Bài giảng Ánh xạ tuyến tính - Lê Xuân Đại

 (x). Do đó
∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x =
n∑
i=1
λixi . Khi đó
y = f (x) = f (
n∑
i=1
λixi) =
n∑
i=1
λi f (xi) ∈ .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
2. Chứng minh ⊂ f (). Với mọi
y ∈⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K :
y =
n∑
i=1
λi f (xi) = f (
n∑
i=1
λixi) ∈ f ().
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Hệ quả
Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E
thì f (M) sinh ra F .
Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E )
= f () = .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ),
M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu
hạn phần tử của E . Khi đó
1 Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ
thuộc tuyến tính
2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập
tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Chứng minh.
1. Nếu M PTTT thì
∃(λ1, λ2, . . . , λn) 6= (0, 0, . . . , 0) sao cho
n∑
i=1
λixi = 0. Khi đó
f (
n∑
i=1
λixi) = f (0) = 0 =
n∑
i=1
λi f (xi)
⇒ f (M) PTTT.
2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính
thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì
f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ),
M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu
hạn phần tử của E . Nếu f là đơn ánh và M độc
lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử
n∑
i=1
λi f (xi) = 0
⇒ f (
n∑
i=1
λixi) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên
n∑
i=1
λixi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1..n. 
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 21 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F ,
∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với
mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .
Chứng minh.
Ta có f là song ánh=toàn ánh+đơn ánh. Vì f là
toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F .
Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy
f (B) là cơ sở của F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 22 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0),
f (0,−1, 1) = (2, 1, 3).
Xác định f (x1, x2, x3).
3 véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0,−1, 1) là cơ sở của
R3 nên
(x1, x2, x3) = α(1, 0, 0)+β(−1, 1, 0)+ γ(0,−1, 1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 23 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
⇔

α −β = x1
β −γ = x2
γ = x3
⇔

α = x1 + x2 + x3
β = x2 + x3
γ = x3
Vậy f (x1, x2, x3) =
αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0,−1, 1) =
(x1 + x2 + x3)(1, 1, 1) + (x2 + x3)(−2,−1, 0) +
x3(2, 1, 3) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 + 4x3)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 24 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0),
f (0,−1, 1) = (2, 1, 3).
Tìm cơ sở và số chiều của Ker(f ).
∀x ∈ Ker(f )⇔ f (x) = 0
⇔

x1 − x2 + x3 = 0
x1 + x3 = 0
x1 + x2 + 4x3 = 0
⇔ x1 = x2 = x3 = 0
Ker(f ) = {0}. Dim(Ker(f )) = 0. @ cơ sở Ker(f ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 25 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2,−1, 0),
f (0,−1, 1) = (2, 1, 3).
Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ).
Chọn cơ sở của R3 là
(1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0,−1, 1).
Im(f ) =
=
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 26 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
 1 1 1−2 −1 0
2 1 3
→
 1 1 10 1 2
0 0 3

Vậy cơ sở của Im(f ) là (1, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 3).
Dim(Im(f )) = 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 27 / 67
Khái niệm tổng quát Định lý về số chiều của nhân và ảnh
Định lý về số chiều của nhân và ảnh
Định lý
Cho 2 K−kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ
tuyến tính. Khi đó ta có
rank(f ) + dim(ker(f )) = dim(E )
hay
dim(Im(f )) + dim(ker(f )) = dim(E )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 28 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính
Xác định ánh xạ tuyến tính
Định lý
Giả sử E và F là 2 K -kgv, B = {e1, e2, . . . , en} là
1 cơ sở của E và v1, v2, . . . , vn là n véctơ tùy ý
của F . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến
tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei) = vi , i = 1, 2, . . . , n.
Chứng minh tồn tại ánh xạ tuyến tính:
∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen,
xi ∈ K . Lập ánh xạ f : E → F ,
f (x) = x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 29 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính
Rõ ràng lúc này ta có
f (e1) = 1.v1 + 0.v2 + . . . + 0.vn = v1,
f (e2) = v2, . . . f (en) = vn. Vậy luôn tồn tại ánh
xạ f thỏa f (ei) = vi , i = 1, 2, . . . , n.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
Với x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen,
y = y1e1 + y2e2 + . . . + ynen, ta có
x+y = (x1+y1)e1+(x2+y2)e2+ . . .+(xn+yn)en
và λx = λx1e1 + λx2e2 + . . . + λxnen.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 30 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính
Do đó
f (x+y) = (x1+y1)v1+(x2+y2)v2+. . .+(xn+yn)vn
= (x1v1+x2v2+. . .+xnvn)+(y1v1+y2v2+. . .+ynvn)
= f (x) + f (y).
f (λx) = (λx1v1 + λx2v2 + . . . + λxnvn)
= λ(x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn) = λf (x).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 31 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính
Chứng minh f là duy nhất.
Giả sử còn có g : E → F thỏa g(ei) = vi ,
i = 1, 2, . . . , n. Khi đó ∀x ∈ E , ta có
g(x) = x1g(e1) + x2g(e2) + . . . + xng(en)
= x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn = f (x).
Vậy g = f .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 32 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Giả sử E , F là 2 K -kgv, dimE = n, dimF = m,
f ∈ L(E , F ). Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ
sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F .
Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi
các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (ej), . . . , f (en).
Giả sử f (ej) =
m∑
k=1
akj fk =
= a1j f1 + a2i f2 + . . . + aij fi + . . . + ami fm
(j = 1, 2, . . . , n).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 33 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Khi đó ma trận
A =

a11 . . . a1j . . . a1n... . . . ... . . . ...
ai1 . . . aij . . . ain... . . . ... . . . ...
am1 . . . amj . . . amn

được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong
cặp cơ sở BC. Ký hiệu A = MatBC(f )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 34 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính
Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính
Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ).
B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E ,
C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử
y = f (x) và X = [x ]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay
x =
n∑
i=1
xiei ; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay
y =
m∑
k=1
yk fk và A = MatBC(f ). Hãy tìm mối liên
hệ giữa [x ]B, [y ]C,MatBC(f )?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 35 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính
Ta có y = f (x) =
m∑
k=1
yk fk =
= f (
n∑
i=1
xiei) =
n∑
i=1
xi f (ei) =
n∑
i=1
xi(
m∑
k=1
aki fk) =
m∑
k=1
(
n∑
i=1
akixi)fk ⇒ yk =
n∑
i=1
akixi , k = 1, 2, . . . ,m.
Hay

y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........
ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn
hoặc
ở dạng ma trận [y ]C = ABC[x ]B.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 36 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : P2(x)→ P1(x) xác
định bởi f (p(x)) = p′(x) + 3p′′(x). Cho
B = {1, x , x2} là cơ sở của P2(x) và C = {1, x}
là cơ sở của P1(x).
1 Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong
cặp cơ sở B, C.
2 Tính f (3x2+5x − 2) trực tiếp và thông qua A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 37 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
1. Ma trận A của AXTT f trong cặp cơ sở B, C
Ta có f (1) = 0 + 3.0 = 0⇒ [f (1)]C =
(
0
0
)
f (x) = 1 + 3.0 = 1⇒ [f (x)]C =
(
1
0
)
f (x2) = 2x + 3.2 = 6 + 2x ⇒ [f (x2)]C =
(
6
2
)
.
Vậy A =
(
0 1 6
0 0 2
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 38 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
2. Tính trực tiếp
f (3x2 + 5x − 2) = (6x + 5) + 3(6) = 23 + 6x .
Tính thông qua A
p(x) = 3x2 + 5x − 2⇒ [p(x)]B =
 −25
3

[f (p(x))]C = A[p(x)]B =
(
0 1 6
0 0 2
) −25
3
 =(
23
6
)
. Vậy f (3x2 + 5x − 2) = 23 + 6x .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 39 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định bởi
(f (x))T = AxT , với A =
 1 −30 2
4 3
 . Tìm ma
trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở
B = {(1, 1), (1, 2)} và
C = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 40 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ta có
(f (1, 1))T =
 1 −30 2
4 3
( 1
1
)
=
 −22
7
 . Ta
cần khai triển véctơ (f (1, 1))T trong cơ sở C −22
7
 = α
 10
1
 + β
 11
1
 + γ
 10
0
 .
Từ đó ta được α = 5, β = 2, γ = −9.
Vậy [f (1, 1)]C = (5, 2,−9)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 41 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Tương tự ta cũng tính được
[f (1, 2)]C =
 64
−15
 .
Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở B, C là
A =
 5 62 4
−9 −15
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 42 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian
Khi f ∈ L(E ). Khi đó f hoàn toàn được xác định
bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (ei), . . . , f (en) với
B = {e1, e2, . . . , ei , . . . en} là 1 cơ sở của E .
Nếu f (ei) =
n∑
k=1
akiek thì ma trận
A = MatB(f ) =

a11 . . . a1i . . . a1n... . . . ... . . . ...
ai1 . . . aii . . . ain... . . . ... . . . ...
an1 . . . ani . . . ann
 chính
là ma trận biểu diễn ánh xạ f trong cơ sở B của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 43 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian
Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính
Nếu X = (x1, x2, . . . , xn)T = [x ]B,
Y = (y1, y2, . . . , yn)
T = [y ]B, thì ta có
Yn×1 = An×nXn×1 hay [y ]B = A[x ]B.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 44 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết
f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của
ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
B = {(1, 1), (1, 0)}.
e1 = (1, 1)⇒ f (e1) = (3, 0);
e2 = (1, 0)⇒ f (e2) = (2, 1);{
f (e1) = a11e1 + a21e2
f (e2) = a12e1 + a22e2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 45 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
⇔

a11.1 + a21.1 = 3
a11.1 + a21.0 = 0
a121. + a22.1 = 2
a121. + a22.0 = 1
⇔

a11 = 0
a21 = 3
a12 = 1
a22 = 1.
Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
B = {(1, 1), (1, 0)} là
A = MatB(f ) =
(
0 1
3 1
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 46 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết
f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận
của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc.
Trong cơ sở chính tắc
e1 = (1, 0)⇒ f (e1) = (1, 2).
e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0)⇒ α = 1, β = −1
⇒ f (e2) = f (1, 1)− f (1, 0) = (−1, 1)− (1, 2) =
(−2,−1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 47 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ{
f (e1) = a11e1 + a21e2
f (e2) = a12e1 + a22e2
⇔

a11.1 + a21.0 = 1
a11.0 + a21.1 = 2
a12.1 + a22.0 = −2
a12.0 + a22.1 = −1
⇔

a11 = 1
a21 = 2
a12 = −2
a22 = −1.
Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
chính tắc là
A =
(
1 −2
2 −1
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 48 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận
của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
B = {(1, 1), (−1, 1)} là A =
(
1 −1
0 2
)
. Tìm
f (−1, 5).
Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1)
⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x ]B = (2, 3)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 49 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Từ đó ta có [f (−1, 5)]B = A.[x ]B =(
1 −1
0 2
)(
2
3
)
= (−1, 6)T .
Vậy f (−1, 5) = −1(1, 1) + 6(−1, 1) = (−7, 5)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 50 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cặp cơ sở khác nhau
Ma trận của AXTT trong các cặp cơ sở khác nhau
Cho ánh xạ tuyến tính f : E → F .
Trong E có 2 cơ sở
B = {e1, e2, . . . , en},B′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n}
Trong F có 2 cơ sở
C = {f1, f2, . . . , fm}, C ′ = {f ′1 , f ′2 , . . . , f ′m}
Gọi S ma trận chuyển cơ sở từ B vào B′, P ma
trận chuyển cơ sở từ C vào C ′.
ABC là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp
cơ sở B và C. Hãy tìm ma trận của ánh xạ tuyến
tính f trong cặp cơ sở B′ và C ′?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 51 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cặp cơ sở khác nhau
Khi đó
[f (x)]C = ABC.[x ]B ⇔ P [f (x)]C′ = ABC.S [x ]B′
⇔ [f (x)]C′ = P−1ABCS [x ]B′.
Như vậy, ma trận P−1ABCS là ma trận của ánh xạ
f trong cặp cơ sở B′ và C ′.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 52 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định bởi
f (x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2, 2x1 + x2). Trong R2
xét 2 cơ sở B = {e1 = (1, 2), e2 = (3, 4)},
B′ = {e ′1 = (1, 3), e ′2 = (2, 5)}, trong R3 xét 2 cơ
sở
C = {f1 = (1, 0, 1), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 1, 1)},
C ′ = {f ′1 = (1, 1, 2), f ′2 = (1, 2, 1), f ′3 = (1, 1, 1)}.
Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở B′ và
C ′.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 53 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′ là
S =
(
5
2
7
2
−12 −12
)
Ma trận chuyển cơ sở từ C sang C ′ là
P =
 1 1 10 2 1
1 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 54 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B, C là
A =
 −1 −10 −2
4 10

Ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B′, C ′ là
A′ = P−1AS =
 1 1 10 2 1
1 0 0
−1 −1 −10 −2
4 10
( 52 72−12 −12
)
=
=
 5 98 13
−152 −232

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 55 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau
Xét trường hợp f : E → E , f ∈ L(E ) với E là 1
K -kgv. Giả sử
B = {e1, e2, . . . , en},B′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là 2 cơ
sở nào đó của E và A = MatB(f ),A′ = MatB′(f ).
Giả sử S = Pass(B,B′) là ma trận chuyển cơ sở
từ B sang B′. Khi đó ta cũng có A′ = S−1AS
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 56 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau
Định nghĩa
Hai ma trận A và A′ được gọi là 2 ma trận đồng
dạng nếu A′ = S−1AS .
Định lý
Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E . A là ma trận
của ánh xạ tuyến tính f cơ sở B còn A′ là ma trận
của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở B′. Khi đó A,A′
đồng dạng với nhau.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 57 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận
của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
B = {(1, 0), (1, 1)} là A =
(
1 −3
1 4
)
. Tìm ma
trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
B′ = {(0, 1), (2, 1)}.
Áp dụng công thức, ta có ma trận của ánh xạ
tuyến tính f trong cơ sở B′ là A′ = S−1AS trong
đó S là ma trận chuyển từ cơ sở B vào B′.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 58 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Tìm S .{
(0, 1) = s11(1, 0) + s21(1, 1)
(2, 1) = s12(1, 0) + s22(1, 1)
⇒{
s11 = −1; s21 = 1
s21 = 1; s22 = 1
Vậy S =
( −1 1
1 1
)
⇒ S−1 =
( −12 12
1
2
1
2
)
.
Từ đó A′ = S−1AS =( −12 12
1
2
1
2
)
.
(
1 −3
1 4
)
.
( −1 1
1 1
)
=
(
7
2
7
2
−12 32
)
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 59 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính
Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến
tính. Giả sử A ∈ Mm×n(K ) là ma trận của f trong
cặp cơ sở B = {e1, e2, . . . , en} ⊂ E và
C = {f1, f2, . . . , fm} ⊂ F tức là A = MatBC(f ).
Khi đó ta có
Im(f ) =,
rank(f ) = rank(AT ) = rank(A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 60 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính
Chứng minh.
Im(f ) ==
⇒ rank(f ) = dim(Im(f )) =
= rank([f (e1)]
T
C , [f (e2)]
T
C , . . . , [f (en)]
T
C ) =
rank(A1∗,A2∗, . . . ,An∗) = rank(AT ) = rank(A).
Vậy rank(f ) = dim(Im(f )) = rank(A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 61 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 xác định bởi
f (x1, x2, x3, x4) =
(x1− 2x2 + x3− x4, x1 + 2x2 + x3 + x4, 2x1 + 2x3).
Tìm cơ sở, số chiều của Im(f ).
Chọn các cơ sở chính tắc
B = {e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 =
(0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)} và
C = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1)}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 62 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
A = MatBC(f ) =
 1 −2 1 −11 2 1 1
2 0 2 0

Imf = là không gian
sinh bởi các hàng của ma trận AT
AT =

1 1 2
−2 2 0
1 1 2
−1 1 0
→

1 1 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0

Vậy cơ sở của Im(f ) là (1, 1, 2), (0, 1, 1) và
dim(Im(f )) = 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 63 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về nhân của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến
tính. Giả sử A ∈ Mm×n(K ) là ma trận của f trong
cặp cơ sở B = {e1, e2, . . . , en} ⊂ E và
C = {f1, f2, . . . , fm} ⊂ F tức là A = MatBC(f ).
Khi đó tọa độ của x ∈ Ker(f ) trong cơ sở B là
nghiệm của hệ phương trình A[x ]B = 0
x ∈ E , x ∈ Ker(f )⇔ f (x) = 0⇔ [f (x)]C = 0⇔
A[x ]B = 0. Vậy tọa độ của x ∈ Ker(f ) trong cơ sở
B là nghiệm của hệ phương trình A[x ]B = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 64 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết ma trận
của f trong cơ sở
B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 1)}
là
AB =
 1 2 32 1 0
2 4 6

Tìm cơ sở, số chiều của Ker(f ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 65 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
x ∈ Ker(f )⇔ f (x) = 0⇔ [f (x)]B = 0⇔
AB[x ]B = 0. Giả sử [x ]B = (x1, x2, x3)T . Khi đó 1 2 32 1 0
2 4 6
 x1x2
x3
 = 0⇔
 x1x2
x3
 =
 α−2α
α

⇒ x = x1e1 + x2e2 + x3e3 =
= α(1, 0, 0)− 2α(1, 0, 1) + α(1, 1, 1) =
= (0, α,−α) = α(0, 1,−1)
Vậy (0, 1,−1) là cơ sở của Ker(f )
⇒ dim(Ker(f )) = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 66 / 67
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 67 / 67