists, ISBN10: 1584885025, 13: 9781584885023, c©Taylor & Francis Group, LLC, 2007.
[3] Anil K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989.
[4] Luis Alvarez, Pierre-Louis Lions, Jean-Michel Morel, Image selective smoothing and edge de-
tection by nonlinear diffusion II, SIAM Journal on Numerical Analysis 29 (3) (Jun. 1992)
845–866.
[5] Khaled Z. Abd-Elmoniem, Abou-Bakr M. Youssef, and Yasser M. Kadah, Real-time speckle
reduction and coherence enhancement in ultrasound imaging via nonlinear anisotropic diffusion,
IEEE Transactions on Biomedical Engineering 49 (9) (September 2002) 997–1014.
[6] Sigurd Angenent, Eric Pichon, and Allen Tannenbaum, Mathematical methods in medical image
processing, Bulletin of the American Mathematical Society Volume 43 (3) (July 2006)
365–396.
[7] Faouzi Benzarti, Hamid Amiri, Image denoising using non linear diffusion tensors, Advances in
Computing 2 (1) (2012) 12–16.
[8] Thomas Brox, Rein van den Boomgaard, Francois Lauze, Joost van de Weijer, Joachim Weick-
ert, Pavel Mras zek, and Pierre Kornprobst, Adaptive structure tensors and their applications,
Mathematik Universitat des Saarlandes, Germany, 2005.
[9] Francine Catte, Pierre-Louis Lions, Jean-Michel Morel, Tomeu Coll, Image selective smoothing
and edge detection by nonlinear diffusion, SIAM Journal on Numerical Analysis 29 (1)
(Feb. 1992) 182–193.
[10] Stephan Didas and Joachim Weickert, From Adaptive Averaging to Accelerated Nonlinear
Diffusion Filtering, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006.
[11] Shujun Fu, Qiuqi Ruan, Wenqia Wang, and Yu Li, Adaptive anisotropic diffusion for ultra-
sonic image denoising and edge enhancement, International Journal of Information and
Communication Engineering 2 (8) (2006).
[12] S. Kalaivani, R.S.D. Wahidabanu, Condensed anisotropic diffusion for speckle reducton and
enhancement in ultrasonography, EURASIP Journal on Image and Video Processing, (ISSN
1687-5281), (doi:10.1186/1687-5281-2012-12), 2012.
30 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU
[13] Karl Krissian, Carl-Fredrik Westin, Ron Kikinis, and Kirby Vosburgh, and Kirby Vosburgh,
Oriented speckle reducing anisotropic diffusion, IEEE Transactions on Image Processing 16
(5) (May 2007) 1412–1424.
[14] P. Perona, J. Malik, Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Trans-
actions on Patern Analysis and Intelligence 12 (7) (July 1990).
[15] Christos P. Loizou, Constantinos S. Pattichis, Christodoulos I. Christodoulou, Robert S. H.
Istepanian, Marios Pantziaris, and Andrew Nicolaides, Comparative evaluation of despeckle fil-
tering in ultrasound imaging of the carotid artery, IEEE Transactions on Ultrasonics, Fer-
roelectrics, and Frequency Control 52 (10) (October 2005).
[16] Oleg V. Michailovich and Allen Tannenbaum, Despeckling of medical ultrasound images, IEEE
Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control 53 (1) (January
2006).
[17] Joachim Weickert, Bart M. ter Haar Romeny, Max A. Viergever, Effcient and reliable schemes
for nonlinear diffusion filtering, IEEE Transactions on Image Processing 7 (3) (March 1998)
398–410.
[18] J. M. McDonough, “Lectures in Basic computational numerical analysis”, Departments of Me-
chanical Engineering and Mathematics, University of Kentucky, 2007.
[19] Joachim Weickert, Anisotropic Diffusion in Image Processing, B.G. Teubner Stuttgart, 1998.
Ngày nhận bài 20 - 12 - 2012
Ngày lại sau sửa ngày 05 - 4 - 2013