Xác định chiều sâu vết nứt trong kết cấu bê tông bằng sóng siêu âm

àn hồi dưới 
hai dạng: 
- Sĩng khối: cĩ thể là sĩng dọc (P-wave) hoặc sĩng 
ngang (S-wave). 
- Sĩng bề mặt: sĩng Rayleigh. 
Các sĩng ngang và sĩng dọc thường được sử dụng 
cho phương pháp siêu âm đối với các cơng trình xây 
dựng. Trong khi đĩ, sĩng Rayleigh được sử dụng trong 
lĩnh vực địa chấn. 
Phương trình lan truyền sĩng được thể hiện như sau 
[13, 14]:          2.u u u (1) 
Trong đĩ: 
 là khối lượng riêng; u là chuyển vị,  và tốn tử 
Laplac 2 được định nghĩa: 
                 
2 2 2
21 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 3
;
u u u
x x x x x x
(2) 
u1, u2, u3 là ba thành phần chuyển vị theo 3 phương của 
hệ tọa độ Descartes (x1, x2, x3). 
, µ là các hệ số La-mé: 
     
      ;1 1 2 2 1
E E (3) 
E là mơđun đàn hồi, ν là hệ số Poisson. 
Theo phân tách Helmholtz [13, 14], chuyển vị được 
tách làm hai thành phần gồm dịch chuyển  và xoay  
như sau: 
      u 
Khi đĩ phương trình lan truyền sĩng (1) được phân 
tách thành hai thành phần như sau: 
 
 
 
 


2
2
2
2
1
1
p
s
C
C
 (4) 
Hay cĩ thể phân thành hai loại sĩng, sĩng dọc lan truyền 
với vận tốc Cp và sĩng ngang lan truyền với vận tốc Cs. 
 



    
    
1
2
1
2
2
p
s
C
C
 (5) 
2.2. Đặc tính lan truyền của sĩng dọc và sĩng ngang 
khi xuất hiện vết nứt 
Khi tạo ra một tác động (Impact) trên bề mặt vật thể, 
tác động gây ra các sĩng lan truyền như hình 1. Sĩng dọc 
và sĩng ngang lan truyền bên trong vật thể và sĩng 
Rayleigh lan truyền trên bề mặt. 
Rayleigh Wave
S-Wave Front
P-Wave Front Crack
Impact
Hình 1. Đặc điểm lan truyền của các sĩng 
Sĩng dọc cĩ đặc điểm lan truyền nhanh hơn sĩng 
ngang, do vậy nĩ sẽ đến đỉnh của vết nứt trước. Đỉnh vết 
nứt lúc này sẽ đĩng vai trị như một nguồn phát mới, phát 
ra các sĩng ngang và sĩng dọc thứ cấp như hình 2. 
S-Wave
P-Wave
Impact
S-Diffracted
P-Diffracted
Hình 2. Sĩng âm lan truyền qua vết nứt 
Nếu ta bố trí đầu phát tại vị trí gây tác động, đầu thu 
đối xứng với đầu phát qua vị trí vết nứt (hình 3). Khi đĩ 
vị trí đầu phát và đầu thu chính là các vị trí để xác định 
quãng đường ngắn nhất mà sĩng lan truyền khi cĩ vết 
nứt. 
H H
D
Crack
Transducer TransducerImpact
Hình 3. Sơ đồ bố trí đầu phát và thu sĩng để xác định chiều sâu 
vết nứt mở thẳng đứng 
Do sĩng dọc lan truyền với vận tốc nhanh hơn sĩng 
ngang, do vậy sĩng đến đầu thu sớm nhất chính là sĩng 
dọc. Khi đĩ nếu biết vận tốc lan truyền sĩng dọc trong vật 
kiểm là Cp, thời điểm đầu tiên thu được sĩng tại vị trí thu 
là t, quãng đường lan truyền sĩng S sẽ được tính như sau: 
 
p
S C t (6) 
Cơng thức (6) chính là cơ sở để xác định chiều sâu và 
vị trí vết nứt bằng phương pháp sĩng siêu âm. 
Xác định chiều sâu vết nứt trong kết cấu bê tơng bằng sĩng siêu âm 
2.3 Cơng thức xác định chiều sâu và vị trí vết nứt 
2.3.1. Vết nứt mở thẳng đứng và vết nứt ngang 
Với sơ đồ bố trí đầu dị đối xứng hai bên so với vết 
nứt (hình 3), quãng đường truyền sĩng S được tính như 
sau: 
     
2
2 2
2
S
H D (7) 
trong đĩ: S là quãng đường truyền sĩng ngắn nhất, H là 
khoảng cách từ vết nứt đến đầu thu (phát), D là chiều sâu 
vết nứt. 
Thay cơng thức (6) vào phương trình (7), ta xác định 
được chiều sâu vết nứt thẳng đứng như sau: 
     
2
2
2
p
C t
D H (8) 
trong đĩ: Cp là vận tốc lan truyền của sĩng dọc, t là thời 
gian lan truyền của sĩng dọc trên quãng đường ngắn nhất 
S từ đầu phát đến đầu thu. 
Để xác định chiều sâu vết nứt ngang ta bố trí đầu dị 
như hình 4. Khi đĩ chiều sâu vết nứt ngang cũng được 
xác định theo cơng thức (8). 
H H
D
Crack
Transducer TransducerImpact
Hình 4. Sơ đồ bố trí đầu phát-thu để xác định chiều sâu 
vết nứt ngang 
2.3.2. Vết nứt xiên 
Để xác định vị trí vết nứt xiên, ta bố trí đầu phát-thu 
như hình 5. Khi đĩ bằng cách áp dụng cơng thức (8) ta 
xác định được chiều sâu của 2 điểm A và B. 
H H
Da
Crack
TransducerImpact
 A
H H
Db
Crack
TransducerImpact
 B
 Hình 5. Sơ đồ bố trí đầu phát-thu để xác định chiều sâu 
vết nứt xiên 
2.4. Phương pháp Phần tử hữu hạn đối với bài tốn 
truyền sĩng 
Sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn (finite 
element method) đối với bài tốn sĩng. Khi đĩ phương 
trình để giải bài tốn lan truyền sĩng bằng phương pháp 
FEM được thể hiện như sau [15, 16]: 
MQ KQ F  (9) 
Trong đĩ: M là ma trận khối lượng tổng thể, K là ma 
trận độ cứng tổng thể, F là véctơ tải trọng, Q là ma trận 
chuyển vị nút tổng thể. Ma trận giảm chấn được giả sử bỏ 
qua trong bài báo này. 
Đối với bài tốn mơ phỏng hai chiều, vật rắn được 
chia thành các phần tử tam giác. Ma trận khối lượng và 
ma trận độ cứng được xác định như sau [15, 16]: 
Ma trận độ cứng: 
T
e e ek t A B DB (10) 
Trong đĩ: te là bề dày phần tử, Ae là diện tích phần tử, 
B là ma trận liên hệ biến dạng-chuyển vị nút của phần tử, 
D là ma trận liên hệ ứng suất-biến dạng. 
Do bề dày kết cấu khá lớn, kết cấu được giả thiết 
chịu ứng biến dạng phẳng. Khi đĩ: 
1 0
1 0(1 )(1 2 ) 0 0 (1 2 ) / 2
ED v
 
  
        
 (11) 
Trong đĩ: E và ν lần lượt là mơđun đàn hồi và hệ số 
Poisson của vật liệu. 
Ma trận khối lượng của phần tử tam giác được viết 
như sau: 
2 0 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1
1 0 2 0 1 0
0 1 0 2 0 112
1 0 1 0 2 0
0 1 0 1 0 2
e e
e
A tm 
           
 (12) 
Ma trận độ cứng tổng thể K và ma trận khối lượng 
tổng thể M của tồn bộ kết cấu được ghép nối từ các ma 
trận độ cứng và ma trận khối lượng của các phần tử. 
2.5. Phương pháp Newmark 
Để giải phương trình (9), bài báo sử dụng phương 
 Vương Lê Thắng, Lê Cung và Nguyễn Đình Sơn 
pháp Newmark để giải, vì đây là phương pháp cĩ cách 
giải đơn giản, nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác và thích 
hợp với bài tốn động lực học. 
Rời rạc hĩa phương trình (9) tại từng bước thời gian 
(i+1): 
1 1 1i i iMQ KQ F    (13) 
Các giá trị tại thời điểm i+1 được tính tốn từ giá trị 
đã biết ở thời điểm i. Vận tốc và chuyển vị tại thời điểm 
i+1 được xác định bằng phương trình [16, 17]: 
2 2
1 1
1 1
1
2
(1 )
i i i i i
i i i i i
Q Q Q t t Q t Q
Q Q Q t tQ tQ
 
 
 
 
                    
  
    
 (14) 
Với t là bước thời gian; 1/ 2, 1/ 4   là 
các tham số gia tốc trung bình trong phương pháp 
Newmark. Thay (14) vào (13), ta nhận được giá trị gia tốc 
1iQ  tại bước thời gian i+1. Thay giá trị 1iQ  vào (14), 
ta nhận được giá trị chuyển bị 1iQ  và vận tốc 1iQ  tại 
bước thời gian i+1. 
2.6. Tiêu chuẩn ổn định của bài tốn 
Tính ổn định được đảm bảo bằng cách chọn bước 
thời gian phù hợp. Nếu bước thời gian quá nhỏ, việc giải 
bài tốn sẽ mất rất nhiều thời gian. Ngược lại, nếu bước 
thời gian quá lớn, việc tính tốn cĩ thể khơng thực hiện 
được do khơng hội tụ. Điều kiện ổn định như sau: 
cr
L
Lt t
c
    (15) 
Trong đĩ: ΔL là kích thước của phần tử nhỏ nhất, cL 
là vận tốc sĩng dọc, Δtcr là bước thời gian tới hạn. Giả 
thiết rằng biến dạng của phần tử là nhỏ, do đĩ bước thời 
gian tới hạn được chọn là thời gian mà sĩng dọc truyền 
qua phần tử nhỏ nhất. 
Kích thước rời rạc theo khơng gian được chọn sao 
cho bước sĩng nhỏ nhất của tín hiệu phải chứa tối thiểu 8 
nút lưới. Điều kiện này dẫn đến biểu thức sau đây [18, 
19]: 
min
min
max
1 1
8 8
cx
f
   (16) 
Trong đĩ: λmin là bước sĩng nhỏ nhất, cmin là vận tốc 
nhỏ nhất của trong mơi trường và fmax là tần số lớn nhất 
của tín hiệu. 
2.7. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên 
2.7.1. Điều kiện ban đầu 
Kết cấu bê tơng được giả sử là cân bằng tại thời điểm 
ban đầu t=0, do đĩ chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời 
điểm ban đầu xem như bằng 0 tại mọi điểm trong kết cấu. 
2.7.2. Điều kiện biên 
Đối với bài tốn lan truyền sĩng âm trong vật thể đàn 
hồi, các điều kiện thường được sử dụng trong bài tốn 
bao gồm: Điều kiện ứng suất-tự do (stress-free 
conditions) [20, 21], cịn được gọi là điều kiện Neumann 
hay điều kiện bề mặt-tự do (free-surface condition); Điều 
kiện vận tốc bằng khơng [20, 21] (zero-velocity 
conditions) tương đương với các điều kiện dịch chuyển 
bằng khơng (zero-displacement conditions), cịn gọi là 
điều kiện Dirichlet hay điều kiện bề mặt cố định 
(rigid-surface condition). 
 Điều kiện biên ứng suất tự do 
Trên bề mặt biên S của mơi trường (vật rắn), điều 
kiện ứng suất-tự do [20, 21] (điều kiện biên Neumann) 
được viết như sau: . 0i ij in n n i jT = T e 
Trong đĩ nT : véctơ ứng suất trên bề mặt biên; e1, e2, 
e3: các cơ sở của hệ tọa độ Descartes; n1, n2, n3: các thành 
phần của véctơ pháp tuyến ngồi n của biên trong hệ 
tọa độ Descartes. 
 Điều kiện biên vận tốc hay dịch chuyển bằng khơng 
Điều kiện vận tốc bằng khơng [20, 21] (zero-velocity 
conditions) tương đương với các điều kiện dịch chuyển 
bằng khơng (zero-displacement conditions), cịn gọi là 
điều kiện Dirichlet hay điều kiện bề mặt cố định 
(rigid-surface condition). 
Trên bề mặt biên S của vật rắn: 
1 2 3q 0; q 0; q 0S S S   . Trong đĩ q1, q2, q3: 
các chuyển vị trong hệ tọa độ Descartes. 
Trong bài báo này, điều kiện biên ứng suất tự do 
được sử dụng cho các bề mặt tự do của mẫu thử. Đối với 
trường hợp vết nứt, nhằm đơn giản hĩa bài tốn, giả thiết 
vết nứt hở (các bề mặt của vết nứt khơng tiếp xúc với 
nhau) được sử dụng. Vì vậy, điều kiện biên ứng suất tự do 
cũng được áp đặt trên các bề mặt của vết nứt. 
3. Mơ phỏng số 
3.1. Vết nứt thẳng đứng 
Mẫu khảo sát: kích thước mẫu 30x20cm, vết nứt thẳng 
đứng bề mặt cĩ bề rộng 2mm và sâu 5cm, như hình 6. 
H=7cm H=7cm
D=
5c
m
Crack
Transducer Transducer
20
cm
30cm
Impact
Hình 6. Sơ đồ bố trí phép đo xác định chiều sâu 
vết nứt thẳng đứng 
Bố trí đầu dị phát và thu: hai đầu dị phát-thu đặt trên 
bề mặt mẫu và đối xứng qua vết nứt. Khoảng cách từ đầu 
phát và thu đến vết nứt là 7cm. 
Nguồn phát: như đã trình bày ở phần trước, sĩng dọc 
sẽ được xét đến để xác định chiều sâu vết nứt. Giả thiết 
đầu dị phát sĩng tại một điểm, điểm phát sĩng 
(x=8cm;y=20cm), chuyển vị tại điểm phát sĩng là một 
Xác định chiều sâu vết nứt trong kết cấu bê tơng bằng sĩng siêu âm 
hàm sin như sau: 
qpy=q0*sin(.t) 
Trong đĩ: qpy là chuyển vị theo phương y (vì là sĩng 
dọc); q0 là biên độ của sĩng (q0=0,0001m); =2пf; f là 
tần số phát sĩng (f=54khz). 
Giá trị chuyển vị tại điểm phát sĩng theo thời gian 
được thể hiện qua hình 7. 
Hình 7. Giá trị chuyển vị uy tại điểm phát sĩng 
Quá trình mơ phỏng số được thực hiện bằng phương 
pháp FEM, các thơng số mơ phỏng như sau: kích thước 
rời rạc khơng gian, thỏa mãn cơng thức 16, x=5mm; 
Bước thời gian mơ phỏng, thỏa mãn cơng thức 15, 
t=Cp/x, với Cp là vận tốc lan truyền của sĩng dọc 
trong bê tơng (giả thiết Cp=3000m/s). Số bước thời gian 
mơ phỏng lựa chọn k=100. Vật liệu bê tơng được giả thiết 
là vật liệu đồng nhất, cĩ các đặc tính vật liệu như sau: 
khối lượng riêng ρ=2500kg/m3, mơđun đàn hồi Eb=2.104 
MPa, hệ số Poisson ν=0,2. 
Quá trình mơ phỏng được thực hiện qua cơng cụ hỗ 
trợ tốn học Matlab, hình ảnh mơ phỏng được thể hiện 
qua hình 8. 
Hình 8. Hình ảnh lan truyền sĩng P-wave trong mẫu với trường 
hợp vết nứt thẳng gĩc 
Kết quả chuyển vị uy tại điểm nhận sĩng được thể 
hiện qua hình 9. 
Hình 9. Giá trị chuyển vị uy tại điểm nhận sĩng 
Dựa trên kết quả chuyển vị tại điểm phát sĩng (hình 
7), giá trị chuyển vị dương lớn nhất thứ hai là tại bước 
thời gian k=14. Dựa trên kết quả chuyển vị tại điểm nhận 
sĩng sĩng (hình 9), giá trị chuyển vị dương lớn nhất thứ 
hai là tại bước thời gian k=48. Như vậy, số bước thời gian 
lan truyền sĩng sẽ là 48-14=34 bước. Khi đĩ, thời gian 
lan truyền sĩng được xác định bằng số bước thời gian lan 
truyền sĩng nhân với bước thời gian (34t). 
Áp dụng cơng thức xác định chiều sâu vết nứt thẳng 
đứng (cơng thức 8), ta xác định được chiều sâu vết như 
sau: 
     
2
2
2
p
C t
D H 
Trong đĩ: Cp=3000m/s; t=kt=34x1.67.10-6=5,83.10-5s; 
H=7cm. Kết quả tính được chiều sâu vết nứt thẳng đứng 
D=4,82cm. 
3.2. Vết nứt ngang 
Mẫu khảo sát: kích thước mẫu 30x20cm, vết nứt 
ngang cĩ bề rộng 2mm và sâu 5cm, như hình 9. 
20
cm
30cm
H=10cm H=10cm
D=
5c
m
Crack
Transducer TransducerImpact
Hình 10. Sơ đồ bố trí phép đo xác định chiều sâu vết nứt ngang. 
Các thơng số mơ phỏng lấy giống trường hợp vết nứt 
thẳng đứng, hình ảnh lan truyền sĩng được thể hiện ở 
hình 11. 
 Vương Lê Thắng, Lê Cung và Nguyễn Đình Sơn 
Hình 11. Hình ảnh lan truyền sĩng P-wave trong mẫu với 
trường hợp vết nứt ngang 
Hình ảnh lan truyền sĩng cho thấy tại vị trí vết nứt, 
sĩng sẽ phản xạ, khi đĩ giống như một nguồn thứ cấp 
phát sĩng. Điều này phù hợp với cơ sở lý thuyết đã trình 
bày ở phần trước. 
Kết quả chuyển vị tại điểm nhận sĩng thể hiện qua 
hình 12. 
Hình 12. Giá trị chuyển vị uy tại điểm nhận sĩng để xác định 
chiều sâu vết nứt ngang 
Tương tự như trường hợp vết nứt thẳng đứng, dựa 
trên kết quả từ hình 12 và hình 7, số bước thời gian lan 
truyền sĩng sẽ là 44 bước. 
Áp dụng cơng thức tính tốn chiều sâu vết nứt (cơng 
thức 8), ta xác định được chiều sâu vết nứt ngang là 
D=4,58cm. 
3.3. Vết nứt xiên 
Mẫu khảo sát: kích thước mẫu 30x20cm, vết nứt xiên 
cĩ bề rộng 2mm, như hình 13. 
H=10cm H=10cm
Da
=4
cm
Crack
TransducerImpact
 A
20
cm
30cm
Xa=11cm
H=10cm H=10cm
Db
=2
cm
Crack
TransducerImpact
 B
20
cm
30cm
Xb=19cm
Hình 13. Sơ đồ bố trí phép đo xác định chiều sâu vết nứt xiên. 
Các thơng số mơ phỏng lấy giống hai trường hợp như 
đối với vết nứt thẳng đứng và vết nứt ngang. Hình ảnh lan 
truyền sĩng thể hiện ở hình 14. 
Hình 14. Hình ảnh lan truyền sĩng P-wave trong mẫu với 
trường hợp vết nứt xiên gĩc 
Từ hình 14 cho thấy, tại vị trí vết nứt sĩng sẽ phản xạ 
ngược lên, điều này là phù hợp với cơ sở lý thuyết đã 
phân tích ở phần trước. 
Kết quả giá trị nhận được tại 2 vị trí nhận sĩng thuộc 
hình 13, để xác định chiều sâu của 2 điểm A và điểm B 
được thể hiện hình 15. 
Xác định chiều sâu vết nứt trong kết cấu bê tơng bằng sĩng siêu âm 
a) Giá trị nhận sĩng để xác định chiều sâu điểm A 
b) Giá trị nhận sĩng để xác định chiều sâu điểm B 
Hình 15. Giá trị chuyển vị uy tại điểm nhận sĩng 
Tương tự trường hợp vết nứt thẳng đứng và vết nứt 
ngang, dựa trên kết quả từ hình 15 và hình 7, số bước thời 
gian lan truyền sĩng ứng với hai điểm A và B sẽ là 43 và 
41 bước. 
Áp dụng cơng thức tính tốn chiều sâu vết nứt (cơng 
thức 8), ta xác định được chiều sâu điểm A là Da=3,95cm 
và chiều sâu điểm B: Db=2,25cm. 
3.4. So sánh kết quả mơ phỏng so với vết nứt thực tế 
Kết quả chiều sâu vết nứt bằng chương trình mơ 
phỏng được so sánh với chiều sâu vết nứt thực tế, thể 
hiện ở bảng 1. 
Bảng 1. So sánh kết quả chiều sâu các vết nứt từ mơ phỏng 
và thực tế 
Chiều sâu loại 
vết nứt Từ thực tế 
Tính tốn từ mơ 
phỏng 
Vết nứt thẳng đứng 5cm 4,82cm 
Vết nứt ngang 5cm 4,58cm 
Vết nứt xiên Điểm A: 4cm Điểm A: 3,95cm Điểm B: 2cm Điểm B: 2,25cm 
 Kết quả từ bảng 1 cho thấy, kết quả mơ phỏng cho 
ra giá trị chiều sâu các vết nứt thẳng đứng, ngang và xiên 
gần bằng so với giá trị thực tế. Điều này cho thấy độ tin 
cậy của chương trình mơ phỏng đã thiết lập. 
4. Kết luận 
Bài báo trình bày phương pháp mơ phỏng nhằm xác 
định chiều sâu vết nứt trong bê tơng sử dụng sĩng siêu 
âm. Việc mơ phỏng số được thực hiện bằng phương pháp 
phần tử hữu hạn, nhờ cơng cụ tốn học Matlab. Kết quả 
xác định chiều sâu vết nứt từ mơ phỏng được so sánh với 
với chiều sâu thực tế trên mẫu để kiểm tra chương trình 
mơ phỏng. 
Sự thành cơng của chương trình mơ phỏng là cơ sở 
để thời gian đến nhĩm nghiên cứu tiến hành các thực 
nghiệm để đối chiếu với kết quả mơ phỏng, từ đĩ đề xuất 
các phương pháp xác định chiều sâu vết nứt, khắc phục 
được các hạn chế trong TCVN 9357-2012. 
Lời cảm ơn 
Bài báo này được tài trợ bởi Trường Đại học Bách 
khoa-ĐHĐN với đề tài cĩ mã số: T2019-02-67. 
Tài liệu tham khảo 
[1] T. C. V. N. 9357-2012, "Bê tơng nặng - Phương pháp thử 
khơng phá hủy - Đánh giá chất lượng bê tơng bằng vận 
tốc xung siêu âm," ed, 2012. 
[2] N. Hữu Huế, "Phương pháp thí nghiệm hiện trường kiểm 
tra đo đạc vết nứt bê tơng bản mặt đập chính-hồ chứa 
nước Cửa Đạt (The field test method for measuring cracks 
in concrete of Cua Dat lake)," Tạp chí Khoa học kỹ thuật 
Thủy lợi và Mơi trường, 2016. 
[3] L. X. C. Trần Văn Khuê, "Nghiên cứu phương pháp đo 
sĩng ứng suất xác định vận tốc truyền sĩng trong bê 
tơng," Tạp chí Khoa học Giao thơng Vận tải số 29 tháng 
03/2010, pp. 81-87, 2010. 
[4] L. M. Tu, "Xác định mơđun đàn hồi tấm bê tơng xi măng 
mặt đường bằng phương pháp siêu âm (Ultrasonic testing 
methods in determining elastic modulus of concrete 
pavement plates)," 2016. 
[5] T. T. Q. Huy and K. Đ. Q. Mỹ, "Xác định và đánh giá 
khuyết tật cọc khoan nhồi bằng phương pháp xung siêu 
âm truyền qua hai ống (Identification and evaluation of 
bored pile defects by ultrasonic pulses transmitted through 
two tubes)," 2015. 
[6] H. P. Nam, "Nghiên cứu sử dụng kỹ thuật sĩng âm để 
khảo sát vết nứt trong bê tơng khối lớn ở tuổi sớm 
(Investigation of cracking in massive concrete at early 
ages by acoustic emission technique)," 2015. 
[7] S. Tanaka and M. M. ISLAM, "Detection and 
Identification of an Inclined Crack in Concrete Structures 
Using an Ultrasonic Sensor," SICE Journal of Control, 
Measurement, and System Integration, vol. 2, pp. 88-93, 
2009. 
[8] S. A. Kumar and M. Santhanam, "Detection of concrete 
damage using ultrasonic pulse velocity method," in 
National Seminar on Non-destructive Evaluation, 2006. 
[9] W. Xinjiang and X. Tangdai, "Research on Crack Depth 
 Vương Lê Thắng, Lê Cung và Nguyễn Đình Sơn 
Measurement in Concrete by Using Rayleigh Waves," 
1998. 
[10] R. C. Pinto, A. Medeiros, I. Padaratz, and P. B. Andrade, 
"Use of ultrasound to estimate depth of surface opening 
cracks in concrete structures," E-Journal of 
Nondestructive Testing and Ultrasonics, vol. 8, pp. 1-11, 
2010. 
[11] K. C. Arne, "Crack depth measurement in reinforced 
concrete using ultrasonic techniques," Georgia Institute of 
Technology, 2014. 
[12] M. E. Seher, "Finite element simulation of crack depth 
measurements in concrete using diffuse ultrasound," 
Georgia Institute of Technology, 2011. 
[13] A. Bedford and D. Drumheller, Introduction to Elastic 
Wave Propagation, 1994. 
[14] G. Müller and M. Weber, Theory of elastic waves: 
Geoforschungszentrum, 2007. 
[15] N. N. K. Trần Ích Thịnh, Phương pháp phần tử hữu hạn. 
Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2007. 
[16] L. C. Vuong Le Thang, Nguyen Dinh Son, "A 
two-dimention simulation of ultrasonic wave propagation 
in concrete using finite element method," International 
Journal of Civil Engineering and Technology (IJCIET), 
vol. 10, pp. 566-580, 2019. 
[17] T. Xue, "Finite element modeling of ultrasonic wave 
propagation with application to acoustic microscopy," 
Doctor of philosophy, Dissertation, Electrical and 
Computer Engineering, Iowa State University, 1996. 
[18] F. Schubert and B. Kưhler, "Three-dimensional time 
domain modeling of ultrasonic wave propagation in 
concrete in explicit consideration of aggregates and 
porosity," Journal of computational acoustics, vol. 9, pp. 
1543-1560, 2001. 
[19] F. Schubert, A. Peiffer, B. Kưhler, and T. Sanderson, "The 
elastodynamic finite integration technique for waves in 
cylindrical geometries," The Journal of the Acoustical 
Society of America, vol. 104, pp. 2604-2614, 1998. 
[20] D. Appelư and N. A. Petersson, "A stable finite difference 
method for the elastic wave equation on complex 
geometries with free surfaces," Communications in 
Computational Physics, vol. 5, pp. 84-107, 2009. 
[21] J. Virieux, "P-SV wave propagation in heterogeneous 
media: Velocity-stress finite-difference method," 
Geophysics, vol. 51, pp. 889-901, 1986.