Giáo trình Toán - Bùi Tuấn Khang
Tóm tắt Giáo trình Toán - Bùi Tuấn Khang: ...inh Tham số hoá đ−ờng tròn S = ∂B+(a, R) γ(t) = a + Reit, dz = iReitdt với t ∈ [0, 2pi] Ap dụng công thức (3.5.4) f(n)(a) = ∫ + −pi S 1n dz )az( )z(f i2 !n = ∫ pi −+ pi 2 0 intit n dte)Rea(f R2 !n a z z+h B Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơn...) ↔ F(-ω) (5.4.3) Chứng minh ∫ +∞ ∞− ω−α dte)t(f ti = ∫ +∞ ∞− α α ω − αα α α )t(de)t(f )sgn( )t(i Đổi biến τ = αt Ví dụ Cho f(t) = > ≤ 1 |t| 0 1 |t| 1 ↔ F(ω) = 2 ω ωsin Ta có g(t) = f(3t + 3) - 2 1 f(t + 3) ↔ G(ω) = 2ei3ω ω ω )3/sin( - eỉ3ω ω ωs...1 + Q2 - Q3 = 0 suy ra ∫ ∫ ∂ ∂ρ−+ 2 1 t t D dV t u )M()M(c)t,M(F)kgradu(divdt = 0 Do t1, t2 tuỳ ý nên ∀ (M, t) ∈ D ì [0, +∞) chúng ta có c(M)ρ(M) t u ∂ ∂ = div(k(M)gradu) + F(M, t) Nếu vật rắn là đồng chất thì c(M), ρ(M) và k(M) là các hằng số. Đặt a2 = k / ...
Nội dung tài liệu Giáo trình Toán - Bùi Tuấn Khang, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
u = 0 với (x, y) ∈ D0 và các điều kiện biên u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0, x u ∂ ∂ (0, y) = hd(y) Định lý Cho hàm hd ∈ C 1([0, d], 3). Bài toán NE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức u(x, y) = ∑ +∞ = pi − pi 1k k y d k sin)xl( d k shd với dk = ∫ pi pi pi − d 0 d ydy d k sin)y(h d lk chk 2 (8.8.7) Bài toán NE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và các hàm g1 , g3 ∈ C([0, l], 3) và h2 , h4 ∈ C([0, d], 3) Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n ph−ơng trình Laplace ∆u = 0 với (x, y) ∈ D0 và các điều kiện biên u(x, 0) = g1(x), u(x, d) = g3(x) và x u ∂ ∂ (l, y) = h2(y), x u ∂ ∂ (0, y) = h4(y) • Tìm nghiệm của bài toán NE2 d−ới dạng u(x, y) = u0(x, y) + ua(x, y) + ub(x, y) + uc(x, y) + ud(x, y) (8.8.8) Trong đó các hàm ua(x, y) và uc(x, y) là nghiệm của bài toán DE2a và DE2c, các hàm ub(x, y) và ud(x, y) là nghiệm của bài toán NE2b và NE2d, còn hàm u0(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.8.9) là nghiệm của bài toán DE sao cho uα(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật • Lập luận t−ơng tự nh− bài toán DE2 suy ra A = g1(0) B = l )0(g)l(g 11 − C = d )0(g)0(g 13 − D = ld )0(g)0(g)l(g)l(g 1313 +−− (8.8.10) Thế vào điều kiện biên suy ra Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 8. Ph−ơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153 ga(x) = g1(x) - g1(0) - l x (g1(l) - g1(0)) gc(x) = g3(x) - g3(0) - l x (g3(l) - g3(0)) hb(y) = h2(y) - (B + Dy) = h2(y) - l )0(g)l(g 11 − - l )0(g)0(g)l(g)l(g d y 1313 +−− hd(y) = h4(y) - (B + Dy) = h4(y) - l )0(g)l(g 11 − - l )0(g)0(g)l(g)l(g d y 1313 +−− (8.8.11) • Kết hợp các công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) và (8.8.8) suy ra công thức u(x, y) = u0(x, y) + ∑ +∞ = pi pi +− pi 1k kk x l k siny l k shc)yd( l k sha + ∑ +∞ = pi − pi + pi 1k kk y d k sin)xl( d k shdx d k shb (8.8.12) Định lý Cho các hàm g1 , g3 ∈ C 1([0, l], 3) và g2 , g4 ∈ C1([0, d], 3) thoả m~n ag′ (0) = hd(0), ag′ (l) = hb(0) và cg′ (0) = hd(d), cg′ (l) = hb(d) Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u0(x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và các hệ số ak và ck xác định theo các công thức (8.7.5) và (8.7.7) còn các hệ số bk và dk xác định theo các công thức (8.8.6) và (8.8.7) với các hàm ga , gc , hb và hd xác định theo công thức (8.8.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE2. Bài tập ch−ơng 8 • Giải các bài toán Cauchy 1. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ ut=0 = 2xxe− 2. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + 3xt2 ut=0 = sinx 3. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + xe-t ut=0 = cosx 4. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + te-x ut=0 = sinx Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 8. Ph−ơng Trình Truyền Nhiệt Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề • Giải các bài toán giả Cauchy 5. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + xsint ut=0 = sinx, u(0, t) = 0 6. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + tsinx ut=0 = xcosx, u(0, t) = et 7. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + te-x ut=0 = cosx , x u ∂ ∂ (0, t) = sint 8. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + xe-t ut=0 = sinx , x u ∂ ∂ (0, t) = cost • Giải các bài toán hỗn hợp sau đây 9. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ ut=0 = x(l - x), u(0, t) = u(l, t) = 0 10. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + tsinx ut=0 = sinx, u(0, t) = u(l, t) = 0 11. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + tcosx ut=0 = cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t 12. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + 3xt2 ut=0 = 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asinωt 13. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + (1 - x)et ut=0 = 1, u(0, t) = et, u(l, t) = 0 14. t u ∂ ∂ = a2 2 2 x u ∂ ∂ + xet ut=0 = 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = et • Giải bài toán Dirichlet trong hình tròn 15. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, 2] ì [0, 2pi] và ur=2 = x2 - xy + 2 16. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, 2] ì [0, 2pi] và u(2, ϕ) = A + Bsinϕ 17. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, 1] ì [0, 2pi] và u(1, ϕ) = sin3ϕ 18. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, 1] ì [0, 2pi] và u(1, ϕ) = cos4ϕ 19. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, R] ì [0, 2pi] và u(R, ϕ) = 0 • Giải bài toán Dirichlet trong hình vành khăn 20. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [1, 2] ì [0, 2pi] và u(1, ϕ) = A, u(2, ϕ) = B 21. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [1, 2] ì [0, 2pi] và u(1, ϕ) = 1 + cos2ϕ, u(2, ϕ) = sin2ϕ 22. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, R] ì [0, pi] và u(r, 0) = u(r, pi) = 0, u(R, ϕ) = Aϕ Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Ch−ơng 8. Ph−ơng Trình Truyền Nhiệt Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 155 • Giải bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật 23. ∆u = 0 với (x, y) ∈ [0, a] ì [0, b] u(0, y) = Ay(b - y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = Bsin a xpi , u(x, b) = 0 24. ∆u = 0 với (x, y) ∈ [0, pi] ì [-1, 1] u(0, y) = u(pi, y) = 0, u(x, -1) = u(x, 1) = sin2x 25. ∆u = 0 với (x, y) ∈ [0, a] ì [0, +∞) u(0, y) = u(a, y) = 0, u(x, 0) = A(1 - a x ), u(x, +∞) = 0 • Giải bài toán Neuman trong hình tròn 26. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, 2] ì [0, 2pi] và r u ∂ ∂ (2, ϕ) = Aϕ 27. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, 1] ì [0, 2pi] và r u ∂ ∂ (1, ϕ) = 2cosϕ 29. ∆u = 0 với (r, ϕ) ∈ [0, 1] ì [0, 2pi] và r u ∂ ∂ (1, ϕ) = - sinϕ • Giải bài toán hỗn hợp trong hình chữ nhật 29. ∆u = 0 với (x, y) ∈ [0, a] ì [0, b] u(0, y) = A, u(a, y) = By, y u ∂ ∂ (x, 0) = y u ∂ ∂ (x, b) = 0 30. ∆u = 0 với (x, y) ∈ [0, a] ì [0, b] u(0, y) = A, u(a, y) = By, y u ∂ ∂ (x, 0) = y u ∂ ∂ (x, b) = 0 31. ∆u = 0 với (x, y) ∈ [0, pi] ì [0, pi] u(x, 0) = A, u(x, pi) = Bx, x u ∂ ∂ (0, y) = cosy, x u ∂ ∂ (pi, y) = siny 32. ∆u = -2 với (x, y) ∈ [0, a] ì [-b, b] u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 0 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Trang 156 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Tài Liệu Tham Khảo [1] Đặng Đình Ang - Trần L−u C−ờng - Huỳnh Bá Lân - Nguyễn Văn Nhân (2001) Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà nội [2] Đậu Thế Cấp (1999) Hàm một biến phức, NXB Giáo dục, Hà nội [3] D−ơng Tôn Đảm (1992) Ph−ơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & GDCN, Hà nội [4] G.M Fichtengon (1972) Cơ sở giải tích toán học, Tập 2, NXB Đại học & THCN, Hà nội [5] Phan Bá Ngọc (1980) Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace, NXB Đại học & THCN, Hà nội [6] B.V Sabat (1979) Nhập môn giải tích phức, Tập 1, NXB Đại học & THCN, Hà nội [7] Nguyễn Thuỷ Thanh (1985) Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học & THCN, Hà nội [8] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Trọng Thái (1977) Ph−ơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & THCN, Hà nội [9] A.V Oppenheim & A.S Willsky (1997) Signals & Systems, Prentice Hall, New Jersey [10] J. Monier (1997) Analyse 3 et Analyse 4, Dunod, Paris [11] W. Rudin (1998) Analyse réelle et complexe, Dunod, Paris [12] H. Pc (1978) ДДДДДДДДДДДДД Д ДДДДДДДДДД ДДДДДДДДД,ДДД 2, H, Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 157 Mục lục Lời nói đầu ................................................................................................................................................... 6 Ch−ơng 1. Số phức........................................................................................................................................ 5 Đ1. Tr−ờng số phức ................................................................................................................................. 5 Đ2. Dạng đại số của số phức ................................................................................................................... 6 Đ3. Dạng l−ợng giác của số phức ............................................................................................................ 7 Đ4. Các ứng dụng hình học phẳng......................................................................................................... 10 Đ5. D~y trị phức .................................................................................................................................... 12 Đ6. Hàm trị phức ................................................................................................................................... 14 Đ7. Tập con của tập số phức.................................................................................................................. 16 Bài tập ch−ơng 1 .................................................................................................................................... 19 Ch−ơng 2. Hàm biến phức.......................................................................................................................... 22 Đ1. Hàm biến phức................................................................................................................................ 22 Đ2. Giới hạn và liên tục......................................................................................................................... 23 Đ3. Đạo hàm phức................................................................................................................................. 25 Đ4. Hàm giải tích .................................................................................................................................. 27 Đ5. Hàm luỹ thừa .................................................................................................................................. 28 Đ6. Hàm mũ .......................................................................................................................................... 30 Đ7. Hàm l−ợng giác............................................................................................................................... 31 Đ8. Biến hình bảo giác ......................................................................................................................... 32 Đ9. Hàm tuyến tính và hàm nghịch đảo ................................................................................................ 34 Đ10. Hàm phân tuyến tính và hàm Jucop .............................................................................................. 36 Đ11. Các ví dụ biến hình bảo giác......................................................................................................... 37 Bài tập ch−ơng 2 .................................................................................................................................... 40 Ch−ơng 3. Tích Phân Phức ......................................................................................................................... 43 Đ1. Tích phân phức................................................................................................................................ 43 Đ2. Các tính chất của tích phân phức .................................................................................................... 44 Đ3. Định lý Cauchy ............................................................................................................................... 46 Đ4. Công thức tích phân Cauchy ........................................................................................................... 48 Đ5. Tích phân Cauchy ........................................................................................................................... 50 Đ6. Định lý trị trung bình ...................................................................................................................... 52 Đ7. Hàm điều hoà.................................................................................................................................. 54 Bài tập ch−ơng 3 .................................................................................................................................... 57 Ch−ơng 4. CHUỗI hàm PHứC và Thặng d−................................................................................................ 59 Đ1. Chuỗi hàm phức.............................................................................................................................. 59 Đ2. Chuỗi luỹ thừa phức........................................................................................................................ 61 Đ3. Chuỗi Taylor ................................................................................................................................... 63 Đ4. Không điểm của hàm giải tích ........................................................................................................ 64 Đ5. Chuỗi Laurent ................................................................................................................................. 66 Đ6. Phân loại điểm bất th−ờng .............................................................................................................. 67 Đ7. Thặng d− ......................................................................................................................................... 69 Đ8. Thặng d− Loga............................................................................................................................... 71 Đ9. Các ứng dụng thặng d− ................................................................................................................... 73 Bài tập ch−ơng 4 .................................................................................................................................... 76 Ch−ơng 5. Biến đổi fourier và Biến đổi laplace .......................................................................................... 79 Đ1. Tích phân suy rộng ......................................................................................................................... 79 Đ2. Các bổ đề Fourier............................................................................................................................ 81 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - Trang 158 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Đ3. Biến đổi Fourier...............................................................................................................................83 Đ4. Tính chất của biến đổi Fourier ........................................................................................................85 Đ5. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Fourier ..................................................................................................87 Đ6. Biến đổi Laplace..............................................................................................................................91 Đ7. Biến đổi Laplace ng−ợc ...................................................................................................................92 Đ8. Tính chất của Biến đổi Laplace .......................................................................................................94 Đ9. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Laplace..................................................................................................96 Bài tập ch−ơng 5.....................................................................................................................................99 Ch−ơng 6. Lý thuyết tr−ờng ......................................................................................................................101 Đ1. Tr−ờng vô h−ớng ...........................................................................................................................101 Đ2. Gradient.........................................................................................................................................102 Đ3. Tr−ờng vectơ .................................................................................................................................103 Đ4. Thông l−ợng ..................................................................................................................................104 Đ5. Hoàn l−u........................................................................................................................................106 Đ6. Toán tử Hamilton ..........................................................................................................................107 Đ7. Tr−ờng thế .....................................................................................................................................108 Đ8. Tr−ờng ống....................................................................................................................................110 Bài tập ch−ơng 6...................................................................................................................................111 Ch−ơng 7. Ph−ơng trình truyền sóng.........................................................................................................113 Đ1. Ph−ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ................................................................................113 Đ2. Ph−ơng trình vật lý - toán ..............................................................................................................116 Đ3. Các bài toán cơ bản .......................................................................................................................118 Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất...........................................................................................................120 Đ5. Bài toán Cauchy không thuần nhất ................................................................................................122 Đ6. Bài toán giả Cauchy.......................................................................................................................124 Đ7. Bài toán hỗn hợp thuần nhất ..........................................................................................................126 Đ8. Bài toán hỗn hợp không thuần nhất ...............................................................................................128 Bài tập ch−ơng 7...................................................................................................................................131 Ch−ơng 8. Ph−ơng trình truyền nhiệt ........................................................................................................133 Đ1. Bài toán Cauchy thuần nhất...........................................................................................................133 Đ2. Bài toán Cauchy không thuần nhất ................................................................................................135 Đ3. Bài toán giả Cauchy.......................................................................................................................137 Đ4. Bài toán hỗn hợp thuần nhất ..........................................................................................................140 Đ5. Bài toán hỗn hợp không thuần nhất ...............................................................................................142 Đ6. Bài toán Dirichlet trong hình tròn..................................................................................................144 Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật ..........................................................................................147 Đ8. Bài toán Neumann .........................................................................................................................150 Bài tập ch−ơng 8...................................................................................................................................153 Tài Liệu Tham Khảo.................................................................................................................................156 Mục lục.....................................................................................................................................................157 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
File đính kèm:
giao_trinh_toan_bui_tuan_khang.pdf
