Nghiên cứu phương pháp dựng hình bằng bao hình và công nghệ gia công bánh răng biên dạng cung tròn

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
1 
NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG 
BAO HÌNH VÀ CÔNG NGHỆ GIA CÔNG BÁNH RĂNG 
BIÊN DẠNG CUNG TRÒN 
AN INVESTIGATION INTO THE SURFACE GENERATION BY MEANS OF AN 
ENVELOPE METHOD AND THE MANUFACTURE OF CIRCULAR 
ARC PROFILE GEARS 
Lê Cung 
Trường Đại học Bách khoa, 
Đại học Đà Nẵng 
Trương Quang Dũng 
Trường Đại học Phạm Văn Đồng 
Quảng Ngãi 
TÓM TẮT 
Hiện nay, bánh răng có biên dạng cung tròn được sử dụng ngày càng rộng rãi trong 
công nghiệp. So với các loại biên dạng khác được sử dụng trong truyền động bánh răng, biên 
dạng cung tròn có ưu điểm nổi bật là khả năng tải cao hơn, do đó hiện nay nó được sử dụng 
trong các hộp giảm tốc tốc độ thấp, truyền động với công suất lớn. Tương tự như biên dạng 
thân khai, biên dạng răng cung tròn cũng được tạ o hình bằng phương pháp bao hình từ biên 
dạng răng của thanh răng sinh. Bài báo nhằm nghiên cứu lý thuyết bao hình để tạo hình biên 
dạng và mặt răng của cặp bánh răng cung tròn đối tiếp, từ đó đề xuất phương pháp dựng hình 
biên dạng và mặt răn g cho cặp bánh răng trên cơ sở ứng dụ ng phần mềm Pro/Engineer và 
môđun Mechanism Design. Việc dựng hình bánh răng cung tròn được thực hiện theo tham số, 
nhờ đó dễ dàng thay đổi môđun và số răng khi muốn tạo hình một bánh răng mới. Bên cạnh đó, 
bài báo cũng trình bày phương pháp gia công bánh răng cung tròn trên máy phay CNC BAZ-15 
Heidenhain. 
ABSTRACT 
Nowadays, circular-arc profile gears have been widely used in industries. Compared to 
others, the circular-arc profile gears have the main advantage of bearing much more load 
capacity; therefore, they have been used in the low velocity gearing reducer with much higher 
load. Like an involute profile, a circular-arc one is also generated by means of an envelope 
method that uses an imaginery rack. The article deals with an envelope method for the 
generation of the tooth surface of circular arc profile gears and proposes a method for circular-
arc profile gear generation using the Pro/Engineer Software and Mechanism Design Module. 
The parametric technology used in the generation of circular-arc profile gears helps us rapidly 
change the obtained gear by changing its module and tooth numbers. Besides, it also deals with 
the manufacture of a prototype of circular arc profile spur gears on the BAZ-15 Heidenhain CNC 
milling machine. 
1. Tổng quan 
Trong những nă m gần đây, bộ truyền bánh răng có biên dạng răng cung tròn 
được sử dụng ngày càng rộng rãi. So với các biên dạng khác đang được sử dụng trong 
truyền động bánh răng, biên dạng cung tròn có một số ưu điểm nổi bậc như khả năng tải 
cao hơn, độ bền tiếp xúc lớn hơn, khả năng bôi trơn tốt hơn và tính chống mòn cao [1]. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
2 
Bánh răng cung tròn hiện nay được sử dụng trong các hộp giảm tốc tốc độ thấp, truyền 
động với công suất lớn. 
Phiên bản đầu tiên của bánh răng cung tròn dựa trên sự tạo hình bằng dao thanh răng 
biên dạng cung tròn do Novikov-Wildhaber đề xuất [2]. Từ khi ra đời đến nay, nhiều tác 
giả tiếp tục nghiên cứu về lý thuyết tạo hình, tính toán thiết kế và công nghệ gia công 
bánh răng biên dạng cung tròn. C. B. Tsay, Z. H. Fong, S. Tao (1989) [1] sử dụng 
phương pháp phần tử hữu hạn nhằm khảo sát ứng suất uốn và tiếp xúc trong răng, 
nghiên cứu ảnh hưởng của hình dạng dao thanh răng như bán kính góc lượn và góc áp 
lực pháp đến ứng suất uốn. Litvin và cộng sự (2002) [2] áp dụng hai dao thanh răng 
không tương hợp có biên dạng parabôn nội tiếp nhằm tạo ra một phiên bản mới của 
bánh răng cung tròn. Nội dung nghiên cứu bao gồm việc thiết kế, tạo hình bằng bao 
hình, phân tích vết tiếp xúc trên răng, phân tích ứng suất uốn và tiếp xúc trong răng. 
Shyue-Cheng Yang (2008) [5] đề xuất mô hình toán học bánh răng cung tròn ba đoạn, 
nghiên cứu lý thuyết tạo hình mặt răng bánh dẫn và bánh bị dẫn từ biên dạng dao thanh 
răng, ảnh hưởn g của sai lệch khoảng cách trục đến sai số truyền động, phân tích ứng 
suất uốn theo mô hình 3D. Yi-Cheng Wu và cộng sự (2009) [6] nghiên cứu mô hình 
toán học của mặt răng bánh răng cung tròn răng cong dựa trên lý thuyết bao hình, 
nghiên cứu sai số động học và vết tiếp xúc của cặp bánh răng đề xuất. Minoru MAKI và 
cộng sự [4] nghiên cứu gia công bánh răng côn xoắn W -N trên trung tâm gia công, sử 
dụng một cặp dao phay ngón lồi và lõm có tiết diện dọc trục hình tròn. 
Lý thuyết tạo hình và ăn khớp, việc tính toán thiết kế bộ truyền bánh răng cung tròn 
tương đối phức tạp, các tài liệu chưa đưa ra các trình tự tính toán thiết kế nhằm giúp các 
kỹ sư dễ dàng tiếp cận và ứng dụng vào thực tế thiết kế. Chính vì vậy việc nghiên cứu 
phương pháp dựng hình, xây dựng trình tự và chương trình tính toán thiết kế bộ truyền 
bánh răng cung tròn là một yêu cầu cần đặt ra . Bên cạnh đó, việc gia công bánh răng 
cung tròn đạt được độ chính xác và năng suất yêu cầu cũng là một vấn đề phức tạp cần 
được quan tâm nghiên cứu. Bài báo nhằm nghiên cứu phương pháp dựng hình theo 
tham số cho bề mặt răng của bánh răng cung tròn từ biên dạng thanh răng sinh sử dụng 
lý thuyết bao hình và phần mềm Pro/Engineer. Trên cơ sở việc tạo hình chính xác mặt 
răng của các loại bánh răng cung tròn khác nhau, có thể ứng dụng phần mềm phần tử 
hữu hạn ANSYS tính toán ứng suất uốn và tiếp xúc trên răng nhằm kiểm tra độ bền bộ 
truyền, dễ dàng ứng dụng các phần mềm CAD/CAM vào lập chương trình gia công và 
đo đạc thông số của bánh răng trên máy phay CNC và máy đo ba chiều, có thể mô 
phỏng tín hiệu dao động sinh ra từ bánh răng cung tròn phục vụ việc chẩn đoán hư hỏng 
nhờ việc sử dụng phần mềm ANSYS 
2. Phương pháp bao hình tạo hình biên dạng răng cung tròn 
2.1. Tạo hình biên dạng răng thân khai 
Cho đường thẳng (tt) lăn không trượt với vòng tròn C(O, r). Gọi (T) là đoạn thẳng 
gắn cứng với (tt), pháp tuyến làm với (tt) một góc α0. Tại những thời điểm khác nhau 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
3 
trong chuyển động tương đối của (tt) 
đối với (C), ta ghi lại các vết khác 
nhau của (T) trên mặt phẳng gắn liền 
với (C). Ta sẽ nhận được một họ 
đường thẳng mà bao hình là đường 
thân khai vòng tròn (E) (hình 1). 
Quan hệ vận tốc góc của vòng (C) và 
vận tốc dài của đường tt: Vp
Để tạo hình bánh răng thân khai, 
thay vì dùng đoạn thẳng (T), ta gắn 
cứng lên đường thẳng (tt) một thanh 
răng hình thang. 
 = r.ω. 
2.2. Tạo hình biên dạng cung tròn 
Phương pháp bao hình để tạo hình 
biên dạng răng cung tròn cũng tương tự như phươ ng pháp tạo hình biên dạng thân khai. 
Tuy nhiên, khác với biên dạng thân khai, thanh răng sinh trong bánh răng cung tròn là 
một đường cong trơn, đều, tổ hợp của nhiều cung tròn. Trên cơ sở phiên bản đầu tiên 
của thanh răng sinh do Novikov, Wildhaber [2] khởi thảo, Faydor L. Litvin [2], Shyue-
Cheng Yang [5] đã đề xuất các biên dạng khác nhau của thanh răng sinh. 
2.2.1. Biên dạng thanh răng sinh cung tròn ba đoạn 
Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng biên dạng thanh răng sinh có ba đoạn cung tròn 
do Shyue-Cheng Yang [5] đề xuất (hình 2). Vùng ab và bc để tạo hình răng lồi của bánh 
dẫn. Vùng cd và de để tạo hình răng lõm của bánh dẫn và răng lồi của bánh bị dẫn. 
Vùng ef để tạo hình phần lượn tròn chân răng bánh dẫn, không dùng để tạo hình bánh bị 
dẫn. Vùng ga để tạo hình phần lượn tròn chân răng bánh bị dẫn , không dùng để tạo hình 
bánh dẫn . Các thông số cơ bản của thanh răng: φc = 200; bc = (1/2).πm; ha = 0,8m; 
hf = 0,8m; y = 0,2.m; y2 = 0,2.m; ex = 0,03.m; ey = 0,6.m; bx = 0,03.m; by
Trong hệ tọa độ S
 = 0,6.m với 
m là môđun của bánh răng. 
c (Oc, xc, yc, zc
1 1[ sin ; cos ;1]
ab T
c a x a yR e eρ α ρ α= + −
) gắn liền với thanh răng sinh, các đoạn cung tròn 
của thanh răng được mô tả bằng các phương trình (1) đến (6) [5]: 
2 2[ (sin sin ); .cos cos ;1]
bc T
c j b c j j bR r b r rα α α α= − − + (2) 
3 3[ (sin sin ); (cos cos );1]
cd T
c h c c h cR r b rα α α α= − − + − (3) 
4 4[ ( sin );2 cos ;1]
de T
c f x c y fR b b bρ α ρ α= − + + − (4) 
( )5 5[ sin ( )sin ;2 cos ;1]ef Tc g f g d x c gR r r b b rα ρ α α= − + − + − (5) 
6 6[ sin ( )sin ; cos ;1]
ga T
c a a a a x aR r r e rα ρ α α= + − + (6) 
Hình 1. Tạo hình 
biên dạng thân khai 
bằng phương pháp 
bao hình 
pV

O 
n 
n 
t t P 
(Cb) 
(C) 
(E) 
M 
H 
r ω 
 α0 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
4 
2.2.2. Phương trình biên dạng răng của bánh răng cung tròn 
Dựa trên phương pháp tạo hình biên dạng răng (§2.1), lý thuyết tạo hình hai biên 
dạng đối tiếp của Faydor L. Litvin [3], [5] và các phương trình (1)÷(6), có thể xây dựng 
được phương trình mô tả biên dạng răng cung tròn. 
Chuyển động bao hình của quá trình tạo hình bánh răng dẫn và bị dẫn được mô tả 
trên hình 3. Trong suốt quá trình tạo hình, hệ tọa độ S c(Oc, xc, yc, zc) được gắn cứng 
với thanh răng, hệ tọa độ Sp(Op, xp, yp, zp) được gắn cứng với bánh dẫn Σp, hệ tọa độ 
Sg(Og, xg, yg, zg) được gắn cứng với bánh bị dẫn Σg, hệ tọa độ Sf(Of, xf, yf, zf
c
pΣ
) cố định. 
Chuyển động bao hình như sau: Thanh răng sinh (tạo hình bánh dẫn) và cgΣ (tạo 
hình bánh bị dẫn) thực hiện dịch chuyển thẳng S dọc theo trục y f, bánh dẫn Σp và bánh 
bị dẫn Σg pφquay xung quanh trục của mình với góc quay lần lượt là và gφ sao 
cho . .pc p pg gS r rφ φ= = với rpc và rgc
pΣ
 lần lượt là bán kính vòng chia bánh dẫn và bánh bị 
dẫn. Biên dạng răng bánh dẫn chính là bao hình của họ các đường cong biên dạng 
răng của thanh răng cpΣ mô tả trong hệ tọa độ Sp. Tương tự, biên dạng răng bánh bị dẫn 
Σg cgΣ là bao hình của họ các đường cong biên dạng răng của thanh răng mô tả trong hệ 
tọa độ Sg
Ma trận biến đổi từ hệ tọa độ S
. 
c sang hệ tọa độ Sp và Sg
( )
os sin sin os
sin os cos sin
0 0 1
p p p pc p
pc p p p p pc p
c S r c
M c S r
φ φ φ φ
φ φ φ φ φ
+ 
 = − − 
  
 lần lượt bằng: 
 (7) 
Dao thanh răng truyền thống 
fx
fy cy
gxg
y
cx
gO
cO
pO
px
py
pcr
pgr
pφ
pφ
gφ
gφ
S
Hình 3. Quá trình tạo hình 
bánh răng dẫn và bị dẫn 
Hình 2. Tiết diện ngang dao thanh 
răng cung tròn ba đoạn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
5 
( )
os sin sin os
sin os cos sin
0 0 1
g g g gc g
gc g g g g gc g
c S r c
M c S r
φ φ φ φ
φ φ φ φ φ
− − − 
 = − 
  
 (8) 
Do đó, phương trình một tham số mô tả họ các đường cong biên dạng răng của 
thanh răng trong hệ tọa độ Sp và Sg
 như sau: 
( ), ( ).q qi i ic i cR M Rτφ α φ= (9) 
Trong đó i = p hay g, iφ là tham số ,
q
cR là véctơ vị trí được mô tả bởi các phương 
trình (1)÷(6), chỉ số q biểu thị các vùng ab, bc, cd, de, ef và ga. 
Điều kiện cần để nhận được bề mặt bao hình [3]: 0
q q
i i
i
R R
τα φ
∂ ∂
× =
∂ ∂
 (10) 
Trong đó góc ατ tương ứng với các vùng ab , bc, cd, de, ef và ga lần lượt bằng α1, 
α2, α3, α4, α5, α6
Từ các phương trình mô tả trên đây, ứng dụng phần mềm Matlab, sẽ xây dựng được 
họ các đường cong biên dạng răng của thanh răng mô tả trong hệ tọa độ S
 (hình 2). 
p và Sg
3. Phương pháp dựng hình bánh răng cung tròn ứng dụng phần mềm 
Pro/Engineer và môđun Mechanisn Design 
, sau 
đó dựa vào điều kiện (10) có thể xác định các điểm khác nhau thuộc đường cong bao 
hình của họ các đường cong biên dạng răng của thanh răng, và đây cũng chính là biên 
dạng răng của bánh răng dẫn và bị dẫn. Truy nhập tập hợp điểm mô tả biên dạng răng 
cung tròn sang phần mềm Pro/Engineer, có thể xây dựng các loại được bánh răng khác 
nhau. 
Để thuận lợi và nhanh chóng dựng hình bánh răng cung tròn , chúng tôi ứng dụng 
phần mềm Pro /ENGINEER và môđun Mechanism Design nhằm dựng hình b ánh răng 
cung tròn dựa trên phương pháp bao hình đã trình bày ở §2.1. Để dễ dàng thay đổi kích 
thước nhằm tạo ra bánh răng mới, bánh răng sẽ được dựng hình theo tham số. Để thuận 
lợi cho việc gia công trên máy phay CNC 3 trục, chúng tôi giới hạn việc nghiên cứu ở 
bánh răng trụ tròn răng thẳng . Thông số cơ bản của bánh răng được dựng hình: môđun 
m, số răng Z. 
Trình tự dựng hình bánh răng như sau: Dựng hình thanh răng sinh bằng cách lập 
trình theo tham số (tham số thay đổi được: m, Z): Tools> Parameters: thiết lập các 
tham số, Tools>Relations: thiết lập quan hệ giữa các tham số, Sketch Tool: vẽ biên 
dạng thanh răng sinh (hình 4) ⇒ Dựng hình thanh răng (môđun Part) (hình 5) ⇒ Dựng 
hình phôi bánh răng (môđun Sketch, Part) ⇒ Lắp ráp phôi bánh răng và thanh răng 
thành cơ cấu thực hiện chuyển động bao hình (môđun Assembly) (hình 6) ⇒ Phân tích 
động học cơ cấu tạo chuyển động bao hình (môđun Mechanism Design) ⇒ Mô phỏng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
6 
chuyển động bao hình, xem kết quả mô phỏng và vẽ bao hình của các vết khác nhau của 
bề mặt răng của thanh răng vạch nên trên phôi bánh răng (môdun Mechanism Design) 
(hình 7) ⇒ Dựng hình hoàn chỉnh bánh răng (mođun Part) (hình 8). 
Sau khi dựng hình bánh răng, dễ dàng tạo mới bánh răng bằng cách thay đổi môđun 
m, số răng Z và một vài thông số khác. 
4. Gia công bánh răng cung tròn trên máy phay CNC 3 trục 
Sau khi dựng hình hoàn chỉnh bánh răng cung tròn trên phần mềm Pro/Engineer, 
chúng tôi tiến hành lập trình gia công và gia công thử nghiệm trên máy phay CNC 3 
trục BAZ-15 Heidenhain của phòng thí nghiệm CRePA, chương trình PFIEV Đà Nẵng. 
Thông số bánh răng được gia công: m = 4, Z = 20, phôi bánh răng: hình trụ, dao cắt: 
dao phay ngón, dao phay mặt đầu. Các bước gia công chủ yếu: phay thô, tinh mặt đầu; 
phay thô, tinh mặt răng (hình 9, hình 10, hình 11). 
5. Kết quả và bình luận 
Hình 6. Cơ cấu tạo chuyển động 
bao hình sau khi lắp ráp 
Hình 8. Bánh răng trụ tròn 
răng thẳng biên dạng cung 
tròn hoàn chỉnh 
Hình 7. Biên dạng rãnh răng 
của bánh răng 
Hình 4. Tiết diện ngang của dao thanh 
răng cung tròn ba đoạn 
Hình 5. Chi tiết thanh răng sinh 
răng thẳng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
7 
Bài báo trình bày một số kết quả nghiên cứu thực hiện được: Nghiên cứu lý thuyết 
bao hình để tạo hình biên dạng và mặt răng của cặp bánh răng cung tròn, từ đó đề xuất 
phương pháp dựng hình biên dạng răng cung tròn sử dụng công cụ Matlab, đề xuất một 
phương pháp dựng hình biên dạng và mặt răng cho một cặp bánh răng đối tiếp, trên cơ 
sở ứng dụng phần mềm Pro/Engineer và môđun Mechanism Design. Việc dựng hình 
thanh răng sinh, cơ cấu tạo chuyển động bao h ình cũng như bánh răng cung tròn được 
thực hiện theo tham số, nhờ đó dễ dàng thay đổi môđun và số răng khi muốn tạo hình 
một bánh răng mới. Đồng thời cũng tiến hành gia công thử nghiệm một cặp bánh răng 
trụ răng thẳng biên dạng cung tròn trên máy phay CNC 3 trục BAZ15 Heidenhain. Bánh 
răng được gia công đạt được độ chính xác và độ bóng yêu cầu. 
6. Kết luận 
Có thể ứng dụng phương pháp dựng hình bánh răng bằng phương pháp bao hình đề 
xuất nhằm dựng hình nhanh chóng các loại bánh răng biên dạng cung tròn khác nhau 
như bánh răng trụ răng nghiêng, bánh răng nón răng thẳng... Việc dựng hình các bánh 
răng theo tham số, cho phép người thiết kế nhanh chóng dựng hình lại bánh răng có 
mođun, số răng khác nhau. Việc dựng hình chính xác bánh răng tạo cơ sở cho các bước 
kế tiếp như phân tích ứng suất uốn và tiếp xúc trên răng nhằm kiểm tra bền (sử dụng 
phần mềm ANSYS), mô phỏng chuyển động của cặp bánh răng nhằm xác định phản lực 
tại chỗ tiếp xúc, phản lực ở gối trục, lập trình gia công, đo đạc bánh răng (sử dụng phần 
mềm Pro/Engineer), mô phỏng sai số truyền động, tín hiệu dao động phát sinh nhằm 
nghiên cứu dấu hiệu hư hỏng (sử dụng phần mềm ANSYS). 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] C. B. Tsay, Z. H. Fong, S. Tao, The Mathematical model of Wildhaber-Novikov 
gears applicable to finite element stress analysis, Math. Comput. Modelling, Vol 
Hinh 9. Mô phỏng bước 
gia công tinh mặt răng 
Hình 10. Gia công bánh 
răng cung tròn 
Hình 11. Sản phẩm hoàn chỉnh 
sau khi gia công trên máy phay 
CNC 3 trục BAZ-15 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 
8 
12, No 8, pp 939-946, 1989. 
[2] Faydor L. Litvin and al, New version of Novikov-Wildhaber helical gears: 
computerized design, simulation of meshing and stress analysis, Comput. Methods 
Appl. Mech. Engrg. 191, p5707-5740, 2002. 
[3] Faydor L. Litvin, Theory of gearing, NASA Reference Publication 1212, 
AVSCOM Techinca Report 88-C-035., 1989. 
[4] Minoru MAKI, Masaki WANATABE, A study of WN spiral bevel gear 
manufactured by machining center, Department of Mechanical Engineering, Kanto 
Gakui University, Yokohama, Japan. 
[5] Shyue-Cheng Yang, Mathematical model of a stepped tripled circular-arc gear, 
Journal of Mechanism and Machine Theory, Elsevier, 2008. 
[6] Yi-Cheng Wu, Kuan-Yu Chen, Chung-Biau Tsay, Yukinori Ariga, Contact 
Characteristics of Circular-Arc Curvilinear Tooth Gear Drives, Journal of 
Mechanical Design, ,Vol.131, 2009.