Bài giảng Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1: Đạo hàm riêng - Huỳnh Văn Kha

CHƯƠNG 1
ĐẠO HÀM RIÊNG
ThS. Huỳnh Văn Kha
Email: huynhvankha@tdt.edu.vn
https://sites.google.com/site/khahuynhtdt/bai
-giang-toan2
NỘI DUNG CHÍNH
1. Hàm nhiều biến
2. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến
3. Đạo hàm riêng
4. Đạo hàm theo hướng, véc-tơ gradient
5. Cực trị
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 2
1. HÀM NHIỀU BIẾN
• Thể tích của khối trụ là
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
• Thể tích 𝑉 = 𝑉 𝑟, ℎ là hàm số theo 2 biến 𝑟 và ℎ.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 3
Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variables
Cho 𝐷 là tập hợp các bộ 𝑛 con số có dạng 𝑥1, 𝑥2,  , 𝑥𝑛 . 
Một hàm số (function) 𝑓 trên 𝐷 là một quy tắc mà ứng với 
mỗi phần tử của 𝐷 cho tương ứng duy nhất một con số 
thực 𝑤 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2,  , 𝑥𝑛 .
Miền 𝐷 được gọi là tập xác định (domain) của 𝑓.
Tập các giá trị có thể của 𝑓 gọi là miền giá trị (range).
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 4
Ví dụ hàm hai biến
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 5
Ví dụ hàm ba biến
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 6
Đồ thị hàm hai biến
• Tập hợp các điểm 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 với 𝑥, 𝑦 thuộc tập 
xác định của 𝑓 được gọi là đồ thị (graph) của 𝑓.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 7
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 8
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 9
2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
• Nếu giá trị của 𝑓 𝑥, 𝑦 có thể gần 𝐿 tùy ý với mọi 
𝑥, 𝑦 đủ gần 𝑥0, 𝑦0 thì ta nói 𝑓 có giới hạn bằng 𝐿
khi 𝑥, 𝑦 tiến về 𝑥0, 𝑦0 .
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 10
Định nghĩa 2. Giới hạn - limit
Ta nói 𝑓 𝑥, 𝑦 có giới hạn bằng 𝐿 khi 𝑥, 𝑦 tiến về 
𝑥0, 𝑦0 và viết
lim
𝑥,𝑦 → 𝑥0,𝑦0
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿
nếu với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 
𝑥, 𝑦 thuộc miền xác định của 𝑓
0 < 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 𝜀
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 11
Sự liên tục của hàm hai biến
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 12
Định nghĩa 3. Liên tục – continuous
Ta nói 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục tại điểm 𝑥0, 𝑦0 nếu
1. 𝑓 xác định tại 𝑥0, 𝑦0 ,
2. lim
𝑥,𝑦 → 𝑥0,𝑦0
𝑓 𝑥, 𝑦 tồn tại,
3. lim
𝑥,𝑦 → 𝑥0,𝑦0
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥0, 𝑦0 .
Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọi 
điểm thuộc tập xác định của nó.
3. ĐẠO HÀM RIÊNG
• Cho hàm hai biến 𝑓 𝑥, 𝑦 . Cố định 𝑦 = 𝑦0 ta được 
hàm một biến 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦0 .
• Đạo hàm của hàm số này tại 𝑥0 gọi là đạo hàm riêng 
(viết tắt là ĐHR) theo biến 𝑥 của 𝑓 tại điểm (𝑥0, 𝑦0).
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 13
Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivative
Đạo hàm riêng theo biến 𝑥 của hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 tại điểm 
𝑥0, 𝑦0 được định nghĩa là
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0,𝑦0
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
ℎ
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 14
• Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0,𝑦0
= 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦0
𝑥0
• ĐHR theo biến 𝑥 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 tại điểm 𝑥0, 𝑦0
được ký hiệu theo nhiều cách
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥0,𝑦0
, 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 , hoặc 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑥0,𝑦0
, 𝑧𝑥 𝑥0, 𝑦0
• ĐHR theo biến 𝑥 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 cũng là hàm số hai 
biến và được ký hiệu
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑓𝑥 hoặc
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑧𝑥
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 15
• Tương tự ta có định nghĩa
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0,𝑦0
= 
𝑑
𝑑𝑦
𝑓 𝑥0, 𝑦
𝑦0
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ℎ − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
ℎ
• Đạo hàm riêng theo biến 𝑦 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 tại điểm 
𝑥0, 𝑦0 được ký hiệu theo nhiều cách
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥0,𝑦0
, 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 , hoặc 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑥0,𝑦0
, 𝑧𝑦 𝑥0, 𝑦0
• ĐHR theo biến 𝑦 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 cũng là hàm số hai 
biến và được ký hiệu
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑓𝑦 hoặc
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑧𝑦
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 16
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 17
Véc-tơ gradient – Tính ĐHR
• Để tính ĐHR theo 𝑥, ta coi 𝑦 là hằng số.
• Để tính ĐHR theo 𝑦, ta coi 𝑥 là hằng số.
Ví dụ 1.
a) Tính 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
tại điểm 4, −5 biết
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 − 1
b) Tính 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
trong các trường hợp sau
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 sin 𝑥𝑦 , 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑦
2𝑦 + cos 𝑥
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 18
ĐHR hàm nhiều biến hơn
• Định nghĩa ĐHR cho hàm nhiều biến hơn hoàn toàn 
tương tự.
• Véc-tơ gradient là véc-tơ mà thành phần thứ 𝑖 là đạo 
hàm riêng theo biến thứ 𝑖
𝛻𝑓 = 𝑓𝑥1 , 𝑓𝑥2 ,  , 𝑓𝑥𝑛
• Để tính ĐHR theo một biến, ta coi tất cả các biến còn 
lại là hằng số.
Ví dụ 2.
Tính 𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑧 biết
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 sin 𝑦 + 3𝑧
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 19
ĐHR cấp cao
• Các ĐHR 𝑓𝑥 và 𝑓𝑦 của hàm hai biến 𝑓 𝑥, 𝑦 cũng là 
những hàm hai biến.
• Các ĐHR của 𝑓𝑥 và 𝑓𝑦 được gọi là các ĐHR cấp hai của 
𝑓. Chúng được ký hiệu lần lượt là
𝑓𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
, 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
, 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
• Các ĐHR cấp cao hơn thì tương tự.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 20
Ví dụ 3. Tính tất cả các ĐHR cấp hai của
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑒𝑥
b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 21
Định lý 1. Định lý Clairaut.
Nếu 𝑓 𝑥, 𝑦 và các ĐHR của nó 𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑥𝑦, 𝑓𝑦𝑥 tồn tại 
trên một miền mở chứa điểm 𝑎, 𝑏 và tất cả chúng 
đều liên tục tại 𝑎, 𝑏 thì
𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑦𝑥 𝑎, 𝑏
• Định lý trên nói rằng, nếu tất cả các ĐHR đều liên tục
thì thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng.
• Với hàm nhiều biến hơn thì các định nghĩa và ký hiệu 
cũng tương tự, ví dụ
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦2
= 𝑓𝑦𝑦𝑥
𝜕4𝑓
𝜕𝑥2𝜕𝑦𝜕𝑧
= 𝑓𝑧𝑦𝑥𝑥
Ví dụ 4. Tính 𝑓𝑦𝑥𝑦𝑧 biết
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 − 2𝑥𝑦2𝑧 + 𝑥2𝑦
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 22
Tính khả vi - differentiability
• Hàm một biến 𝑦 = 𝑓 𝑥 khả vi tại 𝑥0 khi nó có đạo 
hàm tại đó, nghĩa là giới hạn sau tồn tại
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ→0
Δ𝑦
Δ𝑥
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ
• Nếu đặt
𝜀 =
Δ𝑦
Δ𝑥
− 𝑓′ 𝑥0
thì Δ𝑦 = 𝑓′ 𝑥0 Δ𝑥 + 𝜀Δ𝑥 và lim
Δ𝑥→0
𝜀 = 0.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 23
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 24
Định nghĩa 5. Khả vi - differentiable
Cho hàm số 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 và đặt
Δ𝑧 = 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0 + Δ𝑦 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
Hàm số nói trên được gọi là khả vi tại 𝑥0, 𝑦0 nếu 
𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 và 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 tồn tại, đồng thời Δ𝑧 thỏa mãn 
một phương trình có dạng
Δ𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 Δ𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 Δ𝑦 + 𝜀1Δ𝑥 + 𝜀2Δ𝑦
Trong đó mỗi 𝜀1 và 𝜀2 đều tiến về 0 khi cả Δ𝑥, Δ𝑦 → 0.
Ta nói 𝑓 khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền 
xác định.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 25
Định lý 2.
Nếu các ĐHR 𝑓𝑥, 𝑓𝑦 của 𝑓 𝑥, 𝑦 đều liên tục trên một 
miền mở 𝑅 thì 𝑓 khả vi tại mọi điểm thuộc 𝑅.
Định lý 3.
Nếu 𝑓 𝑥, 𝑦 khả vi tại 𝑥0, 𝑦0 thì nó liên tục tại 
𝑥0, 𝑦0 .
Đạo hàm hàm hợp
• Trường hợp 1 biến, nếu 𝑤 = 𝑓 𝑥 và 𝑥 = 𝑔 𝑡 thì
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝑑𝑤
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 26
Định lý 4. Đạo hàm hàm hợp 1.
Nếu 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦 khả vi và 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 cũng là
những hàm khả vi thì hàm hợp 𝑤 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 khả
vi theo 𝑡 và
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= 𝑓𝑥 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑥
′ 𝑡 + 𝑓𝑦 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑦
′ 𝑡
Hay 
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 27
• Trường hợp nhiều biến hơn, ta có công thức tương 
tự.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 28
Định lý 5. Đạo hàm hàm hợp 2.
Nếu 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 khả vi và 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 =
𝑧 𝑡 cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp 𝑤 =
𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 khả vi theo 𝑡 và
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 29
Ví dụ 5.
a) Dùng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của
𝑤 = 𝑥𝑦
theo biến 𝑡, biết 𝑥 = cos 𝑡 và 𝑦 = sin 𝑡. Tính giá trị của 
đạo hàm này tại 𝑡 = 𝜋/2.
b) Tính 𝑑𝑤/𝑑𝑡 biết
𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑧, 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑡
Tính 
𝑑𝑤
𝑑𝑡 𝑡=0
.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 30
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 31
Định lý 6. Đạo hàm hàm hợp 3.
Nếu 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 khả vi và 𝑥 = 𝑔 𝑟, 𝑠 , 𝑦 = ℎ 𝑟, 𝑠 , 
𝑧 = 𝑘 𝑟, 𝑠 cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp 𝑤 =
𝑓 𝑔 𝑟, 𝑠 , ℎ 𝑟, 𝑠 , 𝑘 𝑟, 𝑠 khả vi và
𝜕𝑤
𝜕𝑟
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑤
𝜕𝑠
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑠
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 32
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 33
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 34
• Trường hợp 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦 và 𝑥 = 𝑔 𝑟, 𝑠 , 𝑦 = ℎ 𝑟, 𝑠
ta cũng có công thức tương tự
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 35
𝜕𝑤
𝜕𝑟
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑤
𝜕𝑠
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
• Tổng quát, 𝑤 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2,  , 𝑥𝑛 và mỗi 𝑥𝑖 là một 
hàm theo 𝑘 biến 𝑡1, 𝑡2,  , 𝑡𝑘 thì với mỗi 𝑗 = 1, 𝑘
𝜕𝑤
𝜕𝑡𝑗
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥1
𝜕𝑥1
𝜕𝑡𝑗
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥2
𝜕𝑥2
𝜕𝑡𝑗
+ ⋯ +
𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑡𝑗
Ví dụ 6.
a) Tính 𝜕𝑤/𝜕𝑟 và 𝜕𝑤/𝜕𝑠 biết
𝑤 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧2
𝑥 =
𝑟
𝑠
, 𝑦 = 𝑟2 + ln 𝑠 , 𝑧 = 2𝑟
b) Tính 𝜕𝑤/𝜕𝑟 và 𝜕𝑤/𝜕𝑠 biết
𝑤 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑥 = 𝑟 − 𝑠, 𝑦 = 𝑟 + 𝑠
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 36
Đạo hàm hàm ẩn
• Các phương trình
𝑥3 + 𝑦3 − 9𝑥𝑦 = 0 và 𝑥2 + 𝑦2 − 25 = 0
thể hiện mối liên hệ ẩn của 𝑦 theo 𝑥.
• Nếu từ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 ta có thể suy ra 𝑦 = 𝑦 𝑥 (𝑦 là 
hàm số theo 𝑥) thì khi đó ta nói 𝑦 là một hàm ẩn 
(implicit function).
• Một số trường hợp ta có thể suy ra công thức tường 
minh cho hàm ẩn 𝑦 = 𝑦 𝑥 .
• Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không có được 
công thức tường minh. 
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 37
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 38
• Giả sử rằng
– Hàm số 𝐹 𝑥, 𝑦 khả vi,
– Phương trình 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 xác định được hàm ẩn khả vi
𝑦 = ℎ 𝑥 .
• Khi đó hàm hợp 𝑤 𝑥 = 𝐹 𝑥, ℎ 𝑥 khả vi và do 
𝑤 𝑥 = 0 nên
0 =
𝑑𝑤
𝑑𝑥
=
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• Nếu 𝐹𝑦 ≠ 0 thì
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 39
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 40
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 41
Định lý 7. Đạo hàm ẩn.
Nếu 𝐹 𝑥, 𝑦 khả vi và phương trình 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 xác
định được 𝑦 là hàm ẩn khả vi theo 𝑥 thì tại những điểm 
𝐹𝑦 ≠ 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
Ví dụ 7.
a) Tính 𝑦′ biết 𝑦2 = 𝑥.
b) Tính 𝑦′ biết 𝑦2 = 𝑥2 + sin 𝑥𝑦
c) Tính độ dốc đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 = 25 tại 3, −4 .
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 42
• Nếu
– Hàm số 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 khả vi,
– Phương trình 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 xác định được 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 là 
hàm ẩn khả vi
• Thì hàm hợp 𝑤 = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 khả vi và
0 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝐹𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
+ 𝐹𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
+ 𝐹𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝐹𝑥 + 𝐹𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
0 =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝐹𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
+ 𝐹𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
+ 𝐹𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝐹𝑦 + 𝐹𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 43
• Suy ra, nếu 𝐹𝑧 ≠ 0 thì
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑦
𝐹𝑧
Ví dụ 8.
Tính 𝜕𝑧/𝜕𝑥 và 𝜕𝑧/𝜕𝑦 tại điểm 0,0,0 biết
𝑥3 + 𝑧2 + 𝑦𝑒𝑥𝑧 + 𝑧 cos 𝑦 = 0
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 44
4. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ VÉC-
TƠ GRADIENT
• Để tính tỉ lệ thay đổi của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 theo hướng 
véc-tơ đơn vị 𝐮 = 𝑢1, 𝑢2 người ta dùng đạo hàm 
theo hướng (directional derivative).
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 45
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 46
Định nghĩa 6. Đạo hàm theo hướng
Đạo hàm của 𝑓 tại 𝑃0 𝑥0, 𝑦0 theo hướng véc-tơ đơn vị 
𝐮 = 𝑢1, 𝑢2 là con số sau (nếu nó tồn tại)
 𝐷𝐮𝑓
𝑃0
= lim
𝑠→0
𝑓 𝑥0 + 𝑠𝑢1, 𝑦0 + 𝑠𝑢2 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
𝑠
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 47
Véc-tơ gradient
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 48
Định nghĩa 7. Véc-tơ gradient
Véc-tơ gradient của 𝑓 tại điểm 𝑃0 𝑥0, 𝑦0 là véc-tơ
𝛻𝑓 𝑃0 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑃0 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑃0
Định lý 8. Tính đạo hàm theo hướng
Nếu 𝑓 khả vi trên miền mở chứa 𝑃0 𝑥0, 𝑦0 và 𝐮 =
𝑢1, 𝑢2 là véc-tơ đơn vị thì
 𝐷𝑢𝑓
𝑃0
= 𝛻𝑓 𝑃0 . 𝐮
Tìm đạo hàm của 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + cos 𝑥𝑦 tại điểm 
2,0 theo hướng véc-tơ 𝐯 = 3,−4 .
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 49
ĐH theo hướng – hàm ba biến
• Nếu hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 khả vi và 𝐮 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 là 
véc-tơ đơn vị trong không gian thì
𝛻𝑓 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑧
𝐷𝐮𝑓 = 𝛻𝑓. 𝐮 = 𝑓𝑥𝑢1 + 𝑓𝑦𝑢2 + 𝑓𝑧𝑢3
Ví dụ 9. Tìm đạo hàm của
a) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3 − 𝑥𝑦2 − 𝑧 tại 𝑃0 1,1,0 theo hướng 
𝐯 = 2,−3,6 .
b) 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥−𝑦
𝑥𝑦+2
tại 𝑃0 1, −1 theo hướng 𝐮 = 12,5 .
c) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = cos 𝑥𝑦 + 𝑒𝑦𝑧 + ln 𝑥𝑧 tại 𝑃0 1,0,
1
2
theo hướng 𝐮 = 1,2,2 .
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 50
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐 tại điểm 
𝑃0 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 có phương trình
𝑓𝑥 𝑃0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑃0 𝑦 − 𝑦0 + 𝑓𝑧 𝑃0 𝑧 − 𝑧0 = 0
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 51
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 tại điểm 
𝑃0 𝑥0, 𝑦0, 𝑓 𝑥0, 𝑦0 có phương trình
𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑦 − 𝑦0 − 𝑧 − 𝑧0 = 0
Ví dụ 10. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong
a) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 9 = 0 tại 𝑃0 1,2,4 .
b) 𝑧 = 𝑥 cos 𝑦 − 𝑦𝑒𝑥 tại 𝑃0 0,0,0 .
c) cos 𝜋𝑥 − 𝑥2𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 4 tại 𝑃0 0,1,2 .
d) 𝑧 = ln 𝑥2 + 𝑦2 tại 𝑃0 1,0,0 .
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 52
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 53
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 54
Xấp xỉ tuyến tính và vi phân
Nếu 𝑓 𝑥, 𝑦 khả vi, đặt Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥0, Δ𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 thì
𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
= 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 Δ𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 Δ𝑦 + 𝜀1Δ𝑥 + 𝜀2Δ𝑦
với 𝜀1, 𝜀2 → 0 khi Δ𝑥, Δ𝑦 → 0
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 55
Định nghĩa 8. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation
Nếu 𝑓 𝑥, 𝑦 khả vi tại 𝑥0, 𝑦0 thì tuyến tính hóa
(linearization) của 𝑓 tại đó là hàm
𝐿 𝑥, 𝑦
= 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑦 − 𝑦0
Và xấp xỉ 𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝐿 𝑥, 𝑦 được gọi là xấp xỉ tuyến tính
(linear approximation) của 𝑓 tại 𝑥0, 𝑦0 .
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 56
• Nếu 𝑓 có các ĐHR cấp một và cấp hai liên tục trên 
một hình chữ nhật mở 𝑅 có tâm tại 𝑥0, 𝑦0 ,
• và gọi 𝑀 là một chận trên của 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑦𝑦 trên 
𝑅 thì sai số 𝐸 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 𝑥, 𝑦 thỏa
𝐸 𝑥, 𝑦 ≤
1
2
𝑀 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦 − 𝑦0
2
Ví dụ 11. Xấp xỉ tuyến tính 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥𝑦 +
1
2
𝑦2 +
3 tại 3,2 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị 𝑓 3.1,2.1 và 
đánh giá sai số của xấp xỉ này.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 57
Vi phân – differential
• Trong xấp xỉ nói trên
Δ𝑓 ≈ 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 Δ𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 Δ𝑦
Nếu ta thay Δ𝑥 = 𝑑𝑥, Δ𝑦 = 𝑑𝑦 thì vế phải chính là vi 
phân toàn phần của 𝑓 tại 𝑥0, 𝑦0 .
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 58
Định nghĩa 9. Vi phân toàn phần – total differential
Vi phân toàn phần của 𝑓 𝑥, 𝑦 tại 𝑥0, 𝑦0 được định 
nghĩa là
𝑑𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑦
Hay viết gọn
𝑑𝑓 = 𝑓𝑥𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦
• Tương tự cho hàm nhiều biến hơn.
• XXTT của 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 tại 𝑃0 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 là
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≈ 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝑧
= 𝑓 𝑃0 + 𝑓𝑥 𝑃0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑃0 𝑦 − 𝑦0 + 𝑓𝑧 𝑃0 𝑧 − 𝑧0
• Sai số 𝐸 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa
𝐸 ≤
1
2
𝑀 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦 − 𝑦0 + 𝑧 − 𝑧0
2
• Vi phân toàn phần của hàm ba biến là
𝑑𝑓 = 𝑓𝑥𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦 + 𝑓𝑧𝑑𝑧
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 59
Ví dụ 12.
a) Cho hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑒2𝑦
- Tính 𝑑𝑓 2,0 .
- Xấp xỉ tuyến tính cho 𝑓 tại 2,0 . Dùng nó tính xấp xỉ 
giá trị 𝑓 1.94, −0.09 và đánh giá sai số của xấp xỉ này.
b) Cho hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 3 sin 𝑧
- Tính 𝑑𝑓 2,1,0 .
- Xấp xỉ tuyến tính cho 𝑓 tại 2,1,0 . Dùng nó tính xấp xỉ 
giá trị 𝑓 2.01,0.98,0.01 và đánh giá sai số của xấp xỉ 
này.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 60
5. CỰC TRỊ
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 61
Định nghĩa 10. Cực trị địa phương – Local extremum
Cho 𝑓 𝑥, 𝑦 là hàm số xác định trên 𝑅 chứa điểm 𝑎, 𝑏 .
Điểm 𝑎, 𝑏 được gọi là một điểm cực đại địa phương
(local maximum) của 𝑓 nếu tồn tại đĩa tròn mở 𝐵 có tâm 
tại 𝑎, 𝑏 sao cho
𝑓 𝑎, 𝑏 ≥ 𝑓 𝑥, 𝑦 , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 ∩ 𝑅
Điểm 𝑎, 𝑏 được gọi là một điểm cực tiểu địa phương
(local minimum) của 𝑓 nếu tồn tại đĩa tròn mở 𝐵 có tâm 
tại 𝑎, 𝑏 sao cho
𝑓 𝑎, 𝑏 ≤ 𝑓 𝑥, 𝑦 , ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 ∩ 𝑅
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 62
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 63
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 64
• Nếu 𝑓 đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại 
𝑎, 𝑏 thì ta nói 𝑎, 𝑏 là một điểm cực trị (địa 
phương) của 𝑓.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 65
Định lý 9. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 1.
Nếu 𝑓 𝑥, 𝑦 đạt cực trị tại điểm trong 𝑎, 𝑏 của miền 
xác định và nếu các đạo hàm riêng của 𝑓 tại đó đều tồn 
tại thì khi đó
𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 = 0
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 66
• Điểm trong của miền xác định, mà tại đó 𝑓𝑥 và 𝑓𝑦 đều 
bằng 0 hoặc ít nhất một trong chúng không tồn tại, 
thì ta nói điểm đó là điểm tới hạn (critical point).
• Định lý 8 nói rằng một điểm là cực trị (địa phương) thì 
bắt buộc phải là điểm tới hạn hoặc điểm biên.
• Tuy nhiên không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị.
• Điểm tới hạn 𝑎, 𝑏 của hàm số khả vi 𝑓 được nói là 
điểm yên ngựa (saddle point) nếu nó không phải là 
cực trị.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 67
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 68
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 69
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 70
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 71
Định lý 10. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 2.
Cho 𝑓 𝑥, 𝑦 là hàm số có đạo hàm riêng cấp 1 và 2 liên 
tục trên đĩa tròn tâm 𝑎, 𝑏 . Giả sử 𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 =
𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 = 0 (tức là 𝑎, 𝑏 là điểm tới hạn), khi đó đặt
Δ = Δ 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 𝑓𝑦𝑦 𝑎, 𝑏 − 𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏
2
ta sẽ có các kết luận sau
a) Nếu Δ > 0 và 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 > 0 thì 𝑎, 𝑏 là cực tiểu.
b) Nếu Δ > 0 và 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 < 0 thì 𝑎, 𝑏 là cực đại.
c) Nếu Δ < 0 thì 𝑎, 𝑏 là điểm yên ngựa.
Ví dụ 13. Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau.
1. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 4.
2. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2 − 2𝑦3 − 3𝑥2 + 6𝑥𝑦.
3. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 .
4. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 +
1
𝑥
+
1
𝑦
.
5. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 1.
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 72
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 73
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 74
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 75
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 76
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 77