Bài giảng Toán A1 - Chương 3: Tích phân - Huỳnh Văn Kha

Chương 3
TÍCH PHÂN
Huỳnh Văn Kha
Khoa Toán – Thống Kê
Toán A1 - MS: 501001
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 51
Nội dung
1 Tích phân
Bài toán tính diện tích – Định nghĩa tích phân
Định lý cơ bản của vi tích phân
Nguyên hàm
Đổi biến và tích phân từng phần – Tính tích phân
2 Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng loại I
Tích phân suy rộng loại II
Các tiêu chuẩn hội tụ
3 Ứng dụng của tích phân
Tính diện tích, thể tích vật thể tròn xoay, độ dài
đường cong
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 51
Bài toán tìm diện tích
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 2 / 51
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 3 / 51
Thay vì lấy giá trị của f tại các đầu mút xi như trên, ta
có thể chọn tại điểm bất kỳ x∗i ∈ [xi−1, xi ].
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 4 / 51
Định nghĩa tích phân
Định nghĩa tích phân
Cho f là hàm xác định trên [a, b], ta chia [a, b] thành n
khoảng con với độ rộng ∆x = (b − a)/n. Gọi
x0(= a) < x1 < x2 < · · · < xn(= b) là các đầu mút của
của các khoảng con đó. Trên mỗi khoảng con ta lấy
x∗i ∈ [xi−1, xi ]. Thì tích phân (xác định) của f từ a tới b
được định nghĩa là:∫ b
a
f (x)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i )∆x
nếu nó tồn tại.
Nếu tích phân của f tồn tại, ta nói f khả tích.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 5 / 51
Ký hiệu dx chỉ nói lên rằng x là biến độc lập. Bản thân
dx trong ký hiệu tích phân không mang nghĩa gì cả. Cho
nên:
∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
f (u)du =
∫ b
a
f (t)dt = . . .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 6 / 51
Các tính chất của tích phân∫ b
a
kdx = k(b − a) với c là hằng số.∫ a
b
f (x)dx = −
∫ b
a
f (x)dx ;
∫ a
a
f (x)dx = 0
Cho f , g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó:
1.
∫ b
a
[f (x) + kg(x)]dx =
∫ b
a
f (x)dx + k
∫ b
a
g(x)dx
2. Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng
[a, c] và [c , b]. Và khi đó:∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 7 / 51
3. Nếu f (x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b] thì
∫ b
a
f (x)dx ≥ 0.
Suy ra nếu f (x) ≥ g(x),∀x ∈ [a, b] thì∫ b
a
f (x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx
4. Hàm |f | khả tích và
∫ b
a
|f (x)|dx ≥
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f (x)dx
∣∣∣∣∣
Định lý
Nếu f liên tục trên [a, b] hoặc chỉ gián đoạn (loại 1) tại
một số hữu hạn các điểm, thì f khả tích trên [a, b]
Như vậy các hàm sơ cấp đều khả tích.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 8 / 51
Định lý cơ bản của vi tích phân
Định lý cơ bản của vi tích phân 1
Cho f liên tục trên [a, b], đặt: F (x) =
∫ x
a
f (t)dt
(a ≤ x ≤ b). Thì F liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b)
và F ′(x) = f (x).
Ví dụ: Tính đạo hàm của
1. F (x) =
∫ x
0
√
1 + t2dt.
2. F (x) =
∫ x4
1
dt
2 + cos(et)
.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 9 / 51
Định lý cơ bản của vi tích phân 2
(Công thức Newton - Leibnitz)
Cho f liên tục trên [a, b], thì:∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Trong đó F là một nguyên hàm bất kỳ của f , nghĩa là
F ′(x) = f (x).
Ví dụ:
Tính
∫ pi/4
0
sin x dx .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 10 / 51
Nguyên hàm
F được gọi là nguyên hàm của f nếu F ′ = f .
Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân khẳng
định sự tồn tại nguyên hàm của các hàm liên tục.
Nếu F là một nguyên hàm của f thì khi đó mọi
nguyên hàm G của f đều có dạng G (x) = F (x) +C .
Tập các nguyên hàm của f được ký hiệu là:∫
f (x)dx
Nguyên hàm còn được gọi là tích phân bất định.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 11 / 51
Bảng một số nguyên hàm
1.
∫
xa dx =
xa+1
a + 1
+ C , với a 6= −1
2.
∫
dx
x
= ln |x |+ C
3.
∫
ex dx = ex + C
4.
∫
ax dx =
ax
ln a
+ C
5.
∫
sin x dx = − cos x + C
6.
∫
cos x dx = sin x + C
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 12 / 51
7.
∫
dx
cos2 x
= tan x + C
8.
∫
dx
sin2 x
= − cot x + C
9.
∫
dx√
1− x2 = arcsin x + C
10.
∫
dx√
a2 − x2 = arcsin
(x
a
)
+ C , a > 0
11.
∫
dx
1 + x2
= arctan x + C
12.
∫
dx
a2 + x2
=
1
a
arctan
(x
a
)
+ C , a > 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 13 / 51
Đổi biến
Quy tắc đổi biến cho tích phân bất định
Cho u = g(x) là hàm khả vi, miền giá trị của nó là I , và
f liên tục trên I . Khi đó:∫
f (g(x))g ′(x)dx =
∫
f (u)du.
Nhờ công thức này mà người ta xem dx như là vi phân.
Ví dụ: Tính
1.
∫
x3 cos(x4 + 2) dx
2.
∫
x5
√
1 + x2 dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 14 / 51
Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định
Giả sử g ′ là hàm liên tục trên [a, b] và f liên tục trên
miền xác định của u = g(x). Khi đó:∫ b
a
f (g(x))g ′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f (u)du.
Ví dụ: Tính
3.
∫ 2
1
dx
(3− 5x)2
4.
∫ e
1
ln x
x
dx
5.
∫ pi/3
0
etan x
cos2 x
dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 15 / 51
Giả sử f liên tục trên [−a, a], ta có:
1. Nếu f chẵn (nghĩa là f (−x) = f (x)) thì∫ a
−a
f (x)dx = 2
∫ a
0
f (x)dx
2. Nếu f lẻ (nghĩa là f (−x) = −f (x)) thì∫ a
−a
f (x)dx = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 16 / 51
Tích phân từng phần
Từ công thức đạo hàm một tích, ta có công thức sau.∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−
∫
g(x)f ′(x)dx
hay
∫
udv = uv −
∫
vdu
Ví dụ: Tính
1.
∫
(2x − 1) cos(3x) dx
2.
∫
ln x dx
3.
∫
e2x sin(3x) dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 17 / 51
Áp dụng công thức Newton-Leibnitz ta được:∫ b
a
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)|ba −
∫ b
a
g(x)f ′(x)dx
hay
∫ b
a
udv = uv |ba −
∫ b
a
vdu
Ví dụ: Tính
4.
∫ 2
0
arctan
x
2
dx
5.
∫ 1
0
(x2 + 1)e−x dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 18 / 51
Một số ví dụ.
1.
∫
sin5 x cos2 x dx
2.
∫ √
9− x2
x2
dx
3.
∫
dx
x2
√
x2 − 9, với x > 3
4.
∫
dx
x2
√
x2 + 4
5.
∫ 3
2
x3 + x
x − 1 dx
6.
∫
x + 5
x2 + x − 2 dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 19 / 51
7.
∫
4x2 − 3x + 2
4x2 − 4x + 3 dx
8.
∫
e2x
e2x + 3ex + 2
dx
9.
∫
x + arcsin x√
1− x2 dx
10.
∫ pi
0
ecos t sin(2t) dt
Chú ý: Không phải hàm số nào cũng có nguyên hàm là
các hàm sơ cấp. Nói cách khác, không phải mọi nguyên
hàm đều tính được. Ví dụ như các nguyên hàm sau là
“không tính được”:
∫
ex
2
dx ,
∫
ex
x
dx ,
∫
sin x
x
dx , . . .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 20 / 51
Tích phân suy rộng loại I
1. Nếu
∫ t
a f (x) dx tồn tại với mọi t ≥ a thì:∫ +∞
a
f (x) dx = lim
t→+∞
∫ t
a
f (x) dx
miễn là nó tồn tại (hữu hạn).
2. Nếu
∫ b
t f (x) dx tồn tại với mọi t ≤ b thì:∫ b
−∞
f (x) dx = lim
t→−∞
∫ b
t
f (x) dx
miễn là nó tồn tại (hữu hạn).
Các tích phân suy rộng
∫ +∞
a f (x) dx ,
∫ b
−∞ f (x) dx được
gọi là hội tụ nếu giới hạn nói trên tồn tại và hữu hạn.
Ngược lại, ta nói nó phân kỳ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 21 / 51
3. Nếu các tích phân
∫ +∞
a f (x) dx ,
∫ a
−∞ f (x) dx đều
hội tụ, ta định nghĩa:∫ +∞
−∞
f (x) dx =
∫ a
−∞
f (x) dx +
∫ +∞
a
f (x) dx .
Chú ý: số a trong định nghĩa trên có thể lấy tùy ý.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 22 / 51
Ví dụ: 1. Tính
∫ +∞
1
1
x2
dx .
2. Tính
∫ +∞
1
1
x
dx .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 23 / 51
3. Tính
∫ 0
−∞
xex dx
4. Tính
∫ +∞
0
2x + 1
e3x
dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 24 / 51
5. Tính
∫ ∞
1
ln x
x3
dx
6. Tính
∫ +∞
−∞
ex
1 + 2e2x
dx
7. Tính
∫ 0
−∞
dx
x2 + x + 1
8. Với giá trị nào của p thì tích phân sau hội tụ?∫ +∞
1
1
xp
dx
∫ +∞
1
1
xp
dx hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ nếu p ≤ 1.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 25 / 51
Tích phân suy rộng loại II
1. Nếu f liên tục trên [a, b) và limx→b f (x) = ±∞ thì:∫ b
a
f (x) dx = lim
t→b−
∫ t
a
f (x) dx
miễn là nó tồn tại (hữu hạn).
2. Nếu f liên tục trên (a, b] và limx→a f (x) = ±∞ thì:∫ b
a
f (x) dx = lim
t→a+
∫ b
t
f (x) dx
miễn là nó tồn tại (hữu hạn).
Các tích phân suy rộng nói trên được gọi là hội tụ nếu
giới hạn tồn tại và hữu hạn.
Ngược lại, ta nói nó phân kỳ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 26 / 51
Ví dụ: 1. Tính
∫ 5
2
1√
x − 2 dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 27 / 51
2. Tính
∫ pi/2
0
dx
cos x
3. Tính
∫ 1
0
ln x dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 28 / 51
3. Nếu limx→c f (x) = ±∞, với a < c < b, và cả hai
tích phân
∫ c
a f (x) dx ,
∫ b
c f (x) dx đều hội tụ, ta định
nghĩa:∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 29 / 51
Ví dụ:
4. Tính
∫ 3
0
dx
x − 1
5. Với giá trị nào của p thì tích phân sau hội tụ?∫ 1
0
1
xp
dx
∫ 1
0
1
xp
dx hội tụ nếu p < 1 và phân kỳ nếu p ≥ 1.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 30 / 51
Các tiêu chuẩn hội tụ
Tiêu chuẩn trị tuyệt đối
1. Cho f khả tích trên mọi khoảng [a, x ], x > a. Nếu∫ +∞
a
|f (x)|dx hội tụ thì
∫ +∞
a
f (x)dx hội tụ.
2. Cho f khả tích trên mọi khoảng [a, x ], x ∈ (a, b).
Nếu
∫ b
a
|f (x)|dx hội tụ thì
∫ b
a
f (x)dx hội tụ.
Tương tự cho dạng khác.
Chú ý, chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn∫ +∞
1
sin x
x
dx hội tụ, nhưng
∫ +∞
1
∣∣∣∣sin xx
∣∣∣∣ dx không hội tụ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 31 / 51
Tiêu chuẩn so sánh 1
Cho f , g là các hàm số dương thỏa f (x) ≤ g(x).
1. Nếu
∫ +∞
a
g(x)dx hội tụ thì
∫ +∞
a
f (x)dx hội tụ.
Nếu
∫ +∞
a
f (x)dx phân kỳ thì
∫ +∞
a
g(x)dx phân
kỳ.
2. Nếu
∫ b
a
g(x)dx hội tụ thì
∫ b
a
f (x)dx hội tụ.
Nếu
∫ b
a
f (x)dx phân kỳ thì
∫ b
a
g(x)dx phân kỳ.
Tương tự cho các dạng tích phân còn lại.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 32 / 51
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau.
1.
∫ +∞
1
e−x
2
dx
2.
∫ +∞
1
sin(x
√
x)
x
√
x + 1
dx
3.
∫ 1
0
1√
x + sin2 x
dx
4.
∫ pi/2
0
1
x sin x
dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 33 / 51
Tiêu chuẩn so sánh 2
Cho f , g là các hàm số dương.
1. Nếu lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= α ∈ (0,+∞), thì
∫ +∞
a
f (x)dx
và
∫ +∞
a
g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
2. Nếu lim
x→b
f (x)
g(x)
= α ∈ (0,+∞), thì
∫ b
a
f (x)dx và∫ b
a
g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Tương tự cho các dạng tích phân còn lại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 34 / 51
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau.
1.
∫ +∞
1
x2 + ln x
x5 + 3x2 + 3
dx
2.
∫ +∞
1
x3 − 1
x4 +
√
x + 2
dx
3.
∫ 1
0
1
3
√
(1− x)2(2 + x)dx
4.
∫ 1
0
sin x
x
√
x
dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 35 / 51
Diện tích hình phẳng
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 36 / 51
A = lim
n→+∞
n∑
i=1
[f (x∗i )− g(x∗i )]∆x .
Như vậy:
Diện tích của miền giới hạn bởi các đường cong
y = f (x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b,
trong đó f , g là các hàm liên tục, f (x) ≥ g(x),
∀x ∈ [a, b], là:
A =
∫ b
a
[f (x)− g(x)] dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 37 / 51
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
parabol y = x2 và y = 2x − x2.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 38 / 51
Tổng quát, diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x),
y = g(x) và nằm giữa x = a, x = b là:
A =
∫ b
a
|f (x)− g(x)| dx
Ví dụ: Tính diện tích giới hạn bởi y = sin x , y = cos x
và x = 0, x = pi/2.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 39 / 51
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f (y), x = g(y),
nằm giữa y = c, y = d , với f , g liên tục, f (y) ≥ g(y) là:
A =
∫ d
c
[f (y)− g(y)] dx
Ví dụ: Tính dt gh bởi y = x − 1 và y 2 = 2x + 6.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 40 / 51
Thể tích vật thể
Dùng mp Px (vuông góc với Ox tại x) cắt vật thể S . Giả
sử diện tích tiết diện là A(x).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 41 / 51
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 42 / 51
Cho S là khối nằm giữa x = a, x = b. Nếu diện tích của
tiết diện của S với mp Px (vuông góc trục Ox tại x) là
A(x), với A(x) là hàm liên tục, thì thể tích của S là:
V = lim
n→∞
n∑
i=1
A(x∗i )∆x =
∫ b
a
A(x) dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 43 / 51
Ví dụ: 1. Tính thể tích khối sinh ra do quay quanh Ox
hình phẳng giới hạn bởi y =
√
x , y = 0 và x = 1.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 44 / 51
Ví dụ: 2. Tính thể tích khối sinh ra do quay quanh Oy
hình phẳng giới hạn bởi y = x3, x = 0 và y = 8.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 45 / 51
Thể tích của khối thu được bằng cách quay quanh Oy
miền phẳng nằm dưới đường cong y = f (x) với x từ a
đến b là:
V =
∫ b
a
2pixf (x) dx, với 0 ≤ a < b.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 46 / 51
Ví dụ: Tính thể tích của khối thu được bằng cách quay
quanh Oy miền giới hạn bởi y = 2x2 − x3 và y = 0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 47 / 51
Độ dài đường cong
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 48 / 51
Nếu f ′ liên tục trên [a, b] thì độ dài đường cong
y = f (x), a ≤ x ≤ b là:
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx
Ví dụ: 1. Tính đd đc y 2 = x3 từ (1, 1) đến (4, 8).
Ví dụ: 2. Tính đd đc y 2 = x từ (0, 0) đến (1, 1).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 49 / 51
Cho đường cong cho bởi ptts
{
x = x(t)
y = y(t)
, t ∈ [a, b],
trong đó x(t), y(t) là các hàm liên tục trên [a, b]. Độ
dài của nó là:
L =
∫ b
a
√
[x ′(t)]2 + [y ′(t)]2 dt
Ví dụ: Tính độ dài đường cycloid
{
x = r(t − sin t)
y = r(1− cos t) ,
t ∈ [0, 2pi], r là tham số.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 50 / 51
HẾT
Chương 3
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Tích phân Toán A1 - MS: 501001 51 / 51