Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 1: Giới thiệu - Nguyễn Xuân Thành

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Nguyễn Xuân Thành
tkris1004@nuce.edu.vn
Bộ môn Cơ học Kết cấu
Trường Đại học Xây dựng
Ngày 12 tháng 8 năm 2013
THÔNG TIN VỀ KHÓA HỌC
Thông tin chung
Tên: Phương pháp Phần tử Hữu hạn
Tên viết tắt: PP PTHH
Số tín chỉ: 2
Người giảng: Nguyễn Xuân Thành
Đối tượng nghe: Sinh viên lớp 55XE
Mục đích
Trang bị cho sinh viên các khái niệm về sự rời rạc hóa kết
cấu thành nhiều phần tử, về ứng xử cơ học của mỗi phần
tử khi chịu các nguyên nhân tác dụng.
Trang bị cho sinh viên kiến thức về cơ sở toán học của PP
PTHH, về quy trình chung của một bài toán phân tích kết
cấu bằng phương pháp này.
Trang bị cho sinh viên cách vận dụng PP PTHH để giải bài
toán hệ kết cấu dạng thanh, đáp ứng đòi hỏi tính toán
trong các môn chuyên ngành.
Nội dung tóm tắt
Giới thiệu tổng quan: PP PTHH là gì? Tính ưu việt, Mốc
lịch sử, Các khái niệm
Cơ sở của phương pháp: Các phương trình của Lý thuyết
đàn hồi, nguyên lý toán học và cơ học
Bài toán hệ thanh: Thiết lập các phần tử cơ bản (kéo/nén,
uốn, xoắn), Chi tiết các bước giải hệ thanh theo PP PTHH
Các vấn đề mở rộng: Bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi
(thiết lập các phần tử cơ bản, các bước giải bài toán phẳng
theo PP PTHH).
Tài liệu tham khảo chính
Nguyễn Mạnh Yên (1996). Phương pháp số trong Cơ học
Kết cấu, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội.
Nguyễn Xuân Thành (2013). Phương pháp phần tử hữu
hạn, Các file bài giảng môn học.
Tài liệu tham khảo bổ sung
Nguyễn Tiến Dũng (2009). Phương pháp Phần tử Hữu hạn,
Sách giáo trình, chưa xuất bản, lưu hành nội bộ.
Nguyễn Xuân Lựu (2007). Phương pháp Phần tử Hữu hạn,
Nhà xuất bản Giao thông vận tải, Hà Nội.
Cook, R., D., et al. (2002). Concepts and Applications of
Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, Inc.
Yêu cầu về khóa học
Tham gia vào bài giảng* / Làm bài kiểm tra và bài tập /
Dự thi cuối kỳ.
Yêu cầu về bài tập
Làm bài tập ở nhà, tham gia tích cực giờ bài tập trên lớp.
Lời giải được tập hợp lại, đóng thành quyển, nộp trước khi
thi.
Yêu cầu về làm bài kiểm tra
"Tự lực cánh sinh"
Giá trị tính toán bằng số không quan trọng bằng các bước
giải bài toán và các công thức đúng đắn
Đánh giá
Tham gia vào bài giảng (15%) + Bài tập và bài kiểm tra
(25%) + Thi cuối kỳ (60%)
Giờ tư vấn
Các thảo luận liên quan đến nội dung môn học
Địa điểm: Văn phòng Bộ môn P514A1
Lịch tư vấn*: Thứ Hai (14h30-15h30); Thứ Năm
(9h30-10h30)
Kiến thức cần có trước
Sức bền vật liệu / Cơ học kết cấu / Đại số tuyến tính / Ma
trận và véc-tơ / Giải phương trình vi phân
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
BÀI GIẢNG 1
(giới thiệu)
Nguyễn Xuân Thành
tkris1004@nuce.edu.vn
Bộ môn Cơ học Kết cấu
Trường Đại học Xây dựng
Ngày 12 tháng 8 năm 2013
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
NỘI DUNG CHÍNH
1 Giới thiệu
Nó là gì?
Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’?
Ý tưởng của phương pháp và Các bước thực hiện
Sự kiện, Mốc lịch sử
Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn
2 Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phép tính với ma trận
Phương pháp số dư trọng số giải phương trình vi phân
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
NỘI DUNG CHÍNH
1 Giới thiệu
Nó là gì?
Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’?
Ý tưởng của phương pháp và Các bước thực hiện
Sự kiện, Mốc lịch sử
Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn
2 Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phép tính với ma trận
Phương pháp số dư trọng số giải phương trình vi phân
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Nó là gì?
PP PTHH là ...
một tổng quát hóa của phương pháp biến phân cổ điển Ritz
và các phương pháp số dư trọng số (như Galerkin, bình
phương tối thiểu, ...)
một phương pháp số mạnh mẽ để giải các phương trình vi
phân và tích phân gặp trong các bài toán trường (field
problems) của nhiều lĩnh vực kỹ thuật và khoa học ứng
dụng
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Nó là gì?
Về phương pháp luận, PP PTHH là ...
một sự kết hợp ...
Kết cấu Các phần tử
Phân tách
Tổng hợp
một sự tiến hóa ...
PP chuyển vị dạng ma
trận để phân tích hệ khung
PP PTHH
một phép xấp xỉ rời rạc ...
Hệ liên tục; vô
hạn BTD; PDE
Hệ được rời rạc;
hữu hạn BTD; ODE
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Sự phổ biến của phương pháp
Tháng 8/2013: Google "phần tử hữu hạn": 1,4 triệu kết
quả; Google "finite element": 10 triệu kết quả.
Sách viết về PTHH (năm 1991, các thứ tiếng): 400 cuốn.
Tháng 8/2013: Google sách viết về "finite element": gần 3
triệu kết quả.
Mỹ, mỗi năm, 1 tỷ USD cho phần mềm và thời gian tính
toán PTHH.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’?
Ví dụ bài toán thường gặp ...
Đã học CHKC và LTĐH rồi, làm thử xem sao?
Nhận xét gì?
Dạng hình học / vật liệu / tải trọng và các điều kiện biên
phức tạp.
Tính toán theo các phương pháp cổ điển cồng kềnh, không
hệ thống.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’?
Vì các đặc trưng ưu việt của PP PTHH . . .
Xử lý được các hệ kết cấu có dạng hình học / vật liệu / tải
trọng phức tạp hoặc có các điều kiện biên khác nhau.
Hội tụ đến kết quả chính xác của bài toán qua việc chia
mịn lưới rời rạc.
Phù hợp với việc lập trình hóa để có thể giải được một lớp
lớn các bài toán khác nhau:
Hệ thanh chịu kéo/nén, uốn, xoắn dưới tác dụng của các
nguyên nhân tĩnh/động khác nhau.
Bài toán truyền nhiệt chuyển tiếp và bình ổn.
Bài toán biến dạng trong và ngoài mặt phẳng của
tấm/bản/vỏ.
Bài toán ổn định, dao động, va chạm, mỏi,...
Bài toán ngoài đàn hồi (dẻo, đàn nhớt, dẻo nhớt, ...)
...
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Ý tưởng chính của phương pháp
1 Rời rạc hóa hệ thành một số hữu hạn các phần nhỏ (gọi là
phần tử) có kích thước hữu hạn, nối nhau tại các nút
2 Nghiên cứu chi tiết ứng xử cơ học của từng phần tử (ví dụ
bằng Lý thuyết đàn hồi)
3 Ghép nối các phần tử và nghiên cứu tổng thể hệ kết cấu
với các đặc trưng tại các nút ⇒ tìm được nghiệm xấp xỉ
của bài toán.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các bước thực hiện
1 Tạo lưới rời rạc hóa hệ thành một số hữu hạn các phần tử
hữu hạn ghép nối nhau tại các nút.
2 Thiết lập công thức dạng thức yếu (weak form) cho phương
trình vi phân của các phần tử điển hình.
3 Thiết lập các ma trận đặc trưng của các phần tử điển hình.
4 Chuyển các ma trận đặc trưng của tất cả các phần tử về hệ
tọa độ chung, thực hiện việc ghép nối.
5 Đưa vào các điều kiện biên của bài toán, lúc này được một
hệ phương trình đại số tuyến tính không suy biến.
6 Giải hệ phương trình, tìm được các ẩn số tại nút trong hệ
tọa độ tổng thể.
7 Thực hiện các tính toán, xuất kết quả đồ họa hậu xử lý.
Thay đổi các tham số và tính toán lại nếu cần.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Lịch sử của phương pháp
’... không phải đóng góp của riêng một ai...’ (Telnek &
Argyris, 1998).
PP PTHH được phát triển những năm 1950 trong ngành
công nghiệp hàng không.
Ray Clough, giáo sư trường Berkeley, sau một nhiệm vụ hè
ở Boeing, viết 1 bài báo lần đầu tiên sử dụng thuật ngữ
"PTHH". Được coi là một trong những người đặt nền tảng
cho phương pháp.
Sau vài năm, Clough chuyển sang nghiên cứu thực nghiệm,
nhưng những gì ông đặt nền tảng đã tạo ra một đội ngũ
nghiên cứu mạnh ở Berkeley: E. Wilson, R.L. Taylor,
T.J.R. Hughes, C. Felippa, K.J. Bathe.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Lịch sử của phương pháp (tiếp)
PP PTHH lúc đầu đã bị giới học thuật chỉ trích, thậm chí
một số tờ báo uy tín còn từ chối đăng bài có liên quan.
Tuy vậy, O.C. Zienkiewicz và R.H. Gallagher vẫn nhận ra
tiềm năng của PP PTHH. Zienkiewicz xây dựng một nhóm
nghiên cứu nổi tiếng tại Swansea ở Wales, trong đó có B.
Iron, R. Owen; đi tiên phong trong các quan niệm về phần
tử đẳng tham số và phương pháp phân tích phi tuyến.
Về sau, các nhà toán học đã tìm thấy một bài báo của
Courant năm 1943, trong đó các phần tử tam giác được sử
dụng với các nguyên lý biến phân để giải các bài toán dao
động. Từ đó, có nhiều nhà toán học tuyên bố rằng đây
chính là điểm xuất phát của phương pháp.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Lịch sử của phương pháp (tiếp)
Một điều thú vị là trong nhiều năm liền, PP PTHH đã
thiếu một cơ sở lý thuyết, tức là không có một chứng minh
toán học nào chỉ ra lời giải của PTHH là đáp án thực sự
của bài toán.
Từ cuối những năm 1960 đến nay, lĩnh vực này đã thu hút
nhiều sự quan tâm của các nhà cơ học và toán học, những
người chỉ ra rằng, đối với các bài toán tuyến tính, lời giải
của PTHH hội tụ đến nghiệm chính xác của phương trình
đạo hàm riêng.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Năm bài báo quan trọng nhất
1 R. Courant (Bll. Am. Math. Soc., 1943) Bài toán hộp có lỗ
vuông chịu xoắn (không nêu chi tiết toán học).
2 J.H. Argyris(Aircraft Eng., 1954, 1955) Phát triển lý thuyết ma
trận tính kết cấu sử dụng khái niệm độ mềm, độ cứng (Argyris
đã sử dụng phương pháp chuyển vị thay cho phương pháp lực khi
phân tích cánh máy bay từ năm 1943).
3 M.J. Turner và cộng sự (J. Aero. Sci., 1956) Đưa ra ý tưởng
phương pháp. Lập ma trận độ cứng phần tử thanh dàn, tấm tam
giác và chữ nhật trong hệ tổng thể. Được cùng dạng với kết quả
của Argyris.
4 R.W. Clough (2𝑛𝑑 ASCE Conf. Elec. Comp., 1960) Lần đầu gọi
"PP PTHH, phân biệt với: (a) các phương pháp phân tích vật
thể liên tục; và (b) phương pháp ma trận.
5 O.C. Zienkiewicz, Y.K. Cheung (Water Power, 1964, 1965) Áp
dụng có hệ thống vào bài toán phi kết cấu. Làm rõ cách cực tiểu
hóa phiếm hàm, dọn đường cho việc dùng PTHH vào bài toán
phân tích trường.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn
Có RẤT nhiều phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn.
Dưới đây chỉ điểm qua một số điển hình.
Edward Wilson đã phát triển một trong những chương
trình PTHH đầu tiên mà vẫn còn được phát triển và sử
dụng rộng rãi đến ngày nay (chương trình SAP) với xuất
phát điểm như sau:
Miễn phí*.
Bài toán ứng suất 2 chiều.
Chương trình được sử dụng và sửa đổi bởi nhiều nhóm
nghiên cứu hàn lâm và các phòng thí nghiệm, qua đó cho
thấy sức mạnh và sự đa năng của PTHH đối với nhiều mục
đích.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn
Năm 1965, NASA tài trợ 3 triệu USD cho Dick MacNeal
phát triển 1 chương trình PTHH tổng quát NASTRAN.
Phân tích ứng suất 2-D, 3-D, các kết cấu phức tạp, kể cả
tấm/vỏ, phân tích động.
Chương trình khởi thảo được đưa ra công khai nhưng còn
chứa nhiều lỗi.
Sau dự án, MacNeal và McCormick đã thành lập công ty
phần mềm sửa hầu hết các lỗi này và bán ra thị trường
công nghiệp.
Cho đến năm 1990, chương trình vẫn còn được coi là một
chiến mã chủ lực cho hầu hết các cơ sở công nghiệp lớn.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn
Cũng khoảng năm 1965, John Swanson phát triển một
chương trình PTHH ở Cty Điện lực Westinghouse để phân
tích các lò phản ứng nguyên tử.
Vào năm 1969, Swanson rời Westinghouse để phát triển và
tiếp thị chương trình ANSYS.
Chương trình có khả năng phân tích tuyến tính và phi
tuyến, nhanh chóng được các Cty ứng dụng rộng rãi.
Năm 1996, Cty phát hành cổ phiếu, đến năm 2006, giá trị
vốn hóa là 1,8 tỷ USD.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn
Một số chương trình khác có thể kể đến là LS-DYNA mạnh
trong phân tích động, bài toán va chạm giao thông, bài
toán tạo hình tấm kim loại, các mô phỏng nguyên mẫu như
thí nghiệm rơi tự do, ...
Chương trình ABAQUS do Cty HSK phát triển tập trung
vào các ứng dụng phi tuyến. Có đặc điểm là HSK đã để
một cửa ngỏ cho chương trình mà qua đó, người sử dụng có
thể thêm vào các phần tử và mô hình vật liệu mới.
Chương trình CALFEM (hiện đã dừng phát triển) rất trực
quan, dễ hiểu, viết trên ngôn ngữ MATLAB, ứng dụng tốt
trong việc dạy và học PP PTHH.
Chương trình FrameDesign tính toán hệ khung, nhỏ gọn,
miễn phí, chạy trên các thiết bị Android
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
NỘI DUNG CHÍNH
1 Giới thiệu
Nó là gì?
Sao phải dùng ’phần tử hữu hạn’?
Ý tưởng của phương pháp và Các bước thực hiện
Sự kiện, Mốc lịch sử
Các phần mềm, chương trình phần tử hữu hạn
2 Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phép tính với ma trận
Phương pháp số dư trọng số giải phương trình vi phân
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phép tính với ma trận
Cho ma trận A có kích thước 𝑚× 𝑛 như sau:
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛
...
...
. . .
...
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
⎤⎥⎥⎥⎦
Chuyển trí của ma trận A là ma trận C = AT với các
thành phần như sau 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
Cộng (trừ) ma trận cùng kích thước =⇒ được ma trận kết
quả có các thành phần là tổng (hiệu) các phần tử tương
ứng trong hai ma trận.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phép tính với ma trận
Cho ma trận B có kích thước 𝑛× 𝑘 như sau:
B =
⎡⎢⎢⎢⎣
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑘
𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑘
...
...
. . .
...
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑘
⎤⎥⎥⎥⎦
Phép nhân ma trận C = A.B cho kết quả các thành phần
𝑖𝑗 là:
𝑐𝑖𝑗 =
𝑛∑︁
𝑙=1
𝑎𝑖𝑙𝑏𝑙𝑗
Chú ý Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phép tính với ma trận
Cho ma trận vuông A có kích thước 𝑛× 𝑛
Định thức của ma trận A được viết là detA và được định
nghĩa là:
𝐷 = detA = 𝑎11 nếu 𝑛 = 1
𝐷 = 𝑎𝑗1𝐶𝑗1 + 𝑎𝑗2𝐶𝑗2 + · · ·+ 𝑎𝑗𝑛𝐶𝑗𝑛 nếu 𝑛 ≥ 2
trong đó
𝐶𝑗𝑘 = (−1)𝑗+𝑘𝑀𝑗𝑘
với 𝑀𝑗𝑘 là định thức của ma trận con được tạo ra từ việc
bỏ đi hàng 𝑗 và cột 𝑘 của ma trận A. 𝐶𝑗𝑘 được gọi là đồng
hệ số (cofactor) của 𝑎𝑗𝑘 trong ma trận A
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Các phép tính với ma trận
Cho ma trận vuông không suy biến A có kích thước 𝑛× 𝑛
Nghịch đảo ma trận A−1 được xác định như sau:
A−1 =
1
detA
[𝐶𝑗𝑘]
𝑇
trong đó 𝐶𝑗𝑘 là đồng hệ số của 𝑎𝑗𝑘 trong ma trận A.
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Phương pháp số dư trọng số
Tư tưởng của phương pháp được trình bày thông qua ví dụ sau
Phát biểu bài toán
Giải phương trình vi phân với các điều kiện biên cho trước
𝐷𝑢− 𝑓 = 0 trên miền 𝑉
trong đó:
𝑥 là các biến độc lập, ví dụ: tọa độ của một phân tố vật
liệu
𝑢 = 𝑢(𝑥) là các biến phụ thuộc, ví dụ: các chuyển vị của
phân tố vật liệu
𝑓 là một hàm của 𝑥
𝐷 là một toán tử vi phân
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Phương pháp số dư trọng số
Phát biểu trên là dạng thức mạnh (strong form) của bài
toán
...tức: phương trình vi phân cần phải được thỏa mãn tại
mọi điểm bên trong cũng như các điều kiện biên.
Gọi �˜� = �˜�(𝑥) là một nghiệm xấp xỉ. Thường thì nghiệm
xấp xỉ không thỏa mãn phát biểu mạnh của bài toán.
Do đó, định nghĩa số dư trên miền 𝑉 như sau
𝑅 = 𝐷�˜�− 𝑓
Giới thiệu Nhắc lại một số kiến thức toán
Phương pháp số dư trọng số
Hàm �˜� được xây dựng từ các hàm cơ sở (được chọn trước).
Trong thực hành, hàm �˜� có dạng một đa thức có 𝑛 số
hạng, với số hạng thứ 𝑖 được nhân với 𝑎𝑖 (𝑎𝑖 được gọi là
bậc tự do khái quát thứ 𝑖).
𝑛 giá trị 𝑎𝑖 được chọn để sao cho 𝑅 là nhỏ.
Phương pháp số dư trọng số: nhỏ là theo nghĩa sau∫︁
𝑊𝑖𝑅 𝑑𝑉 = 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛
trong đó mỗi 𝑊𝑖 =𝑊𝑖(𝑥) là một hàm trọng số.
Dạng thức như ở trên được gọi là dạng thức yếu (weak
form) của bài toán.
Sau khi giải được 𝑎𝑖, ta tìm được �˜�, bài toán đã được giải
một cách gần đúng.