Giáo trình Cơ học - Đoàn Trọng Thứ

än ban 
ñaàu. 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 112 - 
7.2.2 Con laéc vaät lyù 
Con laéc vaät lyù laø moät vaät raén coù theå dao ñoäng quanh moät truïc naèm 
ngang coá ñònh, döôùi taùc duïng cuûa troïng löïc (hình 7.2). 
 O x 
 θ d 
 y G 
 d’ 
 O’ 
 pr 
 z 
 Hình 7.2 
Goïi O laø truïc dao ñoäng cuûa con laéc, G laø khoái taâm cuûa noù, laø troïng 
löôïng con laéc, d laø khoaûng caùch töø khoái taâm ñeán truïc quay O, I laø moâmen quaùn tính 
cuûa con laéc ñoái vôùi truïc quay, 
gmP r
r =
θ laø goùc leäch cuûa con laéc so vôùi phöông thaúng ñöùng. 
Con laéc chòu taùc duïng cuûa hai löïc : troïng löôïng gmP r
r = ñaët taïi troïng taâm G 
vaø phaûn löïc cuûa truïc quay. Moâmen cuûa R
r
R
r
 ñoái vôùi O trieät tieâu (vì R ñi qua O), 
coøn moâmen cuûa troïng löïc ñoái vôùi O laø : – mgdsin
r
r
P θ . 
Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa con laéc laø : 
θ−=θ= sin2
2
mgd
dt
dI 
Neáu dao ñoäng coù bieân ñoä nhoû (θ nhoû) thì ta coù theå thay sin baèng θ θ vaø 
phöông trình chuyeån ñoäng trôû thaønh : 
 I θ−=θ mgd&&
Hay : 0=θ+θ
I
mgd&& 
Phöông trình naøy coù daïng hoaøn toaøn gioáng (7.13), do ñoù coù theå thaáy ngay 
nghieäm cuûa noù coù daïng : 
θ=θ0sin(ωt+ ϕ) 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 113 - 
Trong ñoù taàn soá goùc dao ñoäng : 
I
mgd=ω (7.14) 
θ 0 vaø laø hai haèng soá xaùc ñònh töø ñieàu kieän ban ñaàu. Chu kyø cuûa dao 
ñoäng : 
ϕ
mgd
I22T π=ω
π= (7.15) 
Neáu chu kyø dao ñoäng cuûa con laéc khoâng phuï thuoäc vaøo bieân ñoä thì dao 
ñoäng ñoù ñöôïc goïi laø ñaúng thôøi. Chuùng ta thaáy raèng vôùi goùc leäch θ côõ vaøi ñoä thì dao 
ñoäng cuûa con laéc vaät lyù laø ñaúng thôøi. Döïa treân tính chaát naøy ngöôøi ta coù theå duøng 
con laéc vaät lyù laøm ñoàng hoà. 
Tröôøng hôïp rieâng cuûa con laéc vaät lyù laø con laéc toaùn hoïc hay goïi laø con laéc 
ñôn. Con laéc toaùn hoïc laø con laéc maø toaøn boä khoái löôïng cuûa noù taäp trung taïi moät 
ñieåm – ñoù laø khoái taâm G cuûa con laéc. Trong thöïc teá, con laéc toaùn hoïc laø moät quaû 
caàu nhoû treo ôû ñaàu moät sôïi chæ chieàu daøi l. Trong tröôøng hôïp naøy, ta coù : d = l , I = 
ml2. Coâng thöùc (7.15) trôû thaønh : 
g
T π= 2 , g=ω (7.16) 
l 
l 
So saùnh (7.15) vaø (7.16) ta thaáy con laéc vaät lyù seõ dao ñoäng nhö con laéc toaùn 
hoïc coù chieàu daøi : 
 l
md
I= (7.17) 
l ñöôïc goïi laø chieàu daøi ruùt goïn cuûa con laéc vaät lyù. 
Treân ñöôøng OG (hình 7.2) ta laáy moät ñieåm O’ sao cho OO’ = l laø chieàu daøi 
ruùt goïn cuûa con laéc vaät lyù. Ñieåm O’ ñöôïc goïi laø taâm dao ñoäng cuûa con laéc vaät lyù. Ñoù 
laø ñieåm maø phaûi taäp trung toaøn boä khoái löôïng cuûa con laéc ñeå cho chu kyø dao ñoäng 
cuûa noù khoâng thay ñoåi. 
Theo ñònh lyù Huyghen- Stene ta coù : 
I = IG + md2 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 114 - 
Trong ñoù IG laø moâ men quaùn tính cuûa con laéc ñoái vôùi truïc ñi qua khoái taâm G 
cuûa noù. Thay bieåu thöùc cuûa I vaøo (7.17) ta coù : 
l
md
Id G+= (7.18) 
Töø (7.18) ta coù theå ruùt ra hai heä quaû. Thöù nhaát laø l>d, do ñoù hai ñieåm 0 vaø 
0’ phaûi naèm veà hai phía ñoái vôùi taâm G. Thöù hai coù theå treo con laéc taïi caùc ñieåm 
khaùc nhau maø chu kyø dao ñoäng cuûa con laéc khoâng thay ñoåi mieãn sao caùc ñieåm treo 
naøy phaûi caùch ñeàu khoái taâm G cuûa con laéc. 
Ñieåm treo 0 vaø taâm dao ñoäng 0’ laø caùc ñieåm lieân hôïp theo yù nghóa sau : 
neáu treo con laéc ôû ñieåm 0’ thì chu kyø dao ñoäng cuûa noù vaãn giöõ nguyeân vaø ñieåm treo 
ban ñaàu 0 baây giôø seõ trôû thaønh taâm dao ñoäng. Ñoù laø noäi dung cuûa ñònh lyù Huyghen. 
Ñeå chöùng minh ñònh lyù naøy, ta treo con laéc ôû ñieåm 0’. Goïi khoaûng caùch 
0’G = d’. Khi ñoù ñoä daøi ruùt goïn cuûa con laéc theo (7.18) seõ laø : 
 l’
'
'
md
Id G+= 
Nhöng theo hình veõ ta coù d’= l-d vaø keát hôïp vôùi (7.18) ta suy ra : 
d’ = l
md
Id G=− 
Thay bieåu thöùc naøy vaøo bieåu thöùc l’, ta thu ñöôïc : 
l’ d
md
IG += 
So saùnh vôùi(7.18) ta coù l’=l, nghóa laø chu kyø dao ñoäng cuûa con laéc giöõ 
nguyeân khoâng ñoåi nhö khi treo noù taïi ñieåm 0. 
7.3 Toång hôïp dao ñoäng 
Moät vaät ñoàng thôøi coù theå tham gia vaøo nhieàu dao ñoäng khaùc nhau, chaúng 
haïn moät vaät naëng treo vaøo ba ñieåm coá ñònh baèng ba loø xo oáng seõ coù dao ñoäng ñieàu 
hoaø baèng toång hôïp cuûa ba dao ñoäng do ba loø xo rieâng bieät gaây ra. Vaán ñeà ñaët ra ôû 
ñaây laø dao ñoäng toång hôïp seõ nhö theá naøo neáu bieát caùc dao ñoäng thaønh phaàn. 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 115 - 
7.3.1 Nguyeân lyù choàng chaát 
Ñeå nghieân cöùu söï toång hôïp caùc dao ñoäng, ta bieåu dieãn dao ñoäng baèng moät 
vectô, goác laø chaát ñieåm dao ñoäng, moâñun baèng bieân ñoä cöïc ñaïi cuûa dao ñoäng, 
phöông cuûa vectô laø phöông dao ñoäng vaø chieàu cuûa vectô öùng vôùi bieân ñoä cöïc ñaïi 
döông. Trong tröôøng hôïp caùc dao ñoäng thaønh phaàn laø nhoû ta thöøa nhaän dao ñoäng 
toång hôïp tuaân theo moät nguyeân lyù sau goïi laø nguyeân lyù choàng chaát. 
Neáu moät chaát ñieåm tham gia vaøo nhieàu dao ñoäng bieåu dieãn bôûi caùc vectô 
 thì chaát ñieåm seõ coù moät dao ñoäng toång hôïp bieåu dieãn bôûi moät vectô laø 
toång hình hoïc cuûa caùc vectô treân, nghóa laø : 
n,...,, 21 vvv
rrr
nvvvv
rrrr +++= ...21 (7.19) 
Noùi caùch khaùc vieäc toång hôïp dao ñoäng phaûi thöïc hieän theo nguyeân lyù coäng 
vectô. Pheùp coäng vectô seõ thu veà pheùp coäng ñaïi soá khi caùc vectô 
rv coù cuøng phöông 
hoaëc khi ñaïi löôïng bieán thieân trong dao ñoäng ñieàu hoaø laø moät löôïng voâ höôùng (ví duï 
aùp suaát chaát khí trong dao ñoäng aâm thanh). 
7.3.2 Toång hôïp hai dao ñoäng cuøng phöông vaø cuøng chu kyø 
Ta xeùt tröôøng hôïp hai dao ñoäng v1 vaø v2 coù cuøng phöông vaø cuøng taàn soá 
(hoaëc cuøng chu kyø T), khi ñoù pheùp coäng vectô thu veà pheùp coäng ñaïi soá. 
Giaû söû hai dao ñoäng thaønh phaàn laø : 
x1 = a1cos(ωt-ϕ1) 
x2 = a2cos(ωt-ϕ2) 
Dao ñoäng toång hôïp seõ laø : 
 x = x1 + x2 = a1cos(ωt-ϕ1) + a2cos(ωt-ϕ2) 
 = a1cosωtcosϕ1 + a1sinωtsinϕ1 
 + a2cosωtcosϕ2 + a2sinωtsinϕ2
 = (a1cosϕ1 + a2cosϕ2)cosωt + (a1sinϕ1 + a2sinϕ2)sinωt 
Bieåu thöùc naøy coù daïng : 
x = Acosωt + Bsinωt (7.20) 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 116 - 
Trong ñoù : 
A = a1cosϕ1 + a2cosϕ2 ; B = a1sinϕ1 + a2sinϕ2
Bieåu thöùc (7.20) chöùng toû raèng dao ñoäng toång hôïp cuõng laø moät dao ñoäng 
ñieàu hoaø vôùi taàn soá ω nhö taàn soá dao ñoäng thaønh phaàn, nghóa laø : 
x = acos(ωt-ϕ) 
 Trong ñoù bieân ñoä cöïc ñaïi a vaø goùc leäch pha ban ñaàu ϕ Xaùc ñònh ñöôïc theo 
caùc bieåu thöùc sau : 
a2 = A2 + B2 = (a1cosϕ1 + a2cosϕ2)2 
 + (a1sinϕ1 + a2sinϕ2)2 
21212121
2
2
2
22
21
2
1
22
1
sinsin2coscos2
)sin(cos)sin(cos
ϕϕ+ϕϕ+
ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=
aaaa
aa
 (7.21) )cos(2 1221
2
2
2
1
2 ϕ−ϕ++= aaaaa
Vaø : 
2211
2211
cosacosa
sinasina
A
Btg ϕ+ϕ
ϕ+ϕ==ϕ (7.22) 
Ta cuõng coù theå thu ñöôïc caùc keát quaû treân baèng phöông phaùp ñoà thò (phöông 
phaùp Freânen). 
Ta veõ hai vectô 1OV vaø 2OV coù moâñun baèng a1 vaø a2 vaø laøm vôùi truïc Ox 
nhöõng goùc (ωt-ϕ1) vaø (ωt-ϕ2) (hình 7-3). Hai vectô 1OV vaø 2OV cuøng quay quanh 
O vôùi vaän toác goùc ω, do ñoù goùc giöõa chuùng khoâng thay ñoåi theo thôøi gian. Noùi caùch 
khaùc hình bình haønh OV1VV2 cuõng quay quanh O vôùi vaän toác goùc laø ω coù nghóa laø 
OV cuõng quay quanh O vôùi vaän toác goùc laø ω : dao ñoäng toång hôïp cuõng coù taàn soá ω 
nhö caùc dao ñoäng thaønh phaàn. 
Bieân ñoä cuûa dao ñoäng toång hôïp coù theå tính ñöôïc theo caùc coâng thöùc löôïng 
giaùc aùp duïng cho tam giaùc OV2V : 
)cos(2
)()cos[(2
),cos(2
2121
2
2
2
1
2121
2
2
2
1
2121
2
2
2
1
22
ϕ−ϕ++=
ϕ−ω−ϕ−ω++=
++==
aaaa
ttaaaa
VVOVOVOVOVOVa
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 117 - 
Ta laïi thu ñöôïc coâng thöùc (7.21). 
Muoán tính goùc leäch pha ban ñaàu ϕ cuûa dao ñoäng toång hôïp ta xeùt vò trí cuûa 
ba vectô 1OV , 2OV vaø OV ôû thôøi ñieåm t = 0 ( xem hình 7.4) 
Taïi thôøi ñieåm t = 0, caùc vectô 1OV , 2OV vaø OV taïo vôùi truïc 0x caùc goùc 
laàn löôït laø -ϕ1 , -ϕ2 vaø -ϕ . Töø hình veõ ta thaáy ngay : 
2211
2211
coscos
sinsin
ϕ+ϕ
ϕ+ϕ=ϕ
aa
aatg 
Ta laïi thu ñöôïc (7.22). 
Toùm laïi baèng phöông phaùp ñoà thò chuùng ta laïi tìm ñöôïc deã daøng vaø tröïc 
quan hôn caùc keát quaû ôû treân. Chính vì vaäy phöông phaùp ñoà thò thöôøng ñöôïc öùng 
duïng khi toå hôïp nhieàu dao ñoäng cuøng chu kyø vaø cuøng phöông. 
Trôû laïi (7.21), ta thaáy bieân ñoä cuûa dao ñoäng toång hôïp khoâng nhöõng phuï 
thuoäc vaøo bieân ñoä cöïc ñaïi cuûa caùc dao ñoäng thaønh phaàn maø coøn phuï thuoäc vaøo pha 
ban ñaàu cuûa chuùng. 
- Khi ϕ2 - ϕ1 =2nπ, ta noùi hai dao ñoäng thaønh phaàn cuøng pha. Khi ñoù bieân ñoä 
cöïc ñaïi cuûa hai dao ñoäng toång hôïp ñaït giaù trò cöïc ñaïi vaø baèng : 
 a = a1 + a2
- khi ϕ2 - ϕ1 =(2n+1)π, ta noùi hai dao ñoäng thaønh phaàn ngöôïc pha. Khi ñoù 
bieân ñoä cöïc ñaïi cuûa hai dao ñoäng toång hôïp ñaït giaù trò cöïc tieåu vaø baèng : 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 118 - 
 21 aaa −= 
 - khi ϕ2 - ϕ1 =(2n+1)π/2, ta noùi hai dao ñoäng thaønh phaàn coù pha vuoâng goùc 
vôùi nhau. Khi ñoù bieân ñoä dao ñoäng toång hôïp : 
2
2
2
1 aaa += 
Toùm laïi tuøy theo hieäu soá pha ban ñaàu cuûa caùc dao ñoäng thaønh phaàn maø bieân 
ñoä dao ñoäng toång hôïp nhaän caùc giaù trò naèm trong khoaûng 21 aa − ñeán (a1 + a2). 
7.4 Toång hôïp hai dao ñoäng coù chu kyø khaùc nhau chuùt ít – Hieän töôïng 
phaùch 
Ta xeùt tröôøng hôïp chaát ñieåm tham gia hai hoaït ñoäng cuøng phöông, nhöng coù 
caùc taàn soá ω1 , ω2 khaùc nhau chuùt ít : 
x1 = a1cos(ω1t + ϕ1) 
x2 = a2cos(ω2t + ϕ2) 
Trong ñoù ∆ω = ω1 - ω2 << ω1ω2
Dao ñoäng toång hôïp : 
)tcos()aa()tcos()
2
t
2
cos(a2
)tcos()aa( 
2
t
2
cos
2
t
2
cosa2
)tcos()aa()]tcos()t[cos(a
)tcos(a)tcos(axxx
22121
2212
21212121
1
221222111
22211121
ϕ−ω−+ϕ−ωϕ∆−ω∆=
ϕ−ω−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ+ϕ−ω+ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ−ϕ−ω−ω=
ϕ−ω−+ϕ−ω+ϕ−ω=
ϕ−ω+ϕ−ω=+=
 (7.23) 
Trong ñoù 21 ϕ−ϕ=ϕ∆ , 2
21 ω+ω=ω vaø 2
21 ϕ+ϕ=ϕ 
Bieåu thöùc (7.23) chöùng toû raèng dao ñoäng toång hôïp goàm hai dao ñoäng. Dao 
ñoäng thöù nhaát bieåu dieãn bôûi soá haïng ñaàu ôû veá phaûi cuûa(7.23) khoâng phaûi laø dao 
ñoäng ñieàu hoaø vì noù laø tích cuûa hai dao ñoäng ñieàu hoøa coù taàn soá laø ∆ω/2 vaø ω . Tuy 
nhieân do ω1 vaø ω2 khaùc nhau raát ít neân ω raát gaàn ω1 vaø ω2 vaø ñoàng thôøi ∆ω/2 raát 
nhoû so vôùi ω1 , ω2 neân dao ñoäng thöù nhaát naøy coù theå xem nhö moät dao ñoäng gaàn 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 119 - 
ñieàu hoaø vôùi taàn soá ω raát gaàn vôùi ω1 hoaëc ω2 vaø coù bieân ñoä laø 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆
22
cos2 1 ta thay ñoåi raát chaäm theo thôøi gian. Soá haïng thöù hai cuûa (7.23) 
bieåu dieãn moät dao ñoäng ñieàu hoøa taàn soá ω2. 
Hình (7.5) bieåu dieãn söï thay ñoåi theo thôøi gian cuûa soá haïng thöù hai cuûa 
(7.23). Noù laø dao ñoäng vôùi taàn soá ω nhöng coù bieân ñoä bieán thieân moät caùch tuaàn 
hoaøn theo thôøi gian vôùi taàn soá ∆ω/2<<ω. 
“Hieän töôïng bieân ñoä cöïc ñaïi cuûa dao ñoäng bieán thieân moät caùch tuaàn hoaøn 
theo thôøi gian vôùi chu kyø lôùn hôn nhieàu so vôùi chu kyø cuûa dao ñoäng goïi laø hieän töôïng 
phaùch”. 
 x 
 t 
 Hình 7.5 
Soá haïng thöù nhaát cuûa (7.23) bieåu dieãn hieän töôïng phaùch thuaàn tuùy coøn 
(7.23) bieåu dieãn phaùch noùi chung (thoâng thöôøng). 
Ñaët bieät khi hai dao ñoäng x1 vaø x2 coù bieân ñoä baèng nhau (a1 = a2 ) thì soá 
haïng thöù hai cuûa (7.23) trieät tieâu vaø ta coù phaùch thuaàn tuùy. 
Trôû laïi vôùi hieän töôïng phaùch thoâng thöôøng bieåu dieãn bôûi (7.23). Ta thaáy dao 
ñoäng toång hôïp x cuõng coù theå vieát döôùi daïng khaùc : 
x = (a1 –a 2)cos(ω1t - ϕ1) + a2cos(ω2t - ϕ2) + a2cos(ω1t - ϕ1) 
)tcos()aa( 
2
t
2
cos
2
t
2
cosa2x
1121
21212121
2
ϕ−ω−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ+ϕ−ω+ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ−ϕ−ω−ω=
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 120 - 
Coäng (7.23) vaø (7.24) vôùi nhau roài chia cho 2 ta ñöôïc : 
 )tsin(
2
t
2
sin)aa( )tcos(
2
t
2
cos)aa( 
)]tcos()t)[cos(aa(
2
1 
2
t
2
cos
2
t
2
cos)aa(x
1221
221121
21212121
21
ϕ−ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆−+ϕ−ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆+=
ϕ−ω−ϕ−ω−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ+ϕ−ω+ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ−ϕ−ω−ω+=
Nhö ñaõ bieát, roõ raøng dao ñoäng toång hôïp khoâng phaûi laø moät dao ñoäng ñieàu hoøa. Tuy 
nhieân theo giaû thieát do ∆ω raát nhoû so vôùi ω , thì khi ñoù trong moät khoaûng thôøi gian 
raát nhoû chöøng vaøi chu kyø ω
π= 2T ta coù theå coi ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆
22
t laø khoâng thay ñoåi vaø 
do vaäy ta thaáy dao ñoäng toång hôïp x cuõng coù daïng : 
 tBcostAx )()sin( ϕ−ω+ϕ−ω= 
Trong ñoù : 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆−=
22
cos)(
22
sin)(
21
12
taaB
taaA
Bieân ñoä cöïc ñaïi cuûa dao ñoäng toång hôïp : 
22 BAa += hay laø a2 = A2 + B2
)cos(2
22
cos2
22
cos
22
cos
22
sin2
22
sin
22
sin
21
2
2
2
1
2
21
22
2
22
1
2
21
22
2
22
1
2
ϕ∆−ω∆++=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ϕ∆−ω∆=
taaaa
taatata
taatataa
 (7.26) 
Hai bieåu thöùc (7.25) vaø (7.26) cho thaáy raèng dao ñoäng toång hôïp laø moät dao 
ñoäng gaàn ñieàu hoøa vôùi taàn soá goùc : 
2
21 ω+ω=ω 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 121 - 
Vaø coù bieân ñoä cöïc ñaïi a bieán thieân tuaán hoaøn theo thôøi gian vôùi taàn soá goùc 
∆ω = ω1 - ω2 , giöõa hai trò soá cöïc ñaïi (a1 + a2) vaø cöïc tieåu (a1 - a2). 
Chu kyø bieán thieân τ cuûa bieân ñoä a laø : 
12
21
21
21
22
2
22
TT
TT
TT
−=π−π
π=τ
ω−ω
π=ω∆
π=τ
 (7.27) 
 Vì T1 vaø T2 khaùc nhau raát ít neân τ lôùn hôn T1, T2 raát nhieàu : bieân ñoä cöïc ñaïi 
cuûa dao ñoäng toång hôïp bieán thieân raát chaäm theo thôøi gian. Ñöôøng bieåu dieãn dao 
ñoäng toång hôïp trong hieän töôïng phaùch thoâng thöôøng ñöôïc trình baøy treân hình (7.6). 
 x 
 t 
Hình 7.6 
Treân hình veõ caùc dao ñoäng thaønh phaàn coù taàn soá : 
 Hz Hz 11
2
,13
2
2
2
1
1 =π
ω=γ=π
ω=γ 
Dao ñoäng toång hôïp coù taàn soá : 
 Hz12)(
2
1
2
1
2 21
=ω+ωπ=π
ω=ν 
Vaø phaùch coù taàn soá : 
 Hz2
2
21 =π
ω−ω=Ω . 
Hieän töôïng phaùch ñöôïc öùng duïng roäng raõi trong kyõ thuaät voâ tuyeán ñieän. Noù 
laø cô sôû cuûa phöông phaùp ñoåi ñoåi taàn. 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 122 - 
7.5 Toång hôïp hai dao ñoäng coù phöông vuoâng goùc 
7.5.1 Toång hôïp hai dao ñoäng coù phöông vuoâng goùc vaø cuøng taàn soá 
Trong tröôøng hôïp naøy ta choïn 0 laø goùc toïa ñoä vaø höôùng caùc truïc Ox, Oy 
theo phöông caùc vectô 21,VV
rr
 laø caùc vectô bieåu dieãn caùc dao ñoäng thaønh phaàn. 
Ñeå thuaän tieän, ta coù theå choïn goác thôøi gian sao cho goùc leäch pha ban ñaàu ϕ1 
cuûa dao ñoäng thöù nhaát baèng khoâng, coøn goùc leäch pha ban ñaàu cuûa dao ñoäng thöù hai 
laø ϕ. 
Khi ñoù caùc dao ñoäng thaønh phaàn seõ laø : 
x = acosωt ; y = bcos(ωt - ϕ) 
Heä phöông trình (7.28) chính laø phöông trình quó ñaïo cuûa dao ñoäng toång 
hôïp cho döôùi daïng tham soá. Ñeå ñöa veà daïng thoâng thöôøng, ta phaûi khöû t trong hai 
phöông trình treân. Muoán vaäy, ta bieán ñoåi caùc phöông trình cuûa (7.28) veà daïng : 
 tsinsintcoscos
b
 , t
a
ϕω+ϕω=ω= cos yx tieáp tuïc bieán ñoåi : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ϕω=ϕ−
ϕω=ϕ
sinsincos
sincossin
t
a
x
b
y
t
a
x
Bình phöông hai veá cuûa hai phöông trình treân roài coäng chuùng laïi töøng veá, ta 
ñöôïc : 
 ϕ=ϕ−+ϕ+ϕ 22
2
2
2
2
2
2
2
sincos2cossin
ab
xy
b
y
a
x
a
x
Hay : ϕ=ϕ−+ 22
2
2
2
sincos2
ab
xy
b
y
a
x
 (7.29) 
Ñaây laø phöông trình cuûa moät elipse taâm 0, noäi tieáp trong moät hình chöõ nhaät 
maø hai caïnh laø 2a vaø 2b (hình 7.7e,g) 
“Vaäy quó ñaïo cuûa dao ñoäng toång hôïp V laø moät hình elipse vaø do ñoù dao ñoäng 
toång hôïp goïi laø dao ñoäng elipse” 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 123 - 
Hình daïng cuûa elipse phuï thuoäc vaøo hieäu soá pha ϕ cuûa hai dao ñoäng thaønh 
phaàn. Ta xeùt caùc tröôøng hôïp rieâng : 
a) ϕ = 2nπ (n laø soá nguyeân döông hoaëc aâm). Khi ñoù ϕ=0 vaø cosϕ =1 vaø 
(7.29) trôû thaønh : 
 0
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
b
y
a
x
Hay laø : 0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
b
y
a
x
Hình elipse suy bieán thaønh ñöôøng cheùo thöù nhaát cuûa hình chöõ nhaät (hình 
7.10a) vaø dao ñoäng toång hôïp laø dao ñoäng thaúng coù bieân ñoä 22 ba + . 
b) ϕ = (2n+1)π. Khi ñoù sinϕ = 0 vaø cosϕ = -1, phöông trình (7.29) trôû thaønh 
: 
0
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
b
y
a
x
Hay laø : 0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
b
y
a
x
Dao ñoäng toång hôïp cuõng laø moät dao ñoäng thaúng cuõng coù bieân ñoä 
22 ba + , nhöng höôùng theo ñöôøng cheùo thöù 2 cuûa hình chöõ nhaät (hình 7.7b). 
Caùc keát quaû ôû treân ñöôïc toùm taét ôû hình (7.7). 
y y y y 
 b 
-a O a x O x O x O x 
 a) b) c) d) 
 ϕ = 2kπ ϕ = (2k+1)π ϕ = kπ + π/2 ϕ = kπ + π/2 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 124 - 
 a ≠ b a = b 
 y y 
 O x hoaëc O x 
 ϕ baát kyø ϕ baát kyø 
c) ϕ = (2n+1)π/2. Khi ñoùù sin2ϕ =1 vaø cosϕ = 0, phöông trình (7.20) trôû thaønh: 
 1b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 
Dao ñoäng toång hôïp laø moät elip coù 2 truïc song song vôùi caùc caïnh cuûa hình chöõ 
nhaät. Neáu a = b, elip seõ bieán thaønh ñöôøng troøn (xem hình 7.7c, d). 
7.5.2. Toång hôïp hai dao ñoäng vuoâng goùc vaø coù taàn soá khaùc nhau 
 Ta cuõng choïn goác thôøi gian nhö ô phaàn treân, töùc laø ϕ1 = 0 vaø ϕ2 = ϕ. Caùc dao 
ñoäng thaønh phaàn seõ laø: 
 x = acosω1t ; y = bcos(ω2t - ϕ) 
Trong tröôøng hôïp toång quaùt ϕ, ω1 vaø ω2 coù giaù trò baát kyø thì quyõ ñaïo cuûa chaát 
ñieåm laø moät ñöôøng cong phöùc taïp, khoâng kheùp kín nhöng vaãn noäi tieáp trong hình 
chöõ nhaät taâm O vaø caùc caïnh laø 2a vaø 2b. Tröôøng hôïp rieâng, ñaùng chuù yù coù nhieàu 
öùng duïng trong thöïc tieãn laø tröôøng hôïp tæ soá ω1/ω2 laø nhöõng phaân soá ñôn giaûn (nghóa 
laø töû vaø maãu soá ñeàu laø nhöõng soá nguyeân nhoû hôn 10). Li-xa-ju ñaõ khaûo saùt tröôøng 
hôïp naøy vaø neâu ra moät soá keát luaän toång quaùt sau ñaây: 
2
1
1
2 =ω
ω 
3
1
1
2 =ω
ω 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 125 - 
3
2
1
2 =ω
ω 
a) Khi tæ soá ω1/ω2 laø moät soá ñôn giaûn, thì quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm laø moät 
ñöôøng cong kín, coù nhieàu muùi (muùi laø ñieåm tieáp xuùc cuûa ñöôøng quyõ ñaïo chaát ñieåm 
vaø 2 caïnh cuûa hình chöõ nhaät). Tæ soá soá muùi treân 2 caïnh song song vôùi truïc Ox vaø Oy 
ñuùng baèng tæ soá 2 taàn soá goùc, töùc laø ω1/ω2. 
b) Daïng cuûa ñöôøng cong phuï thuoäc roõ vaøo soá pha ϕ. Khi ϕ = π/2 ñöôøng cong 
nhaän ñieåm O laøm taâm ñoái xöùng. Khi ϕ = nπ thì hai nöûa ñöôøng cong nhaäp laøm moät. 
Treân hình (7.8) veõ moät soá ñöôøng cong öùng vôùi moät vaøo giaù trò cuûa ω1/ω2 vaø 
ϕ. Nhöõng ñöôøng cong ñoù goïi laø nhöõng ñöôøng Li-xa-ju. Hình elip thu ñöôïc khi 
ω1=ω2 cuõng laø moät ñöôøng Li-xa-ju ñaëc bieät. 
Ta coù theå quan saùt ñöôïc caùc ñöôøng Li-xa-ju treân maøn hình quang cuûa moät 
maùy hieän soùng. Döïa treân hình daïng cuûa ñöôøng Li-xa-ju ta deã daøng xaùc ñònh ñöôïc 1 
trong 2 taàn soá ω1 ,ω2 khi bieát taàn soá kia vaø xaùc ñònh ñöôïc hieäu soá cuûa 2 dao ñoäng. 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù 
Cô hoïc - 126 - 
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 
1- Löông Duyeân Bình, Vaät lyù ñaïi cöông. Nhaø xuaát baûn giaùo 
duïc, 1998. 
2- M. Alonso & E. J. Finn, Fundamental University Physics, 
Addition-wesley, Publishing company, 1973 
3- I. V. Savelyev, Physics a general course, Mir 
Publishes Moscow, 1980 
4- Phaïm Vieát Trinh – Nguyeãn Ñình Noaõn, Giaùo trình Thieân 
Vaên, Nhaø xuaát baûn giaùo duïc, 1986 
5- K. W. Ford, Classical and modern Physics, Xerox 
Corporation, 1972 
6- Cô hoïc – Nguyeãn Höõu Mình – Nxb giaùo duïc, 1998 
7- Cô hoïc – Nguyeãn Höõu Xyù – Tröông Quang Nghóa – Nguyeãn 
Vaên Thoûa – Nxb ÑH vaø THCN, 1985 
8- Vaät lyù ñaïi cöông – Ngoâ Phuù An, Löông Duyeân Bình, Ñoã Khaéc 
Chung, Leâ Vaên Nghóa – Nxb ÑH vaø THCN , 1978 
9- Giaùo trình vaät lyù ñaïi cöông A1 – Nguyeãn Höõu Thaéng, Ñoaøn 
Troïng Thöù – Ñaïi hoïc Ñaø Laït, 1998 
Ñoaøn Troïng Thöù Khoa Vaät Lyù