Tài liệu Phương pháp tính tích phân

- - = 
 2m 4 0, mD = + > " 
* Vaäy (d): luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät 
A, B coù hoaønh ñoä x1, x2 laø nghieäm cuûa (1). 
* Dieän tích hình phaúng S laø: 
22
11
xx 3 2
2
xx
x mxS (mx 2 x 1)dx x
3 2
æ ö
= + - - = - + +ç ÷
è øò 
3 3 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 3
1 m(x x ) (x x ) (x x )
3 2
1 (x x ). 2(x x x x ) 3m(x x ) 6
6
1 1 4m 4. 2(m 1) 3m 6 (m 4) .
6 6 3
= - - + - + -
é ù= - - + + - + -ë û
é ù= - + + - - = + ³ë û
 Vaäy: 4min S khi m 0.
3
= = 
Ví duï 6 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
2
2 x 27y x , y , y .
8 x
= = = 
Giaûi: 
* Ñoà thò 
2
2
1 2
x 27(P ) : y x , (P ) : y , (H) : y
8 x
= = = 
 nhö treân hình veõ. 
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 
 (P1) vaø (H): 
 2 27x
x
= 3x 27 x 3 toaï ñoä A(3, 9).Û = Û = Þ 
* Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P2) vaø (H): 
y 
x 
A 
x1 0 x2 
B 
2 
(d) 
(P) 
y 
x 
S2 
S1 
(P1) 
(P2) 
B 
A 
(H) 
9/2 
3 
9 
0 3 6 9 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 139 
2x 27 9x 6 toaï ñoä B 6, .
8 x 2
æ ö= Û = Þ ç ÷
è ø
* Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 
3 62 2
2
1 2
0 3
x 27 xS S S (x )dx dx ... 27 ln 2 (ñvdt)
8 x 8
æ ö
= + = - + - = =ç ÷
è øò ò . 
Ví duï 7 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: parabol (P): 
2y 4x x= - vaø caùc ñöôøng tieáp tuyeán vôùi parabol naøy, bieát raèng caùc tieáp tuyeán ñoù ñi qua 
M(5/2, 6). 
Giaûi: 
* Phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M heä soá goùc K: 
 5y K x 6
2
æ ö= - +ç ÷
è ø
* (d) tieáp xuùc (P) khi heä sau coù nghieäm: 
2 54x x K x 6 (1)
2
4 2x K (2)
ì æ ö- = - +ï ç ÷
è øí
ï - =î
* Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 
 2 54x x (4 2x)(x ) 6
2
- = - - + 
 2
x 1 K 1
x 5x 4 0
x 4 K 4
= Þ =é
Û - + = Û ê = Þ = -ë
* Vaäy coù 2 phöông trình tieáp tuyeán laø: 1 2(d ) :y 2x 1; (d ) : y 4x 16= + = - + 
* Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 
5 / 2 4
2 2
1 2
1 5/ 2
9S S S (2x 1 4x x )dx ( 4x 16 4x x )dx ...
4
= + = + - + + - + - + = =ò ò (ñvdt). 
Ví duï 8 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2y x 4x 3 vaø y 3.= - + = 
Giaûi: 
* Veõ ñoà thò (C): 2y f(x) x 4x 3= = - + 
* Xeùt ñoà thò (C’) : y f(x)=
f(x), f(x) 0
f(x), f(x) 0
³ì
= í- <î
* Töø ñoà thò (C) ta suy ra ñoà thò (C’) nhö sau: 
+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm treân Ox
+ Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò (C) naèm döôùi Ox qua truïc hoaønh
ì
í
î
* Ñoà thò (C’) laø hôïp cuûa 2 phaàn treân 
y 
(d2) (d1) 
M 
S1 S2 
(P) 
B 
x 4 5/2 1 2 0 
3 
4 
6 
A 
x 4 3 
2 
1 0 
–1 
3 
(C) 
y 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 140 
* Ñöôøng thaúng y = 3 caét (C’) taïi A(0 ; 3), B(4 ; 3). 
* Goïi S laø dieän tích hình phaúng caàn tìm. 
* Do tính ñoái xöùng neân ta coù: 
 1 2S 2(S S )= + 
2 1 2
2 2 2
0 0 1
2. (3 x 4x 3 )dx 2 [3 (x 4x 3)]dx [3 ( x 4x 3)]dx
...............
8 (ñvdt)
é ù
= - - + = - - + + - - + -ê ú
ë û
=
ò ò ò
 Baûng xeùt daáu: 
x 0 1 2 3 
x2–4x+3 + 0 – 0 + 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 141 
BAØI TAÄP 
Baøi 1. Cho Parabol (P): 2y x 4x 3= - + vaø ñöôøng thaúng (d) : y = x – 1. 
 Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: 
a/ (P) vaø truïc Ox; b/ (P), truïc Ox vaø truïc Oy; 
c/ (P), truïc Ox, x = 2 vaø x = 4; d/ (P) vaø (d); 
e/ (P), (d), x = 0 vaø x = 2. 
ÑS: a/ 4 ;
3
 b/ 4 ;
3
 c/ 2; d/ 9 ;
2
 e/ 3. 
Baøi 2. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
a/ 2
1(C) : y x ,
2x
= + tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3; 
b/ 5y x(x 1) ,= + truïc Ox, truïc Oy vaø x = 1; 
c/ 2 22(y 1) x vaø (y 1) x 1- = - = - ; 
d/ 2 2 2y x 2x 2, y x 4x 5 y x 4x 3 vaø y 1;= - + = + + = - + = 
e/ 
2x 1 8y , y , y (vôùi x 0).
8 x x
= = = > 
ÑS: a/ 1 ;
3
 b/ 418;
35
 c/ 4 ;
3
 d/ 9 ;
4
 e/ 7ln2. 
Baøi 3. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: 
a/ 2(C) : y x 2x= - vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3) treân (C). 
b/ (C) 3 2: y x 2x 4x 3, y 0= - + - = vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi tieáp ñieåm coù hoaønh 
ñoä x = 2. 
ÑS: a/ 9 ;
4
 b/ 5 .
48
Baøi 4. Cho Parabol (P): 2y x= vaø ñöôøng troøn (C) : 2 2 9x y 4x 0
4
+ - + = . 
a/ Chöùng toû (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau taïi A vaø B. 
b/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùc tieáp tuyeán chung taïi A vaø B. 
ÑS: a/ 3 6 6 6 3 6 6 6A ; ; y x ; B ; ; y x .
2 2 6 4 2 2 6 4
æ ö æ ö
= + - = - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 b/ 6 .
2
Baøi 5. Ñöôøng thaúng (d): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C): 2 2x y 5+ = thaønh hai phaàn, 
tính dieän tích moãi phaàn. 
ÑS: 1 2
5 5 15 5S ; S .
4 2 4 2
p p
= - = + 
Baøi 6. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng 
a/ 2y x , y x.= = b/ 3x y 1 0; x y 1 0.- + = + - = 
c/ 2 2 2x y 8; y 2x.+ = = d/ 2 3 2y 2 x ; y x .= - = 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 142 
e/ 
4
x 1y ; x 0; x .
21 x
= = =
-
ÑS: a/ 1 ;
3
 b/ 5 ;
4
 c/ 42 ;
3
p + d/ 32 ;
15
 e/ .
12
p 
Baøi 7. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
a/ xy x.e ; y 0; x 1; x 2.= = = - = b/ 2y x.ln x; y 0; x 1; x e.= = = = 
c/ x xy e ; y e ; x 1.-= = = d/ x 2y 5 ; y 0; x 0; y 3 x.-= = = = - 
e/ 5 xy (x 1) ; y e ; x 1.= + = = 
ÑS: a/ 2 2e 2;
3
- + b/ 21 (e 1);
4
- c/ 1e 2;
2
+ - 
 d/ 24 1 ;
25ln5 2
+ e/ 23 e.
2
- 
Baøi 8. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
a/ 
2xy 2x vaø y x 4;
2
= + = + b/ 2y x 2 x 3 vaø 3x 5y 9 0;= - + + + - = 
c/ xy vaø y 0; x 1; x 2;
x 1
= = = =
+
 d/ 1y ln x ; y 0; x vaø x e.
e
= = = = 
ÑS: a/ 26 ;
3
 b/ 55 ;
6
 c/ 21 ln ;
3
- d/ 22 .
e
- 
Baøi 9. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
a/ 2y sin x cos x,= + caùc truïc toaï ñoä vaø x = p; 
b/ 2y sin x sin x 1,= + + caùc truïc toaï ñoä vaø x .
2
p
= 
c/ y x sin x; y x; x 0; x 2 .= + = = = p 
d/ 2y x sin x; y ;x 0; x .= + = p = = p 
ÑS: a/ 2 ;
2
p
+ b/ 31 ;
2
p
+ c/ 4; d/ .
2
p 
Baøi 10. Dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng thaúng x = –1; x = 2; y = 0 vaø Parabol (P) baèng 
15. Tìm phöông trình cuûa (P), bieát (P) coù ñænh laø I(1 ; 2). 
ÑS: 2y 3x 6x 5.= - + 
Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): 
2x 2x 3y ,
x 2
+ -
=
+
 tieän caän xieân 
x = 0 vaø x = m > 0. Tìm giôùi haïn cuûa dieän tích naøy khi m .®+ ¥ 
ÑS: 
m
m 2S 3ln ; lim S .
2 ®+¥
+æ ö= = +¥ç ÷
è ø
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 143 
Baøi 12. Cho (H): 2xy .
x 1
=
-
a/ Chöùng minh raèng hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi (H), tieäm caän ngang vaø caùc 
ñöôøng thaúng x = a + 1; x = 2a + 1 coù dieän tích khoâng phuï thuoäc vaøo tham soá a 
döông. 
b/ Laäp phöông trình tieáp tuyeán (d) cuûa (H) taïi goác toaï ñoä. Tính dieän tích hình 
phaúng giôùi haïn bôûi (H), (d) vaø ñöôøng thaúng x = 2. 
ÑS: a/ 2ln2; b/ 2ln3. 
Baøi 13. Cho Parabol (P) : y = x2. Hai ñieåm A vaø B di ñoäng treân (P) sao cho AB = 2. 
a/ Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa AB 
b/ Xaùc ñònh vò trí cuûa A, B sao cho dieän tích cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi (P) 
vaø caùt tuyeán AB ñaït giaù trò lôùn nhaát. 
ÑS: a/ 2 2
1y x ;
1 4x
= +
+
 b/ max S 1; A( 1; 1);B(1; 1).= - 
Baøi 14. Ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm 1M ; 1
2
æ ö
ç ÷
è ø
 vaø caùc baùn kính truïc döông Ox, Oy laäp 
thaønh moät tam giaùc. Xaùc ñònh (D) ñeå dieän tích tam giaùc coù giaù trò nhoû nhaát vaø tính 
giaù trò ñoù. 
ÑS: (D) : y 2x 2.= - + 
Baøi 15. Cho Parabol (P): y = x2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua I(1 ; 3) sao cho 
dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (d) vaø (P) ñaït giaù trò nhoû nhaát. 
ÑS: y 2x 1.= + 
Baøi 16. Treân Parabol (P) : 2y x= laáy hai ñieåm A(–1 ; 1) vaø B(3 ; 3). Tìm ñieåm M treân 
cung »AB cuûa (P) sao cho tam giaùc MAB coù dieän tích lôùn nhaát. 
ÑS: 1 1M ;
3 9
æ ö
ç ÷
è ø
Baøi 17. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): 2y x 1= + vaø caùc ñöôøng thaúng 
y = 0; x = 0; x = 1. Tieáp tuyeán taïi ñieåm naøo cuûa (C) seõ caét töø (H) ra moät hình thang 
coù dieän tích lôùn nhaát. 
ÑS: 5 1 5max S ; M ; .
4 2 4
æ ö= ç ÷
è ø
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 144 
Chuù yù: Khi tìm theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ta caàn xaùc ñònh: 
* Mieàn hình phaúng (H) sinh ra. ((H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: x =..., x = ..., y = ..., y = ...) 
* (H) quay quanh truïc Ox hoaëc truïc Oy ñeå ta duøng coâng thöùc thích hôïp. 
 Neáu (H) quay quanh truïc Ox thì haøm döôùi daáu tích phaân laø y = f(x), bieán x vaø hai caän 
laø x. Neáu (H) quay quanh truïc Oy thì haøm döôùi daáu tích phaân laø x = f(y), bieán y vaø hai 
caän laø y. 
Vaán ñeà 1: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 
(C) :y f(x); y 0; x a;x b (a b)= = = = < sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi coâng 
thöùc: 
b b
2 2
a a
V y .dx [d(x)] .dx= p = pò ò 
 Dieän tích: 
b
a
S f(x) .dx= ò Theå tích: 
b
2
a
V [f(x)] .dx= pò 
Vaán ñeà 2: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 
(C) :x f(y), x 0, y a, y b (a b)= = = = < sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi coâng 
thöùc: 
b b
2 2
a a
V x .dy [f(y)] .dy= p = pò ò 
 Dieän tích: 
b
a
S f(y) dy.= ò Theå tích: 
b
2
a
V [f(y)] .dy= pò 
y 
x b a 
(H) 
(C) 
y 
x 
(H) 
(C) 
a b 
y 
x 
b 
a 
(H) 
(C) 
0 
y 
x 
(C) 
a 
b 
0 
§Baøi 2: THEÅ TÍCH VAÄT TROØN XOAY 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 145 
Vaán ñeà 3: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 
1 2(C ) : y f(x), (C ) : y g(x), x a, x b (a b)= = = = < vôùi f(x) vaø g(x) cuøng daáu) sinh ra khi 
quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi: 
b
2 2
a
V f (x) g (x) .dx= p -ò (3) 
* f(x) vaø g(x) cuøng daáu coù nghóa laø hai phaàn ñoà thò cuøng naèm moät phía ñoái vôùi truïc Ox, 
vôùi moïi x Î ñoaïn [a; b]. 
* Ñeå boû daáu “| |” trong coâng thöùc (3) ta chuù yù caùc tröôøng hôïp sau: 
TH1: 1 2(C ) (C ) vaø f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Æ > ³ " Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
TH2: 1 2(C ) (C ) vaø f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Æ < £ " Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
TH3: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä 
 x = a, x = b vaø d(x) > g(x) ³ 0, x [a; b]:" Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
TH4: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä 
 x = a vaø f(x) < g(x) £ 0, x [a; b]:" Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
y 
x 0 
(H) 
a b 
(C2) 
(C1) 
y 
y 
x 
0 
(H) 
a b 
(C1) 
(C2) 
y 
y 
x 
(H) A B 
a b 0 
(C2) 
(C1) 
y 
x 
(H) A B 
a b 
0 
(C2) 
(C1) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 146 
TH5: 1 2(C ) caét (C ) taïi 3 ñieåm A, B, C, trong ñoù xA = a 
 xB = b, xC = c vôùi a < c < b nhö hình beân: 
 1 2(3) V V VÛ = + 
c b
2 2 2 2
a c
[f (x) g (x)]dx [g (x) f (x)]dx.= p - + p -ò ò 
Vaán ñeà 4: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 
1 2(C ) : x f(y), (C ) : x g(y), y a, y b (a b)= = = = < vôùi f(y) vaø g(y) cuøng daáu) sinh ra khi 
quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi: 
b
2 2
a
V f (y) g (x) .dy= p -ò (4) 
TH1: 1 2 1 2(C ) (C ) vaø x f(y) x g(y) 0,Ç =Æ = > = ³ 
 vôùi moïi y [a; b].Î 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ò 
TH3: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù tung ñoä 
 A By a y b= = ³ 
 vôùi moïi y [a; b].Î 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ò 
* Caùc TH2, TH4 vaø TH5 thöïc hieän töông töï nhö vaán ñeà 3. 
Ví duï 1: Xeùt hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) : y2 = 8x vaø ñöôøng thaúng x = 2. Tính theå tích 
khoái troøn xoay khi quay hình phaúng noùi treân: 
 a/ quanh truïc hoaønh 
 b/ quanh truïc tung. 
Giaûi: 
a/ 2(P): y 8x (P) : y 8x (x 0)= Û = ± ³ 
 Theå tích V khoái troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø x = 2 quanh 
truïc Ox laø: 
y 
x 
C 
(C1) 
(C2) 
V2 V1 
A 
a c b 
B 
y 
x2 (H) 
C2 C1 
b 
a A 
B 
x1 
x 
(H) x1 x2 
y 
x 0 
C2 C1 
a 
b 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 147 
2 2
2
0 0
V y .dx 8x.dx 16= p = p = pò ò (ñvtt). 
b/ 2 21(P) : y 8x x y
8
= Û = 
 Theå tích V khoái ... quanh truïc tung laø: 
24 4
2 2 2 4
1 4
1 1 899V 2 y du 2 y dy ...
8 64 32- -
pæ ö æ ö= p - = p - = =ç ÷ ç ÷
è ø è øò ò (ñvtt). 
Ví duï 2: Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh vaø parabol (p) : 2y 2x x= - . Tính 
theå tích cuûa khoái troøn xoay khi cho (H) 
 a/ quay quanh truïc hoaønh 
 b/ quay quanh truïc tung. 
Giaûi: 
a/ Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc hoaønh laø: 
2 2
2 2 2
0 0
16V y .dx (2x x ) dx ...
15
p
= p = p - = =ò ò (ñvtt). 
b/ 2 2(P) : y 2x x x 2x y 0 (1)= - Û - + = 
 1 1
2 2
' 1 y 0 0 y 1
x 1 1 y, (0 x 1)
(1)
x 1 1 y, (1 x 2)
D = - ³ Û £ £
é = - - £ £
Û ê
ê = + - £ £ë
 Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc tung laø: 
1 1 1
2 2
2 1 2 1 2 1
0 0 0
8V (x x )dy (x x )(x x )dy 2(2 1 y)dy ... .
3
p
= p - = p + - = p - = =ò ò ò 
Ví duï 3: Cho hình giôùi haïn elip: 
2
2x y 1
4
+ = quay quanh truïc hoaønh. Tính theå tích cuûa 
khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân. 
Giaûi: 
2 2
2 2 2x x 1(E) : y 1 y 1 y 4 x , (| x | 2)
4 4 2
+ = Û = - Û = ± - £ 
Theå tích V khoái troøn xoay caàn tìm laø: 
2 2
2 2
2 2
8V y .dx (4 x ).dx ...
4 3- -
p p
= p = - = =ò ò (ñvtt). 
Ví duï 4: Goïi (D) laø mieàn kín giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y x, y 2 x= = - vaø y = 0. 
 Tính theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy. 
Giaûi: 
y 
x 0 
–1 
2 –2 
1 
y 
x 2 1 0 
(H) 
1 (P) 
x2 
x1 
x 
y 
4 
0 
–
x = 2 
2 
(P) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 148 
· 1y x x x 2= Û = = 
· 2y 2 x x x 2 y.= - Û = = - 
· Theå tích vaät theå troøn xoay 
khi quay (D) quanh truïc Oy laø: 
1 1
2 2 2 2 2
2 1
0 0
V (x x )dy [(2 y) (y ) ]= p - = p - -ò ò 
 32
15
p
= (ñvtt). 
BAØI TAÄP 
Baøi 18. Tính vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi pheùp quay quanh truïc Ox cuûa mieàn (D) giôùi haïn 
bôûi caùc ñöôøng: 
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ 2x y 5 0; x y 3 0.+ - = + - = 
c/ 2y x ; y x.= = d/ 2 2y x 4x 6; y x 2x 6.= - + = - - + 
e/ 2y x(x 1) .= - f/ xy x.e ; x 1; y 0 (0 x 1)= = = £ £ 
g/ x x 2y e ; y ; x 0; x 2.- += = = = h/ 3y x ln(1 x ); x 1.= + = 
i/ 2(P) : y x (x 0), y 3x 10; y 1= > = - + = (mieàn (D)) naèm ngoaøi (P)). 
k/ 4 4y cos x sin x; y 0; x ; x .
2
p
= + = = = p 
ÑS: a/ 22 (ln 2 1) ;p - b/ 153 ;
5
p c/ 3 ;
10
p 
 d/ 3p e/ .
105
p f/ 
2(e 1) ;
4
p - 
 g/ 2 2(e 1) ;p - h/ (2 ln 2 1).
3
p
- i/ 56 .
5
p k/ 
23 .
8
p 
Baøi 19. Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh do quay xung quanh truïc oy hình 
phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
a/ 2y x ; y 1; y 2.= = = . b/ 2 2y x ; x y .= = 
c/ Ñöôøng troøn taâm I(3 ; 0), baùn kính R = 2. 
ÑS: a/ 3 ;
2
p b/ 3 ;
10
p c/ 224 .p 
Baøi 20. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong 1y ;
x
= truïc Ox; x = 1 vaø x = t 
a/ Tính dieän tích S(t) cuûa (H) vaø theå tích V(t) sinh bôûi (H) khi quay quanh Ox. 
b/ Tính: 
t
lim S(t)
®+¥
 vaø 
t
lim V(t).
®+¥
y 
x 4 2 1 0 
1 
2 
y x= 
y 2 x= - 
A 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 149 
ÑS: a/ S(t) ln t; V(t) ;
t
p
= = p - b/ 
t t
lim S(t) ; lim V(t)
®+¥ ®+¥
= +¥ = p 
Baøi 21. Cho mieàn (D) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): 2 2x y 8+ = vaø parabol (p): 2y 2x.= 
a/ Tính dieän tích S cuûa (D). 
b/ Tính theå tích V sinh bôûi (D) khi quay quanh Ox. 
ÑS: a/ 4 2 .
3
- p b/ 4 (8 2 7).
3
p
- 
Baøi 22. Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi caùc maët taïo neân khi quay caùc ñöôøng: 
a/ 
2 / 3xy b (0 x a)
a
æ ö= £ £ç ÷
è ø
 quanh truïc Ox. 
b/ y sin x; y 0 (0 x )= = £ £ p 
 a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy. 
c/ 
2x xy b ; y b
a a
æ ö= =ç ÷
è ø
 a/ quanh truïc Ox. b/ Quanh truïc Oy. 
d/ xy e ; y 0 (0 x )-= = £ < +¥ quanh truïc Ox vaø Oy. 
ÑS: a/ 23 ab ;
7
p 
 b/ 
2
x/ V ;2
p
a = 2y/ V 2 .b = p 
 c/ 2x
4/ V ab ;
15
a = p 
2
y
ab/ V .
6
p
b = 
 d/ x/ V ;2
p
a = y/ V 2 .b = p 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 150 
Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 
a/ 
2
2
2 x .dx;
-
+ò b/ 
1 2
2
0
x dx ;
4 x-
ò 
c/ 
2 2
1
x 1 dx;
x
-
ò d/ 
1
2 3
0
dx ;
(1 x )+
ò 
e/ 
1 2
2 2
0
x dx ;
(x 1)+ò f/ 
/ 4
2
0
x dx;
cos x
p
ò 
g/ 
/ 2
x
0
e .cos xdx;
p
ò h/ 
/ 4 4 4
x
/ 4
sin x cos xdx;
3 1
p
-p
+
+ò 
i/ 
0
cos2x.dx ;
sin x cosx 2
p
+ +ò k/ 
5 /12
2
/12
dx ;
sin 2x 2 3 cos x 2 3
p
p + + -
ò 
ÑS: a/ 8 (4 2);
3
- b/ 3 ;
3 2
p
- c/ 3 ;
3
p
- d/ 2 ;
2
 e/ 1 1 ln 2;
4 4
- + f/ 2ln ;
4 2
p
+ g/ / 21 (e 1);
2
p - h/ 3 ;
16
p 
 i/ 2ln3 – 2; k/ 3 .
4
Baøi 2. Bieát 2
2)x 1), x 0
f(x)
K(1 x ), x 0
- + £ì
= í
- >î
. Tìm giaù trò K ñeå 
1
1
f(x).dx 1.
-
=ò 
ÑS: K = 3. 
Baøi 3. a/ Cho haøm soá 
2x
x
e
e
f(x) t.ln t.dt.= ò Tìm hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi x. 
b/ Tìm giaù trò 3x 0;
2
pæ öÎç ÷
è ø
 ñeå haøm soá 
2x
x
sin tf(x) dt
t
= ò ñaït cöïc ñaïi. 
ÑS: a/ x ln 2.= - b/ x .
3
p
= 
Baøi 4. Cho haøm soá 
x
2
0
2t 1f(x) dt, 1 x 1.
t 2t 2
+
= - £ £
- +ò 
 Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f. 
ÑS: a/ 1min f f ;
2
æ ö= -ç ÷
è ø
 b/ max f f(1).= 
Baøi 5. Cho haøm soá 
x
2
0
f(x) (t 1)(t 2) dt.= - -ò Tìm ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò f. 
OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 151 
ÑS: 17 4 4 112CT : 1; ; Ñ.Uoán : 2; ; ;
12 3 3 81
æ ö æ ö æ ö- -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Baøi 6. Ñöôøng thaúng (D): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C) : 2 2x y 5+ = thaønh 2 phaàn, 
tính dieän tích cuûa moãi phaàn. 
ÑS: 1 2
5 5 15 5S ; S .
4 2 4 2
p p
= - = + 
Baøi 7. Xeùt hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): 1y ; y 0
x
= = ; x = 1; x = 2. Tìm 
toaï ñoä ñieåm M treân (C) maø tieáp tuyeán taïi M seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù 
dieän tích lôùn nhaát. 
ÑS: 3 2M ; .
2 3
æ ö
ç ÷
è ø
Baøi 8. Cho ñieåm A thuoäc (P): y = x2, (A khaùc goác O); (D) laø phaùp tuyeán taïi A cuûa (P) 
((D) vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi A vôùi (P)). Ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích giôùi 
haïn ñænh bôûi (P) vaø (D) laø nhoû nhaát. 
ÑS: 4 1 1 1 1min S ; A ; hay A ; .
3 2 4 2 4
æ ö æ ö= -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Baøi 9. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: 
2 2x y 1
16 4
x 4 2
ì
- =ï
í
ï =î
. 
 Tính theå tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. 
ÑS: 128 .
3
p 
Baøi 10. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: 
2y ax , a 0
y bx, b 0
ì = >
í
= - >î
. 
 Quay hình (H) ôû goùc phaàn tö thöù hai cuûa heä toaï ñoä quanh truïc Ox. Tìm heä thöùc 
giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a 
vaø b. 
ÑS: b5 = K.a3, vôùi K laø haèng soá döông baát kyø. 
Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
 2y x 4x 3 , y x 3.= - + = + (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT–khoái A_2002) 
ÑS: 109
6
 (ñvdt). 
Baøi 12. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
2 2x xy 4 vaø y .
4 4 2
= - = (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT – khoái B _ 2002) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 152 
ÑS: 42
3
p + (ñvdt). 
Baøi 13. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): 3x 1y
x 1
- -
=
-
 vaø hai truïc 
toaï ñoä. (Ñeà thi.......................................... khoái D_2002) 
ÑS: 41 4 ln
3
+ (ñvdt). 
Baøi 14. Tính tích phaân 
2 3
2
5
dxI .
x x 4
=
+
ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái A_2003) 
ÑS: 1 5ln .
4 3
Baøi 15. Tính tích phaân 
/ 2 2
0
1 2sin xI dx.
1 sin2x
p -
=
+ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái B_2003) 
ÑS: 1 ln2.
2
Baøi 16. Tính tích phaân 
2
2
0
I x x dx.= -ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái D_2003) 
ÑS: 1. 
Baøi 17. Tính tích phaân 
2
1
xI dx.
1 x 1
=
+ +ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái A_2004) 
ÑS: 11 4 ln 2.
3
- 
Baøi 18. Tính tích phaân 
e
1
1 3ln x.ln xI dx
x
+
= ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái B_2004) 
ÑS: 116 .
135
Baøi 19. Tính tích phaân 
3
2
2
I ln(x x)dx.= -ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái D_2004) 
ÑS: 3ln3 – 2.