Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 2: Cơ sở của phương pháp - Nguyễn Xuân Thành

 đối xứng A, được xác định tại một điểm
nào đó trong không gian, luôn có một véc-tơ v tương ứng
với một phương véc-tơ pháp tuyến đơn vị n được cho bởi:
v = An
Nếu v song song với n thì:
Có bài toán trị riêng: v = An = λn
hay: 𝐴𝑖𝑗𝑛𝑗 = λ𝑛𝑖
Phương 𝑛𝑖 được gọi là phương chính, trục chính, hoặc là
véc-tơ riêng của A.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Thay quan hệ 𝑛𝑖 = 𝛿𝑖𝑗𝑛𝑗 vào phương trình trên, có phương
trình đặc trưng của A:
(𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗)𝑛𝑗 = 0
Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: |𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗 | = 0
Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có:
det
⎡⎣𝐴11 − 𝜆 𝐴12 𝐴13𝐴12 𝐴22 − 𝜆 𝐴23
𝐴13 𝐴23 𝐴33 − 𝜆
⎤⎦ = 0
Ký hiệu các bất biến:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1˜ = 𝑡𝑟(A) = 𝐴11 +𝐴22 +𝐴33
2˜ =
1
2
(𝐴𝑖𝑖𝐴𝑗𝑗 −𝐴𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗)
3˜ = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Thay quan hệ 𝑛𝑖 = 𝛿𝑖𝑗𝑛𝑗 vào phương trình trên, có phương
trình đặc trưng của A:
(𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗)𝑛𝑗 = 0
Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: |𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗 | = 0
Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có:
det
⎡⎣𝐴11 − 𝜆 𝐴12 𝐴13𝐴12 𝐴22 − 𝜆 𝐴23
𝐴13 𝐴23 𝐴33 − 𝜆
⎤⎦ = 0
Ký hiệu các bất biến:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1˜ = 𝑡𝑟(A) = 𝐴11 +𝐴22 +𝐴33
2˜ =
1
2
(𝐴𝑖𝑖𝐴𝑗𝑗 −𝐴𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗)
3˜ = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Thay quan hệ 𝑛𝑖 = 𝛿𝑖𝑗𝑛𝑗 vào phương trình trên, có phương
trình đặc trưng của A:
(𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗)𝑛𝑗 = 0
Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: |𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗 | = 0
Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có:
det
⎡⎣𝐴11 − 𝜆 𝐴12 𝐴13𝐴12 𝐴22 − 𝜆 𝐴23
𝐴13 𝐴23 𝐴33 − 𝜆
⎤⎦ = 0
Ký hiệu các bất biến:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1˜ = 𝑡𝑟(A) = 𝐴11 +𝐴22 +𝐴33
2˜ =
1
2
(𝐴𝑖𝑖𝐴𝑗𝑗 −𝐴𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗)
3˜ = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Thay quan hệ 𝑛𝑖 = 𝛿𝑖𝑗𝑛𝑗 vào phương trình trên, có phương
trình đặc trưng của A:
(𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗)𝑛𝑗 = 0
Để tồn tại nghiệm không tầm thường thì: |𝐴𝑖𝑗 − 𝜆𝛿𝑖𝑗 | = 0
Chú ý đến tính chất đối xứng của A, có:
det
⎡⎣𝐴11 − 𝜆 𝐴12 𝐴13𝐴12 𝐴22 − 𝜆 𝐴23
𝐴13 𝐴23 𝐴33 − 𝜆
⎤⎦ = 0
Ký hiệu các bất biến:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1˜ = 𝑡𝑟(A) = 𝐴11 +𝐴22 +𝐴33
2˜ =
1
2
(𝐴𝑖𝑖𝐴𝑗𝑗 −𝐴𝑖𝑗𝐴𝑖𝑗)
3˜ = det(A)
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Khi đó, có đa thức đặc trưng của A:
𝜆3 − 1˜𝜆2 − 2˜𝜆− 3˜ = 0
Ba nghiệm 𝜆(𝑖), 𝑖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là
các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A.
Tương ứng với mỗi giá trị riêng 𝜆(𝑖) là một véc-tơ riêng n(𝑖).
Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị
riêng cũng là các số thực.
Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ
riêng sẽ trực giao từng đôi một.
Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng
đường chéo: ⎡⎢⎣𝜆(1) 0 00 𝜆(2) 0
0 0 𝜆(3)
⎤⎥⎦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Khi đó, có đa thức đặc trưng của A:
𝜆3 − 1˜𝜆2 − 2˜𝜆− 3˜ = 0
Ba nghiệm 𝜆(𝑖), 𝑖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là
các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A.
Tương ứng với mỗi giá trị riêng 𝜆(𝑖) là một véc-tơ riêng n(𝑖).
Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị
riêng cũng là các số thực.
Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ
riêng sẽ trực giao từng đôi một.
Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng
đường chéo: ⎡⎢⎣𝜆(1) 0 00 𝜆(2) 0
0 0 𝜆(3)
⎤⎥⎦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Khi đó, có đa thức đặc trưng của A:
𝜆3 − 1˜𝜆2 − 2˜𝜆− 3˜ = 0
Ba nghiệm 𝜆(𝑖), 𝑖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là
các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A.
Tương ứng với mỗi giá trị riêng 𝜆(𝑖) là một véc-tơ riêng n(𝑖).
Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị
riêng cũng là các số thực.
Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ
riêng sẽ trực giao từng đôi một.
Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng
đường chéo: ⎡⎢⎣𝜆(1) 0 00 𝜆(2) 0
0 0 𝜆(3)
⎤⎥⎦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Khi đó, có đa thức đặc trưng của A:
𝜆3 − 1˜𝜆2 − 2˜𝜆− 3˜ = 0
Ba nghiệm 𝜆(𝑖), 𝑖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là
các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A.
Tương ứng với mỗi giá trị riêng 𝜆(𝑖) là một véc-tơ riêng n(𝑖).
Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị
riêng cũng là các số thực.
Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ
riêng sẽ trực giao từng đôi một.
Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng
đường chéo: ⎡⎢⎣𝜆(1) 0 00 𝜆(2) 0
0 0 𝜆(3)
⎤⎥⎦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Khi đó, có đa thức đặc trưng của A:
𝜆3 − 1˜𝜆2 − 2˜𝜆− 3˜ = 0
Ba nghiệm 𝜆(𝑖), 𝑖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là
các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A.
Tương ứng với mỗi giá trị riêng 𝜆(𝑖) là một véc-tơ riêng n(𝑖).
Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị
riêng cũng là các số thực.
Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ
riêng sẽ trực giao từng đôi một.
Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng
đường chéo: ⎡⎢⎣𝜆(1) 0 00 𝜆(2) 0
0 0 𝜆(3)
⎤⎥⎦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Các giá trị chính và phương chính
Khi đó, có đa thức đặc trưng của A:
𝜆3 − 1˜𝜆2 − 2˜𝜆− 3˜ = 0
Ba nghiệm 𝜆(𝑖), 𝑖 = 1, 2, 3 của đa thức đặc trưng được gọi là
các giá trị riêng hoặc các giá trị chính của A.
Tương ứng với mỗi giá trị riêng 𝜆(𝑖) là một véc-tơ riêng n(𝑖).
Với một ten-sơ đối xứng có các thành phần thực, các giá trị
riêng cũng là các số thực.
Nếu ba giá trị riêng khác nhau từng đôi một, thì ba véc-tơ
riêng sẽ trực giao từng đôi một.
Khi được biểu diễn theo các trục chính, A sẽ có dạng
đường chéo: ⎡⎢⎣𝜆(1) 0 00 𝜆(2) 0
0 0 𝜆(3)
⎤⎥⎦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính):
∇ = 𝜕
𝜕𝑥1
e1 +
𝜕
𝜕𝑥2
e2 +
𝜕
𝜕𝑥3
e3 = e𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
Gradient của một trường vô hướng 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
Gradient của 𝜑 là véc-tơ ∇𝜑:
∇𝜑 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = e𝑖 𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑖
= e𝑖𝜑,𝑖
Nếu n = 𝑛𝑖e𝑖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng
n · ∇ = 𝑛𝑖 𝜕
𝜕𝑥𝑖
được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính):
∇ = 𝜕
𝜕𝑥1
e1 +
𝜕
𝜕𝑥2
e2 +
𝜕
𝜕𝑥3
e3 = e𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
Gradient của một trường vô hướng 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
Gradient của 𝜑 là véc-tơ ∇𝜑:
∇𝜑 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = e𝑖 𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑖
= e𝑖𝜑,𝑖
Nếu n = 𝑛𝑖e𝑖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng
n · ∇ = 𝑛𝑖 𝜕
𝜕𝑥𝑖
được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính):
∇ = 𝜕
𝜕𝑥1
e1 +
𝜕
𝜕𝑥2
e2 +
𝜕
𝜕𝑥3
e3 = e𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
Gradient của một trường vô hướng 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
Gradient của 𝜑 là véc-tơ ∇𝜑:
∇𝜑 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = e𝑖 𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑖
= e𝑖𝜑,𝑖
Nếu n = 𝑛𝑖e𝑖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng
n · ∇ = 𝑛𝑖 𝜕
𝜕𝑥𝑖
được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Toán tử gradient (còn gọi là toán tử vi phân tuyến tính):
∇ = 𝜕
𝜕𝑥1
e1 +
𝜕
𝜕𝑥2
e2 +
𝜕
𝜕𝑥3
e3 = e𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
Gradient của một trường vô hướng 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
Gradient của 𝜑 là véc-tơ ∇𝜑:
∇𝜑 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = e𝑖 𝜕𝜑
𝜕𝑥𝑖
= e𝑖𝜑,𝑖
Nếu n = 𝑛𝑖e𝑖 là véc-tơ đơn vị thì toán tử vô hướng
n · ∇ = 𝑛𝑖 𝜕
𝜕𝑥𝑖
được gọi là đạo hàm có hướng theo phương n.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Phân kỳ của một trường véc-tơ v(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) là đại lượng vô
hướng sau:
∇ · v = 𝑑𝑖𝑣 v = 𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑖
= 𝑣𝑖,𝑖
Rôta của một trường véc-tơ u(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) là một trường
véc-tơ sau:
∇× u = 𝑐𝑢𝑟𝑙 u = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑗
e𝑖 = 𝑒𝑖𝑗𝑘𝑢𝑘,𝑗e𝑖
Khi sử dụng 𝑢𝑘,𝑗 thay thế cho 𝜕𝑢𝑘/𝜕𝑥𝑗 , ta thấy trật tự các
chỉ số bị đảo ngược nếu so sánh với trật tự các chỉ số trong
phép nhân có hướng.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Phân kỳ của một trường véc-tơ v(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) là đại lượng vô
hướng sau:
∇ · v = 𝑑𝑖𝑣 v = 𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑖
= 𝑣𝑖,𝑖
Rôta của một trường véc-tơ u(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) là một trường
véc-tơ sau:
∇× u = 𝑐𝑢𝑟𝑙 u = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑗
e𝑖 = 𝑒𝑖𝑗𝑘𝑢𝑘,𝑗e𝑖
Khi sử dụng 𝑢𝑘,𝑗 thay thế cho 𝜕𝑢𝑘/𝜕𝑥𝑗 , ta thấy trật tự các
chỉ số bị đảo ngược nếu so sánh với trật tự các chỉ số trong
phép nhân có hướng.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Phân kỳ của một trường véc-tơ v(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) là đại lượng vô
hướng sau:
∇ · v = 𝑑𝑖𝑣 v = 𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑖
= 𝑣𝑖,𝑖
Rôta của một trường véc-tơ u(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) là một trường
véc-tơ sau:
∇× u = 𝑐𝑢𝑟𝑙 u = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑗
e𝑖 = 𝑒𝑖𝑗𝑘𝑢𝑘,𝑗e𝑖
Khi sử dụng 𝑢𝑘,𝑗 thay thế cho 𝜕𝑢𝑘/𝜕𝑥𝑗 , ta thấy trật tự các
chỉ số bị đảo ngược nếu so sánh với trật tự các chỉ số trong
phép nhân có hướng.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Toán tử Laplace được định nghĩa như sau:
∇2() = 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 () = ∇ · ∇() = 𝜕
2()
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
= (),𝑖𝑗
Laplace của một trường vô hướng 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
∇2𝜑 = ( 𝜕
𝜕𝑥𝑖
e𝑖) · (𝜑,𝑗 e𝑗) = 𝜕
2𝜑
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖
(e𝑖 · e𝑗) = 𝜑,𝑗𝑖 𝛿𝑖𝑗 = 𝜑,𝑖𝑖
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Một số toán tử vi phân quan trọng
Toán tử Laplace được định nghĩa như sau:
∇2() = 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 () = ∇ · ∇() = 𝜕
2()
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗
= (),𝑖𝑗
Laplace của một trường vô hướng 𝜑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)
∇2𝜑 = ( 𝜕
𝜕𝑥𝑖
e𝑖) · (𝜑,𝑗 e𝑗) = 𝜕
2𝜑
𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑖
(e𝑖 · e𝑗) = 𝜑,𝑗𝑖 𝛿𝑖𝑗 = 𝜑,𝑖𝑖
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Lý thuyết Gauss chuyển đổi miền tích phân
...chuyển đổi từ tích phân thể tích về tích phân bề mặt
Xét với trường véc-tơ a trong vật thể có thể tích Ω và có
biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n,
khi đó: ∫︁
Ω
∇ · a 𝑑Ω =
∫︁
Γ
a · n 𝑑Γ
Xét với trường tensor A trong vật thể có thể tích Ω và có
biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n,
khi đó: ∫︁
Ω
∇ ·A 𝑑Ω =
∫︁
Γ
An 𝑑Γ
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Lý thuyết Gauss chuyển đổi miền tích phân
...chuyển đổi từ tích phân thể tích về tích phân bề mặt
Xét với trường véc-tơ a trong vật thể có thể tích Ω và có
biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n,
khi đó: ∫︁
Ω
∇ · a 𝑑Ω =
∫︁
Γ
a · n 𝑑Γ
Xét với trường tensor A trong vật thể có thể tích Ω và có
biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n,
khi đó: ∫︁
Ω
∇ ·A 𝑑Ω =
∫︁
Γ
An 𝑑Γ
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Tính toán với ten-sơ
Lý thuyết Gauss chuyển đổi miền tích phân
...chuyển đổi từ tích phân thể tích về tích phân bề mặt
Xét với trường véc-tơ a trong vật thể có thể tích Ω và có
biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n,
khi đó: ∫︁
Ω
∇ · a 𝑑Ω =
∫︁
Γ
a · n 𝑑Γ
Xét với trường tensor A trong vật thể có thể tích Ω và có
biên bề mặt Γ. Một điểm trên biên có véc-tơ pháp tuyến n,
khi đó: ∫︁
Ω
∇ ·A 𝑑Ω =
∫︁
Γ
An 𝑑Γ
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
NỘI DUNG CHÍNH
1 Cơ bản về ten-sơ
Sơ lược
Quy ước viết
Các quy tắc biến đổi các ten-sơ Descartes
Các giá trị chính và phương chính
Tính toán với ten-sơ
2 Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Phương trình biến dạng - chuyển vị
Phương trình ứng suất - biến dạng theo Định luật Hooke
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Tại các điểm bên trong vật thể
Bài toán không gian:
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑥𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑓𝑥 = 0
𝜕𝜎𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑦𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑓𝑦 = 0
𝜕𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑧𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑓𝑧 = 0
Bài toán 2 chiều:
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑓𝑥 = 0
𝜕𝜎𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑓𝑦 = 0
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Tại các điểm bên trong vật thể
Bài toán không gian:
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑥𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑓𝑥 = 0
𝜕𝜎𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑦𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑓𝑦 = 0
𝜕𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑧𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑓𝑧 = 0
Bài toán 2 chiều:
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑓𝑥 = 0
𝜕𝜎𝑦𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑓𝑦 = 0
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
∇𝑇σ+ f = 0
Theo dạng tensor:
∇ · σ+ f = 0
hay
𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑓𝑖 = 0
Chú ý:
Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn
toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
∇𝑇σ+ f = 0
Theo dạng tensor:
∇ · σ+ f = 0
hay
𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑓𝑖 = 0
Chú ý:
Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn
toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
∇𝑇σ+ f = 0
Theo dạng tensor:
∇ · σ+ f = 0
hay
𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑓𝑖 = 0
Chú ý:
Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn
toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Tại các điểm trên bề mặt vật thể
Bài toán không gian:
𝑙𝜎𝑥𝑥 +𝑚𝜎𝑥𝑦 + 𝑛𝜎𝑥𝑧 = 𝑡𝑥
𝑙𝜎𝑦𝑥 +𝑚𝜎𝑦𝑦 + 𝑛𝜎𝑦𝑧 = 𝑡𝑦
𝑙𝜎𝑧𝑥 +𝑚𝜎𝑧𝑦 + 𝑛𝜎𝑧𝑧 = 𝑡𝑧
Bài toán 2 chiều:
𝑙𝜎𝑥𝑥 +𝑚𝜎𝑥𝑦 = 𝑡𝑥
𝑙𝜎𝑦𝑥 +𝑚𝜎𝑦𝑦 = 𝑡𝑦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Tại các điểm trên bề mặt vật thể
Bài toán không gian:
𝑙𝜎𝑥𝑥 +𝑚𝜎𝑥𝑦 + 𝑛𝜎𝑥𝑧 = 𝑡𝑥
𝑙𝜎𝑦𝑥 +𝑚𝜎𝑦𝑦 + 𝑛𝜎𝑦𝑧 = 𝑡𝑦
𝑙𝜎𝑧𝑥 +𝑚𝜎𝑧𝑦 + 𝑛𝜎𝑧𝑧 = 𝑡𝑧
Bài toán 2 chiều:
𝑙𝜎𝑥𝑥 +𝑚𝜎𝑥𝑦 = 𝑡𝑥
𝑙𝜎𝑦𝑥 +𝑚𝜎𝑦𝑦 = 𝑡𝑦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
L𝜎 = t
Theo dạng tensor:
𝜎n = t
hay
𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗 = 𝑡𝑖
Chú ý:
Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn
toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
L𝜎 = t
Theo dạng tensor:
𝜎n = t
hay
𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗 = 𝑡𝑖
Chú ý:
Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn
toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình cân bằng Navier-Cauchy
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
L𝜎 = t
Theo dạng tensor:
𝜎n = t
hay
𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗 = 𝑡𝑖
Chú ý:
Hai hệ thống ký hiệu (với mầu khác nhau trên slide) hoàn
toàn khác nhau. Tránh nhầm lẫn!
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình biến dạng - chuyển vị
Các công thức
Bài toán không gian:
𝜀𝑥𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜀𝑦𝑦 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝜀𝑧𝑧 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
𝛾𝑦𝑧 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
𝛾𝑧𝑥 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
Bài toán 2 chiều:
𝜀𝑥𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜀𝑦𝑦 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình biến dạng - chuyển vị
Các công thức
Bài toán không gian:
𝜀𝑥𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜀𝑦𝑦 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝜀𝑧𝑧 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
𝛾𝑦𝑧 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
𝛾𝑧𝑥 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
Bài toán 2 chiều:
𝜀𝑥𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜀𝑦𝑦 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝛾𝑥𝑦 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình biến dạng - chuyển vị
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
ε =∇u
Theo dạng tensor: Tensor biến dạng⎡⎣𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧
𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧
⎤⎦
Khi đó 𝜀𝑖𝑗 =
1
2
(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖)
Chú ý 1: Bài toán biến dạng vô cùng bé, tensor biến dạng
Lagrange trùng với tensor biến dạng Euler.
Chú ý 2: Có hệ số 1/2 trong thành phần biến dạng trượt ở
cách biểu diễn 2.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình biến dạng - chuyển vị
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
ε =∇u
Theo dạng tensor: Tensor biến dạng⎡⎣𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧
𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧
⎤⎦
Khi đó 𝜀𝑖𝑗 =
1
2
(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖)
Chú ý 1: Bài toán biến dạng vô cùng bé, tensor biến dạng
Lagrange trùng với tensor biến dạng Euler.
Chú ý 2: Có hệ số 1/2 trong thành phần biến dạng trượt ở
cách biểu diễn 2.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình biến dạng - chuyển vị
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
ε =∇u
Theo dạng tensor: Tensor biến dạng⎡⎣𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧
𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧
⎤⎦
Khi đó 𝜀𝑖𝑗 =
1
2
(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖)
Chú ý 1: Bài toán biến dạng vô cùng bé, tensor biến dạng
Lagrange trùng với tensor biến dạng Euler.
Chú ý 2: Có hệ số 1/2 trong thành phần biến dạng trượt ở
cách biểu diễn 2.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình ứng suât - biến dạng
Giới hạn: Vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng
Các công thức
Bài toán không gian:
𝜎𝑥𝑥 =
𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) [(1− 𝜈)𝜀𝑥𝑥 + 𝜈(𝜀𝑦𝑦 + 𝜀𝑧𝑧)]
𝜎𝑦𝑦 =
𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) [(1− 𝜈)𝜀𝑦𝑦 + 𝜈(𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝑧𝑧)]
𝜎𝑧𝑧 =
𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) [(1− 𝜈)𝜀𝑧𝑧 + 𝜈(𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝑦𝑦)]
𝜎𝑥𝑦 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
𝛾𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦
𝜎𝑦𝑧 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
𝛾𝑦𝑧 = 𝐺𝛾𝑦𝑧
𝜎𝑧𝑥 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
𝛾𝑧𝑥 = 𝐺𝛾𝑧𝑥
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình ứng suât - biến dạng
Giới hạn: Vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng
Các công thức
Bài toán ứng suất phẳng:
𝜎𝑥𝑥 =
𝐸
(1− 𝜈2)(𝜀𝑥𝑥 + 𝜈𝜀𝑦𝑦)
𝜎𝑦𝑦 =
𝐸
(1− 𝜈2)(𝜀𝑦𝑦 + 𝜈𝜀𝑥𝑥)
𝜎𝑥𝑦 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
𝛾𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình ứng suất - biến dạng
Giới hạn: Vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng
Các công thức
Bài toán biến dạng phẳng:
𝜎𝑥𝑥 =
𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) [(1− 𝜈)𝜀𝑥𝑥 + 𝜈𝜀𝑦𝑦]
𝜎𝑦𝑦 =
𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) [(1− 𝜈)𝜀𝑦𝑦 + 𝜇𝜀𝑥𝑥]
𝜎𝑥𝑦 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
𝛾𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình ứng suất - biến dạng
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
𝜎 = Dε
Theo dạng tensor:
𝜎 = Cε
trong đó C là tensor đàn hồi bậc 4 của vật liệu:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘) + 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙
với: 𝜆 =
𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) và 𝜇 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
= 𝐺
Chú ý: Tránh nhầm lẫn với các hệ thống ký hiệu khác
nhau.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình ứng suất - biến dạng
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
𝜎 = Dε
Theo dạng tensor:
𝜎 = Cε
trong đó C là tensor đàn hồi bậc 4 của vật liệu:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘) + 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙
với: 𝜆 =
𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) và 𝜇 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
= 𝐺
Chú ý: Tránh nhầm lẫn với các hệ thống ký hiệu khác
nhau.
Cơ bản về ten-sơ Cơ sở lý thuyết đàn hồi
Phương trình ứng suất - biến dạng
Viết dưới dạng ma trận hoặc tensor
Theo dạng ma trận:
𝜎 = Dε
Theo dạng tensor:
𝜎 = Cε
trong đó C là tensor đàn hồi bậc 4 của vật liệu:
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘) + 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙
với: 𝜆 =
𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1− 2𝜈) và 𝜇 =
𝐸
2(1 + 𝜈)
= 𝐺
Chú ý: Tránh nhầm lẫn với các hệ thống ký hiệu khác
nhau.