Tính toán một vài phương pháp giải toán động học ngược robot song song dự dẫn động

uỹ phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED)
mã số 107.04-2012.10
4 NGUYỄN VĂN KHANG, LƯƠNG ANH TUẤN
ngược robot song song dư dẫn động có thể chia thành hai nhóm: nhóm phương pháp giải tích
và nhóm phương pháp số [1-2]. Nhóm các phương pháp giải tích có thể cho kết quả chính xác
nhưng thường khá phức tạp và không có cách giải tổng quát đối với mọi robot. Các phương
pháp số là các phương pháp gần đúng với sai số cho phép, có thể giải tổng quát với mọi robot,
tuy thời gian lâu hơn. Bài toán động học ngược của robot dư dẫn động thường quy về giải
một hệ phương trình đại số phi tuyến, trong đó số phương trình ít hơn số ẩn. Có nhiều phương
pháp đã được đưa ra để giải bài toán động học ngược robot dạng chuỗi dư dẫn động [1-3,
6-18]. Việc giải bài toán động học ngược robot song song dư dẫn động còn ít được nghiên cứu
[18]. Mặt khác thời gian thực hiện và độ chính xác của các phương pháp tính cũng là một vấn
đề còn cần được quan tâm nghiên cứu.
Trong bài toán điều khiển robot thời gian thực, việc giảm thời gian tính toán các bài toán
động học ngược và động lực học ngược là bài toán quan trọng và có ý nghĩa thực tế. Trong bài
báo này trình bày một phương pháp tính giải bài toán động học ngược robot song song dư dẫn
động. Phương pháp này dựa trên việc xác định xấp xỉ ban đầu của phép lặp Newton-Raphson
chính xác hơn và kiểm tra độ chính xác tại mỗi bước tính. Để thấy rõ hiệu quả của phương
pháp trong bài báo đã tính toán so sánh phương pháp đề xuất với một vài phương pháp khác
qua một thí dụ cụ thể.
2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHSON CẢI TIẾN
Ý tưởng cơ bản của phương pháp Newton-Raphson cải tiến là xác định các xấp xỉ ban đầu
của giá trị các tọa độ khớp tại mỗi bước lặp một cách chính xác hơn và yêu cầu tính toán sao
cho tại mỗi bước tính các tọa độ suy rộng phải thỏa mãn các phương trình liên kết.
2.1. Các công thức xác định vectơ vận tốc và vectơ gia tốc suy rộng
Xét một robot song song với n tọa độ khớp, gọi q ∈ =n là vectơ chứa các biến khớp. Gọi
x ∈ =m (m ≤ 6) là vectơ chứa các biến xác định vị trí và định hướng của khâu thao tác của
robot trong không gian làm việc. Giả sử robot có r các điều kiện ràng buộc:
f(q,x) = 0, x ∈ =m, f ∈ =r, q ∈ =n. (1)
Đạo hàm hai vế của phương trình (1) theo thời gian ta được:
f˙ = Jqq˙ + Jxx˙ = 0, (2)
trong đó ta sử dụng các ký hiệu
Jx(q,x) =
∂f
∂x
, Jx ∈ =r×m, Jq(q,x) = ∂f
∂q
, Jq ∈ =r×n. (3)
Gọi na là số tọa độ khớp chủ động, np là số tọa độ khớp bị động, ta có n = na + np. Chú
ý rằng đối với robot song song, na và m là các hằng số xác định, còn np và r phụ thuộc vào
việc chọn các tọa độ suy rộng dư. Từ đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa. Khi n = m + r robot song song được gọi là robot chuẩn, khi n > m + r thì
robot song song được gọi là robot dư dẫn động.
TÍNH TOÁN SO SÁNH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC 5
Cho Jq là ma trận chữ nhật cỡ r × n, sử dụng khái niệm ma trận tựa nghịch đảo J+q [19,
20], ta có công thức đinh nghĩa như sau
J+q =

JTq (JqJ
T
q )
−1 r < n
J−1q r = n
(JTq Jq)
−1JTq r > n
. (4)
Khi r < n ta có
J+q = J
T
q (JqJ
T
q )
−1. (5)
Từ phương trình (2) ta có:
q˙ = −J+q Jxx˙. (6)
Tiếp tục đạo hàm hai vế của phương trình (2) ta được:
f¨ = Jqq¨ + J˙qq˙ + Jxx¨ + J˙xx˙ = 0. (7)
Từ đó ta suy ra:
Jqq¨ = −J˙qq˙− Jxx¨− J˙xx˙. (8)
Thế phương trình (6) vào phương trình (8) ta rút ra được:
q¨ = −J+q (Jxx¨ + J˙xx˙− J˙qJ+q Jxx˙), (9)
trong đó
J˙q =
d
dt
Jq, J˙x =
d
dt
Jx.(10)
2.2. Các công thức xác định vectơ tọa độ suy rộng
Các công thức (6) và (9) cho phép ta xác định được các vectơ vận tốc suy rộng và vectơ
gia tốc suy rộng, khi biết được q(t) tại thời điểm khảo sát và các quy luật chuyển động của
khâu thao tác x(t). Bây giờ ta trình bầy thuật toán xác định q(t). Giả sử robot song song
làm việc trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = T. Chia khoảng thời gian làm việc của robot
[0, T ] thành N khoảng bằng nhau:
∆t =
T
N
.
Như thế ta có:
tk+1 = tk + ∆t với k = 0, 1, ..., N − 1.
Áp dụng khai triển Taylor hàm vectơ q(t) ở lân cận giá trị t = tk ta được:
q(tk+1) = q(tk) + q˙(tk)∆t+
1
2
q¨(tk)(∆t)2 + ... (11)
6 NGUYỄN VĂN KHANG, LƯƠNG ANH TUẤN
Thay biểu thức (6) vào biểu thức (11) và bỏ qua các vô cùng bé bậc lớn hơn hoặc bằng 2
ta được:
q(tk+1) = q(tk) + q˙(tk)∆t = q(tk)− J+q (q(tk))Jx(tk)x˙(tk)∆t. (12)
Việc sử dụng công thức (12) để tính xấp xỉ ban đầu cho q(tk+1) được sử dụng nhiều trong
các tài liệu về động học robot [1, 2, 5, 6, 7]. Ở đây, ta sử dụng công thức (11) để tính xấp xỉ
ban đầu cho các phép lặp Newton-Raphson. Công thức (11) lấy xấp xỉ bậc hai, còn công thức
(12) chỉ lấy tới xấp xỉ bậc nhất.
2.3. Thuật toán hiệu chỉnh độ chính xác vectơ tọa độ khớp tại mỗi bước tính
Để thuận tiện cách trình bày, ta sử dụng các ký hiệu sau:
qk = q(tk), q˙k = q˙(tk), q¨k = q¨(tk),
xk = x(tk), x˙k = x˙(tk), x¨k = x¨(tk).
a) Hiệu chỉnh gia lượng các tọa độ khớp tại thời điểm t0
Trước tiên ta xác định vectơ gần đúng ban đầu
∼
q0 của vectơ q0 bằng phương pháp vẽ
(hoặc bằng thực nghiệm). Sau đó áp dụng khai triển Taylor tìm giá trị gần đúng tốt hơn của
q0 như sau:
q0 =
∼
q0 + ∆q0. (13)
Theo phương trình (1) ta có:
f(q0,x0) = f(
∼
q0 + ∆q0,x0) = f(
∼
q0,x0) + Jq(
∼
q0,x0)∆q0 + ... (14)
Bỏ qua các vô cùng bé bậc lớn hơn hoặc bằng 2, từ phương trình (14) ta có:
f(
∼
q0,x0) + Jq(
∼
q0,x0)∆q0 ≈ 0. (15)
Từ đó
∆q0 = −J+q (
∼
q0,x0)f(
∼
q0,x0). (16)
Sau đó lấy
q0 =
∼
q0 + ∆q0. (17)
Nếu ‖∆q0‖ ≥ ε (với ε là tham số dương bé cho trước) thì ta lại thế (17) vào (16) và lặp
lại quá trình này. Quá trình này dừng lại khi ‖∆q0‖ < ε. Kết quả ta được:
q0 =
∼
q0. (18)
Biết được nghiệm q0, thế vào các biểu thức (6) và (9) ta tìm được q˙(0) = q˙0, q¨(0) = q¨0.
TÍNH TOÁN SO SÁNH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC 7
b) Hiệu chỉnh gia lượng vectơ tọa độ suy rộng tại thời điểm tk+1
Giả sử đã biết qk = q(tk), q˙k = q˙(tk), q¨k = q¨(tk), ta cần phải xác định giá trị q(t) tại
tk+1 = tk + ∆t. Trước hết ta lấy gần đúng
∼
qk+1 bằng xấp xỉ:
∼
qk+1 = qk + q˙k∆t+
1
2
q¨k(∆t)
2. (19)
Sau đó xác định vectơ chính xác hơn của qk+1 theo công thức hiệu chỉnh
qk+1 =
∼
qk+1 + ∆qk+1. (20)
Áp dụng khai triển Taylor hàm f(q,x) tại qk+1 =
∼
qk+1 + ∆qk+1, xk+1, ta được
f(qk+1,xk+1) = f(
∼
qk+1 + ∆qk+1,xk+1) = f(
∼
qk+1,xk+1) + Jq(
∼
qk+1,xk+1)∆qk+1 + ... (21)
Bỏ qua các xấp xỉ bậc cao, từ (21) ta suy ra
∆qk+1 = −J+q (
∼
qk+1,xk+1)f(
∼
qk+1,xk+1). (22)
Sau đó ta lấy
∼
qk+1 ==
∼
qk+1 + ∆qk+1. (23)
Nếu ‖∆qk+1‖ > ε thì ta thay (23) vào (22) và tính ∆qk+1 mới. Quá trình lặp tinh chỉnh
kết thúc khi ‖∆qk+1‖ < ε. Kết quả ta được:
qk+1 =
∼
qk+1. (24)
Biết được nghiệm qk+1, thế vào các biểu thức (6) và (9) ta tìm được q˙(tk+1) = q˙k+1, q¨(tk+1) =
q¨k+1.
2.4. Đánh giá sai số
Độ chính xác của phương pháp Newton-Raphson đã được trình bày khá chi tiết trong các
giáo trình về phương pháp số. Ngoài ra, do ý nghĩa cơ học các tọa độ suy rộng xác định vị trí
của robot song song phải thỏa mãn các phương trình liên kết (1). Vì vậy trong bài báo này
đưa thêm một tiêu chuẩn để kiểm tra độ chính xác của các tọa độ suy rộng tính được bằng
phương pháp gần đúng. Đó là các tọa độ suy rộng phải thỏa mãn phương trình liên kết (1)
tại từng bước tính:
ei(tk) = fi(q(tk),x(tk)), i = 1, ..., r. (25)
Yêu cầu của độ chính xác bài toán là
|ei(tk)| = |fi(q(tk),x(tk))| ≤ ε, i = 1, ..., r. (26)
Nếu độ chính xác của từng bước tính không thỏa mãn yêu cầu về độ chính xác (26) quá
trình tính lại phải trở lại đầu bước lặp và phải hiệu chỉnh độ lớn của ∆t.
8 NGUYỄN VĂN KHANG, LƯƠNG ANH TUẤN
3. GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
CHIẾU TỌA ĐỘ VÀ CHIẾU VẬN TỐC
Trong tài liệu [17] đã trình bày phương pháp chiếu tọa độ và chiếu vận tốc giải bài toán
động học ngược robot dư dẫn động. Trong đó chủ yếu trình bày bài toán động học ngược
robot dạng chuỗi. Dưới đây trình bày ý tưởng chính của phương pháp này đối bài toán động
học ngược robot song song dư dẫn động. Theo ý tưởng của phương pháp trình bày trong [17],
tích phân phương trình (6) ta được vectơ tọa độ suy rộng, sau đó hiệu chỉnh vectơ tọa độ suy
rộng bằng phương pháp chiếu tọa độ. Tích phân phương trình (9) ta được vectơ vận tốc suy
rộng, sau đó hiệu chỉnh vectơ vận tốc suy rộng bằng phương pháp chiếu vận tốc.
3.1. Hiệu chỉnh vectơ tọa độ suy rộng
Xét phương trình (6)
q˙ = −J+q (q,x)Jx(q,x)x˙.
Tích phân phương trình (6) ta thu được vectơ tọa độ suy rộng q∗, giá trị này có thể không
còn thỏa mãn phương trình liên kết (1). Do đó ta phải hiệu chỉnh để q thỏa mãn phương trình
liên kết. Theo phương pháp chiếu ta sẽ tìm điểm q nằm trên đa tạp f(q,x) = 0 và cách điểm
q∗ một khoảng ngắn nhất. Khi đó bài toán trở thành tìm q thỏa mãn (1) sao cho hàm V sau
đây đạt cực tiểu [17]
V =
1
2
(q− q∗)TP(q− q∗) (27)
với P là ma trận đối xứng, xác định dương. Sử dụng phương pháp hàm phạt (hay phương
pháp nhân tử Lagrange tăng cường) ta xét hàm cần tối ưu sau
L = V +
1
2
fT (q,x)Af(q,x) (28)
với A là ma trận đường chéo, xác định dương (nếu các phần tử trên đường chéo bằng nhau
thì có thể thay bằng một hằng số). Đạo hàm (28) theo q ta được:
h(q, t) =
∂L
∂q
= P(q− q∗) + JTq (q)Af(q,x) = 0, (29)
trong đó JTq (q) =
∂f(q,x)
∂q
. Khai triển hàm h(q, t) ở lân cận q0 ta được
h(q0 + ∆q, t) = h(q0) + H(q0)∆q + ... (30)
với
H(q0) =
∂
∂q
[P(q−q∗)+JTq (q)Af(q,x)]q0 = P+
∂
∂q
[JTq (q)Af(q,x)]q0 ≈ P+[JTq (q)AJq(q)]q0 .
(31)
TÍNH TOÁN SO SÁNH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC 9
Chú ý rằng khi tính ma trậnH(q0) ta đã bỏ qua một số hạng trong phép tính [J
T
q (q)AJq(q)]q0
do việc tính số hạng đó khá phức tạp (có thể sử dụng công cụ Maple) [17]. Phương pháp tìm
nghiệm q chính xác hơn như sau:
Bước 1: k = 0, cho biết số bước lặp N . Lấy q(k) = q∗.
Bước 2: Tính h(q(k)) theo công thức (29)
Bước 3: Kiểm tra điều kiện dừng: nếu ‖h(q(k))‖ < ε hoặc k ≥ N thì dừng, với ε là một
số dương vô cùng bé cho trước. Ngược lại tiếp tục bước 4.
Bước 4: TínhH(q(k)) theo công thức (31). Giải hệ phương trình đại số tuyến tính h(q(k))+
H(q(k))∆q = 0 để tìm ∆q.
Bước 5: Lấy q(k) = q(k) + ∆q.
Bước 6: k = k + 1. Quay lại bước 2.
3.2. Hiệu chỉnh vectơ vận tốc suy rộng
Sau khi hiệu chỉnh các tọa độ suy rộng ta tiến hành hiệu chỉnh các vận tốc suy rộng. Xét
phương trình (9)
q¨ = −J+q (q,x)(Jx(q,x)x¨ + J˙x(q,x)x¨− J˙q(q,x)J+q (q,x)Jx(q,x)x¨).
Tích phân phương trình (9) ta thu được vectơ vận tốc suy rộng q˙∗. Do các sai số tích phân
gần đúng, sai số làm tròn, giá trị này có thể không thỏa mãn phương trình
Jq(q,x)q˙ + Jx(q,x)x˙ = 0. (32)
Vì vậy ta phải hiệu chỉnh vectơ vận tốc suy rộng sao cho thỏa mãn phương trình (32).
Theo phương pháp chiếu ta sẽ tìm điểm q˙ nằm trên đa tạp (32) và cách điểm q˙∗ một khoảng
ngắn nhất. Như thế bài toán trở thành tìm q˙ sao cho hàm V sau đạt cực tiểu
V =
1
2
(q˙− q˙∗)TW(q˙− q˙∗) (33)
với ma trận trọng số W là ma trận đối xứng, xác định dương và được chọn một cách thích
hợp. Xét hàm mục tiêu mới có dạng như sau:
V ∗(q˙, λ) =
1
2
(q˙− q˙∗)TW(q˙− q˙∗) + λT (Jxx˙ + Jqq˙), (34)
trong đó λ được gọi là nhân tử Lagrange. Để V ∗(q˙, λ) đạt cực tiểu, điều kiện cần là
(∂V ∗
∂q˙
)T
= W(q˙− q˙∗) + JTq λ = 0, (35)
(∂V ∗
∂λ
)T
= Jqq˙ + Jxx˙ = 0. (36)
Từ (35) ta suy ra
q˙ = −W−1JTq λ+ q˙∗. (37)
Thế (37) vào (36) ta được
10 NGUYỄN VĂN KHANG, LƯƠNG ANH TUẤN
Jq(−W−1JTq λ+ q˙∗) + Jxx˙ = 0 =⇒ λ = . (38)
Thay (38) vào (37) ta có
q˙ = −W−1JTq ((JTq W−1JTq )−1(Jxx˙ + Jqq˙∗) = −J+WJxx˙ + (I− J+WJq)q˙∗, (38)
trong đó J+W = W
−1JTq ((J
T
q W
−1JTq )−1.
Nếu chọn W là ma trận đơn vị W = 1 thì
J+W = J
T
q (J
T
q J
T
q )
−1 = J+q . (40)
Qua thuật toán trình bầy ở trên ta thấy nhược điểm cơ bản của phương pháp này là khi
tính tính phân các phương trình vi phân (6) và (9) ta phải biết các điều kiện đầu. Các điều
kiện đầu này thường được xác định một cách gần đúng. Do đó quá trình tính toán hiệu chỉnh
mất nhiều thời gian.
4. GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC SỬ DỤNG HÀM FSOLVE
TRONG MATLAB
Hàm fsolve là một hàm được tích hợp sẵn trong Matlab để giải các hệ phương trình đại
số phi tuyến. Hàm này gồm có 3 giải thuật: ‘trust-region-dogleg’ (mặc định), ‘trust-region-
reflective’, và ‘levenberg-marquardt’. Trong đó thuật giải trust-region-reflective chỉ được sử
dụng khi số phương trình nhiều hơn hoặc bằng số ẩn, trust-region-dogleg được dùng khi số
phương trình bằng số ẩn và có thể dùng levenberg-marquardt khi cả hai giải thuật trên không
thể sử dụng.
Một số người thường sử dụng hàm fsolve để giải hệ phương trình đại số phi tuyến (1). Từ
đó có thể tìm được vectơ tọa độ suy rộng q. Sau đó sử dụng các phương trình (6) và (9) để
tìm q˙, q¨.
5. MÔ PHỎNG SỐ
Để minh họa cho các thuật toán trình bầy ở trên, xét bài toán động học ngược robot song
song dư dẫn động như trên Hình 1. Các tham số động học của robot được cho trong Bảng 1.
Cho biết tâm P của bàn máy động chuyển động trên một đường tròn với vận tốc có trị
số không đổi là 0,8m/s, góc định hướng của bàn máy động không đổi và bằng φ = 0, 2rad.
Tọa độ vị trí tâm đường tròn là (xc, yc) = (0, 6000m, 0, 3464m). Bán kính đường tròn là R =
0,2m.
Trong ví dụ này ta có (n = 10, r = 6,m = 3). Cụ thể như sau
q = [θ1, θ2, θ3,Ψ1,Ψ2,Ψ3, d4, xP , yP , ϕ]T , x = [xP , yP , ϕ]T .
Từ Hình 1 ta có thể viết được sáu phương trình ràng buộc
xP − l1 cos θ1 − l2 cos(θ1 + Ψ1)− h
√
3
3
cos(
pi
6
+ ϕ) = 0,
TÍNH TOÁN SO SÁNH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC 11
Hình 1. Mô hình robot song song dư dẫn động 3RRRP
Bảng 1. Các tham số động học của robot Hình 1
yP − l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + Ψ1)− h
√
3
3
sin(
pi
6
+ ϕ) = 0,
xP − l2 cos(θ2 + Ψ2)− l1 cos θ2 + h
√
3
3
cos(ϕ− pi
6
) = c,
yP − l2 sin(θ2 + Ψ2)− l1 sin θ2 + h
√
3
3
sin(ϕ− pi
6
) = 0,
xP − c
2
− d4 − l2 cos(θ3 + Ψ3)− l1 cos θ3 + h
√
3
3
sin(ϕ) = 0,
yP − c
√
3
2
− l2 sin(θ3 + Ψ3)− l1 sin θ3 + h
√
3
3
cos(ϕ) = 0.
Sử dụng phương pháp vẽ, ta tìm được một điều điện đầu gần đúng của các tọa độ suy
rộng như sau
12 NGUYỄN VĂN KHANG, LƯƠNG ANH TUẤN
q0 = [−0, 52 1, 74 1, 03 2, 39 4, 55 1, 74 − 0, 35 0, 6000 0, 3464 0, 2]T .
Sử dụng phần mềm MATLAB tính toán động học ngược của robot theo ba phương pháp:
Phương pháp Newton-Raphson cải tiến, phương pháp chiếu tọa độ và chiếu vận tốc và phương
pháp sử dụng hàm fsolve trong Matlab với thuật giải ‘levenberg-marquardt’ với cùng điều kiện
đầu đã cho ở trên. Một phần các kết quả mô phỏng số được trình bầy trên các Hình 2-4. Sai
số của các phương pháp cho trên các Hình 5-7. Qua các Hình 5-7 ta nhận thấy rằng, phương
án 1 và 2 cho kết quả sai số phương trình liên kết rất bé (cỡ 10−15), trong khi của phương án
3 có sai số cỡ 10−10 ± 10−12. Thời gian tính theo ba phương pháp thực hiện trên máy tính
Core i5, 2.27 GHz cho trên Bảng 2.
Bảng 2. Thời gian thực hiện các phương án
Phương pháp Thời gian thực hiện (s)
Phương án 1 0.5474
Phương án 2 6.0627
Phương án 3 8.4028
Phương pháp Newton-Raphson cải tiến có thời gian tính rất nhanh so với hai phương pháp
kia.
Hình 2 Hình 3
Đồ thị tọa độ khớp tính theo phương án 1 Đồ thị tọa độ khớp tính theo phương án 2
TÍNH TOÁN SO SÁNH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC 13
Hình 4 Hình 5
Đồ thị tọa độ khớp tính theo phương án 3 Sai số phương trình liên kết theo phương án 1
6. KẾT LUẬN
Trong bài toán điều khiển robot thời gian thực việc giảm thời gian tính toán các bài toán
động học ngược và động lực học ngược là bài toán quan trọng và có ý nghĩa thực tế. Một số
kết quả mới trong bài báo là:
1. Cải tiến phương pháp Newton-Raphson tính động học ngược robot song song dư dẫn động.
Những cải tiến đó là:
- Tăng cường độ chính xác của xấp xỉ ban đầu trong quá trình lặp Newton-Raphson bằng
cách sử dụng công thức (11) (khai triển Taylor dừng lại ở xấp xỉ bậc 2) thay cho công thức
(12) (khai triển Taylor dừng lại ở xấp xỉ bậc 1) như các tài liệu khác.
- Sử dụng phương trình liên kết (1) kiểm tra độ chính xác của kết quả tại từng bước tính.
2. Tính toán so sánh độ chính xác và thời gian tính của phương pháp đề xuất và hai phương
pháp khác (phương pháp chiếu tọa độ và chiếu vận tốc và phương pháp sử dụng hàm fsolve
trong Matlab) trên robot song song phẳng dư dẫn động 3RRRP. Các kết quả mô phỏng số
cho thấy ưu việt vượt trội của phương pháp đề xuất.
Nhóm nghiên cứu cũng đã tính toán động học ngược, động lực học học ngược và điều
14 NGUYỄN VĂN KHANG, LƯƠNG ANH TUẤN
Hình 6 Hình 7
Sai số phương trình liên kết theo phương án 2 Sai số phương trình liên kết theo phương án 3
khiển cho nhiều robot cụ thể và thu được kết quả tương tự. Các kết quả này sẽ được công bố
trong những công trình tiếp theo.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Y. Nakamura, Advanced Robotics/Redundancy and Optimization, Addison-Wesley Publish-
ing Company, Reading 1991.
[2] J. P. Merlet, Parallel Robots, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2000.
[3] B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani, G. Oriolo, Robotics: Modelling, Planning and Control,
Springer-Verlag, London 2009.
[4] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật, NXB Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội, 2007.
[5] Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ, Cơ sở Robot công nghiệp, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2011.
[6] A. A. Goldenberg, B.Benhabib, R. G. Fenton, A complete generalized solution to the inverse
kinematics of robots, IEEE Journal of Robotics and Automation Vol. RA-1 (1) (1985)
14–20.
TÍNH TOÁN SO SÁNH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC 15
[7] P. H. Chang, A closed-form solution for inverse kinematics of robot manipulators with redun-
dancy, IEEE Journal of Robotics and Automation Vol. RA-3 (5) (1987) 393–403.
[8] C. Chevallereau, W. Khalil, A new method for the solution of the inverse kinematics of redundant
robots, IEEE Journal of Robotics and Automation 1 (1988) 37–42.
[9] J. Wang, C. M. Gosselin, Kinematic analysis and design of kinematically redundant parallel
mechanisms, Journal of Mechanical Design 126 (2004) 109–118.
[10] I. Ebrahimi, J.A. Carretero, R. Boudreau, 3PRRR redundant planar parallel manipulator: In-
verse displacement, workspace and singularity analyses, Mechanism and Machine Theory 42
(2007) 1007-–1016.
[11] J. Wu, J. Wang, L. Wang, T. Li, Dynamics and control of a planar 3-DOF parallel manipulator
with actuation redundancy, Mechanism and Machine Theory 44 (2009) 835-–849.
[12] Nguyen Van Khang, Inverse Dynamics of constrained multibody systems using the projection
matrix, Vietnam Journal of Mechanics 35 (2013).
[13] Nguyễn Văn Khang, Lê Đức Đạt, Trần Hoàng Nam, Về một thuật toán giải bài toán động học
ngược robot dạng chuỗi, Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 8, Tập 1, Hà Nội,
2007 (250–259).
[14] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Quang Hoàng, Lê Đức Đạt, Trần Hoàng Nam, Về một thuật toán
điều khiển trượt robot dư dẫn động, Tạp chí Tin học và Điều khiển học 24 (3) (2008)
269–280.
[15] Nguyễn Quang Hoàng, Nguyễn Văn Khang, Trần Hoàng Nam, Bài toán đông học ngược robot
dư dẫn động có chú ý đến sự cố kẹt khớp, Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc, Tập 2, Hà
Nội, 2009 (282–290).
[16] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Quang Hoàng, Trần Hoàng Nam, On an efficient method for im-
proving the accuracy of the inverse kinematics of robotic manipulators, International Confer-
ence on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 2010), Hanoi, July 1-2, 2010
(186–194).
[17] Nguyễn Quang Hoàng, Thái Phương Thảo, Giải bài toán động học ngược robot dư dẫn động
bằng phương pháp chiếu tọa độ và chiếu vận tốc, Tạp chí Tin học và Điều khiển học 28 (1)
(2012) 31–40.
[18] H. Sadjadia, H.D. Taghirad, Comparison of different methods for computing the forward kine-
matics of a redundant parallel manipulator, Journal of Intelligent and Robotic Systems,
Springer, 2005.
[19] T.L. Boulion, P. L. Odell, Generalized Inverse matrices Wiley, New York, 1971.
[20] C.R. Rao, Generalized Inverse of Matrices and Its Applications, Wiley, New York, 1971.
Ngày nhận bài 19 - 02 - 2013
Nhận lại sau sửa ngày 26 - 3 - 2013