Bài giảng Vật lý II - Chương 8: Cơ học lượng tử - Ngô Văn Thanh

TS. Ngụ Văn Thanh,
Viện Vật lý.
Chuyờn ngành : Điện tử - Viễn thụng , Cụng nghệ thụng tin, 
Điện - Điện tử
Chương 8: Cơ học lượng tử.
8.1 Lưỡng tớnh súng-hạt của cỏc vi hạt.
8.2 Hệ thức bất định Heisenberg.
8.3 Hàm súng và ý nghĩa thống kờ.
8.4 Phương trỡnh Schrửdinger và ứng dụng.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
• Cơ học Newton – 3 định luật cơ học.
• Khụng gian và thời gian là tuyệt đối.
• Khối lượng là bất biến.
• Vận tốc truyền tương tỏc là vụ hạn.
• Áp dụng cho thế giới vĩ mụ chuyển động với 
vận tốc bộ .
Cơ học cổ điển
• Nguyờn lý tương đối của Galilean.
• Lý thuyết tương đối của Einstein.
• Khụng gian và thời gian cú tớnh tương đối.
• Khối lượng của vật phụ thuộc vào vận tốc.
• Áp dụng cho thế giới vĩ mụ chuyển động với 
vận tốc lớn.
Cơ học lý thuyết
• Cỏc vi hạt mang lưỡng tớnh súng-hạt (giả 
thuyết của de Broglie).
• Hệ thức bất định Heisenberg.
• Chuyển động của hạt được mụ tả bởi hàm 
súng (phương trỡnh Schrửdinger).
• Áp dụng cho thế giới vi mụ.
Cơ học lượng tử
8.1 Lưỡng tớnh súng-hạt của cỏc vi hạt.
Cỏc giai đoạn lịch sử:
 1900: Trong quỏ trỡnh nghiờn cứu về bức xạ của vật đen
 M. Planck đưa ra giả thiết về tớnh giỏn đoạn của năng lượng bức xạ điện từ. 
 Năng lượng bức xạ điện từ bằng bội số nguyờn của vi lượng 
 1905: A. Einstein đề xuất tớnh chất hạt của ỏnh sỏng, hạt photon.
 Giải thớch được hiệu ứng quang điện.
 1923: Hiệu ứng Compton đó kiểm chứng lý thuyết hạt của ỏnh sỏng.
 1913: N. Bohr cho rằng, năng lượng của nguyờn tử của cỏc vật liệu cũng giỏn 
đoạn và được gọi là cỏc mức năng lượng.
 1914: Franck và Hertz đó kiểm chứng giả thiết của Bohr bằng thực nghiệm.
 1923: L. de Broglie đưa ra giả thiết về lưỡng tớnh súng-hạt của cỏc vi hạt như
cỏc electron, proton
 1927: Davisson và Germer quan sỏt bằng thực nghiệm thấy hiện tượng
nhiễu xạ của chựm tia điện tử trờn tinh thể. 
 1925: Heisenberg đưa ra hệ thức bất định.
 1926: Schrửdinger đưa ra phương trỡnh chuyển động của vi hạt.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Giả thiết của L. de Broglie (1923):
 Đưa ra giả thiết về lưỡng tớnh súng hạt của electron và cỏc vi hạt núi chung.
 Một vi hạt tự do cú năng lượng xỏc định, động lượng xỏc định tương ứng 
với một súng phẳng đơn sắc xỏc định.
 Năng lượng của vi hạt liờn hệ với tần số dao động của súng tương ứng theo 
cỏc hệ thức:
 Động lượng của vi hạt liờn hệ với bước súng của súng hạt tương ứng theo 
hệ thức:
Bước súng  được gọi là bước súng de Broglie.
gọi là vector truyền (súng).
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Xột một hạt cú khối lượng m, theo thuyết tương đối của Einstein:
 sử dụng suy ra
 Mặt khỏc: 
Với E là động năng của hạt khụng tương đối.
 Cuối cựng: 
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Thớ nghiệm nhiễu xạ súng hạt electron:
(Davisson và Germer -1927)
 Cực đại nhiễu xạ:
 Giả sử điện tử được tăng tốc bởi điện thế U,
suy ra năng lượng của điện tử là eU.
 Sử dụng biểu thức:
 Ta cú: 
 Biểu thức này đó được kiểm chứng bằng
thực nghiệm.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Thớ nghiệm nhiễu xạ súng hạt electron:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Thớ nghiệm tỏn xạ tia X trờn tinh thể:
(Tartakowski và Thomson)
 Cực đại nhiễu xạ - điều kiện Wulf-Bragg:
 Bỏn kớnh của võn giao thoa trờn màn ảnh:
suy ra:
 Sử dụng biểu thức:
 Cuối cựng ta cú: 
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Thớ nghiệm nhiễu xạ tia X trờn tinh thể:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
8.2 Hệ thức bất định Heisenberg.
Hệ thức bất định đối với tọa độ:
 Vị trớ và động lượng của hạt khụng được xỏc định đồng thời. Nếu vị trớ của 
hạt càng xỏc định thỡ động lượng của hạt càng bất định.
 Xột hiện tượng nhiễu xạ của chựm vi hạt qua một khe hẹp
 Bề rộng khe hẹp bằng b, gúc nhiễu xạ của hạt là .
 Vị trớ x của hạt trong khe hẹp x  (0, b).
 Hỡnh chiếu động lượng của hạt theo phương x:
 Điều kiện cực tiểu nhiễu xạ: 
suy ra: 
 mặt khỏc: 
 Cuối cựng ta cú: 
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Khỏi niệm quỹ đạo:
 Xột trường hợp trong nguyờn tử, electron chuyển động trong phạm vi 10Ao.
 Độ bất định về tọa độ của electron:
 Độ bất định về vận tốc:
 Độ bất định về vận tốc của electron là rất lớn, tức là :
 electron khụng cú vận tốc xỏc định.
 Trong nguyờn tử, electron khụng chuyển động theo một quỹ đạo xỏc định.
 Trong thế giới vi mụ, khụng cú khỏi niệm về quỹ đạo.
 Hệ thức bất định Heisenberg chỉ ỏp dụng cho thế giới vi mụ khi mà tọa độ và 
động lượng của hạt khụng được xỏc định đồng thời.
 Hai đại lượng khụng được xỏc định đồng thời trong thế giới vi mụ lại được xỏc 
định đồng thời trong thế giới vĩ mụ. 
 Vớ dụ, xột hạt vĩ mụ cú khối lượng m = 10-15 kg, x =10-8m.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Hệ thức bất định đối với năng lượng:
 Năng lượng của hệ ở trạng thỏi nào đú càng bất định thỡ thời gian để hệ 
tồn tại ở trạng thỏi đú càng ngắn và ngược lại.
 Trạng thỏi bền của một hệ là trạng thỏi mà hệ vẫn tồn tại ở trạng thỏi đú 
trong một khoảng thời gian dài. Ngược lại là trạng thỏi khụng bền.
 Trạng thỏi cú năng lượng bất định là trạng thỏi khụng bền, vỡ thời gian để 
hệ vẫn tồn tại ở trạng thỏi này là xỏc định.
 Ngược lại, trạng thỏi cú năng lượng xỏc định là trạng thỏi bền.
Kết luận:
 Trong cơ học lượng tử, khụng chỉ cú cỏc cặp đại lượng khụng được xỏc định 
đồng thời như "tọa độ" – "động lượng", "năng lượng" – "thời gian" mà cũn cú 
nhiều đại lượng khỏc cũng khụng xỏc định được một cỏch đồng thời.
 Khụng cú khỏi niệm quỹ đạo chuyển động của hạt vi mụ, vị trớ của hạt khụng 
thể xỏc định một cỏch chớnh xỏc, mà chỉ cú thể đoỏn nhận vị trớ của hạt với 
một xỏc suất nào đú.
 Quy luật chuyển động của vi hạt tuõn theo cỏc quy luật thống kờ.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
8.3 Hàm súng và ý nghĩa thống kờ.
Hàm súng:
 Cỏc vi hạt trong thế giới vi mụ mang tớnh chất súng (lưỡng tớnh súng hạt).
 Trạng thỏi hay tớnh chất súng của vi hạt được mụ tả dưới dạng hàm số theo 
tọa độ và thời gian, hàm số đú được gọi là hàm súng.
 Theo giả thiết của de Broglie, chuyển động của hạt tự do được mụ tả bởi hàm 
súng cú dạng tương tự như súng phẳng đơn sắc của ỏnh sỏng.
 Hàm súng de Broglie
trong đú
 là biờn độ của hàm súng được xỏc định bởi biểu thức
là liờn hợp phức của 
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
í nghĩa thống kờ của hàm súng:
 Mật độ xỏc suất – xỏc suất tỡm thấy hạt trong một đơn vị thể tớch:
 Xỏc xuất tỡm thấy hạt trong thể tớch dV nào đú:
 Xỏc xuất tỡm thấy hạt trong toàn khụng gian:
 Biểu thức này được gọi là điều kiện chuẩn húa của hàm súng.
 Hàm súng trong cơ học lượng tử mang tớnh chất thụng kờ, nú được sử dụng 
để tớnh xỏc suất tỡm thấy hạt tại một trạng thỏi nào đú mà nú khụng mụ tả 
một súng thực như súng cơ, súng điện từ trong vật lý cổ điển.
 Cỏc quy luật thống kờ trong cơ học lượng tử khụng chỉ ỏp dụng cho hệ nhiều 
hạt giống như trong vật lý phõn tử, mà nú cũn được ỏp dụng cho từng hạt 
riờng lẻ.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Điều kiện của hàm súng:
 Hàm súng phải giới nội.
 Suy ra từ điều kiện chuẩn húa của hàm súng, tớch phõn phải giới nội.
 Hàm súng phải đơn trị.
 Mỗi một trạng thỏi của hệ chỉ được đặc trưng bởi một giỏ trị xỏc suất tỡm 
thấy hạt duy nhất.
 Hàm súng phải liờn tục.
 Xỏc suất tỡm thấy hạt phải liờn tục.
 Đạo hàm bậc nhất của hàm súng cũng phải liờn tục.
 Hàm súng thỏa món phương trỡnh Schrửdinger.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Sự liờn hệ giữa súng de Broglie và chuyển động hạt.
 Vận tốc pha của súng:
 Vận tốc pha khụng phải là vận tốc truyền hạt hay vận tốc truyền năng lượng.
 Chuyển động của cỏc hạt trong cơ học lượng tử khụng thể mụ tả bởi cỏc súng 
đơn sắc riờng biệt, mà nú ứng với một tập hợp súng cú tần số khỏc nhau. Tập 
hợp súng đú được gọi là bú súng.
 Vận tốc nhúm của bú súng: vận tốc chuyển động của toàn bộ bú súng.
Túm lại: chuyển động của vi hạt cú thể được mụ tả bởi chuyển động của cả 
bú súng.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
8.4 Phương trỡnh Schrửdinger và ứng dụng.
Phương trỡnh Schrửdinger.
 Hàm súng de Broglie mụ tả chuyển động của hạt tự do.
 Trường hợp vi hạt chuyển động trong trường thế ngoài 
 Trong đú thành phần chỉ phụ thuộc vào tọa độ khụng gian thỏa món phương 
trỡnh – phương trỡnh Schrửdinger:
 Phương trỡnh Schrửdinger là phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh, tổ hợp tuyến 
tớnh của cỏc nghiệm cũng là nghiệm của nú.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Trường hợp vi hạt chuyển động tự do.
 Xột hàm súng cú dạng
 Trong đú
 Áp dụng toỏn tử Nabla
suy ra
 Mặt khỏc cuối cựng ta cú
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
Ứng dụng.
 Hạt trong giếng thế:
 Xột chuyển động của hạt theo phương x, hạt chuyển động
tự do trong giếng thế và khụng thể vượt ra ngoài.
 Xột phương trỡnh Schrửdinger cho hạt chuyển động
trong thế năng:
 Nghiệm tổng quỏt:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Xột điều kiện biờn:
 Thay vào biểu thức cho phương trỡnh nghiệm 
ta cú:
 Vỡ B = 0 nờn A phải khỏc 0, suy ra
 Từ điều kiện chuẩn húa hàm súng:
ta tớnh được hệ số chuẩn húa 
 Cuối cựng:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Vỡ
 Suy ra năng lượng của hạt 
 Hạt cú nhiều trạng thỏi khỏc nhau, mỗi một trạng thỏi
ứng với một hàm súng.
 Năng lượng của hạt trong giếng thế là giỏn đoạn, tức là năng lượng bị 
lượng tử húa.
 Khoảng cỏch giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Mật độ xỏc suất tỡm thấy hạt trong giếng thế
 Với n = 1 : xỏc suất tỡm thấy hạt tại 
là lớn nhất.
 Với n = 2 : xỏc suất tỡm thấy hạt tại 
và là lớn nhất.
 Xột trường hợp tổng quỏt, hạt trong giếng thế 3 chiều
hỡnh hộp lập phương với cỏc cạnh là a1, a2, a3
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Nghiệm của phương trỡnh:
 Từ điều kiện biờn:
 suy ra
 Năng lượng của hạt:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Hiệu ứng đường ngầm:
 Xột chuyển động của hạt theo phương x, từ trỏi sang phải.
 Năng lượng của hạt: 
Theo quan điểm cơ học cổ điển thỡ hạt 
khụng thể vượt qua rào thế.
Theo quan điểm của cơ học lượng tử thỡ 
hạt vẫn cú thể xuyờn qua hàng rào thế năng. 
Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng chui ngầm.
 Xột rào thế cú dạng hỡnh chữ nhật:
miền I
miền II
miền III
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Phương trỡnh Schrửdinger cho từng miền của rào thế:
Miền I:
Miền II:
Miền III:
 Nghiệm của cỏc phương trỡnh này:
: đặc trưng súng tới.
: đặc trưng súng phản xạ trờn bờ x = 0.
: đặc trưng súng truyền qua rào thế.
: đặc trưng súng phản xạ từ vụ cực.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Cỏc hệ số A1, B1, A3 và B3 = 0 được gọi là biờn độ súng.
 Hệ số truyền qua rào thế:
 Theo điều kiện liờn tục của hàm súng tại x = 0 và x = a
 Tại x = 0 :
 Tại x = a :
 Theo điều kiện liờn tục của đạo hàm bậc nhất hàm súng tại x = 0 và x = a
 Tại x = 0 :
 Tại x = a :
 Giả thiết độ cao của hàng rào thế rất lớn hoặc bề rộng của rào thế 
rất lớn
hoặc
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
8.1 Lưỡng tớnh súng-hạt của cỏc vi hạt.
 Giả thiết của de Broglie về lưỡng tớnh súng hạt của electron và cỏc vi hạt núi 
chung
 Năng lượng của vi hạt liờn hệ với tần số dao động của súng 
 Động lượng của vi hạt liờn hệ với bước súng của súng hạt - bước súng de 
Broglie.
 Vector truyền - số súng
 Động năng của hạt khụng tương đối liờn hệ với bước súng 
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
8.2 Hệ thức bất định Heisenberg.
Hệ thức bất định đối với tọa độ
 Vị trớ và động lượng của hạt khụng được xỏc định đồng thời. Nếu vị trớ của 
hạt càng xỏc định thỡ động lượng của hạt càng bất định.
 Trong thế giới vi mụ, khụng cú khỏi niệm về quỹ đạo.
 Hệ thức bất định Heisenberg chỉ ỏp dụng cho thế giới vi mụ khi mà tọa độ và 
động lượng của hạt khụng được xỏc định đồng thời.
Hệ thức bất định đối với năng lượng:
 Năng lượng của hệ ở trạng thỏi nào đú càng bất định thỡ thời gian để hệ tồn 
tại ở trạng thỏi đú càng ngắn và ngược lại.
 Trạng thỏi bền của một hệ là trạng thỏi mà hệ vẫn tồn tại ở trạng thỏi đú 
trong một khoảng thời gian dài. Ngược lại là trạng thỏi khụng bền.
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
8.3 Hàm súng và ý nghĩa thống kờ.
 Hàm súng de Broglie
 Mật độ xỏc suất – xỏc suất tỡm thấy hạt trong một đơn vị thể tớch
 Điều kiện chuẩn húa của hàm súng
 Hàm súng trong cơ học lượng tử mang tớnh chất thụng kờ.
 Điều kiện của hàm súng:
 Hàm súng phải giới nội và đơn trị.
 Hàm súng và đạo hàm bậc nhất của hàm súng phải liờn tục.
 Vận tốc pha của súng
 Vận tốc nhúm của bú súng:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
8.4 Phương trỡnh Schrửdinger và ứng dụng.
 Hàm súng:
 Phương trỡnh Schrửdinger cho hạt chuyển động trong trường thế năng.
 Phương trỡnh Schrửdinger cho hạt chuyển động tự do
Hạt trong giếng thế, năng lượng là giỏn đoạn
 Khoảng cỏch giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý
 Mật độ xỏc suất tỡm thấy hạt trong giếng thế:
Hiệu ứng đường ngầm:
 Hàm súng:
 Hệ số phản xạ và truyền qua rào thế:
@2009, Ngụ Văn Thanh - Viện Vật Lý