Bài giảng Dao động kỹ thuật - Đặng Văn Hiếu

 có dạng:
1
( ) sin( ) sin( )t o j j
j
q t Ae t A C j tδ ω β α∞−
=
= + + + Ω +∑ (5)
Tính chất nghiệm:
Số hạng thứ nhất của (5) biểu diễn thành phần dao động
tự do tắt dần.
Các số hạng còn lại biểu diễn thành phần dao động
cưỡng bức.
64
‰ Trường hợp: hai kích động có tần số gần nhau:
Phương trình vi phân của hệ dao động một bậc tự do 
không cản chịu tác dụng của hai lực điều hoà với các tần
số Ω1 và Ω2 có dạng:
1 1 2 2
ˆ ˆsin sinmq cq F t F t+ = Ω + Ω&&
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, dao động cưỡng bức
của hệ có dạng:
1 1 2 2sin sinq A t A t= Ω + Ω
(1)
(2)
Trong đó:
1
1 2
1
ˆ 1A
1
F
c η= − 22 2
2
ˆ 1A
1
F
c η= − (3)
65
Xét trường hợp Ω1 và Ω2 khá gần nhau.
Do đặc điểm này ta sẽ biểu diễn nghiệm (2) dưới dạng:
1 1 2 2( ) sin sinq t A t A t= Ω + Ω
1 2 1 2
1 2 1 2(sin sin ) (sin sin )2 2
A A A At t t t+ −= Ω + Ω + Ω − Ω
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2( ) os sin ( )sin os2 2 2 2
A A c t t A A tc tΩ −Ω Ω +Ω Ω −Ω Ω +Ω= + + −
Ta đưa vào ký hiệu:
1 2
1 1 2( ) ( ) os 2
B t A A c tΩ −Ω= +
1 2
2 1 2( ) ( )sin 2
B t A A tΩ −Ω= −
1 2
2
Ω −ΩΩ=
66
Do Ω1 gần Ω2 nên B1(t), B2(t) là các hàm thay đổi chậm
theo t.
Nghiệm của phương trình (1) được viết dưới dạng:
1 2( ) sin( ) sinq t A t B t B cos tα= Ω + = Ω + Ω
Trong đó:
2 2
1 2A B B= + : Biên độ thay đổi chậm theo thời gian.
1 2
2
Ω +ΩΩ = : Giá trị trung bình của hai tần số.
1
2
Barctg
B
α ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ : Pha thay đổi chậm theo thời gian.
67
Như thế chuyển động của hệ có tính chất điều hoà với
biên độ dao động A là hàm thay đổi theo thời gian. Chu kỳ
thay đổi theo thời gian là:
1 2
4
aT
π= Ω −Ω
Vì hiệu số Ω1 –Ω2 nhỏ nên chu kỳ Ta có giá trị lớn hơn 
nhiều so với chu kỳ của hệ:
1 2
4T π= Ω + Ω
68
Đồ thị dao động biểu thị trên hình vẽ dưới đây.
Hiện tượng dao động như hình vẽ này gọi là hiện tượng
phách. 
Như vậy, hiện tượng phách là hiện tượng biên độ dao
động thay đổi tuần hoàn chậm theo thời gian.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t(s)
q
(
m
)
69
Hiện tượng phách ở đây xuất hiện khi tần số kích động Ω1
khá gần tần số kích động Ω2.
Và ở phần trước ta cũng thấy: hiện tượng phách xuất hiện
khi tần số của lực kích động Ω khá gần tần số riêng ωo
của hệ.
Tuy nhiên, nếu quan tâm đến lực cản thì dao động tự do 
sẽ tắt dần, và do đó theo thời gian hiện tượng phách cũng 
sẽ mất đi.(hình vẽ dưới):
0 50 100 150 200 250 300 350 400
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t(s)
q
(
m
)
70
§5. Dao động cưỡng bức của hệ chịu kích
động bất kỳ
Giả sử hàm kích động được biểu diễn bởi hàm khả vi 
nào đó, thì phương trình dao động của hệ có dạng:
( )m q b q c q f t+ + =&& & (1)
Biến đổi (1) về dạng:
2 ( )2 ( )o
f tq q q g t
m
δ ω+ + = =&& & (2)
Nghiệm của (2) gồm : nghiệm của phương trình vi 
phân thuần nhất tương ứng và một nghiệm riêng của
nó.
71
Nghiệm thuần nhất: trong trường hợp cản nhỏ, nghiệm
của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
1 2( ) sin( ) ( sin )
t tq t Ae t e C cos t C tδ δω α ω ω− −= + = + (3)
Nghiệm (3) còn có thể viết dưới dạng:
1 1 2 2( ) ( ) ( )q t C q t C q t= + (4)
Trong đó:
1 ( ) os t
tq t e cδ ω−=
2 ( ) sin t
tq t e δ ω−=
72
Phương pháp bién thiên hằng số Lagrange:
Tìm nghiệm của (2) dưới dạng tương tự(4) nhưng C1 và
C2 là hàm của thời gian:
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t C t q t C t q t= + (5)
Đạo hàm (5) theo thời gian ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2( )q t C q C q C q C q= + + +& && & & (6)
Nếu ta đưa vào điều kiện:
1 1 2 2 0C q C q+ =& & (7)
Thì biểu thức (6) có dạng:
1 1 2 2( )q t C q C q= +& & & (8)
73
Đạo hàm biểu thức (8) theo thời gian, ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2( )q t C q C q C q C q= + + +& &&& & & && && (9)
Thế (5), (8) và (9) vào (2) ta nhận được phương trình:
1 1 2 2 ( )C q C q g t+ =& && & (10)
Từ (7) và (10) ta có hệ:
1 1 2 2 ( )C q C q g t+ =& && &
1 1 2 2 0C q C q+ =& &
Giải hệ này: 2
1
1 2 1 2
( )qC g t
q q q q
= − −
&
& &
1
2
1 2 1 2
( )qC g t
q q q q
= −
&
& &
(11)
74
Thế các biểu thức
1 ( ) os t
tq t e cδ ω−= 2 ( ) sin ttq t e δ ω−=
vào (11) ta được: 
và
1
1 sin ( )tC e t g tδ ωω= −&
2
1 os t ( )tC e c g tδ ωω=&
(12)
Tích phân (12) ta được: 
1
0
1( ) sin ( )
t
C t A e g dδ τ ωτ τ τω= − ∫
2
0
1( ) ( )
t
C t B e cos g dδ τ ωτ τ τω= + ∫
(13)
75
Thế biểu thức (12) này vào (5) ta được nghiệm tổng quát
của (2):
( )
0
( ) ( sin )
1 sin ( ) ( )
t
t
t
q t e Acos t B t
e t g d
δ
δ τ
ω ω
ω τ τ τω
−
− −
= + +
+ −∫
(14)
Biểu thức nghiệm (14) có hai thành phần:
Thành phần:
( ) ( sin )thq t e Acos t B t
δ ω ω−= + (15)
là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng. 
76
Thành phần:
( )
0
1( ) sin ( ) ( )
t
t
rq t e t g d
δ τ ω τ τ τω
− −= −∫ (16)
là nghiệm riêng của phương trình (2).
Các hằng số A và B trong nghiệm (14) được xác định từ
điều kiện ban đầu.
Giả sử điều kiện đầu:
(0) ; (0)o oq q q q= =& &
Æ Ta xác định được:
1; ( )o o oA q B q qδω= = +&
77
Cuối cùng ta có biểu thức nghiệm tổng quát của 
phương trình vi phân (2):
( )
0
1( ) ( ( ) sin )
1 sin ( ) ( )
t
o o o
t
t
q t e q cos t q q t
e t g d
δ
δ τ
ω δ ωω
ω τ τ τω
−
− −
= + + +
+ −∫
&
(17)
78
1. Thành lập phương trình vi phân dao động
2. Dao động tự do không cản
3. Dao động tự do có cản
4. Dao động cưỡng bức
Chương 2
DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ
NHIỀU BẬC TỰ DO
79
Giới hạn: trong chương này, chỉ xét hệ cơ học chịu
liên kết hôlônôm, lý tưởng; hệ n bậc tự do cần n toạ độ
suy rộng độc lậpÆ Hệ dao động là hệ n phương trình
vi phân cấp 2 hệ số hằng số.
80
§1. Thành lập phương trình VPCĐ
A. Sử dụng phương trình Lagrange II
Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ
độ suy rộng độc lập q1, q2,..., qn, phương trình Lagrange 
II có dạng:
; 1i
i i
d T T Q i n
dt q q
⎛ ⎞∂ ∂− = = →⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠&
81
™ Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế:
0 ; 1
i i
d L L i n
d t q q
⎛ ⎞∂ ∂− = = →⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠&
L là hàm Lagrange : L T= − Π
82
™ Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và
lực cản nhớt:
; 1i i
i i i i
d T T Q Q i n
dt q q q q
π φ⎛ ⎞∂ ∂ ∂Π ∂Φ− = + = − − = →⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠& &
Trong đó: Π - Là thế năng; Φ - Là hàm hao tán
Phương trình trên còn có dạng: 
0; 1
i i i
d L L i n
dt q q q
⎛ ⎞∂ ∂ ∂Φ− + = = →⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠& &
83
™ Nếu các lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế và
lực cản nhớt còn có các ngoại lực khác (lực kích
động) phụ thuộc vào thời gian t:
; 1Pi
i i i i
d T T Q i n
dt q q q q
⎛ ⎞∂ ∂ ∂Π ∂Φ− =− − + = →⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠& &
P
iQ : Là lực suy rộng ứng với các lực hoạt động.
84
B. Sử dụng phương pháp lực (ĐS)
Phương pháp này thường sử dụng để lập phương trình vi 
phân chuyển động cho hệ cơ học có dạng dầm, khung,
85
§2. Dao động tự do không cản
a. Các tần số riêng và các dạng dao động riêng.
b. Tính chất trực giao của các véctơ riêng.
c. Các toạ độ chính.
d. Các toạ độ chuẩn.
86
a. Các tần số riêng và các dạng dao
động riêng
™ Phương trình vi phân mô tả dao động tự do không cản
của hệ n bậc tự do có dạng:
0M q C q+ =&& (1)
Trong đó M và C là các ma trận vuông cấp n có các phần
tử là hằng số.
M là ma trận khối lượng; C là ma trận độ cứng.
87
™ Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng:
sin( )q a tω α= +
(3)
Thế (2) vào (1), biến đổi ta nhận được phương trình:
( )2 0C M aω− =
Để cho phương trình ĐSTT (3) có nghiệm không tầm
thường, điều kiện cần là: 
2 0C Mω− =
(2)
(4)
88
Phương trình (4) là phương trình đại số bậc n đối với ω2
và được gọi là phương trình tần số hoặc phương trình
đặc trưng.
Các nghiệm ωk (k = 1, 2,n) của phương trình đặc
trưng được gọi là các tần số riêng.
Thay lần lượt các giá trị của ωk (k = 1, 2,n) vào
phương trình (3) ta nhận được các hệ phương trình đại
số tuyến tính thuần nhất để xác định các thành phần của
vectơ ak
( )2 0k kC M aω− =
Các vectơ ak này được gọi là các vectơ riêng.
(5)
89
Chú ý: Các thành phần của vectơ ak được xác định sai
khác nhau một hằng số nhân. Chẳng hạn ta có thể
chọn a1k một cách tuỳ ý.
Ta đưa vào ký hiệu:
1
ik
ik
k
av
a
= hoặc
( )
( )
( )
1
k
k i
i k
av
a
= với , 1i k n= →
90
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
v v v
v v v
V
v v v
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Lần lượt thay các ω1, ω2,...., ωn vào phương trình (5), 
ta xác định được ma trận:
Mỗi vectơ cột của ma trận V:
[ ] ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ... TT k k kk k k nk nv v v v v v v⎡ ⎤= = ⎣ ⎦
Cho ta biết một dạng dao động riêng của hệ dao động. 
Ma trận V được gọi là ma trận dạng riêng (Modalmatrix)
91
™ Xét trường hợp hệ hai bậc tự do. Khi đó PTVP dao động
tự do không cản có dạng:
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
0
0
m m q c c q
m m q c c q
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
&&
&&
Phương trình đặc trưng:
2 2
11 11 12 12
2 2
21 21 22 22
0
c m c m
c m c m
ω ω
ω ω
− − =− −
(6)
(7)
92
Khai triển định thức cấp hai (7) ta có:
2 2
11 11 22 22
2 2
12 12 21 21
( )( )
( )( ) 0
c m c m
c m c m
ω ω
ω ω
− − −
− − − =
Đưa vào ký hiệu : ( ) ( )2 1/
i i
iv a a= Thì ta có:
2 2
11 11 12 12( ) ( ) 0; 1,2ic m v c m iω ω− + − = =
2 2
21 21 22 22( ) ( ) 0; 1,2ic m v c m iω ω− + − = =
Hoặc
Ta được:
1 2
1 1
V
v v
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
93
b. Tính chất trực giao của các
vectơ riêng
Xét phương trình dao động tự do không cản của hệ n bậc
tự do:
0M q C q+ =&&
Nếu các ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng C là
các ma trận thực, đối xứng thì các vectơ riêng vk tương
ứng với các tần số riêng ωk sẽ trực giao với ma trận khối
lượng M và ma trận độ cứng C. Ta có:
0;Tj iv M v = 0;Tj iv C v = i jkh i ω ω≠
94
c. Các toạ độ chính
Mục đích: Sử dụng toạ độ chính để thu được phương trình
dao động của hệ có dạng đơn giản hơn.
Phương trình vi phân dao động của hệ n bậc tự do có dạng:
0M q C q+ =&&
Đây là hệ n phương trình vi phân cấp 2 mà các toạ độ suy
rộng có liên kết với nhau (các phương trình hoàn toàn không
độc lập với nhau).
Để được một hệ dao động đơn giản hơn, người ta thường
thay toạ độ suy rộng q bằng toạ độ suy rộng p, chẳng hạn
sao cho hệ phương trình vi phân chuyển động đối với toạ độ
mới p sẽ gồm n phương trình vi phân độc lập nhau hoàn
toàn. Trường hợp này, p được gọi là toạ độ chính của cơ hệ.
(1)
95
Thực hiện phép đổi biến:
q Vp= (2)
Thế (2) vào (1) ta có: 
0M V p C V p+ =&&
Nhân cả hai vế của phương trình trên với VT ta được: 
0T TV M V p V CV p+ =&& (3)
96
Do tính chất trực giao, nên:
1
2
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 0
T
n
V M V
μ
μ
μ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 0
T
n
V CV
γ
γ
γ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Do vậy phương trình (3) có dạng:
0 ; 1i i i ip p i nμ γ+ = = →&& (4)
Trong đó:
; ; 1T Ti i i i i iv M v v Cv i nμ γ= = = →
Nếu đặt: 2 i
i
i
γω μ=
Thì các phương trình (4) đưa về dạng:
2 0; 1i i ip p i nω+ = = →&& (5)
97
Ví dụ 1: Cho cơ hệ như hình vẽ, biết m1= m2=m; c1= c2= c3= c
m1 m2
c1 c2 c3
q1 q2
1. Thành lập phương trình vi phân chuyển động.
2. Tìm tần số dao động riêng và ma trận dạng riêng V.
3. Tìm quy luật chuyển động của cơ hệ.
98
Ví dụ 1: Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l, khối lượng
mỗi vật điểm là m. Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ
số cứng là c, ở vị trí cách trục quay một đoạn là d. Độ dài của lò xo
ở trạng thái không biến dạng bằng khoảng giữa hai trục con lắc. Bỏ
qua khối lượng của thanh, lò xo và bỏ qua lực cản. 
a. Xác định các toạ độ chính của hệ. 
b. Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu: 
1 0 2
1 2
(0) , (0) 0
(0) 0, (0) 0
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
= =
= =& & 
l
d φ2φ1
99
Ví dụ 2: Mô hình dao động ngang của toà nhà 3 tầng. Xem rằng
khối lượng của các tầng bằng nhau m1 = m2 = m3 = m = 262,69.103 
kg. Độ cứng uốn của các bức tường ở các tầng là c1 = 3c, c2 = 2c, 
c3 = c = 88,56.106N/m. Xác định các tần số riêng và các dạng dao 
động riêng của cơ hệ. 
x1
x2
x3
C1/2 C1/2
C2/2
C3/2 C3/2
C2/2
100
d. Các toạ độ chuẩn
Như đã biết, bằng phép thế q = V p ( V là ma trận dạng
riêng, p là vectơ các toạ độ chính) ta có thể đưa phương 
trình vi phân dao động :
0M q C q+ =&&
về dạng vế tách rời nhau:
0 ; 1i i i ip p i nμ γ+ = = →&&
Trong đó:
;T Ti i i i i iv M v v C vμ γ= =
101
Do các phần tử của vectơ vi của ma trận V được xác
định sai khác nhau một hằng số nhân, cho nên ta có
thể chọn các vectơ vi một cách thích hợp sao cho:
1 0 ... 0
0 1 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 1
TV MV E
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ma trận dạng riêng được chọn như vậy được gọi là ma 
trận dạng riêng chuẩn. Ta ký hiệu ma trận dạng riêng
chuẩn bằng Vn. Ta có:
2
1
2
2
2
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ...
T
n n
n
V C V Dω
ω
ω
ω
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
T
n nV M V E=
102
Bằng phép thế q = Vn p ta có thể đưa phương trình dao
động ban đầu về:
0E p D pω+ =&&
Các toạ độ chính p = [p1, p2,......, pn]T trong phép thế: 
q = Vn p được gọi là các toạ độ chuẩn.
Toạ độ chuẩn là các toạ độ chính đặc biệt.
Nếu ta biết được ma trận dạng riêng:
T
1 2 n[v , v , . . . . . , v ]V =
Thì ma trận dạng riêng chuẩn được xác định bởi:
T
1 2 n
1 2
1 1 1[ v , v , . . . . . , v ]n
n
V α α α=
Trong đó:
T
i i i iv M vα μ= ± = ±
103
§3. Dao động tự do có cản
a. Phương pháp trực tiếp
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
104
a. Phương pháp trực tiếp
Phương trình vi phân dao động tự do có lực cản tỷ lệ với
vận tốc của hệ n bậc tự do có dạng:
0Mq Bq Cq+ + =&& & (1)
Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng:
ˆ( ) tq t q eλ=
qˆ Là vectơ hằng.
(2)
105
Thế biểu thức (2) vào (1), rồi đơn giản ta được:( )2 ˆ 0M B C qλ λ+ + = (3)
Để cho các phần tử của vectơ qˆ không đồng thời triệt tiêu thì:
( )2( ) det 0P M B Cλ λ λ= + + = (4)
Phương trình (4) được gọi là phương trình đặc trưng.
Khi M là ma trận chính qui: ( )det 0M = , thì P(λ) là đa thức
bậc 2n của λ.
Giải phương trình (4) ta được 2n nghiệm thực hoặc phức
liên hợp.
106
™ Ta xét trường hợp, phương trình đặc trưng (4) có
nghiệm dạng:
, , 1k k k k n k ki i k nλ δ ω λ δ ω+= − + = − − = →
Thì trường hợp này được gọi là trường hợp cản yếu.
Ta đặt:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,k k k k n k kq u i v q u i v+= + = −
Nghiệm tương ứng với cặp trị riêng λk và λk+n có dạng:
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) k k nt tk k k k k k kq t C e u i v D e u i vλ λ += + + −
Với ,k kC D là các hằng số phức. 
(5)
107
Nếu ta đưa vào các hằng số tích phân mới:( ),k k k k k kC C D D i C D= + = −
Thì biểu thức (5) có dạng:
[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )sinktk k k k k k k k k k kq t e C u D v cos t D u C v tδ ω ω−= + + −
Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:
1
( ) ( )
n
k
k
q t q t
=
= ∑
Chú ý: ˆ ˆ,k ku v nói chung không tỷ lệ với nhau nên các
toạ độ của véctơ qk có pha khác nhau.
108
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
Trong một vài bài toán kỹ thuật, ma trận B có thể biểu
diễn dưới dạng:
B M Cα δ= +
Trong đó α và δ là các hằng số. Ma trận B có dạng (1) 
được gọi là ma trận cản Rayleigh.
Biểu thức (1) có khi được viết dưới dạng:
(1)
B M Cβα ω ω= +
Trong đó ω là một tần số qui chiếu tuỳ ý được đưa vào
để α và β là các đại lượng không thứ nguyên.
109
Bằng phép biến đổi q = V p, với V là ma trận dạng riêng, 
ta đưa phương trình (1) về dạng:
0; 1i i i i i ip p p i nμ β γ+ + = = →&& & (2)
Trong đó:
; ;T T Ti i i i i i i i iv Mv v Bv v Cvμ β γ= = =
Nghiệm của phương trình (2) đã được khảo sát trong
chương 2
110
§4. Dao động cưỡng bức
a. Phương pháp giải trực tiếp
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
111
a. Phương pháp giải trực tiếp
™ Dao động cưỡng bức không cản chịu
kích động điều hoà.
™ Dao động cưỡng bức có cản chịu kích
động tuần hoàn.
112
Dao động cưỡng bức không cản
chịu kích động điều hoà
Dao động tuyến tính cưỡng bức không cản của hệ n bậc
tự do chịu kích động điều hoà có dạng:
ˆ sinMq Cq f t+ = Ω&& (1)
Ở chế độ chuyển động bình ổn, ta tìm nghiệm của 
phương trình (1) dưới dạng:
( ) sinq t u t= Ω (2)
113
Thế (2) vào (1) ta có:
( )2 ˆ ˆ( )M C u f u H f−Ω + = ⇒ = Ω (3)
Trong đó:
( ) 12( )H M C −Ω = −Ω +
và được gọi là ma trận truyền.
114
có được bằng cách thay vào cột thứ k của Δ.
Ta thấy khi
Giải hệ phương trình (3), ta được:
( )( )
( )
k
ku
Δ ΩΩ = Δ Ω (4)
Trong đó:
2( ) det( )M CΔ Ω = −Ω + (5)
( )kΔ Ω fˆ
( ) 0Δ Ω = , 1j j nωΩ = = →
115
Các trường hợp có thể xảy ra:
™ Trường hợp 1: ( ) 0, ( ) 0kΔ Ω = Δ Ω ≠
Khi đó tần số lực kích động Ω trùng với một trong các tần
số dao động riêng. Biên độ dao động tăng lên vô cùng. 
Trường hợp này được gọi là trường hợp cộng hưởng.
116
™ Trường hợp 2: ( ) 0, jωΔ Ω = Ω=
Trường hợp này mặc dù tần số lực kích động trùng với
tần số riêng, nhưng biên độ dao động vẫn bị giới nội. 
Trường hợp này được gọi là trường hợp giả cộng hưởng.
( )( ) 0 , lim
( )j
k
k k ωΩ→
Δ ΩΔ Ω = ∀ < ∞Δ Ω
117
™ Trường hợp 3: ( ) 0, ( ) 0kΔ Ω ≠ Δ Ω =
Trong trường hợp này uk = 0. Dao động ứng với toạ độ
thứ k bị dập tắt.
với k xác định.
118
Dao động cưỡng bức có cản chịu
kích động tuần hoàn
Dao động cưỡng bức có cản nhớt của hệ tuyến tính n
bậc tự do có dạng:
( )M q Bq C q f t+ + =&& & (1)
Giả sử f(t) tuần hoàn theo thời gian và có thể khai triển
thành chuỗi Fourier một cách gần đúng:
( )
1
( ) cos sin
m
o k k
k
f t a a k t b k t
=
= + Ω + Ω∑ (2)
119
Sử dụng nguyên lý cộng tác dụng để tìm nghiệm.
Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình:
o o o oM q Bq Cq a+ + =&& &
dưới dạng: o oq v=
từ hai phương trình trên ta suy ra: o oCv a= (3)
120
Sau đó ta tìm nghiệm của phương trình:
cos sink k k k kM q Bq Cq a k t b k t+ + = Ω + Ω&& & (4)
Nghiệm của phương trình (4) được tìm dưới dạng:
sin cosk k kq u k t v k t= Ω + Ω
Từ nghiệm trên ta có:
( )
( )2 2
sin
sin cos
k k k
k k k
q k u cosk t v k t
q k u k t v k t
= Ω Ω − Ω
=− Ω Ω + Ω
&
&&
121
Thế các biểu thức tìm được vào phương trình (4), rồi so 
sánh hệ số, ta nhận được hệ phương trình đại số tuyến
tính để xác định các vectơ uk và vk:
2 2
2 2
k k
k k
u aC k M k B
v bk B C k M
⎡ ⎤− Ω − Ω ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ω − Ω ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(5)
Khi định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình
trên khác không, thì các vectơ uk và vk được xác định
duy nhất. 
Như thế nghiệm của phương trình dao động cương bức
(1) là:
( )
1
( ) sin
m
o k k
k
q t v u k t v cosk t
=
= + Ω + Ω∑ (6)
122
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
Dao động cưỡng bức không cản.
Dao động cưỡng bức có cản.
123
Dao động cưỡng bức không cản
Phương pháp ma trận dạng riêng (Modalmatrix) được áp
dụng rất thuận tiện đối với hệ không cản:
( )Mq Cq f t+ =&& (1)
Trong đó M và C là các ma trận thực, đối xứng.
Áp dụng phép biến đổi toạ độ:
q V p= (2)
với V là ma trận dạng riêng, p là vectơ các toạ độ chính.
124
Thay (2) vào (1) ta có:
( )MV p CV p f t+ =&&
Suy ra:
( )T T TV M V p V CV p V f t+ =&& (3)
Các ma trận TV M V và TV CV có dạng đường chéo
Nếu đưa vào ký hiệu: ( ) , 1Ti ih v f t i n= = →
Thì phương trình (3) có thể viết dưới dạng:
1i i ip p h i nμ γ+ = = →&& (4)
125
Nghiệm của mỗi phương trình (4) ứng với điều kiện
đầu:
0 0(0) ; (0)i i i ip p p p= =& &
có dạng:
0
0
0
( ) sin
1 ( ) sin ( )
i
i i i i
i
t
i i
i i
pp t p cos t t
h t d
ω ωω
τ ω τ τμ ω
= + +
+ −∫
&
(5)
Với:
2 i
i
i
γω μ=
126
Đối với trường hợp kích động điều hoà
ˆ( ) sini if t f t= Ω
Thì: 
1
ˆ ˆ( ) sin sin
n
i ki k i
k
h t v f t h t
=
⎛ ⎞= Ω = Ω⎜ ⎟⎝ ⎠∑
Phương trình dao động trong trường hợp này:
ˆ sin 1i i i i ip p h t i nμ γ+ = Ω = →&& (6)
127
Nghiệm của các phương trình (6) trong giai đoạn bình
ổn là:
2
2
ˆ
( ) s in
(1 )
i
i
i
i
hp t t
γ ω
= ΩΩ−
Trở lại toạ độ qk:
2
1 1
2
ˆ
( ) sin
(1 )
n n
ki i
k ki i
i i
i
i
v hq t v p t
γ ω
= =
= = ΩΩ−
∑ ∑
Ta thấy khi Ω bằng tần số riêng ωi thì xảy ra hiện tượng
cộng hưởng.
128
Trong kỹ thuật ta hay gặp trường hợp:
( )M q B q C q f t+ + =&& & (1)
Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ là:
B M Cα δ= +
Bằng các phép biến đổi tương tự như trên ta đưa (1) về
dạng:
( ) 1i i i i i i ip p p h t i nμ β γ+ + = = →&& & (2)
Phương trình này đã được nghiên cứu kỹ trong các phần
trên.
Dao động cưỡng bức có cản
129