Một số tri thức toán phổ thông trong kinh tế lượng

hi tiêu và thu nhập, nhưng ông 
đã không định rõ dạng hàm số giữa hai biến này. ([10], tr. 4) 
Việc nên chọn hàm số kiểu nào cần phải có các nghiên cứu thống kê, tuy nhiên, 
người ta có thể bắt đầu bằng một hàm tuyến tính vì sự đơn giản của nó (về mặt kĩ thuật 
toán học) và vì ta luôn có thể xấp xỉ một hàm phi tuyến bằng một hàm tuyến tính trong 
một lân cận của biến độc lập. 
Để cho đơn giản, một nhà kinh tế học kiêm toán học có thể đề nghị dạng hàm chi tiêu 
của Keynes như sau: 
1 2Y X   (I.3.1) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thái Bảo Thiên Trung 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
97 
Với Y = chi tiêu tiêu dùng [Consumption expenditure] , X = thu nhập [Income] và 1 
cùng với 2 là các tham số của mô hình (tương ứng chính là các tung độ gốc và hệ số độ dốc 
của đường thẳng). 
Hình 1.1. Hàm chi tiêu của Keynes ([10], tr. 4) 
Như vậy, hệ số góc của đường thẳng chính là đạo hàm của hàm đường thẳng, nó 
đo độ dốc của đường thẳng và cho biết mức thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độc 
lập x tăng (hay giảm) 1 đơn vị. 
2.2. Trong dạy học toán bậc trung học 
Trong dạy học Toán phổ thông Việt Nam, đối tượng đường thẳng xuất hiện trong 
tất cả các phân môn chính: Hình học, Đại số và Giải tích. 
Phân tích các sách giáo khoa trung học cơ sở hiện hành 
Nếu chúng tôi chỉ xem xét đường thẳng khi có phương trình của nó thì đối tượng 
này xuất hiện lần đầu trong phần Đại số lớp 7 với phương trình y = ax (đường thẳng đi 
qua gốc tọa độ). 
Phương trình tổng quát hơn được trình bày trong Đại số lớp 9 (y = ax+b). Và 
chính thời điểm này, nghĩa của hệ số góc đường thẳng được đề cập. 
- Ý nghĩa đầu tiên của hệ số góc đó là: dấu của hệ số góc xác định chiều biến 
thiên của hàm đường thẳng. 
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: 
a) Đồng biến trên R, khi a > 0, 
b) Nghịch biến trên R, khi a < 0. ([2], tr. 47) 
Ý nghĩa này được truyền thụ cho học sinh thông qua các kiểu nhiệm vụ (trong 
phần bài tập): xác định sự biến thiên (đồng biến hay nghịch biến) của một hàm số bậc 
nhất, tìm tham số m để một hàm số bậc nhất đồng biến (hay nghịch biến). 
Cần lưu ý rằng, khi ý nghĩa đầu tiên được đề cập thì thuật ngữ “hệ số góc” vẫn 
chưa xuất hiện. 
- Nghĩa “hệ số góc là tg của góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox” chỉ được xây 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
98 
dựng ngầm ẩn ở bậc THCS. Giải thích trong sách giáo viên toán 9 tập 1 cho thấy lí do 
là vì giá trị lượng của góc tù chưa được định nghĩa. 
[] Ở cấp THCS chưa học cách tính góc  khi tg có giá trị âm, do đó khi gặp trường 
hợp hệ số góc a của đường thẳng y = ax + b là số âm, phải tìm cách tính gián tiếp góc hợp bởi 
đường thẳng này và trục Ox. 
[] Cuối cùng thông qua hai ví dụ đã học, giáo viên chốt lại vấn đề về cách tính trực 
tiếp góc  hợp bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox trong trường hợp a > 0 và cách tính gián 
tiếp góc  trong trường hợp a < 0 ( = 1800 – ’ với ’ < 900 và tg’ = – a). ([3], tr. 70-71) 
Giải thích trên liên quan đến kiểu nhiệm vụ: tính góc hợp bởi đường thẳng y = ax 
+b với trục Ox. Sách giáo khoa trình bày kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này bằng 
cách vẽ đồ thị rồi tính giá trị tg của góc nhọn. 
Trong phần bài học của SGK, thuận ngữ “hệ số góc xuất hiện xuất hiện sau một 
hoạt động có lời giải và được minh họa bằng đồ thị : 
Hình 11a) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a > 0): 
y = 0,5x + 2; y = x + 2; y = 2x + 2. 
Hình 11b) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a < 0): 
y = -2x + 2; y = -x + 2; y = -0,5x + 2 
a) Hãy so sánh các góc 1, 2, 3 và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số a trong các 
hàm số (trường hợp a > 0) rồi rút ra nhận xét. 
b) Cũng làm tương tự như câu a) với trường hợp a < 0. 
Qua việc xét đồ thị của các hàm số đã nêu ở trên, ta có thể nói: 
- Khi hệ số a dương (a > 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc 
nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 900. 
- Khi hệ số a âm (a < 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù. Hệ 
số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 1800. 
Vì có sự liên quan giữa hệ số a với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox nên 
người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. ([2], tr. 56-57) 
Như vậy, mối liên hệ giữa hệ số góc và góc định hướng được đề cập tuy nhiên 
mối liên hệ với độ dốc hay tốc độ tăng của hàm số theo biến số chưa được làm rõ. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thái Bảo Thiên Trung 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
99 
Phân tích các sách giáo khoa trung học phổ thông hiện hành 
- Ý nghĩa “dấu của hệ số góc xác định chiều biến thiên của hàm đường thẳng” 
được nhắc lại trong phần Đại số lớp 10. Ngoài ra, trường hợp hệ số góc bằng 0 cũng 
được đề cập. 
- Định nghĩa “hệ số góc là tan của góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox” được đề 
cập trong phần Hình học lớp 10. Lúc này phương trình đường thẳng được xem xét tổng 
quát hơn bao gồm trường hợp phương trình đường thẳng không có hệ số góc. 
Chú ý 
Xét đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0. 
Nếu b  0 thì phương trình trên đưa được về dạng y = kx + m (3) 
Với 
a
k
b
  ,
c
m
b
  . Khi đó k là hệ số góc của đường thẳng  và (3) gọi là phương 
trình của  theo hệ số góc . 
Ý nghĩa hình học của hệ số góc (h.69) 
Xét đường thẳng : y = kx + m. 
Với k  0, gọi M là giao điểm của  với trục Ox và Mt là tia của  nằm phía trên Ox. Khi 
đó, nếu  là góc hợp bởi hai tia Mt và Mx thì hệ số góc của đường thẳng  bằng tang của góc 
, tức là k = tan. 
Khi k = 0 thì  là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox. ([7], tr. 77-78) 
Tuy nhiên, trong phần bài tập, không có kiểu nhiệm vụ nào cần huy động nghĩa 
này. 
- Một nghĩa khác của hệ số góc có thể xuất hiện ngầm ẩn trong sách giáo khoa: hệ 
số góc của đường thẳng bằng tỉ số giữa tung độ và hoành độ của một vectơ chỉ phương 
của phương trình đường thẳng đó (nếu đường thẳng đó có hệ số góc). 
- Khi nghiên cứu Đạo hàm trong Giải tích 11 và 12, kiến thức “hệ số góc tiếp tuyến 
bằng đạo hàm tại tiếp điểm của đường cong” được nhấn mạnh thông qua kiểu nhiệm 
vụ: viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một tiếp điểm. 
Trong kĩ thuật tính đạo hàm, quy tắc (ax + b)’= a mà học sinh phải học thuộc 
lòng. Tuy nhiên, những điều này không đảm bảo nghĩa “hệ số góc tiếp tuyến là đạo 
hàm của hàm đường thẳng” được hình thành ở học sinh. 
Ngoài ra, nghiên cứu của Lê Thị Hoài Châu [1] cho thấy nghĩa “tốc độ biến thiên 
của hàm số theo biến số” của đạo hàm không xuất hiện trong thể chế dạy học toán 
Trung học phổ thông hiện hành. 
Như vậy, việc phân tích các sách giáo khoa bậc trung học hiện hành (nhất là phần 
bài tập dành cho học sinh) cho thấy những nghĩa sau đây cũng như mối liên hệ giữa 
chúng về hệ số góc của đường thẳng chưa được làm rõ: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
100 
- Hệ số góc là đạo hàm của hàm đường thẳng 
- Hệ số góc đo độ dốc của đường thẳng và cho biết mức thay đổi của y khi x thay 
đổi 1 đơn vị. 
Điều này giải thích cho khó khăn của sinh viên mà chúng tôi đã trình bày trong 
ghi nhận thứ nhất khi dạy học kinh tế lượng. Phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một 
số kết quả phân tích về vai trò công cụ của logarit liên quan đến ghi nhận thứ hai. 
3. Vai trò công cụ của logarit 
3.1. Tính chất đặc trưng của logarit 
Các nghiên cứu lịch sử cho thấy John Napier (1550-1617) là một trong những 
người đầu tiên sử dụng khái niệm logarit (tuy chưa định nghĩa chính thức khái niệm 
này). Các bảng logarit của ông được xuất bản năm 1614. Mục tiêu của công trình 
nghiên cứu này là thực hiện các phép cộng, trừ, chia hai, chia ba trên các bảng số lần 
lượt thay cho các phép nhân, chia, căn bậc hai và căn bậc ba các số thực dương. Ngày 
nay, chúng ta biết rằng các bảng trên chính là logarit của những số thực dương với cơ 
số nap, có thể diễn tả qua cơ số e như sau: 7 1 7log 10 .log 10nap e
xx    
 
. 
Nguyễn Viết Hiếu (2013) đã trình bày lại một số ví dụ về việc sử dụng bảng 
logarit của Napier. Chúng tôi trích ra một ví dụ: 
Ví dụ 1. Cho a =10.000.000 và b=5.000.000. Tìm căn bậc hai của tích .a b . 
Napier tính ܿ = √ܽ. ܾ	 như sau: 
+ Lấy logarit Napier hai số ܽ và b được log 0 ;log 6931470nap napa b  . 
+ Tìm log nap c theo công thức 
log log
log 3465735
2
nap nap
nap
a b
c

  . 
+ Tra bảng logarit, tìm được căn bậc hai của tích .a b xấp xỉ 7071068 . ([5], tr. 9) 
Ngày nay, chúng ta biết nhiều cách định nghĩa hàm logarit, chẳng hạn: 
- Hàm logarit là hàm ngược của hày số mũ y = ax (với a dương và khác 1). 
- Hàm logarit xác định bởi công thức lnlog
lna
xy x
a
  trong đó lna chính là phần 
diện tích hình phẳng giới hạn bởi hyperbol có phương trình 1y
x
 , trục hoành và hai 
đường thẳng x = 1, x =a (với a dương và khác 1). 
- Hàm logarit xác định bởi công thức lnlog
lna
xy x
a
  (với a dương và khác 1) 
trong đó hàm y = h(x) =lnx chính là nghiệm duy nhất của phương trình hàm h(x.t) = 
h(x) + h(t). 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thái Bảo Thiên Trung 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
101 
Dù định nghĩa theo cách nào thì đặc trưng của một hàm logarit (hay phép logarit) 
vẫn là tính chất f(x.t) = f(x) + f(t). Nếu phát biểu một cách dễ hiểu hơn thì phép logarit 
biến một phép nhân thành phép cộng và vì vậy biến một biến phép lũy thừa thành phép 
nhân. 
3.2. Một số ứng dụng của phép logarit 
Với tính chất đặc trưng đã chỉ ra, phép logarit có rất nhiều ứng dụng, chúng tôi 
giới thiệu một số ứng dụng trong dạy học toán những năm đầu Đại học – Cao đẳng và 
trong các khoa học khác như vật lí, hóa học. Đặc biệt, chúng tôi sẽ trình bày một số vai 
trò công cụ của logarit trong kinh tế lượng (và thống kê nói chung). 
- Việc biến phép lũy thừa thành phép nhân của logarit có thể cho phép giải các 
phương trình mũ dạng af(x) = bg(x), tính đạo hàm của các hàm số dạng y = f(x)g(x) hay tính 
giới hạn hàm số của các dạng vô định: 1, 00, 0 Chẳng hạn: 
Bài 8. Tìm các giới hạn: [] 5)  tan
2
lim sin x
x
x


([9] , tr. 36) 
Lời giải được trình bày trong giáo trình: 
5) Đặt     tantansin 1 sin 1 xxA x x      . 
     
ln 1 sin 1 sin 1ln tan .ln 1 sin 1 .
sin 1 cot
x xA x x
x x
  
   

Và sin 1 sin 1sin .
cot cos
x xx
x x
 
 . Do đó 
2
sin 1lim 0
cotx
x
x

 
Cuối cùng: 
2
lim ln 0
x
A


 , nghĩa là:  tan 0
2 2
lim lim sin 1x
x x
A x e
 
 
   ([9], tr. 46) 
- Ngoài ra, một vai trò khác của phép logarit là cho phép chuyển những đại lượng 
có giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ về phạm vi dễ kiểm soát. Chẳng hạn: 
+ Độ log
H
pH C   (logarit thập phân) với CH+ là nồng độ mol của ion H+ trong 
dung dịch và có giá trị rất nhỏ trong khoảng từ 10-14 đến 1. Nhờ phép logarit, độ pH của 
một dung dịch dao động từ 0 đến 14. 
+ Độ mạnh của động đất 
0
log IM
I
 (đơn vị Richter) trong đó I0 là biên độ dao 
động chuẩn và I là biên độ dao động của cơn địa chấn. Tỉ số 
0
I
I
 có thể rất lớn, nó dao 
động trong khoảng từ 1 đến 1010. Với phép logarit, độ mạnh của một cơn động đất 
được diễn tả trên thang 10 đơn vị Richter. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
102 
Trong kinh tế lượng (và thống kê nói chung) 
Như đã nói ở đoạn trên, về mặt kĩ thuật toán học, mô hình tuyến tính sẽ dễ nghiên 
cứu hơn các mô hình phi tuyến. Điều này cũng không ngoại lệ khi áp dụng toán trong 
nghiên cứu kinh tế. Với quan điểm này, phép logarit phát huy lợi ích đặc biệt của mình 
nhờ tính chất đặc trưng biến tích thành tổng và lũy thừa thành tích. 
Hãy xét mô hình sau đây, gọi là mô hình hồi quy mũ: 
2
1
iu
i iY X e
 (6.5.1) 
Mô hình có thể được viết bằng dạng thay thế như sau 
1 2ln ln lni i iY X u    (6.5.2) 
Với ln = logarit tự nhiên (nói cách khác, log cơ số e với e =2,718). 
Nếu chúng ta viết (6.5.2) là 
2ln lni i iY X u    (6.5.3) 
Với  = ln1, [...] mô hình này được gọi là log-log, double-log hay tuyến tính log. 
* *
2 lni i iY X u    (6.5.4) 
Với Y* = lnY và X* = lnX. [...] ([5], tr. 175 - 176) 
Việc ước lượng và nghiên cứu mô hình (6.5.4) được thực hiện dễ dàng hơn mô 
hình (6.5.1). Gujarati [10] giải thích lợi ích này cùng với một ví dụ trong kinh tế: 
Một trong những nét hấp dẫn của mô hình log-log, khiến nó được áp dụng phổ biến, đó 
là hệ số góc 2 đo hệ số co dãn2 của Y theo X, phần trăm sự thay đổi của Y ứng với phần trăm 
sự thay đổi nhỏ của X. Vì vậy, nếu Y biểu diễn lượng nhu cầu của hàng hóa [quantity of a 
commodity demanded] và X là giá [price] của một đơn vị hàng hóa thì 2 là hệ số co dãn của 
mức cầu theo giá, một tham số đáng quan tâm của lợi nhuận kinh tế. Nếu mối quan hệ giữa 
lượng cầu và giá được minh họa trong hình 6.3a thì việc chuyển thành mô hình log-log minh 
họa trong hình 6.3b sẽ cho ta thấy (-2) là giá trị ước lượng của hệ số co dãn theo giá. 
 ([10], tr. 176 - 177) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thái Bảo Thiên Trung 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
103 
Ngoài vai trò công cụ của logarit trong đoạn trích trên, chúng ta cũng thấy một ví 
dụ về lí do xuất hiện của một dạng hàm số phi tuyến từ thực tế. Đồ thị của dạng hàm số 
2
1y x
  (thông qua đồ thị, tác giả đã ngầm ẩn quy ước 1, β2 dương và β2 1) cho 
thấy nếu giá tăng thêm thì nhìn chung lượng cầu sẽ giảm và ngày càng tiệm cận về 0. 
Theo quy luật kinh tế này, dạng hàm số 21y x
  có lí do để xuất hiện và đáng được 
nghiên cứu (thay vì cho trước một hàm số rồi nghiên cứu nó như cách dạy toán truyền 
thống). 
Chúng tôi cũng ghi nhận việc tích hợp các kiến thức kinh tế đơn giản trong dạy 
học Toán của một số sách giáo khoa toán bậc trung học phổ thông ở Mĩ. Những kiến 
thức kinh tế đã làm phong phú thêm các bài toán thực tế, bên cạnh những bài toán của 
các ngành khoa học tự nhiên - đặc biệt là Vật lí (vì khoa học này đóng vai trò lịch sử 
đối với sự nảy sinh nhiều tri thức toán học), và như thế góp phần phục vụ cho việc dạy 
học bằng mô hình hóa. 
Ngoài dạng hàm đã trình bày, logarit cũng cho phép chuyển một số dạng hàm phi 
tuyến khác về dạng tuyến tính. Chẳng hạn: Yt = Y0(1+r)t trong đó Yt: tổng số tiền gốc 
và lãi sau t kì hạn với lãi suất kép khi gửi tiết kiệm, Y0 là tiền gốc ban đầu, r là lãi suất 
(công thức này được trình bày trong các sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11 hiện 
hành). Sau khi dùng phép logarit ta sẽ được một mô hình tuyến tính Y* = α + βt với 
Y*=lnYt ; α =lnY0 và β=ln(1+r). 
Tóm lại, nhờ tính chất đặc trưng của mình, phép logarit là một công cụ để chuyển 
một số hàm phi tuyến (như: y = αxβ; y = αβx; v.v.) về dạng tuyến tính. 
Hơn nữa, khi nghiên cứu các dữ liệu thống kê, nhu cầu chuyển những dữ liệu có 
giá trị quá lớn về phạm vi dễ kiểm soát cũng được đặt ra. Vì vậy, các phần mềm xử lí 
thống kê luôn lập trình hàm logarit (tự nhiên hay thập phân) và cho phép biểu diễn đồ 
thị trên hệ trục tọa độ logarit. 
3.2. Logarit trong dạy học toán bậc trung học phổ thông Việt Nam 
Các sách giáo khoa Việt Nam định nghĩa khái niệm logarit cơ số a (dương và 
khác 1) của một số b (dương) trước, rồi từ đó định nghĩa hàm số logarit: 
Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là logarit cơ 
số a của b và kí hiệu là loga b . loga b a b
    ([4], tr. 62) 
Nghiên cứu của Nguyễn Viết Hiếu [5] cho thấy: trong các sách giáo khoa trung 
học phổ thông hiện hành, vai trò công cụ gần như duy nhất của logarit là giải các 
phương trình chứa mũ và logarit: 
+ Hơn 80% số nhiệm vụ trong phần bài tập của hai quyển sách giáo khoa Đại Số - 
Giải tích 11 thuộc kiểu giải các phương trình chứa mũ và logarit. 
+ Khoảng 17% nhiệm vụ liên quan đến việc rút gọn hay tính toán các biểu thức 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
104 
logarit. 
+ Chỉ có 3% (mỗi sách giáo khoa 1 nhiệm vụ) câu hỏi liên quan đến vai trò đơn 
giản các phép tính của logarit. Chẳng hạn: 
Ví dụ 6. Để tính 3,22,1 người ta làm như sau: 
- Tính 3,2log 2,1 : 3,2log 2,1 3, 2 log 2,1 1, 0311  
- Từ đó suy ra 3,2 1,03112,1 10 10,7424  ([8], tr. 88) 
+ Vai trò đơn giản các phép tính đạo hàm của logarit chỉ xuất hiện trong các 
chứng minh ở phần bài học của các sách giáo khoa mà không xuất hiện trong các 
nhiệm vụ ở phần bài tập dành cho học sinh. Như vậy, ta có thể dự đoán rằng vai trò này 
không được truyền thụ thực sự cho phần lớn học sinh. 
Tóm lại, những nội dung cần dạy thể hiện qua các sách giáo khoa về đối tượng 
logarit chưa đủ để truyền thụ cho học sinh tính chất đặc trưng “biến tích thành tổng” 
của tri thức này. 
4. Kết luận 
Những nghiên cứu mà chúng tôi đã trình bày là ví dụ về một cách xác định yếu tố 
để trả lời cho câu hỏi : dạy học toán để làm gì? dạy những nội dung gì ? 
Việc xem xét vai trò công cụ của các đối tượng tri thức toán phổ thông trong các 
môn khoa học khác (thay vì chỉ trong nội tại toán học) góp phần làm rõ lí do tại sao 
một đối tượng tri thức được chọn để giảng dạy và phải dạy học những ý nghĩa nào về 
chúng. Từ những kết quả này chúng ta mới bàn đến câu hỏi : dạy học một đối tượng tri 
thức toán như thế nào ? 
Hơn nữa, các kết quả đạt được qua phương pháp nghiên cứu được trình bày trong 
bài báo của chúng tôi hoàn toàn phù hợp với các xu hướng dạy học đang được nhắc đến 
ở Việt Nam cho kì vọng đổi mới toàn diện giáo dục phổ thông - dạy học bằng mô hình 
hóa, dạy học tích hợp, dạy học liên môn. 
1 Nếu dùng một hàm số C(I) khả vi để diễn tả mối quan hệ giữa chi tiêu C theo thu nhập I thì khuynh hướng 
tiêu dùng cận biên (MPC) chính là đạo hàm C’(I). 
2 Nói đơn giản hơn, trong mô hình (6.5.3), nếu X tăng (hay giảm) 1% thì Y sẽ thay đổi (tăng hay giảm tùy 
theo dấu của β2) |β2|%. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thái Bảo Thiên Trung 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
105 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Thị Hoài Châu (2014), “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm”, Tạp chí 
Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 65(99), , tr. 5- 18. 
2. Phan Đức Chính và các tác giả khác (2005), Toán 9 (tập 1)), Nxb Giáo dục Việt 
Nam. 
3. Phan Đức Chính và các tác giả khác (2005), Sách giáo viên Toán 9 (tập 1), Nxb Giáo 
dục. 
4. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) và các tác giả khác (2007), Giải tích 12, Nxb Giáo 
dục. 
5. Nguyễn Viết Hiếu (2013), Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy 
học toán ở bậc trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học 
Sư phạm TPHCM. 
6. Trần Lê Vương Quốc (2013), Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học 
toán ở trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm 
TPHCM. 
7. Đoàn Quỳnh và các tác giả khác (2007), Hình học 10 Nâng cao, Nxb Giáo dục. 
8. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), và các tác giả khác (2007), Giải tích 12 Nâng cao, 
Nxb Giáo dục. 
9. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) và các tác giả khác (2009), Bài tập toán cao cấp (tập 2), 
Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục. 
10. Gujarati (2004), Basic Econometrics (4th Ed), The McGraw Hill Companies. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 06-4-2015; ngày phản biện đánh giá: 03-5-2015; 
ngày chấp nhận đăng: 24-9-2015)