Nghiên cứu khả năng sử dụng ma trận cơ sở trong việc xác định đường epipolar phục vụ tự động tìm điểm cùng tên trên cặp ảnh lập thể

 76 
T¹p chÝ KHKT Má - §Þa chÊt, sè 47, 7/2014, tr.76-81 
TRẮC ĐỊA - ĐỊA CHÍNH – BẢN ĐỒ (trang 76-87) 
NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG SỬ DỤNG MA TRẬN CƠ SỞ 
TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG EPIPOLAR PHỤC VỤ TỰ ĐỘNG 
TÌM ĐIỂM CÙNG TÊN TRÊN CẶP ẢNH LẬP THỂ 
 NGUYỄN BÁ DUY, Trường Đại học Mỏ - Địa chất 
Tóm tắt: Hình học epipolar (epipolar geometry) là quan hệ hình học của hai mặt phẳng ảnh 
trong cặp ảnh lập thể. Nó độc lập với cấu trúc ảnh và chỉ phụ thuộc vào yếu tố định hướng 
trong và các yếu tố định hướng ngoài. Trong công nghệ đo ảnh, đặc biệt là khâu tự động tìm 
điểm ảnh cùng tên trên cặp ảnh lập thể; các yếu tố hình học epipolar đóng một vai trò quan 
trọng trong việc thu hẹp phạm vi tìm kiếm. Thuật toán tự động tìm điểm cùng tên được áp 
dụng trên các phần mềm đo ảnh hiện nay đều dựa trên cơ sở lý thuyết về hình học epipolar. 
Tuy nhiên, kỹ thuật này lại yêu cầu các thông số đầu vào là các yếu tố định hướng của máy 
chụp ảnh, do vậy nó còn tồn tại những hạn chế nhất định. Bài báo này giới thiệu khả năng 
sử dụng ma trận cơ sở F (Fundamental matrix) phục vụ xác định đường epipolar mà không 
cần sử dụng các yếu tố định hướng của máy chụp ảnh. Nội dung nghiên cứu bao gồm, nghiên 
cứu cơ sở lý thuyết của phương pháp xây dựng ma trận cơ sở, phương pháp giải ma trận cơ 
sở, phương pháp xác định đường epipolar trên cặp ảnh lập thể dựa trên ma trận cơ sở và thực 
nghiệm lập chương trình xác định đường epipolar trên cặp ảnh lập thể sử dụng ma trận cơ 
sở trên cơ sở ngôn ngữ lập trình Matlab. Kết quả cho thấy khả năng và tầm quan trọng của 
việc áp dụng ma trận cơ sở trong công nghệ đo ảnh. 
1. Đặt vấn đề 
Tự động tìm điểm cùng tên trên cặp ảnh lập 
thể hay còn được gọi là kỹ thuật khớp ảnh 
(matching) là một công đoạn quan trọng của 
công nghệ đo ảnh. Lý thuyết khớp ảnh dựa trên 
đặc tính hình học của cặp ảnh lập thể và trên cơ 
sở hình học epipolar với mục đích tạo ra các 
đường epipolar song song với nhau trên một cặp 
ảnh lập thể chuẩn hóa, ở đó thị sai dọc bằng 0 
[1]. Kỹ thuật này cho phép thu hẹp vùng không 
gian tìm kiếm điểm ảnh cùng tên. Các thuật toán 
chủ yếu được áp dụng trong các phần mềm đo 
ảnh hiện nay phục vụ cho khâu tự động tìm điểm 
cùng tên được áp dụng đều dựa trên cơ sở lý 
thuyết về hình học epipolar [2]. Các thuật toán 
dựa trên cơ sở lý thuyết này yêu cầu các thông số 
đầu vào bao gồm: các yếu tố định hướng trong 
(x0, y0, fk) và các yếu tố định hướng ngoài 
(X0, Y0, Z0, 𝜑, 𝜔, 𝜅) của máy chụp ảnh, do vậy nó 
còn tồn tại những hạn chế nhất định, giả sử như 
trong điều kiện các yếu tố định hướng này không 
được xác định. Mặt khác, trong những năm gần 
đây rất nhiều ứng dụng của ma trận cơ sở vào đời 
sống mà cụ thể là tự động hóa trong lĩnh vực 
công nghiệp nói chung và trong lĩnh vực đo ảnh 
nói riêng đang là một xu hướng mới và đầy tiềm 
năng [3,4,5]. Do đó nghiên cứu khả năng sử dụng 
ma trận cơ sở phục vụ xác định đường epipolar 
mà không cần sử dụng các yếu tố định hướng của 
máy chụp ảnh có ý nghĩa và cần thiết không 
những trong lĩnh vực nghiên cứu giảng dạy mà 
còn phù hợp với xu thế phát triển của công nghệ 
đo ảnh trong thực tế sản xuất. 
2. Các yếu tố hình học epipolar 
Các yếu tố hình học epipolar được mô tả chi 
tiết như hình 1 dưới đây:
 77 
Hình 1. Các yếu tố hình học Epipolar 
Trong hình 1 (a) hai máy chụp ảnh (có các 
thông số kỹ thuật giống nhau), hoặc cùng một 
máy chụp ảnh chụp cùng một đối tượng ở hai vị 
trí khác nhau của tâm chụp được xác định bởi hai 
tâm chụp ảnh S1, S2 và các mặt phẳng ảnh tương 
ứng là mặt phẳng ảnh trái M’ và mặt phẳng ảnh 
phải M’’. Đường thẳng nối S1 với S2 được gọi là 
đường đáy ảnh B. X là một điểm bất kỳ trong hệ 
tọa độ không gian vật, x’ và x’’ là các điểm ảnh 
tương ứng của nó trên M’, M’’, �⃗� 1 = 𝑆1𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗, �⃗� 2 =
𝑆2𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ tương ứng là vector tọa độ điểm vật trong hệ 
tọa độ không gian của ảnh trái, và hệ tọa độ 
không gian của ảnh phải. 
Các yếu tố hình học epipolar được thể hiện 
trong hình 1 (b) bao gồm: điểm epipole e’, e’’ là 
giao điểm của đường đáy ảnh với hai mặt phẳng 
ảnh; mặt phẳng epipolar (mặt phẳng π) là mặt 
phẳng chứa giao điểm của hai tia chiếu cùng tên 
S1x’, S2x’’ và đường đáy ảnh S1S2 (có vô số mặt 
phẳng epipolar), hình chiếu (vết) của mặt phẳng 
này trên hai ảnh là đường epipolar l’ và l’’, các 
đường này thường không song song với nhau và 
đồng quy tại điểm epipole (hình 2). 
Hình học epipolar giữa hai ảnh trong cặp ảnh 
lập thể thực chất là quan hệ hình học của sự giao 
nhau giữa mặt phẳng ảnh với chùm mặt phẳng có 
trục là đường đáy ảnh S1S2. Mối quan hệ hình 
học này sẽ thu hẹp phạm vi tìm điểm cùng tên 
trong phương pháp đo ảnh lập thể (stereo 
matching). Theo lý thuyết đo ảnh thì: S1, S2, X, 
x’, x’’ nằm trên cùng một mặt phẳng (mặt phẳng 
π), còn được gọi là mặt phẳng đáy. Đây chính là 
điều kiện đồng phẳng trong đo ảnh, nó đóng vai 
trò quan trọng trong các thuật toán tìm các điểm 
ảnh cùng tên, bởi vì nếu việc tìm điểm ảnh tương 
ứng với x’ không cần phải thực hiện trên toàn bộ 
mặt phẳng ảnh, mà chỉ giới hạn trong đường l’’ 
thì công việc tìm kiếm sẽ được thực hiện rất 
nhanh. Do vậy, việc xác định đường l’’ có ý 
nghĩa vô cùng quan trọng.
Hình 2. Đường epipolar trên cặp ảnh lập thể 
b) a) 
R⃗ 1 
R⃗ 2 
B⃗ 
Mặt phẳng đáy epipolar  
M’’ M’ 
X 
x’’ 
x’ 
S2 S1 
M’’ M’ 
X 
x’’ 
x’ 
S2 S1 e’ 
e’’ 
l’’ l’ 
X? 
X? 
Điểm epipole 
Đường epipolar 
 78 
3. Ma trận cần thiết E, ma trận cơ sở F và khả 
năng áp dụng xác định đường epipolar 
3.1. Thành lập ma trận cần thiết E và ma trận 
cơ sở F 
Dựa trên tính chất đồng phẳng của 3 vector, 
𝑅2⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑅1⃗⃗⃗⃗ − �⃗� , �⃗� , 𝑅1⃗⃗⃗⃗ , kết hợp với mối quan hệ 
giữa 𝑅2⃗⃗ ⃗⃗ và 𝑅1⃗⃗⃗⃗ , ma trận xoay A là ma trận trực 
giao (ta có ma trận xoay của ảnh trái 𝐴𝜑1,𝜔1,𝜅1với 
các góc xoay tương ứng là 𝜑1, 𝜔1, 𝜅1 , ma trận 
xoay của ảnh phải 𝐴𝜑2,𝜔2,𝜅2với các góc xoay 
tương ứng là 𝜑2, 𝜔2, 𝜅2). Khi viết dưới dạng 
quan hệ tọa độ thì ta có: 
 {
𝑅1
𝑇(𝐵 × 𝑅2) = 0
𝑅1 = 𝐴𝜑,𝜔,𝜅(𝑅2 − 𝐵)
 
 ↔ {
(𝑅2 − 𝐵)
𝑇(𝐵 × 𝑅2) = 0
𝑅1 = 𝐴𝜑,𝜔,𝜅(𝑅2 − 𝐵)
 
 ↔ 𝑅1
𝑇𝐴𝜑,𝜔,𝜅(𝐵 × 𝑅2) = 0 , (1) 
do 𝐴𝜑,𝜔,𝜅
𝑇 𝑅1 = (𝑅2 − 𝐵) ↔ 𝑅1
𝑇𝐴𝜑,𝜔,𝜅 
 = (𝑅2 − 𝐵)
𝑇 (𝐴𝑇𝐴 = 𝐸) 
Phương trình (1) có thể được với lại dưới 
dạng: 
𝑅1
𝑇𝐴𝜑,𝜔,𝜅𝑆𝑅2 = 0 , (2) 
trong đó S là toán tử nhân chéo được biến đổi từ 
𝐵, cụ thể: 
 𝐵 × 𝑅2 ↔ [
𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝐵𝑧
] × [
𝑥2
𝑦2
𝑧𝑧2
] = 
= [
0 −𝐵𝑧 𝐵𝑦
𝐵𝑧 0 −𝐵𝑥
−𝐵𝑦 𝐵𝑥 0
] × [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = 𝑆𝑅2 , (3) 
Nếu gán 𝐴𝜑,𝜔,𝜅𝑆 = 𝐸, thì phương trình (2) 
sẽ được viết lại thành: 𝑅1
𝑇𝐸𝑅2 = 0, trong đó ma 
trận E được gọi là ma trận cần thiết [1]. 
Áp dụng điều kiện đồng phương của vector 
điểm ảnh trong hệ tọa độ không gian ảnh (𝑟′ là 
vector tọa độ điểm ảnh trong hệ tọa độ không 
gian ảnh trái, 𝑟′′ là vector tọa độ điểm ảnh trong 
hệ tọa độ không gian ảnh phải) với vector điểm 
vật trong hệ tọa độ không gian vật ta có: 
{
𝑟′ = 𝐴𝜑1,𝜔1,𝜅1𝑅1
𝑟′′ = 𝐴𝜑2,𝜔2,𝜅2𝑅2
𝑅1
𝑇𝐸𝑅2 = 0
↔ {
𝐴𝜑1,𝜔1,𝜅1
−1 . 𝑟 ′ = 𝑅1
𝐴𝜑2,𝜔2,𝜅2
−1 . 𝑟 ′′ = 𝑅2
𝑅1
𝑇𝐸𝑅2 = 0
 
{
(𝑟 ′)𝑇(𝐴𝜑1,𝜔1,𝜅1
−1 )𝑇 = 𝑅1
𝑇
𝐴𝜑2,𝜔2,𝜅2
−1 . 𝑟 ′′ = 𝑅2
𝑅1
𝑇𝐸𝑅2 = 0
↔ 
 ↔ (𝑟 ′)𝑇(𝐴𝜑1,𝜔1,𝜅1
−1 )𝑇 𝐸𝐴𝜑2,𝜔2,𝜅2
−1 𝑟 ′′=0 
 ↔ (𝑟 ′)𝑇{((𝐴𝜑1,𝜔1,𝜅1
−1 )𝑇 𝐸𝐴𝜑2,𝜔2,𝜅2
−1 )}𝑟′′=0 
↔ (𝑟 ′)𝑇𝐹𝑟 ′′ = 0 . (4) 
Ma trận 𝐹 = (𝐴𝜑1,𝜔1,𝜅1
−1 )𝑇 𝐸𝐴𝜑2,𝜔2,𝜅2
−1 được 
gọi là ma trận cơ sở [9]. 
Như vậy có thể thấy ma trận cơ sở F là biểu 
diễn đại số của hình học epipolar. Đó là một ma 
trận 3×3 và có hạng là 2 (rank = 2). Nếu một 
điểm X bất kỳ thuộc hệ tọa độ không gian vật có 
vector tọa độ tương ứng trên ảnh trái là r’ và trên 
ảnh phải là r’’ thì hai điểm ảnh này sẽ thỏa mãn 
công thức: 
(r’)TFr’’ = 0 . (5) 
Ma trận cơ sở F độc lập với cấu trúc ảnh và 
là biểu diễn đại số của yếu tố hình học epipolar. 
Tuy nhiên, nó có thể được ước lượng từ việc tìm 
tương ứng giữa các điểm ảnh độc lập mà không 
cần biết về các yếu tố định hướng trong và các 
yếu tố định hướng ngoài của máy chụp ảnh. 
3.2. Thuật toán giải ma trận cơ sở F 
Trong phần này, chúng ta tìm hiểu cách xác 
định ma trận cơ sở F bằng phương pháp 8 điểm. 
Ngoài phương pháp này ra, ma trận trận cơ sở 
còn được xác định từ các thông số camera [2]. 
Cơ sở cho thuật toán 8 điểm là biểu thức (5). Tính 
chất này đúng cho mọi cặp điểm tương ứng trong 
cặp ảnh lập thể: giả sử 𝑝′[𝑥′, 𝑦′, 1] và 
𝑝′′[𝑥′′, 𝑦′′, 1] là các điểm cùng tên. Thực 
hiện các phép nhân và biến đối ma trận, phương 
trình (2) có thể được viết lại dưới dạng phương 
trình (6). 
11 12 13 21
22 23 31 32 33
'' ' '' ' '' '' '
'' ' '' ' ' 0
x x f x y f x f y x f
y y f y f x f y f f
   
     
, (6) 
Gọi f là một vector có 9 phần tử là các phần 
tử của ma trận F. Khi đó, tập hợp n cặp điểm 
cùng tên sẽ cho một hệ phương trình tuyến tính 
dùng để tính ma trận F như trong hệ (7) dưới đây. 
 79 













































33
32
31
23
22
21
13
12
11
nnnnnnnnnnnn
222222222222
111111111111
f
f
f
f
f
f
f
f
f
1'y'x''y'y''y'x''y''x'y''x'x''x
...........................
...........................
1'y''x'y'y''y'x''y''x'y''x'x''x
1'y'x''y'y''y'x''y''x'y''x'x''x
Af
 , (7) 
Ma trận hệ số A được hình thành từ các điểm cùng tên trên cặp ảnh lập thể nên các điều kiện là 
rất kém (các phương trình sẽ phụ thuộc tuyến tính nếu các điểm cùng tên nằm trên cùng một đường 
thẳng). Do đó điều kiện để giải hệ phương trình này là ma trận A phải có hạng tối thiểu là 8. Nếu số 
liệu đo là chính xác và hạng của A là 8 thì lời giải của bài toán là duy nhất (số phương trình bằng với 
số ấn số cần xác định). Tuy nhiên, thực tế không thể tránh khỏi sai số đo, khi đó khi chúng ta tăng số 
trị đo, tức là ma trận A có thể có hạng lớn hơn 8 và trong trường hợp này, ta giải hệ (7) bằng phương 
pháp số bình phương nhỏ nhất. 
3.3. Khả năng sử dụng ma trận cơ sở F vào xác định đường epipolar 
Xét hai điểm cùng tên p’ (x’, y’) trong hệ tọa mặt phẳng ảnh trái, p’’ (x’’, y’’) trong trong hệ tọa 
mặt phẳng ảnh phải. Khi đó biểu thức (5) được viết lại có dạng: 
(𝑥′ 𝑦′ 1)𝐹 (
𝑥′′
𝑦′′
1
) = 0 , (8) 
↔ (𝐹11𝑥
′′ + 𝐹21𝑦
′′ + 𝐹13). 𝑥
′ + (𝐹21𝑥
′′ + 𝐹21𝑦
′′ + 𝐹23). 𝑦
′ + (𝐹31𝑥
′′ + 𝐹32𝑦
′′ + 𝐹33) = 0 
↔ (𝐹11𝑥
′ + 𝐹21𝑦
′ + 𝐹31). 𝑥
′′ + (𝐹12𝑥
′ + 𝐹22𝑦
′ + 𝐹32). 𝑦
′′ + (𝐹13𝑥
′ + 𝐹23𝑦
′ + 𝐹33) = 0 
↔ 𝑎. 𝑥′′ + 𝑏. 𝑦′′ + 𝑐 = 0; 𝑣ớ𝑖 𝑎 = (𝐹11𝑥
′ + 𝐹21𝑦
′ + 𝐹13), 𝑏 
= (𝐹21𝑥
′ + 𝐹21𝑦
′ + 𝐹23), 𝑐 = (𝐹31𝑥
′ + 𝐹32𝑦
′ + 𝐹33) . (9) 
Phương trình (9) có dạng tổng quát là ax + by +c = 0, đây là phương trình đường thẳng, vì vậy 
nếu biết tọa độ (x’, y’) điểm p’ trên ảnh trái và nếu biết ma trận cơ sở F thì ta hoàn toàn xác định được 
các hệ số a, b, c của phương trình đường thẳng epipolar l’’, tức là có thể vẽ được một đường epipolar 
𝑙𝑖
′′ cho ảnh phải ứng với điểm p’(x’, y’). Để xác định đường epipolar 𝑙𝑖
′ cho ảnh trái, ta dựa trên tọa 
độ của điểm p’ đã biết và tọa độ của điểm epipole e’ trong ảnh trái (tọa độ của điểm e’ chưa biết, ta 
cần phải xác định. Ta lại có, e’ là giao điểm của tất cả các đường epipolar trong ảnh trái nên 
p’Fe’ = 0 với mọi p’’ thuộc đường epipolar 𝑙𝑖
′′ của ảnh phải, nói cách khác: 
Fe’ = 0 , (10) 
trong phương trình (10) do ma trận có sở F đã biết nên ta hoàn toàn xác định được e’. Do đó, đường 
đường epipolar 𝑙𝑖
′ cho ảnh trái có thể được viết dựa trên tọa độ hai điểm p’ và e’. 
4. Thực nghiệm 
Trong phần này dựa trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết đã giới thiệu trong mục 3, tác giải đã tiến 
hành lập chương trình đo đạc tọa độ các điểm cùng tên trên cặp ảnh lập thể bất kỳ và xác định đường 
epipolar dựa vào việc sử dụng ma trận cơ sở F (chương trình được viết trên ngôn ngữ lập trình Matlab). 
Số liệu đào vào là tọa độ các điểm cùng tên trên cặp ảnh lập thể (12 điểm) có vị trí như trong hình 3 
và số liệu đo như trong bảng 1. 
Kết quả tính toán bao gồm: ma trận cơ sở F (biểu thức 11), tọa độ các điểm trên ảnh trái (sử dụng 
để mô tả) và các hệ số của phương trình đường epipolar trên ảnh phải được xác định bằng việc sử 
dụng ma trận cơ sở F (bảng 2). Hình ảnh các đường epipolar được mô tả như trong hình 4. 
 80 
Bảng 1. Tọa độ mặt phẳng các điểm cùng tên trên cặp ảnh lập thể 
STT Tọa độ điểm ảnh trên ảnh trái Tọa độ điểm ảnh trên ảnh phải 
x’ y’ x’’ y’’ 
1 221,06 144,39 337,72 110,17 
2 860,39 117,94 819,94 99,28 
3 1281,94 191,06 1345,72 178,61 
4 1305,28 450,83 1364,39 424,39 
5 1051,72 547,28 1062,61 509,94 
6 857,28 315,50 762,39 289,06 
7 31,28 429,06 147,94 380,83 
8 230,39 906,61 252,17 842,83 
9 553,94 1203,72 633,28 1130,61 
10 1075,06 1139,94 973,94 1082,39 
11 1449,94 1340,61 1484,17 1278,39 
12 936,61 791,50 851,06 746,39 
Hình 3. Vị trí các điểm cùng tên được lựa chọn đo tọa độ trên cặp ảnh lập thể 
 𝐹 = [
−2,87E − 07 7,32E − 07 0,0008085
−4,58E − 07 −2,55E − 07 0,0367616
−0,001175 −0,035087 0,9987069
] , (11) 
STT 
(i) 
Tọa độ điểm 𝑝𝑖
′ trên 
ảnh trái 
Hệ số của phương trình 
đường epipolar trên ảnh phải 
x’ y’ a b c 
1 1003,5 1142,0 0,0016 0,0360 -40,25 
2 396,1 629,4 0,0013 0,0364 -21,55 
3 831,6 830,9 0,0014 0,0362 -29,14 
4 1243,5 976.1 0,0015 0,0359 -34,71 
5 704,2 430,9 0,0011 0,0363 -14,95 
6 653,8 214,6 0,0010 0,0364 -7,30 
Ảnh trái Ảnh phải 
 81 
Hình 4. Vị trí các điểm mô tả và đường epipolar trên cặp ảnh lập thể 
được xác định bằng việc sử dụng ma trận cơ sở F 
5. Nhận xét và kết luận 
Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết và thực 
nghiệm đã được trình bày ở trên cho thấy, việc 
sử dụng ma trận cơ sở được thành lập và giải trên 
cơ sở tọa độ của các điểm ảnh cùng tên cho phép 
xác định đường epopilar trên cặp ảnh lập thể một 
cách nhanh gọn, đơn giản, dễ hiểu mà không yêu 
cầu những yếu tố định hướng của máy chụp ảnh. 
Với những ưu điểm đó, có thể bước đầu khẳng 
định tầm quan trọng của ma trận cơ sở trong 
nghiên cứu giảng dạy chuyên ngành đo ảnh mà 
còn trong cả thực tế sản xuất của công nghệ đo 
ảnh. Tuy nhiên đây mới chỉ là nghiên cứu bước 
đầu, vì thế để khẳng định tính ưu việt cũng như 
độ chính xác của phương pháp thì cần có nhưng 
nghiên cứu thêm và cần có những so sánh, đánh 
giá cụ thể với các phương pháp khác. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. T. Schenk, 1990. Computation of Epipolar 
Geometry, vol. 2. 
[2]. T. T. Anh, 2009. Epipolar Resampling of 
Stereo Image Base on Airbase in the Digital 
Photogrammetry. In 7th FIG Regional Conference 
Spatial Data Serving People: Land Governance 
and the Environment – Building the Capacity 
Hanoi, Vietnam, no. October 2009, pp. 19–22. 
[3]. M. Shah, 1997. Fundamental of computer vision. 
[4]. R. Hartley and A. Zisserman, 2003. Multiple 
View Geometry in Computer Vision, 2nd ed. New 
York, NY, USA: Cambridge University Press. 
[5]. J. Oh, 2011. Novel Approach to Epipolar 
Resampling of HRSI and Satellite Stereo 
Imagery-based Georeferencing of Aerial 
Images. The Ohio State University. 
SUMMARY 
Study on the methods of epipolar line estimation using Fundamental matrix 
Nguyen Ba Duy, Hanoi University of Mining and Geology 
 The epipolar geometry is the intrinsic projective geometry between two images in stereo pairs. 
It is independent of scene structure, and only depends on the cameras’ internal parameters and relative 
pose. This geometry is usually motivated by considering the search for corresponding points in stereo 
matching algorithms, the benefit is that the search for the point corresponding need not cover the 
entire image plane but can be restricted to the epipolar line. The conventional methods have their own 
limitation that need to consider internal parameters and relative pose. This paper attempts to measure 
mathematical ability of Fundamental matrix to estimate epipolar line. The contents include, study the 
theoretical of the method of construction of the Fundamental matrix, algorithm to solved this matrix, 
determine the epipolar lines of stereoscopic image pairs based on the Fundamental matrix and defined 
test program on the epipolar line using stereoscopic image pairs matrix and applied for experimental 
data. The results showed the ability and importance of the application of the Fundamental matrix in 
photogrammetric technology. 
Điểm mô tả và đường epipolar 
trên ảnh trái 
Đường epipolar tương ứng 
trên ảnh phải 
𝑝1
′ 
𝑝2
′ 
𝑝3
′ 
𝑝4
′ 
𝑝6
′ 
𝑝5
′ 
𝑙′1
′ 
𝑙2
′′ 
𝑙′3
′ 
𝑙4
′′ 
𝑙6
′′ 
𝑙′5
′