Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân bội ba - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh 
Bộ môn Toán Ứng dụng 
------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải tích hàm nhiều biến 
Chương 4: Tích phân bội ba 
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) 
 dangvvinh@hcmut.edu.vn 
Nội dung 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0.2 – Tọa độ trụ 
0.3 – Tọa độ cầu 
0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 
0.5 – Ứng dụng cơ học 
0.4 – Ứng dụng hình học 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
( , , )f f x y z xác định trên vật thể đóng, bị chặn E
Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: 1 2, ,..., .nE E E
Thể tích tương ứng mỗi khối 1 2( ), ( ),..., ( ).nV E V E V E
Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm ( , , ).i i i iM x y ziE
Lập tổng Riemann: 
1
( ) ( )
n
n i i
i
I f M V E

 
, không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi lim n
n
I I


được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E. 
( , , )
E
I f x y z dxdydz 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính chất của tích phân bội ba 
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc 
thì khả tích trên miền này. 
3) ( , , ) ( , , )
E E
f x y z dxdydz f x y z dxdydz   
2) E
E
V dxdydz 
4) ( )
E E E
f g dxdydz f dxdydz gdxdydz    
5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 không dẫm lên nhau: 
1 2E E E
fdxdydz fdxdydz fdxdydz   
6) ( , , ) , ( , , ) ( , , )
E E
x y z E f x y z g x y z f g     
Định lý (Fubini) ( , , )
E
I f x y z dxdydz 
Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là x0y. 
Mặt phía trên: 
2( , )z z x y
1( , )z z x y
Mặt phía dưới: 
Hình chiếu: 
Hình chiếu: D
2
1
( , )
( , )
( , , )
z x y
D z x y
f x y z dz dxdy
 
   
 
( , , )
E
I f x y z dxdydz 
2( , )z z x y
1( , )z z x y
0Pr xy E D
Ví dụ 
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi ( )
E
I x z dxdydz 
Hình chiếu của E xuống 0xy: 
Mặt phía dưới: 
2 2 2 21, 2 , 0x y z x y z     
2 2: 1D x y 
Mặt phía trên: 2 22 ( , ) 2z x y x y  
0z 
2 2
2 2
2
01
( )
x y
x y
I x z dz dxdy
 
 
 
   
  
2 2
2 2
2
2
1 0
2
x y
x y
z
zI x dxdy
 
 
 
   
 
2 2
2 2 2
2 2
1
(2 )
(2 )
2x y
x y
I x x y dxdy
 
  
     
 
2 2
2 2 2
1
(2 )
2x y
x y
I dxdy
 
 
  Đổi sang tọa độ cực. 
 
2
2
2 1
0 0
2
2
r
I d r dr



   
7
6


Ví dụ 
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi 
E
I zdxdydz 
Hình chiếu của E xuống 0xy: 
Mặt phía dưới: 
21 , 1y x z x   
Mặt phía trên: 
2
2 ( , ) 1z x y x 
0z 
21
0
x
OAB
I zdz dxdy


 
   
 
và các mặt phẳng tọa độ, (phần ) 0z 
Tam giác OAB 
A 
B 
21
0
x
OAB
I zdz dxdy


 
   
 
 
2
2
1 1
0 0
1
2
x x
I dx dy
 
  
11
60

A 
O 
B 
212
0
2
x
OAB
z
I dxdy


 
  
 
 
 
2
21
2OAB
x
I dxdy


 
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi (2 3 )
E
I x y dxdydz 
Hình chiếu của E xuống 0xy: 
Mặt phía dưới: 
, 1 , 0, 0.y x z y x z    
Mặt phía trên: 1z y 
0z 
 
1
0
2 3
y
D
I x y dz dxdy
 
   
 
  
1 1
0
2 3 (1 )
x
I dx x y y dy   
1
0
(2 3 )
y
D
I x y dxdyz
    
  2 3 (1 )
D
I x y y dxdy  
11
60
I 
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi ( 1)
E
I z dxdydz 
Hình chiếu của E xuống 0xy: 
Mặt phía dưới: 
2 , , 0, 1.   x y z x z x
Mặt phía trên: z x
0z 
0( 1)
x
D
I z dz dxdy
 
   
 
2
21 1
1 2y
x
I dy x dx

 
    
 
2
0
2
x
D
z
I z dxdy
  
    
   
2
2D
x
I x dxdy
 
   
 
38
35
I 
II. Toạ độ trụ 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. 
( , , )M x y z 
1( , ,0)M x y

r 
z 
y 
z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )r z
( , , )r z được gọi là tọa độ trụ của điểm M. 
Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang
tọa độ trụ: 
cos
sin
x r
y r
z z


 

 
 
' ' '
' ' '
' ' '
r z
r z
r z
x x x
J y y y
z z z



 r
1( , )z z r 
2 ( , )z z r 
Đổi biến sang tọa độ trụ. 
cos
sin
x r
y r
z z


 

 
 
( , , )
E
I f x y z dxdydz 
Mặt phía dưới: 1( , )z z r 
Mặt phía trên: 2 ( , )z z r 
Hình chiếu: D
Xác định cận của D: ,r 
1 2
1 2
:D
r r r
   

 
2 2 2
1 1 1
( , )
( , )
( cos , sin , )
r z r
r z r
I d rdr f r r z dz
 
 
      
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi 2 2
E
I x y dxdydz 
Hình chiếu xuống 0xy: 
Mặt phía dưới: 
2 2 2 24, 1 , 1.z z x y x y     
Mặt phía trên: 4z 
21z r 
2 2: 1D x y 
2
2 1 4
0 0 1 r
I d dr r dzr



    
0 2
:
0 1
D
r
  

 
2
2 1 42
10 0 r
I d dr r z



      
 
2 1
2 2
0 0
(3 )d r r dr

  
12
5


Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi 
E
I zdxdydz 
Hình chiếu của E xuống 0xy: 
Mặt phía dưới: 
2 2 2 2 2 2, 2 , 1.z x y z x y x y      
Mặt phía trên: 22z r 
2z r
2 2: 1D x y 
Cận của D: 
0 2
:
0 1
D
r
  

 
y2
2
2 1 2
0 0
r
r
I d dr z dzr



    
2
2
222 1
0 0 2
r
r
z
d r dr



   3
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E:  2 2
E
I x z dxdydz 
2 22 , 2.y x z y  
Chiếu xuống x0z 
Mặt trên: 2y 
Mặt dưới: 
2
2
r
y 
Hình chiếu: 2 2: 4D x z 
2
2 2 2
2
0 0 / 2r
I d dr r dyr

    
II. Toạ độ cầu 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. 
( , , )M x y z 
1( , ,0)M x y

y 
z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )  
( , , )   được gọi là tọa độ cầu của điểm M. 
Công thức đổi biến sang tọa độ cầu: 
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

  
  
' ' '
' ' '
' ' '
x x x
J y y y
z z z
  
  
  
 2| | sinJ    
 
cosz  
sinr  
II. Toạ độ cầu 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi: 
1 2
1 2
1 2
  
  
  
 

 
  
( , , )
E
I f x y z dxdydz 
2 2 2
1 1 1
2( sin cos , sin sin , co ) s ns i
  
  
               d d f d
Chú ý: 0
0 2
0
 or 
 
    

 
    
  
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi2 2 2
E
I x y z dxdydz  
Xác định cận: 
2 2 2 2 2, .z x y x y z z    
Đổi sang tọa độ cầu: 
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

  
  
0
4

 
0 2  
0 osc  
/ 4 2 cos
0 0 0
2 sinI d d d
  
       
1 2
10 80

 
  
 
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi 
E
I zdxdydz 
Xác định cận: 
2 2 2 2 2, 1.z x y x y z     
Đổi sang tọa độ cầu: 
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

  
  
3
4

  
0 2  
0 1 
1
0 0
2
2
3 / 4
cos sinI d d d
 

         
x 
z 
8

 
x 
z 
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi ( )
E
I y z dxdydz 
Xác định cận: 
2 2 20, 2 ( 0) z x y z y z    
Đổi sang tọa độ cầu: 
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

  
  
2

  
0   
0 2sin sin    
2sin sin
/ 2 0 0
2( sin sin c sinos )+I d d d
  

       

    
Cách 2. 
Xác định cận: 
sin cos
sin sin
cos
1
x
y
z
  
  
 
  

  
  
2

  
0 2  
0 1 
2 1
/ 2 0
2
0
(1 sin sin co is ) s n+I d d d
 

              
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng 
x 
z 
Gốc tọa độ dời về đây 
x 
y
z 
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi 2 2 2 3/ 2( )x y z
E
I e dxdydz  
Xác định cận: 
2 2 20, 1 ( 0) y x y z y    
Đổi sang tọa độ cầu: 
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

  
  
0   
2   
0 1 
3 2
2 1
0 0
sinI d d e d
 


      
1
2
3
e



Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi 
E
I zdxdydz 
Xác định cận: 
2 2 21, 2 ( 1) z x y z z z    
Đổi sang tọa độ cầu: 
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

  
  
0
2

 
0 2  
0   ?
Phải chia khối E ra làm 2 khối. Công việc tính toán rất phức tạp. 
Xác định cận: 
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng 
sin cos
1
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

 


  
2

  
0 2  
0 1 
2 1
/ 2 0
2
0
(1 cos n) siI d d d
 

         
Gốc tọa độ dời về đây 
Ví dụ 
Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi 
2 2
1
E
I dxdydz
x y
 

Đổi sang tọa độ trụ: 
2 2 2 2 20, 4, ( 0)1 z x y z x y z      
Sử dụng tọa độ cầu công việc tính toán 
phức tạp hơn nhiều. 
Xác định cận: 
cos
sin
x r
y r
z z





 
0 2  
0 1r 
20 4z r  
22 1 4
0 0 0
r r
I d dr dz
r



   
Ví dụ 
Đổi sang tọa độ cầu rồi tính 
2 2 2
0 0 0
2 4 4x x y
I dx dy xdz
     
   
Vẽ khối E Xác định vật thể E: 
2
2 2
2 0
4 0
4 0
x
x y
x y z
  

   

    
z 
x
Đổi biến sang tọa độ cầu: 
Xác định cận: 
2

  
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
  
  
 
  

  
  
3
2

  
0 2 
3 / 2 2
2
/ 2 0
sin cos sinI d d d
 
 
           
3 / 2 2
2 2
/ 2 0
sin cosI d d d
 
 
           
3 / 2
2
/ 2
1
sin cos
4
d d
 
 
     
I  
z 
z 
x 
Ví dụ 
Đổi sang tọa độ trụ rồi tính 22 2 4
2 2
0 0 0
x x
I dx dy z x y dz

   
Vẽ khối E Xác định vật thể E: 
2
0 2
0 2
0 4
x
y x x
z
 

  
  

x 
y 
Đổi biến sang tọa độ trụ: 
Xác định cận: 0
2

 
cos
sin
x r
y r
z z


 

 
 
0 2cosr  
0 4z 
2cos/ 2 4
0 0 0
I d dr z r r dz

     
422cos/ 2
2
0 0 0
2
z
I d r dr

  
128
9
I 
z 
x 
III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E: 
Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể. 
Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, 
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu. 
1
E
E
V dxdydz 
Ví dụ 
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi 
1 2 
2 2 2 2 2 2 2 21; 4,       x y z x y z z x y
E
V dxdydz 
Sử dụng tọa độ cầu 
/ 4
2
2 2
0 0 1
sinV d d d
 
      
14 7 2
3 3
V   
Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!! 
0
4

 
0 2  
Ví dụ 
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi 
0 2cosr  
2 2 2 ; 3, 3x y x x z x z     
E
V dxdydz 
2 3 cos/ 2
/ 2 0 cos 3
osc r
r
V d dr r dz
 
 


 
   
4V 
2 2
 


 
cos 3 3 cosr z r    
y 
x
z 
Sử dụng tọa độ trụ 
cos
sin
x r
y r
z z





 
Ví dụ 
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi 
0 3r 
2 2 2 2 2 24; 4x y z x y z z     
E
V dxdydz 
Sử dụng tọa độ trụ 
2
2
2 3 4
0 0 2 4
r
r
V d dr dzr



 
   
10
3
V


0 2  
2 22 4 4r z r    
x 
z 
y
Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều. 
Ví dụ 
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi 
2 , 1, 0.y x y z z   
E
V dxdydz 
1
0
y
Parabol
dz dxdy
 
   
  2
11 1
1 0
y
x
dx dy dz


   
Bài tập 
Bài tập