Bài giảng Toán 2 - Chương 2: Tích phân bội - Huỳnh Văn Kha

một phân hoạch
của R = [a, b]× [c , d ]
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 3 / 63
Tổng Riemann
Tổng Riemann của hàm số f ứng với phân hoạch P như
trên được định nghĩa là:
S(f ,P) =
m∑
i=1
n∑
j=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆xi∆yj
Với ∆xi = xi − xi−1 và ∆yj = yj − yj−1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 4 / 63
Định nghĩa tích phân hai lớp
Gọi P(R) là tập các phân hoạch của R = [a, b]× [c , d ].
Với P ∈ P , đặt:
|P | = max{(xi − xi−1)(yj − yj−1) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}
Định nghĩa
Hàm f gọi là khả tích Riemann trên R nếu có α ∈ R sao
cho với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa:
|S(f ,P)− α| ≤ ε, ∀P ∈ P(R), |P | < δ
Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên R và ký hiệu:∫∫
R
f (x , y)dxdy = α
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 5 / 63
Một số tính chất
Tích phân hai lớp có các tính chất sau:
1.
∫∫
R
[f (x , y) + g(x , y)] dxdy
=
∫∫
R
f (x , y)dxdy +
∫∫
R
g(x , y)dxdy
2.
∫∫
R
cf (x , y)dxdy = c
∫∫
R
f (x , y)dxdy
3. Nếu f (x , y) ≤ g(x , y) với mọi (x , y) ∈ R thì:∫∫
R
f (x , y)dxdy ≤
∫∫
R
g(x , y)dxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 6 / 63
Tích phân lặp
Cho f là hàm xác định trên R = [a, b]× [c , d ]
Cố định x ∈ [a, b], lấy tích phân theo y , ta được:
A(x) =
∫ d
c
f (x , y)dy
Sau đó lấy tích phân A(x) từ a tới b ta được:∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
[∫ d
c
f (x , y)dy
]
dx
≡
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y)dydx
Tích phân trên gọi là một tích phân lặp
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 7 / 63
Tương tự, lấy tích phân theo x trước, rồi sau đó lấy
tích phân theo y ta cũng được một tích phân lặp:∫ d
c
[∫ b
a
f (x , y)dx
]
dy ≡
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y)dxdy
Ví dụ:∫ 3
0
∫ 2
1
x2ydydx =
∫ 3
0
[
x2
y 2
2
∣∣∣∣y=2
y=1
]
dx
=
∫ 3
0
3
2
x2dx =
1
2
x3
∣∣∣∣3
0
=
27
2∫ 2
1
∫ 3
0
x2ydxdy =
∫ 2
1
[
y
x3
3
∣∣∣∣x=3
x=0
]
dy =
∫ 2
1
9ydy =
27
2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 8 / 63
Định lý Fubini
Định lý
Nếu f liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b]× [c , d ] thì:∫∫
R
f (x , y)dxdy =
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y)dydx
=
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y)dxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 9 / 63
Ví dụ
1. Tính tích phân hai lớp
∫∫
R
(
x − 3y 2) dxdy với
R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}
2. Tính tích phân hai lớp
∫∫
R
2x sin2 ydxdy với
R = [1, 2]× [0, pi]
Chú ý:
Nếu R = [a, b]× [c , d ] thì:∫∫
R
g(x)h(y)dxdy =
(∫ b
a
g(x)dx
)(∫ d
c
h(y)dy
)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 10 / 63
Tích phân hai lớp - miền tổng quát
Cho D là miền bị chận bất kỳ, được giới hạn trong hình
chữ nhật R
Ta định nghĩa hàm số mới xác định trên R như sau
F (x , y) =
{
f (x , y), (x , y) ∈ D
0, (x , y) ∈ R \ D
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 11 / 63
Định nghĩa
Nếu F khả tích trên R ta nói f khả tích trên D và định
nghĩa: ∫∫
D
f (x , y)dxdy =
∫∫
R
F (x , y)dxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 12 / 63
Một số tính chất
1.
∫∫
D
[f (x , y) + g(x , y)] dxdy
=
∫∫
D
f (x , y)dxdy +
∫∫
D
g(x , y)dxdy
2.
∫∫
D
cf (x , y)dxdy = c
∫∫
D
f (x , y)dxdy
3. Nếu f (x , y) ≤ g(x , y) với mọi (x , y) ∈ D, thì:∫∫
D
f (x , y)dxdy ≤
∫∫
D
g(x , y)dxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 13 / 63
4. Nếu D = D1 ∪ D2, và D1, D2 không che phủ nhau
(ngoại trừ biên). Thì:∫∫
D
f (x , y)dxdy =
∫∫
D1
f (x , y)dxdy+
∫∫
D2
f (x , y)dxdy
5. Diện tích miền D là:
S =
∫∫
D
dxdy
6. Thể tích của khối trụ có đáy là miền D và giới hạn
trên bởi mặt z = f (x , y) ≥ 0 là:
V =
∫∫
D
f (x , y)dxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 14 / 63
Miền đơn giản theo Oy (loại I)
Miền phẳng D được nói là đơn giản theo Oy (loại I) nếu
nó nằm giữa đồ thị của hai hàm liên tục, tức là:
D = {(x , y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
Với g1, g2 là các hàm liên tục trên [a, b]
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 15 / 63
Nếu f liên tục trên miền:
D = {(x , y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
Thì ∫∫
D
f (x , y)dxdy =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x , y)dydx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 16 / 63
Ví dụ
Tính I =
∫∫
D
(x + 2y)dxdy với D là miền giới hạn bởi
các đường y = 2x2 và y = 1 + x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 17 / 63
Miền đơn giản theo Ox (loại II)
Miền phẳng D gọi là đơn giản theo Ox (loại II) nếu:
D = {(x , y) : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
Với h1(y) và h2(y) là các hàm liên tục
Nếu f liên tục thì:∫∫
D
f (x , y)dxdy =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f (x , y)dxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 18 / 63
Ví dụ
1. Tính
∫∫
D xydxdy , với D là miền giới hạn bởi các
đường y = x − 1 và y 2 = 2x + 6
2. Tính thể tích khối nằm bên dưới mặt parabol tròn
xoay z = x2 + y 2 và trên miền D, với D là miền
trong mặt phẳng Oxy giới hạn bới các đường
y = 2x và y = x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 19 / 63
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 20 / 63
Tọa độ cực
r =
√
x2 + y 2
x = r cos θ, y = r sin θ
Hình chữ nhật trong tọa độ
cực là tập có dạng:
R = {(x , y) :
a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 21 / 63
Diện tích của Rij :
∆Ai =
1
2r
2
i ∆θ − 12r 2i−1∆θ = 12
(
r 2i − r 2i−1
)
∆θ
= 12(ri + ri−1)(ri − ri−1)∆θ = r ∗i ∆r∆θ
Với r ∗i = (ri−1 + ri)/2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 22 / 63
Đổi biến sang tọa độ cực (1)
m∑
i=1
n∑
j=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆Ai =
m∑
i=1
n∑
j=1
f (r ∗i cos θj , r
∗
i sin θj)r
∗
i ∆r∆θ
Nếu f liên tục trên miền:
R : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β
Trong đó 0 ≤ β − α ≤ 2pi.
Thì ta có:
Đổi biến sang tọa độ cực (1)∫∫
R
f (x , y)dxdy =
∫ β
α
∫ b
a
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 23 / 63
Ví dụ
1. Tính
∫∫
R
(3x + 4y 2)dxdy , với R là miền trong nửa
mặt phẳng trên, giới hạn bởi các đường x2 + y 2 = 1
và x2 + y 2 = 4
2. Tính thể tích của khối giới hạn bởi mặt phẳng
z = 0 và parabol tròn xoay z = 1− x2 − y 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 24 / 63
Đổi biến sang tọa độ cực (2)
Nếu f liên tục trên miền có dạng:
D =
{
(x , y) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)
}
Thì:∫∫
D
f (x , y)dxdy =
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Ví dụ
Tìm thể tích vật thể nằm bên dưới parabol tròn xoay
z = x2 + y 2, bên trên mặt phẳng Oxy và bên trong mặt
trụ x2 + y 2 = 2x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 25 / 63
V =
∫∫
D
(x2 + y 2)dxdy
D = {(x , y) : −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ}
V =
∫∫
D
(x2 + y 2)dxdy =
∫ pi/2
−pi/2
∫ 2 cos θ
0
r 2rdrdθ =
3pi
2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 26 / 63
Bài tập. Tính các tích phân sau.
1.
∫∫
D
(x + y)dxdy , D gh bởi: y =
√
x , y = x2.
2.
∫∫
D
(2x − 4y) dydx , với D là miền giới hạn bởi
parabol x = y 2 − 2y và đường thẳng x = 3.
3.
∫∫
D
xydxdy , D gh bởi trục Oy , x + y = 1 và
x − 2y = 4
4.
∫∫
D
y 3dxdy , D là tam giác với các đỉnh:
(0, 2), (1, 1), (3, 2).
5.
∫∫
D
(
x +
√
4− x2 − y 2
)
dxdy , với D là miền:
x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ x .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 27 / 63
Một số ứng dụng
Xét vật thể phẳng D có hàm mật độ ρ(x , y), nghĩa là:
ρ(x , y) = lim
∆m
∆A
Trong đó, ∆m, ∆A là khối lượng và diện tích của hình
chữ nhật nhỏ chứa (x , y) và giới hạn được lấy khi kích
thước hình chữ nhật tiến về 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 28 / 63
Có thể xấp xỉ: m ≈
k∑
i=1
l∑
j=1
ρ(x∗ij , y
∗
ij )∆A
Khối lượng vật phẳng: m =
∫∫
D
ρ(x , y)dxdy
Tâm khối lượng của vật phẳng D có hàm mật độ ρ(x , y)
là điểm (xm, ym) được tính như sau:
xm =
1
m
∫∫
D
xρ(x , y)dxdy , ym =
1
m
∫∫
D
yρ(x , y)dxdy
Trong đó m là khối lượng của D
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 29 / 63
Moment quay của vật thể gồm hữu hạn chất điểm mi
cách trục quay khoảng ri là: I =
∑
i
mi r
2
i
Moment quay của vật phẳng D có mật độ ρ(x , y) là:
I =
∫∫
D
ρ(x , y)[r(x , y)]2dxdy
Trong đó r(x , y) là khoảng cách từ trục quay đến điểm
(x , y) trên vật phẳng D.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 30 / 63
Tích phân trên hình hộp chữ nhật
Xét hàm f xác định trên hình hộp chữ nhật:
B = {(x , y , z) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , r ≤ z ≤ s}
Nếu Px , Py , Pz là các phân hoạch của của [a, b],
[c , d ], [r , s]. Thì P = Px × Py × Pz gọi là một phân
hoạch của B
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 31 / 63
S(f ,P) =
l∑
i=1
m∑
j=1
n∑
k=1
f (x∗ijk , y
∗
ijk , z
∗
ijk)∆Vijk
gọi là tổng Riemann của f ứng với P
Ký hiệu P(B) là tập các phân hoạch của B và:
|P | = max{∆Vijk}. Ta có định nghĩa.
Định nghĩa
Hàm f gọi là khả tích Riemann trên B nếu có α ∈ R sao
cho với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa:
|S(f ,P)− α| ≤ ε, ∀P ∈ P(B), |P | < δ
Khi đó ta gọi α là tích phân của f trên B và ký hiệu:∫∫∫
B
f (x , y , z)dxdydz = α
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 32 / 63
Định lý Fubini
Định lý
Nếu f liên tục trên hình hộp chữ nhật
B = [a, b]× [c , d ]× [r , s], thì:∫∫∫
B
f (x , y , z)dxdydz =
∫ s
r
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y , z)dxdydz
1. Tích phân ở vế phải gọi là tích phân lặp
2. Có 6 thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp ở vế
phải, và tất cả các cách lấy thứ tự đó đều cho kết quả
như nhau. Ví dụ, một cách khác là:∫∫∫
B
f (x , y , z)dxdydz =
∫ b
a
∫ s
r
∫ d
c
f (x , y , z)dydzdx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 33 / 63
Ví dụ
Tính tích phân ba lớp
∫∫∫
B
xyz2dxdydz , với B là:
B = {(x , y , z) : 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3}∫∫∫
B
xyz2dxdydz =
∫ 3
0
∫ 2
−1
∫ 1
0
xyz2dxdydz
=
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
x2
2
∣∣∣∣x=1
x=0
dydz =
∫ 3
0
∫ 2
−1
yz2
2
dydz
=
∫ 3
0
z2
y 2
4
∣∣∣∣y=2
y=−1
dz =
∫ 3
0
3z2
4
dz
=
z3
4
∣∣∣∣3
0
=
27
4
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 34 / 63
Tích phân trên khối bị chận
Nếu E là khối bị chận bất kỳ, ta bao E bởi hình hộp chữ
nhật B . Tiếp theo, ta định nghĩa hàm F bằng với f trên
E và bằng 0 tại những điểm trong B nhưng ngoài E .
Nếu F khả tích trên B thì ta nói f khả tích trên E
và định nghĩa:∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
∫∫∫
B
F (x , y , z)dxdydz
Nói chung, nếu f liên tục trên E và biên của E "đủ
trơn" thì tích phân nói trên là tồn tại.
Tích phân ba lớp cũng có các tính chất giống như
của tích phân hai lớp
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 35 / 63
Khối đơn giản theo Oz (loại I)
Khối E gọi là đơn giản
theo Oz (loại I) nếu có u1
và u2 liên tục sao cho:
E = {(x , y , z) : (x , y) ∈ D, u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)}
Nếu f liên tục và E như trên thì:
∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
∫∫
D
 u2(x ,y)∫
u1(x ,y)
f (x , y , z)dz
 dxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 36 / 63
E = {(x , y , z) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x),
u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)}
∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
b∫
a
g2(x)∫
g1(x)
u2(x ,y)∫
u1(x ,y)
f (x , y , z)dzdydx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 37 / 63
E = {(x , y , z) : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y),
u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)}∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
d∫
c
h2(y)∫
h1(y)
u2(x ,y)∫
u1(x ,y)
f (x , y , z)dzdxdy
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 38 / 63
Ví dụ
1. Tính tích phân
∫∫∫
E
ydxdydz . Trong đó E là khối
trong R3 giới hạn bởi 0 ≤ z ≤ 1− y , √x ≤ y ≤ 1,
0 ≤ x ≤ 1.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 39 / 63
Ví dụ
2. Tính
∫∫∫
E
zdxdydz , với E là khối tứ diện giới hạn
bởi bốn mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 40 / 63
Khối đơn giản theo Ox (loại II)
E =
{
(x , y , z) : (y , z) ∈ D, u1(y , z) ≤ x ≤ u2(y , z)
}
∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
∫∫
D
 u2(y ,z)∫
u1(y ,z)
f (x , y , z)dx
 dydz
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 41 / 63
Khối đơn giản theo Oy (loại III)
E =
{
(x , y , z) : (x , z) ∈ D, u1(x , z) ≤ y ≤ u2(x , z)
}
∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
∫∫
D
 u2(x ,z)∫
u1(x ,z)
f (x , y , z)dy
 dxdz
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 42 / 63
Ví dụ
3. Tính tích phân
∫∫∫
E
zdxdydz . Trong đó E là khối
trong R3 giới hạn bởi 0 ≤ y ≤ 1− x , (x , z) ∈ D với D là
miền trong mặt phẳng zOx giới hạn bởi các đường
z = 0, z = 1− x2, x ∈ [0, 1].
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 43 / 63
Ví dụ
4. Tính
∫∫∫
E
√
x2 + z2dxdydz , với E là khối bị chận
bởi parabol tròn xoay y = x2 + z2 và mặt phẳng y = 4
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 44 / 63
Một số ứng dụng
Thể tích của khối E là:
V (E ) =
∫∫∫
E
dxdydz
Vật thể E có hàm mật độ là ρ(x , y , z) thì khối lượng là:
m =
∫∫∫
E
ρ(x , y , z)dxdydz
Myz=
∫∫∫
E
xρ(x , y , z)dxdydz , Mxz=
∫∫∫
E
yρ(x , y , z)dxdydz
Mxy =
∫∫∫
E
zρ(x , y , z)dxdydz
Tâm khối lượng của E là điểm (x¯ , y¯ , z¯), với:
x¯ =
Myz
m
, y¯ =
Mxz
m
, z¯ =
Mxy
m
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 45 / 63
Tích phân ba lớp trong tọa độ trụ
x = r cos θ y = r sin θ
z = z
r 2 = x2 + y 2 tan θ =
y
xz = z
Xét khối:
E =
{
(x , y , z) : (x , y) ∈ D, u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)
}
Với:
D =
{
(r , θ) : α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)
}
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 46 / 63
∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
∫∫
D
 u2(x ,y)∫
u1(x ,y)
f (x , y , z)dz
 dxdy
=
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(r cos θ,r sin θ)
u1(r cos θ,r sin θ)
f (r cos θ, r sin θ, z)rdzdrdθ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 47 / 63
Ví dụ
Tính I =
∫∫∫
E
√
x2 + y 2dxdydz . Trong đó E là khối
nằm bên trong mặt trụ x2 + y 2 = 1, bên dưới mặt z = 4
và bên trên parabol tròn xoay z = 1− x2 − y 2
E =
{
(r , θ, z) : 0 ≤ θ ≤ 2pi,
0 ≤ r ≤ 1, 1− r 2 ≤ z ≤ 4}
I =
12pi
5
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 48 / 63
Tích phân ba lớp trong tọa độ cầu
x = ρ sinφ cos θ
y = ρ sinφ sin θ
z = ρ cosφ
ρ2 = x2 + y 2 + z2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 49 / 63
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 50 / 63
Hình chữ nhật trong tọa độ cầu
E = {(ρ, θ, φ) : a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d}
Thể tích của Eijk :
∆Vijk ≈ ρ2i sinφk∆ρ∆θ∆φ
Tổng Riemann:∑
i ,j ,k
f (x∗ijk , y
∗
ijk , z
∗
ijk)∆Vijk
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 51 / 63
Đổi biến trong tọa độ cầu∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz =
d∫
c
β∫
α
b∫
a
f (ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)ρ2 sinφdρdθdφ
Với miền tổng quát hơn, chẳng hạn:
E =
{
(ρ, θ, φ) : α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d , g1(θ, φ) ≤ ρ ≤ g2(θ, φ)
}
Thì:
∫∫∫
E
f (x , y , z)dxdydz
=
∫ d
c
∫ β
α
∫ g2(θ,φ)
g1(θ,φ)
f (ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)ρ2 sinφdρdθdφ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 52 / 63
Ví dụ
1. Tính tích phân ba lớp∫∫∫
E
(x + y)dxdydz
trong đó E là khối giới hạn bởi
{
x2 + y 2 + z2 ≤ 4,
z ≤ 0, y ≥ 0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 53 / 63
Ví dụ
2. Tính thể tích của khối nằm trên mặt nón
z =
√
x2 + y 2 và dưới mặt cầu x2 + y 2 + z2 = z
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 54 / 63
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 55 / 63
Bài tập: Tính các tích phân 3 lớp sau.
1.
∫∫∫
E
(x + y) dxdydz , với E là phần của khối trụ
x2 + y 2 ≤ 1 nằm giữa 2 mặt z = 3 và z = x .
2.
∫∫∫
E
zdxdydz , với E là khối: 0 ≤ z ≤
√
x2 + y 2,
(x , y) ∈ D, với D là miền trong Oxy giới hạn bởi
y = x2 + 2x và trục Ox .
3.
∫∫∫
E
√
x2 + y 2dxdydz , với E là khối
1 ≤ x2 + y 2 + z2 ≤ 2, z ≥ 0, x ≥ 0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 56 / 63
Công thức đổi biến tổng quát
Xét phép biến đổi T từ mặt phẳng uv tới mặt phẳng xy :
T (u, v) = (x , y)
Trong đó x = g(u, v), y = h(u, v), mà thỉnh thoảng ta
vẫn viết x = x(u, v), y = y(u, v)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 57 / 63
Định thức Jacobi
Định nghĩa
Định thức Jacobi của phép biến đổi T cho bởi
x = x(u, v), y = y(u, v) được định nghĩa là:
∂(x , y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣ =
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
Phép biến đổi T gọi là thuộc lớp C 1 nếu x và y đều có
các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 58 / 63
Đổi biến cho tích phân bội
Định lý
Công thức đổi biến cho tích phân bội
Cho T là phép biến đổi đi từ S trong mặt phẳng uv tới
R trong mặt phẳng xy , trong đó R và S là các miền loại
I hoặc II. Giả sử T song ánh, thuộc lớp C 1 và định thức
Jacobi của nó khác 0 tại mọi (u, v) (có thể ngoại trừ
biên). Giả sử f là liên tục trên R . Khi đó:∫∫
R
f (x , y)dxdy =
∫∫
S
f (x(u, v), y(u, v))
∣∣∣∣∂(x , y)∂(u, v)
∣∣∣∣ dudv
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 59 / 63
Xét x = r cos θ và y = r sin θ, thì:
∂(x , y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ
∣∣∣∣ = r > 0
Và ta có công thức đổi biến trong tọa độ cực∫∫
R
f (x , y)dxdy =
∫∫
S
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 60 / 63
Đổi biến cho tích phân ba lớp
T đi từ không gian uvw tới không gian xyz :
x = g(u, v ,w), y = h(u, v ,w), z = k(u, v ,w)
Định thức Jacobi là định thức cấp 3:
∂(x , y , z)
∂(u, v ,w)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Với giả thiết tương tự định lý trên, ta có:∫∫∫
R
f (x , y , z)dxdydz =∫∫∫
S
f (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))
∣∣∣∣ ∂(x , y , z)∂(u, v ,w)
∣∣∣∣ dudvdw
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 61 / 63
Xét x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ, thì:
∂(x , y , z)
∂(ρ, θ, φ)
= −ρ2 sinφ
Vì 0 ≤ φ ≤ pi nên sinφ ≥ 0. Do đó:∣∣∣∣∂(x , y , z)∂(ρ, θ, φ)
∣∣∣∣ = ρ2 sinφ
Và ta có công thức đổi biến cho tọa độ cầu∫∫∫
R
f (x , y , z)dxdydz =∫∫∫
S
f (ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ)ρ2 sinφdρdθdφ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 62 / 63
Ví dụ
1. Tính
∫∫
D
(x + y)dxdy , với
D =
{
(x , y) :
x2
16
+
y 2
9
≤ 1, x ≤ 0
}
2. Tính
∫∫
R
e
x+y
x−y dxdy , với R là hình thang với các đỉnh
lần lượt là (1, 0), (2, 0), (0,−2), (0,−1).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Tích phân bội Toán 2 - MS: C01128 63 / 63