Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian 9 chiều

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Văn Hoàng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 3 
MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG 
CHO KHÔNG GIAN 9 CHIỀU 
LÊ VĂN HOÀNG*, NGUYỄN THÀNH SƠN** 
TÓM TẮT 
Sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng chúng tôi tìm ra mối liên hệ tương đương 
giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử đồng dạng hydro 9 chiều trong trường 
định chuẩn SO(8). Dựa trên phát hiện này, chúng tôi có cách đơn giản để xây dựng một 
đơn cực trong không gian 9 chiều, chính là mở rộng của đơn cực Dirac (1931) cho không 
gian 3 chiều cũng như của đơn cực Yang (1978) cho không gian 5 chiều. 
ABSTRACT 
Generalization of Dirac and Yang monopoles for 9-dimension space 
 Using the generalized Hurwitz transformation, we find an equivalent correlation 
between a 16-dimension harmonic oscillator and a 9-dimension hydrogen-like atom in the 
SO (8) gauge field. Based on this finding, we propose a simple method to establish a 
monopole in a 9-dimension space which is really a generalization of Dirac monopole 
(1931) for 3-dimension space as well as of Yang monopole (1978) for 5-dimension space. 
1. Mở đầu 
Năm 1978, Yang Chen Ning đã mở 
rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5 
chiều qua mô hình tương tác giữa trường 
định chuẩn SU(2) với hạt có isospin [10]. 
Tính chất cơ bản của trường đơn cực 
SU(2) là (i) thông lượng qua một mặt kín 
trong không gian 5 chiều chứa đơn cực là 
khác không; (ii) trường có đối xứng cầu 
O(5). Một hạt đơn cực như vậy đồng thời 
có điện tích người ta gọi là đơn cực 
Yang-Coulomb, được nghiên cứu tương 
đối nhiều [6-8]. 
Từ kết quả của Yang, việc xây 
dựng đơn cực từ cho không gian nhiều 
chiều khác là một nhu cầu tự nhiên và đã 
được tiến hành trong một số công trình 
* PGS TSKH, Khoa Vật lý Trường Đại học 
Sư phạm TP HCM 
** ThS, Khoa Khoa học Cơ bản Trường 
Đại học Kiến trúc TP HCM 
[9-10]. Tuy nhiên, cho đến nay chưa có 
kết quả nào thảo luận về việc mở rộng 
đơn cực từ theo lô-gic của Yang khi phát 
triển từ đơn cực từ Dirac 3 chiều lên 
không gian 5 chiều. Ở đây, một tính chất 
rất quan trọng của đơn cực Dirac cũng 
như Yang là khi kết hợp với điện tích nó 
không phá vỡ các tính chất đối xứng của 
bài toán Coulomb. Cụ thể như sự có mặt 
của đơn cực Dirac không làm thay đổi 
đối xứng O(4) và vẫn tồn tại một bất biến 
là véc-tơ Runge-Lenz cũng như đối xứng 
động lực SO(4,2) [2]. Tương tự như vậy 
với đơn cực Yang thì bài toán Coulomb 5 
chiều vẫn bảo toàn đối xứng O(6) [6], đối 
xứng động lực SO(6,2) [8]. Chúng ta sẽ 
gọi một đơn cực là mở rộng trực tiếp của 
đơn cực Dirac và đơn cực Yang nếu như 
nó có những tính chất tương tự như vậy. 
Trong công trình [3], chúng tôi đã 
mở rộng phép biến đổi Hurwitz và dựa 
vào đó để xây dựng mối liên hệ giữa bài 
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 24 năm 2010 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 4 
toán dao động tử 16 chiều với bài toán 
Coulomb 9 chiều với sự có mặt một 
trường định chuẩn tương tác với hạt có 
các tính chất được đặc trưng bằng một 
đại số kín bao gồm 28 vi tử. Điều này gợi 
ý cho một cách khái quát hóa đơn cực 
Yang lên không gian 9 chiều từ một 
hướng tiếp cận hoàn toàn mới liên quan 
đến mối liên hệ giữa dao động tử điều 
hòa n chiều và bài toán Coulomb N 
chiều. Cho đến nay mối liên hệ này được 
xây dựng cho các trường hợp số chiều 
n N® như sau: 2 2® , 3 4® , 5 8® và 
9 16® [4]. Một tính chất rất quan trọng 
của mối liên hệ này là khi bài toán 
Coulomb được thêm đơn cực từ thì mối 
liên hệ với dao động tử điều hòa vẫn tồn 
tại. Trong trường hợp 3 4® ta có đơn 
cực từ Dirac [5], còn trong trường hợp 
5 8® đó là đơn cực Yang [6-8]. Câu hỏi 
đặt ra là đơn cực nào cho trường hợp 
9 16® khi thêm vào bài toán Coulomb 9 
chiều mà vẫn không phá vỡ mối liên hệ 
với dao động tử điều hòa 16 chiều? 
Trong công trình này, trả lời cho 
câu hỏi trên một cách trọn vẹn, chúng tôi 
xây dựng đơn cực trong không gian 9 
chiều theo mô hình đại số SO(8) sao cho 
bài toán Coulomb với sự có mặt của đơn 
cực này trở thành dao động tử điều hòa 
16 chiều qua phép biến đổi Hurwirz mở 
rộng [3]. Ở đây từ 9 chiều sang bài toán 
16 chiều có xuất hiện 7 chiều không gian 
mới trong các biểu thức tường minh của 
28 vi tử của đại số SO(8). Các biến số 
mới này được đưa vào thông qua phép 
biến đổi Hurwitz mở rộng. Như vậy đơn 
cực được xây dựng tường minh này có 
thể xem là một dạng mở rộng của đơn 
cực từ Dirac cũng như đơn cực Yang: 
1
2
3
:3 2 1
:5 2 1 (2)
:9 2 1 (8)
Dimension Dirac monopole
SU Yang monopole
SO monopole
= + ®
= + ®
= + ®
2. Phép biến đổi Hurwitz mở rộng 
Trong phần này chúng tôi sẽ viết lại 
phép biến đổi Hurwitz mở rộng, được 
công bố trong công trình [3], đồng thời 
đưa ra một số công thức mới, tường 
minh, thuận lợi cho việc sử dụng trong 
các tính toán tiếp theo trong công trình 
này. 
Phép biến đổi bình phương cho 
trường hợp biến đổi giữa không gian 9 
chiều ( 1 2 9, ,...,x x x ) và không gian 16 
chiều ( 1 2 8 1 2 8, ,..., , , ,...,u u u v v v ) xây dựng 
đầu tiên trong công trình [4] sao cho điều 
kiện Euler: 
s s s sr x x u u v vl l= = + (1) 
được thỏa mãn. Mới đây trong công trình 
[3] phép biến đổi này được đưa ra dưới 
dạng tường minh như sau: 
9
2( )
.
j j st s t
s s s s
x u v
x u u v v
= G
= -
 (2) 
Ở đây, các ma trận jG có dạng: 
1
0
0
b
b
é ù
G = ê ú
ë û
, 1 32
1 3
0
0
ba a
ba a
é ù
G = ê ú
ë û
, 
3
3
3
0
0
a
a
é ù
G = ê ú
ë û
, 14
1
0
0
a
a
é ù
G = ê ú-ë û
, 
1 2
5
1 2
0
0
i
i
aa
aa
-é ù
G = ê ú
ë û
, 2 36
2 3
0
0
i
i
baa
baa
-é ù
G =ê ú
ë û
, 
3
7
3
0
0
ba
ba
-é ù
G = ê ú
ë û
, 18
1
0
0
a
a
é ù
G = ê ú
ë û
, (3) 
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Văn Hoàng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 5 
trong đó 
0
0
I
I
b
é ù
= ê ú-ë û
, 
0
0
k
k
k
s
a
s
é ù
= ê ú
ë û
 là các 
ma trận Dirac; ks là các ma trận Pauli. 
Trong biểu thức (2) và tiếp theo trong 
suốt công trình này, sự lập lại các chỉ số 
có nghĩa là lấy tổng theo toàn miền thay 
đổi của nó: , 1, 2,...,8.s t = Ở đây, các chỉ 
số của biến số xl được ký hiệu theo mẫu 
tự Hy Lạp sẽ có giá trị: 1,2,...,9l = . Tuy 
nhiên, trong một số trường hợp ta sẽ cần 
tách riêng biến số 9x , khi đó các biến số 
còn lại có chỉ số ký hiệu theo chữ La-tin 
jx , 1,2,...,8j = . 
Các ma trận jG hoặc là đối xứng 
hoặc phản đối xứng, cụ thể ta có Tk kG = G 
với 1,3,4,7,8k = trong khi Tk kG = -G với 
2,5,6k = (ký hiệu mũ T để chỉ phép 
chuyển vị ma trận). Ngoài ra nó còn thỏa 
mãn tính chất sau : 
2T Ts i t s st IdG G + G G = , (4) 
với std là các ký hiệu delta Kroneker. 
Điều này có nghĩa là tích bất kỳ hai ma 
trận (3) nào khác nhau đều là ma trận 
phản đối xứng. 
Trong công trình [3], lần đầu tiên 
phép biến đổi Hurwitz mở rộng được xây 
dựng dưới dạng (2) và ngoài ra còn định 
nghĩa thêm 7 biến số phụ 321 ,, fff , 
1 2,a a , 3 4,a a . Từ đây phép biến đổi 
ngược đã được xây dựng dưới dạng 
tường minh như sau : 
 9 ( )
2s s
r xu b fa+= , 
9
( )
2( )
j
s sj
x
v H
r x
fa=
+
 . (5) 
Ở đây các hàm số ( )sb fa chỉ phụ thuộc 
vào các biến số góc: 
1 1 2 1cos( / 2)cos( / 2)cosb f f a= , 
2 1 2 1cos( / 2)cos( / 2)sinb f f a= , 
3 1 2 2cos( / 2)sin( / 2)cosb f f a= , 
4 1 2 2cos( / 2)sin( / 2)sinb f f a= , 
5 1 3 3sin( / 2) cos( / 2) cosb f f a= , 
6 1 3 3sin( / 2) cos( / 2)sinb f f a= , 
7 1 3 4sin( / 2)sin( / 2) cosb f f a= , 
8 1 3 4sin( / 2)sin( / 2)sinb f f a= . 
Các yếu tố ma trận ( )jsH fa cũng 
chỉ phụ thuộc vào biến số góc như vậy và 
có thể biểu diễn qua ( )sb fa . Dạng tường 
minh của ma trận ( )H fa được đưa ra 
trong [3] có dạng của ma trận Hurwitz, 
với các tính chất: det ( ) 1H fa = , 
1TH H -=  . Tính chất này cùng với công 
thức biến đổi ngược (5) cho phép ta tính 
toán thuận lợi trong các phần sau. 
3. Thế đơn cực trong không gian 9 
chiều 
Sử dụng phép biến đổi (5) ta có thể 
chứng minh công thức sau: 
( )1
2
ˆ( ) ( )
j t sst
s t
k kj
j
i v u
u v
r i A Q
x
fa
æ ö¶ ¶
- G +ç ÷¶ ¶è ø
æ ö¶
= - -ç ÷ç ÷¶è ø
r
, (6) 
9
1
2 s ss s
i u v ir
u v x
æ ö¶ ¶ ¶
- - = -ç ÷¶ ¶ ¶è ø
, 
trong đó:
92 ( )
k
k
x
A
r r x
=
+
 . (7) 
Các toán tử ˆkjQ chỉ phụ thuộc vào biến số 
góc ( )jf , dạng tường minh có thể dễ 
dàng thu nhận được trong công trình [3]. 
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 24 năm 2010 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 6 
Hệ các toán tử ˆkjQ là phản đối xứng theo 
chỉ số ( )jk , và có tất cả 28 toán tử. 
Chúng tạo thành một đại số kín SO(8) 
theo các hệ thức giao hoán sau: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,jk lm jm lk km lj jl km kl jmQ Q i Q i Q i Q i Qd d d dé ù= - + -ë û (8) 
Bây giờ chúng ta quay lại với các 
toán tử (6). Nếu không tính thừa số r thì 
vế phải chính là các toán tử xung lượng 
trong không gian thực 9 chiều: 
ˆˆ ( ) ( )j k kj
j
i A Q
x
p fa¶= - -
¶
r , 
9
9
ˆ i
x
p ¶= -
¶
. (9) 
Xét thành phần tương tác ˆ( ) ( )k kjA Q far 
trong biểu thức xung lượng (9) ta thấy có 
tất cả 7 toán tử SO(8). Điều này gợi ý cho 
ta định nghĩa một bộ bảy các thế véc-tơ 
như sau: 
( )1 2 1 4 3 6 5 8 7, , , , , , , ,0A A A A A A A A Al = - + + - + - + -        , 
( )2 3 4 1 2 7 8 5 6, , , , , , , ,0A A A A A A A A Al = + + - - + - - +        , 
( )3 4 3 2 1 8 7 6 5, , , , , , , ,0A A A A A A A A Al = + - + - + + - -        , 
( )4 5 6 7 8 1 2 3 4, , , , , , , ,0A A A A A A A A Al = - - - + + + + -        , 
( )5 6 5 8 7 2 1 4 3, , , , , , , ,0A A A A A A A A Al = + - + + + - - -        , 
( )6 7 8 5 6 3 4 1 2, , , , , , , ,0A A A A A A A A Al = + - - - + + - +        , 
( )7 8 7 6 5 4 3 2 1, , , , , , , ,0A A A A A A A A Al = - - + + - - + +        . 
 (10)
 Khi đó toán tử xung lượng trong 
không gian 9 chiều có thể viết lại dưới 
dạng: 
ˆˆ ( ) ( )j ajja
j
i I A
x
p fa¶= - -
¶
r . (11) 
Trong biểu thức (11), chúng ta có dấu ~ 
trên chỉ số j để chỉ rằng không có lấy 
tổng theo chỉ số này, còn các toán tử 
ˆ ( )jaI fa với chỉ số 1,2,...,7a = và 
1,2,...,8j = vẫn chính là các các toán tử 
ˆ
kjQ với các dấu ± khác nhau. Dạng cụ 
thể của ˆ ( )jaI fa có thể tìm thấy trong 
công trình trước đây của chúng tôi [3]. 
Quay lại với bộ bảy các thế véc tơ 
(10) ta dễ dàng kiểm tra các tính chất sau: 
0kx Al l = , 92
94 ( )
j k jk
r xA A
r r xl l
d
-
=
+
 (12) 
hoàn toàn tương tự tính chất của thế véc-
tơ đơn cực từ Dirac trong không gian 3 
chiều: 
2 1
3
1 ( , ,0)
2 ( )
A x x
r r xl
= -
+
, 0x Al l = , 
3
2
34 ( )
r xA A
r r xl l
-
=
+
. (13) 
cũng như tính chất của bộ ba thế véc-tơ 
đơn cực Yang SU(2): 
1, 2 1 4 3
5
1 ( , , , ,0)
2 ( )
A x x x x
r r xl
= - -
-
, 
2, 3 4 1 2
5
1 ( , , , ,0)
2 ( )
A x x x x
r r xl
= - -
-
, 
3, 4 3 2 1
5
1 ( , , , ,0)
2 ( )
A x x x x
r r xl
= - -
-
, (14) 
cho không gian 5 chiều: 
0kx Al l = , 52
54 ( )
j k jk
r xA A
r r xl l
d
-
=
+
 . 
 (15) 
Như vậy, ta vừa xây dựng một dạng 
thế véc-tơ theo mô hình SO(8) cho không 
gian 9 chiều là mở rộng trực tiếp của thế 
đơn cực Dirac cho không gian 3 chiều và 
thế đơn cực Yang theo mô hình SU(2) 
cho không gian 5 chiều. Trong phần tiếp 
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Văn Hoàng và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 7 
theo sau ta sẽ xây dựng mối liên hệ giữa 
bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều 
với nguyên tử hydro 9 chiều với sự có 
mặt của đơn cực SO(8). Sự tồn tại của 
mối liên hệ này cũng là một biểu hiện của 
sự khái quát hóa từ đơn cực Dirac, đơn 
cực Yang lên đơn cực SO(8). 
4. Mối liên hệ giữa dao động tử điều 
hòa và nguyên tử hydro 9 chiều với sự 
có mặt của đơn cực SO(8) 
Xét dao động tử điều hòa trong 
không gian 16 chiều thực ( uv ), phương 
trình Schrodinger của nó được viết như 
sau: 
2 2
21 1 ( ) ( , )
8 2
( , )
s s s s
s s s s
u u v v u v
u u v v
Z u v
w
ì üæ ö¶ ¶ï ï- + - + Yí ýç ÷¶ ¶ ¶ ¶ï ïè øî þ
= Y
. 
 (16) 
Trong đó , Zw là các số thực 
dương, có ý nghĩa lần lượt là tần số góc 
và năng lượng của dao động tử điều hòa. 
Bây giờ chúng ta sẽ chuyển phương trình 
trên về không gian 9 chiều 1 2 9, ,...,x x x 
bằng phép biến đổi Hurwitz mở rộng (2), 
trong đó 7 chiều dư ra sẽ biểu diễn bằng 
các góc 321 ,, fff , 1 2,a a , 3 4,a a . Phương 
trình thu được như sau: 
21 1 ˆˆ ˆ ( ) ( , )
2 2
( , )
ZI
r r
E
l lp p fj y fa
y fa
ì ü+ -í ý
î þ
=
r
r
, (17) 
trong đó ˆlp với các chỉ số chạy từ 1 đến 
9 chính là toán tử xung lượng có dạng 
như công thức (9) và (11); toán tử 
2ˆ ˆ ˆ( ) ja jaI I Ifj =  giao hoán với tất cả các 
toán tử ˆjaI ; 
21
2
E w= - . 
Hệ vật lý mô tả bởi phương trình 
(17) chính là nguyên tử đồng dạng hydro 
trong không gian 9 chiều với sự có mặt 
của đơn cực SO(8) với biểu thức tường 
minh (10). Ở đây Z đóng vai trò là điện 
tích hạt nhân, trong khi E là năng lượng 
trong vùng liên kết (luôn luôn âm). Trong 
trường hợp hàm sóng không phụ thuộc 
vào các biến số góc mà chỉ phụ thuộc vào 
9 biến số không gian 1 2 9, ,...,x x x thì (17) 
là phương trình Schrodinger cho nguyên 
tử hydro 9 chiều. Trường hợp tổng quát 
khi hàm sóng còn phụ thuộc vào 7 biến 
số góc 321 ,, fff , 1 2,a a , 3 4,a a ta có 
trường hợp xuất hiện tương tác với thế 
đơn cực SO(8). Ta thấy 7 biến số phụ 
dùng để mô tả những tính chất nội tại của 
hạt biểu diễn qua 28 vi tử của đại số 
SO(8). Bài toán này còn có tên gọi là bài 
toán MIC-Kepler và là một trong các bài 
toán cơ bản được nghiên cứu nhiều cho 
trường hợp không gian 3 chiều và 5 
chiều. Bài toán MIC-Kepler 9 chiều với 
mô hình SO(8) lần đầu tiên đưa ra trong 
công trình này. 
5. Kết luận và hướng phát triển 
 Như vậy, chúng tôi đã phát triển 
phép biến đổi Hurwitz mở rộng với một 
số công thức tường minh thuận lợi trong 
tính toán giải tích. Trên cơ sở đó, trong 
công trình này lần đầu tiên đưa ra mối 
liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 
chiều với bài toán nguyên tử hydro 9 
chiều với sự có mặt của đơn cực SO(8). 
Xét đơn cực Dirac và đơn cực Yang 
trong các mối liên hệ tương tự giữa dao 
động tử điều hòa với nguyên tử hydro 
với sự có mặt của các đơn cực này, 
chúng ta thấy đơn cực SO(8) trong 
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 24 năm 2010 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 8 
không gian 9 chiều chính là sự mở rộng 
của đơn cực từ Dirac và đơn cực SU(2) 
của Yang. Trong công trình tiếp theo, 
chúng tôi sẽ chứng minh đối xứng động 
học SO(10,2) cho bài toán đang xét và 
xây dựng bất biến tương tự véc-tơ 
Runge-Lenz. 
Chúng tôi cám ơn Quỹ Nghiên cứu 
Khoa học Công nghệ của Bộ Giáo dục và 
Đào tạo đã tài trợ cho công trình này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Akihiro Ito (1984), “Generalized Wu-Yang Solution of the Yang-Mills Equation”, 
Prog. Theor. Phys, (71), pp. 1443-1446. 
2. Barut A., Kleinert H. (1967), “Dynamical Group O(4, 2) for Baryons and the 
Behavior of Form Factors”, Phys. Rev.,(161), pp. 1464-1466. 
3. Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son, Phan Ngoc Hung (2009), “A Hidden Non-
Abelian Monopole in a 16-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator”, J. Phys. A 
42, pp. 175204-175212. 
4. Le Van Hoang, Komarov L. I. (1993), “Theory of the generalized Kustaanheimo-
Stiefel transformation”, Phys. Lett. A 177, pp. 121-124. 
5. Kleinert H (1986), “Path integral for Coulomb system with magnetic charges”, Phys. 
Lett. A 116, pp. 201-206. 
6. Mardoyan L. G., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. (1999), “Hidden Symmetry of 
the Yang–Coulomb System”, Mod. Phys. Lett. A 14, pp. 1303-1307. 
7. Nersessian A., Pogosyan G. (2001), “Relation of the oscillator and Coulomb systems 
on spheres and pseudo-spheres”, Phys. Rev. A 63, pp. 20103-20107. 
8. Pletyukhov M. V., Tolkachev E. A. (1999), “SO(6,2) dynamical symmetry of the 
SU(2) MIC-Kepler problem”, J. Phys. A 32, L249-253. 
9. Tchrakian T. (2008), “Dirac-Yang monopoles in all dimensions and their regular 
counterparts”, Phys. Atom. Nucl., (71), pp. 1116-1122. 
10. Yang C. N. (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU2 gauge fields”, J. 
Phys. A 19, pp. 320-328.